立体几何线面角二面角解答题练习

立体几何线面角二面角解答题练习

1．四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。(Ⅰ)证明：SA ⊥BC ；(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小； 解答：解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．

因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥，由22AD BC ==，3SA =

，2AO =，得1SO =，11SD =．SAB △的面积

2

211122

2S AB

SA AB ⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭

．连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD ==

设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121

1

33

h S SO S =， 解得2h =

．设SD 与平面SAB 所成角为α，则222

sin 1111

h SD α=

==

． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为22arcsin 11

． 解法二： （Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．

因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，

AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，

(200)A ，，，(020)B ，，，(020)C -，，，(001)S ，，，(201)SA =-，，， (0220)CB =，，，0SA CB =，所以SA BC ⊥．

（Ⅱ）取AB 中点E ，22022E ⎛⎫

⎪

⎪⎝

⎭，，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，221442G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，，． 221442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，22122SE ⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭

，，，

(220)AB =-，，．0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记

为β，则α与β互余．(2220)D ，

，，(2221)DS =-，，．22

cos 11

OG DS OG DS

α==

，22sin 11β=，

所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为22

arcsin

11

．

B

C

A

S

O

E

G

y

x

z

O

D

C

A

S

7、如图1，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿

AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且

12G G AD <．连结2BG ，如图2． （I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8

EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角； 解：解法一：（Ｉ）因为平面

1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB

平面ABCD AB =，

AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，

所以AD ⊥平面1G AB ，又

AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．

（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ．由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ， 所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角．因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB

平面

ABCD AB =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．

因为12G G AD <，AD EF =，所以可在EF 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．由题设12AB =，25BC =，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，217G F =，

15OF ==，1210G G EO ==．因为AD ⊥平面1G AB ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G AB ，

从而121G G G B ⊥．故2222222

21126810200BG BE EG G G =++=++=

，2BG =．

又110AG ==，由11BH AG G E AB =得81248

105

BH ⨯=

=

．

故2248sin 525

BH BG H BG ∠=

==

．即直线2BG 与平面12G ADG

所成的角是arcsin 解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB

平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，

1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，从而1G E AD ⊥．又AB AD ⊥，所以AD ⊥平面1G AB ．因

为AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．

（II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面ABCD ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，，为x 轴、y 轴、z 轴建

A

E B

G

D

F

C

A

E

B

C

F

D

G 1

G 2

图1

图2