追及和相遇问题 教学案

追及和相遇问题

1．解答追及和相遇问题的三种方法

2．

例1.汽车A 以v A ＝4 m /s 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x 0＝7 m 处、以v B ＝10 m/s 的速度同向运动的汽车B 正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a ＝2 m/s 2。从此刻开始计时。求：

(1)A 追上B 前，A 、B 间的最远距离是多少？

(2)经过多长时间A 恰好追上B?

[解题指导] 汽车A 和B 的运动过程如图所示。

[解析] (1)当A 、B 两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v ＝v B －at ＝v A ，解得t ＝3 s

此时汽车A 的位移x A ＝v A t ＝12 m

汽车B 的位移x B ＝v B t －12

at 2＝21 m 故最远距离Δx max ＝x B ＋x 0－x A ＝16 m 。

(2)汽车B 从开始减速直到静止经历的时间t 1＝v B

a

＝5 s

运动的位移x B ′＝v B 2

2a

＝25 m 汽车A 在t 1时间内运动的位移x A ′＝v A t 1＝20 m

此时相距Δx ＝x B ′＋x 0－x A ′＝12 m

汽车A 需再运动的时间t 2＝Δx v A

＝3 s

故A 追上B 所用时间t 总＝t 1＋t 2＝8 s 。

[答案] (1)16 m (2)8 s

(1)若某同学应用关系式v B t －12at 2＋x 0＝v A t 解得经过t ＝7 s(另解舍去)时A 恰好追上B 。这个结果合理吗？为什么？

(2)若汽车A 以v A ＝4 m /s 的速度向左匀速运动，其后方相距x 0＝7 m 处，以v B ＝10 m/s 的速度同方向运动的汽车B 正向左开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a ＝2 m/s 2，则经过多长时间两车恰好相遇？

提示：(1)这个结果不合理，因为汽车B 运动的时间最长为t ＝v B a ＝5 s ＜7 s ，说明汽车A 追上B 时汽车B 已停

止运动。

(2)可由位移关系式：v B t －12

at 2＝x 0＋v A t ，解得t 1＝(3－2)s ，t 2＝(3＋2)s 。 例题及延伸思考旨在培养考生“贴合实际、全面分析”运动学问题的思维习惯：

(1)如匀速运动的物体追匀减速运动的物体时，注意判断追上时被追的物体是否已停止。

(2)匀减速运动的物体追匀速运动的物体时，有追不上、恰好追上、相撞或相遇两次等多种可能。

1．[与x -t 图像相结合的追及相遇问题]

甲、乙两人同时同地骑自行车出发做直线运动，前1 h 内的x -t

图像如图所示，下列表述

正确的是( )

A ．0.2～0.5 h 内，甲的速度比乙的小

B ．0.2～0.5 h 内，甲的加速度比乙的大

C ．0.6～0.8 h 内，甲的位移比乙的小

D ．0.8 h 时，甲追上乙

解析：选D x -t 图像的斜率表示速度，0.2～0.5 h 内，甲的斜率大，则甲的速度比乙的大，故A 错误。由题图知，0.2～0.5 h 内，甲、乙都做匀速直线运动，加速度均为零，故B 错误。物体的位移等于x 的变化量，则知0.6～0.8 h 内，甲的位移比乙的大，故C 错误。0.8 h 时，甲、乙位移相等，甲追上乙，故D 正确。

2．[与v -t 图像相结合的追及相遇问题]

(多选)(2018·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运

动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t 2时刻并排行驶。下

列说法正确的是( ) A ．两车在t 1时刻也并排行驶

B ．在t 1时刻甲车在后，乙车在前

C ．甲车的加速度大小先增大后减小

D ．乙车的加速度大小先减小后增大

解析：选BD t 1～t 2时间内，v 甲＞v 乙，t 2时刻相遇，则t 1时刻甲车在乙车的后面，故A 错误、B 正确。由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C 错误、D 正确。

3．[多种方法解决追及相遇问题]

在水平轨道上有两列火车A 和B 相距s ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A 车的初速度

v 0满足什么条件。

解析：要使两车不相撞，A 车追上B 车时其速度只能与B 车相等。设A 、B 两车从相距s 到A 车追上B 车时，A 车的位移为s A 、末速度为v A 、所用时间为t ，B 车的位移为s B 、末速度为v B ，两者的运动过程如图所示，现用三种方法解答如下：

法一：情景分析法

利用位移公式、速度公式求解

对A 车有s A ＝v 0t ＋12

×(－2a )×t 2 v A ＝v 0＋(－2a )×t

对B 车有s B ＝12

at 2，v B ＝at 对两车有s ＝s A －s B

追上时，两车不相撞的临界条件是v A ＝v B

联立以上各式解得v 0＝6as

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0＜6as 。

法二：函数判断法

利用判别式求解，由法一可知

s A ＝s ＋s B ，即v 0t ＋12×(－2a )×t 2＝s ＋12

at 2 整理得3at 2－2v 0t ＋2s ＝0

这是一个关于时间t 的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v 0)2－4×3a ×2s ＜0时，t 无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0＜6as 。

法三：图像分析法

利用速度—时间图像求解，先作A 、B 两车的速度—时间图像，其图像如图所示，设经过t ′时间两车刚好不相撞，则

对A 车有v A ＝v ′＝v 0－2at ′

对B 车有v B ＝v ′＝at ′

以上两式联立解得t ′＝v 03a

经t ′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s

它可用图中的阴影面积表示，由图像可知

s ＝12v 0·t ′＝12v 0·v 03a ＝v 026a

所以要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0＜6as 。

答案：v 0＜6as