高等代数试题五

向量空间
一 判断题
(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上
的向量空间. ( ) .
(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上
的向量空间. ( ).
(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).
(5) 121
{(,,,)|1,}n
n i i i x x x x x R ==∈∑ 为n
R 的子空间. ( ).
(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).
(7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈ 为n
R 的子空间. ( ).
(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++
是V 的一组基. ( ).
(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,,n ααα 是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα
线性表示, 则12,,,n ααα 是V 的一组基. ( ).
(11) 设12,,,n ααα 是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ 与12,,,n ααα 等价, 则
12,,,n βββ 也是V 的一个基. ( ).
(12) 3
x 关于基3
3
2
,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,,s V V V 为n 维空间V
的子空间, 且12s V V V V =+++ .若
12dim dim dim s V V V n +++= , 则12s V V V +++ 为直和. ( ).
(14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ . 若
121230,()0,V V V V V =+= 121,()0,S s V V V V -+++= 则12s V V V +++ 为直和.
( ).
(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V
的子空间, 且12s V V V V =+++ . 若
(){0},i j j i
V V ≠=∑ 则12s V V V +++ 为直和. ( ).
(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ . 若
(){0},,i j V V i j =≠ 则12s V V V +++ 为直和. ( ).
(17) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ . 零向量表法是唯一
的, 则12s V V V +++ 为直和. ( ).
(18) 设12,,,n ααα 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个
基是12(),(),,()n f f f ααα . ( ).
(19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F 上
的n 维向量空间. ( ).
(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类. ( ).
答案
(1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)
错误 (6)正确 (7)正确 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误 (17)正确 (18)正确 (19)正确 (20)错误
二 填空题
(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间.
(2) 全体正实数的集合R +
,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕== 构成R 上的向量空间.
则此空间的零向量为___.
(3) 全体正实数的集合R +
,对加法和纯量乘法,,k
a b ab k a a ⊕== 构成R 上的向量空间.
则a R +∈的负向量为________.
(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:
2(,)(,)
(
,),(1)(,)(,),
2
a b c d a c b d
a c k k k a
b ka kb a
⊕
=+++-=+
构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.
(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:
2
(,)(,)
(
,),(1)(,)(,),
2
a b c d a c b d
a c k k k a
b ka kb a ⊕
=+++-=+
构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.
(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____. (7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________. (8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间,
它的维数等于_____.
(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===
4(0,1,1,1)α=--的坐标为__________.
(12) 2
23x x ++关于3[]F x 的一个基3
3
2
,,1,1x x x x x +++的坐标为__________. (13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=
在此基下的坐标为 _______.
(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件
__________________________________________, 就叫做一个同构映射.
(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.
(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W === , 则123W W W ++
________直和.
答案
(1)加法和数量乘法 (2)1
(3)1
a
(4)(0,0) (5)2(,)a a b -- (6)1n + (7)不唯一, 相
等 (8)2;1,i (9)1;1
(10)(1)
2
n n + (11)(1,0,1,0)- (12)(0,0,1,2 (13)(1,1,1)- (14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意,,
()(a F V f a a f ααα∈∈=
(15)n
F (16)不一定是
三 简答题
(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么? 1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ; 2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;
(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈ 定义
()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈
对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间? 为什么?
1) 所有连续函数的集合1W ; 2) 所有奇函数的集合2W ;
3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=
(3) 下列集合是否为n
R 的子空间? 为什么? 其中R 为实数域.
1) 11212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈ ; 2) 21212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈ ; 3) 312{(,,,)|n W x x x α== 每个分量i x 是整数};
(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ⨯⨯⨯矩阵, 问A X b =的所有解向量是F 上的
向量空间吗? 说明理由.
(5) 下列子空间的维数是几?
1) 3
((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R --⊆; 2)2
2
(1,1,)[]L x x x x F x ---⊆
(6) 实数域R 上m n ⨯矩阵所成的向量空间()m n M R ⨯的维数等于多少? 写出它的一个基. (7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？ (8)
若12,,,n ααα 是数域F
上n 维向量空间V 的一个基，
12
2
3
1,,,
,n n n
αααααααα-
++++ 也是V 的一个基吗？
(9) 1,2,(1)(2)x x x x -+-+是向量空间2[]F x 的一个基吗？
(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-.求4
R 的一个含12,αα的基.
(11) 在3
R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==-=-到基
123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===-的过渡矩阵.
(12) 在中4
F 求向量(1,2,1,1)ξ=关于基123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==--=--
4(1,1,1,1)α=--的坐标.
(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的子空间, 2W 为过原
点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则12W W 与12W W +是什么? 12W W +能不能是直和?
(14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W 和12W W +. 其中
123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=--==-; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=-=--
(15) 证明 数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等. (16)设{|,,},{(,)|,},a
b V a b
c R W
d
e d e R b
c ⎛⎫
=∈=∈
⎪⎝⎭
都是实数域R 的向量空间.问V 与W 是否同构? 说明理由.
(17) 设12,,,n ααα 为向量空间的一个基, 令12,1,2,,i i i n βααα=+++= 且 ()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕⊕ .
答案
(1)
1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不封闭.
2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A -≠, 但|()|0A A +-=, 对加法不封
闭.
(2)
1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数. 2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数. 3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有 ()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);
(0)((0))((1))()(1),f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+===
故3,.f g f W λ+∈
(3)
1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x +++= 的全体解向量.
2) 2W 不是n
R 的子空间. 因2W 对加法不封闭.
3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.
(4)当0b ≠时, A X b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维零向量不是 A X b =的解向量. 当0b =时,0A X =的所有解向量能构成F 上的向量空间.
(5)
1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)-线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)-=-+. 2) 维数是2. 因易证2
1,1x x --线性无关, 但2
2
(1)(1)()0x x x x -+-+-=.
(6) 解 令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ⨯矩阵. 那么易证ij E 这m n ⨯个矩
阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ⨯的一个基, 故()m n M R ⨯的维数是m n ⨯.
(7) ,,,1,2,3,,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠ 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,
其中共有12(1)n n ++++- 个向量, 故此向量空间的维数
(1)
2
n n +.
(8) 解 由
121112
(,,,)(,,,)
n n n n
A ααααααααα-+++= . 得1
||1(1)
n A +=+-. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它不构
成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.
(9) 解 在基2
1,,x x 之下有
21
22(1,2,(1)(
2))(1,,
)11
1
001x x x x x x --⎛⎫
⎪-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭
. 因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x -+-+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.
(10) 解 取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于
1100
0100
10,12100
1
-=-≠ 因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4R 的一个基.
(11) 解 由 123
123
12312(,,)(,,),(,,)(,,)
A B ααα
εεεβββεεε==
推出 1
12
3
123
(,,
)(,,)A B ββ
βααα-= 因此所求过渡矩阵为 1
0113201001100021112210
2111111
2
2A B -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪=-= ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪-- ⎪⎝
⎭
. (12) 解 取4
F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩阵为
1
11
11
111
1111
1111A ⎛⎫ ⎪
--
⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为
154112411
4114A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ -⎪⎝⎭
. (13) 解 由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若1W 与2W 重合, 则
121121,W W W W W W =+= . 若1W 与2W 不重合, 则12W W 为一条过原点的直线, 而 12W W V +=, 但12W W +不能是直和.
(14) 解 设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈ 为交空间的任意向量.由 112233112
20,k k k t t αααββ++--= 得齐次线性方程组
1231212121231212312320
2520
6702530k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +--+=⎧⎪
+--=⎪⎨
-++++=⎪⎪-++--=⎩
由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为
122232424896,,,7
7
7
7
k t k t k t k t =-
=-
=-
=-
因此维12()1W W = , 维12()4W W +=.
取27t =,令1267ξββ=-+便有12()W W L ξ= , 另外显然121231(,,,)W W L αααβ+=.
(15) 证明 设数域F 上两个有限维向量空间V 与W 的维数均为n , 因,n
n
V F W F ≅≅所
以V W ≅.
反之, 若V W ≅, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基 12,,,n ααα , 易证12(),(),,()n f f f ααα 是W 的一个基, 故dim W n =.
(16) V 与W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 与W 的维数不相等. (17) 证明 任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=+++ , 那么
12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ--=---+---+-+
因此12n V W W W =+++ , 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故
12n V W W W =⊕⊕⊕
四 计算题
(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)αα
α=-=--=--, 生成4R 的子空间.W 试
从向量组1234
(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)ββββ==-=--=-中找出W
的生成元.
(1) 解 以123,,ααα及1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等变换.
1123231
2311147202002421
533
161510011/20201001/211
00111/21000
00
4
00
A B -⎛⎫ ⎪---
⎪=→ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝
⎭⎛⎫
⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-
⎝
⎭
由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知, 113323412,,2βααβααβαα=+=-+=+从而134(,,).L W βββ⊆但由B 还知134
,,βββ
线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.
(2) 在向量空间4
R 中, 求由向量123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=-=-=--
4(1,5,3,1)α=-生成的子空间的一个基和维数.
(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换
241
10639
1515
15153333
01261811110
4
2
600001302.000002
1
3----⎛⎫⎛
⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪→
→ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知13,αα是一个极大无关组, 因此
1234(,,,)L αααα的维数实是2,而13,αα是它的一个基.
(3) 在4
R 中求出向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量.
这里123(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),ααα===--45(1,1,1,1),(0,12,12,5)αα==-.
(3) 解 对下述矩阵施行行的初等变换
2111
01010512
1
112
10112
303112303112
110
1511015
00013
00013
10112
10105
00026
00000
11
0151
1
002
---
⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
-
- ⎪
⎪→→
⎪ ⎪---- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭--⎛⎫⎛
⎫ ⎪
⎪--- ⎪ ⎪→
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭.
由右方矩阵知234,,ααα是一个极大无关组, 并且有 123523,253ααααααα=-=++.
(4) 求3()M F 中与矩阵A 可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中
1000
10.31
2A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
(4) 解 设这个子空间为,W 由于A I B =+, 这里
0000
0031
1B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
因此与A 可交换的3阶方阵, 就是与B 可交换的3阶方阵, 从而
3
{()|}W X M F B X X B
=∈=. 任取,()ij C W C c ∈=. 由B C C B =, 可得1323112131330,33,c c c c c c ==++=
122232333c c c c ++=,于是C W ∈当且仅当C 的元素为齐次线性方程组
211131
22123233333c c c c c c c c =--+⎧⎨=--
+⎩
的解. 于是我们得到如下矩阵
1
000100
00300,030,10000
00
01
0⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
00000010,31001
00
1⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
它们构成W 的一个基, 故W 的维数是5.
(5) 求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.其中
210
010
0,.200
A ωωω⎛⎫
-+
⎪
== ⎪ ⎪⎝
⎭
(5) 解 因3
1ω=, 所以
2
2
311,1
1A A I ω
ω⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
易证2
,,I A A 线性无关. 于是任何多项式()(()[])f A f x R x ∈皆可由2
,,I A A 线性表示, 故
2
,,I A A 为的一个基, d im 3V =.
(6) 设1234(,,,)x x x x 为向量ξ关于基12(1,0,0,1),(0,2,1,0),αα==3(0,0,1,1),α=
4(0,0,2,1)α=的坐标; 1234(,,,)y y y y 是ξ关于基1234,,,ββββ的坐标, 其中11y x =,
221332442,,.y x x y x x y x x =-=-=-求基1234,,,ββββ.
(6) 解 因1122
12341234
3344(,,,)(,,,)x y x y x y x y ξααααββββ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且 1112
2
2
3334441
0001100011001
1y x x y x x P y x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝
⎭
⎝⎭⎝⎭
则
1
12
2
12341234
334
4
(,,,)(,,,)x x x x
P x x x x ααααββββ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
于是 12341234(,,,)(,,,)P ααααββββ=, 即 1
12341234(,,,)
(,,,)
P ββββαααα-=
故所求的基为1234(1,2,4,3),(0,2,4,2),(0,0,1,1),(0,0,2,1)ββββ====.
(7) 设12,,,n ααα 是n 维向量空间V 的一个基，11212,,,n αααααα++++ 也是 V 的一个基，又若向量ξ关于前一个基的坐标为(,1,,2,1)n n - , 求ξ关于后一个基的
坐标.
(7) 解 基12,,,n ααα 到后一个基的过渡矩阵为
11110111001100
1P ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
. 那么
12
111
001
101101120001211000111n n n
y n n y P y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
---
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
⎝⎭
故ξ关于后一个基的坐标为(1,1,,1) .
(8) 已知3
R 的一个基为123(1,1,0),(0,0,2),(0,3,2)ααα===. 求向量(5,8,2)ξ=-
关于这个基的坐标.
(8) 解 设112233x x x ξααα=++, 的方程组
1132
3538222
x x x x x =⎧⎪
+=⎨⎪+=-⎩
解得1235,2,1x x x ==-=. 故ξ关于基123,,ααα的坐标(5,2,1)-.
1234求4R 的一个非零向量ξ, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.
(9) 解 由标准基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为
20561336112110
1
3P ⎛⎫ ⎪ ⎪=
⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
设ξ关于两个基的坐标为1234(,,,)x x x x , 则 1
122334
4,x x x x
P x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即得齐次线性方程组 134
13341234
134
560
2360
020
x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪
+++
=⎪⎨
-+++=⎪⎪++=⎩
解得1234x x x x ===-, 令40,x k k R =≠∈, 则(,,,)k k k k ξ=---即为所求.
1234求1234(,,,)x x x x ξ=关于基1234,,,αααα的坐标.
(10) 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为
20561336112110
1
3P ⎛⎫ ⎪ ⎪=
⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
那么
1122
112341234
334
4
(,,,)(,,,)x x x x
P x x x x ξεεεεαααα-⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故ξ关于基1234,,,αααα的坐标为1234(,,,)y y y y , 这里 1112
22
13334444/91/3111/9
1/274/91/323/27
1/3002/3
7/271/9
1/326/27y x x y x x P y x x y x x ---
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪ ⎪
⎪== ⎪
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
.
五 证明题
(1) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. 1)证明: 12W W 是V 的子空间.
2)12W W 是否构成V 的子空间, 说明理由.
(1) 证明
1) 显然120W W ∈ , 即12W W ≠Φ , 任取1212,,W W k F αα∈∈ , 易知
1212112,W W k W W ααα+∈∈ , 故12W W 是V 的子空间.
2) 不一定. 当12W W ⊆或21W W ⊆时, 12W W 是V 的子空间. 但当1W 与2W 互不包含时,
12W W 不是V 的子空间. 因为总存在1112
,W W αα∈∉及2221,W W αα∈∉使1212,W W αα∈ , 而1212W W αα+∉ , 因为这时121122,W W αααα+∉+∉, 否则与选取
矛盾.
(2) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明: 12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小
子空间.
(2) 证明 易知121
21
12
{|,}W W W W ααα
α+=+∈∈为V 的子空间, 且
112212,.W W W W W W ⊆+⊆+
设W 为V 的包含1W 与2W 的任一子空间, 对任意1122,W W ξξ∈∈,有12W ξξ+∈, 即12W W W +⊆, 故12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.
.
(3) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. ,αβ是V 的两个向量, 其中2W α∈, 但
1W α∉, 又2W β∉. 证明:
1)对任意2,k F k W βα∈+∉;
2)至多有一个,k F ∈使得1k W βα+∈.
(3) 证明
1) 任意,k F ∈若2k W βα+∈, 则2()k k W ββαα=+-∈矛盾, 故1)成立.
2) 当1W β∈时, 仅当0k =时, 有1k W βα+∈; 当1W β∉时, 若存在1212
,,k k F k k ∈≠使得111221,k W k W αβααβα=+∈=+∈, 则12121()k k W ααα-=-∈, 因此1W α∈, 矛盾, 故2)成立.
(4) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明 若1212W W W W += , 则12W W ⊆或
21W W ⊆.
(4) 证明 因12W W 含1W 与2W 中所有向量, 12W W +含一切形如
121122(,)W W αααα+∈∈的向量, 因为121W W W W += , 所以121W αα+∈或
122W αα+∈
. 若121W αα+∈, 令12ααβ+=, 则21αβα=-, 故21W W ⊆; 若122W αα+∈, 令
12ααγ+=, 则12αγα=-, 故12W W ⊆.
(5) 证明: n 维向量空间V 中, 任意n 个线性无关的向量都可作为V 的一个基.
(5) 证明 设12,,,n ααα 是V 中线性无关的向量, 取V 的单位向量12,,,n εεε , 则12(,,,)n V L εεε= , 且12,,,n ααα 中每一个可由12,,,n εεε 线性表示. 由替换定理知
12,,,n ααα 与12,,,n εεε 等价, 所以V 中每一个向量可由12,,,n ααα 线性表示, 又 12,,,n ααα 线性无关, 故12,,,n ααα 可作为V 的一个基.
(6) 设V 为n 维向量空间, V 中有m 组线性无关的向量, 每组含t 个向量, 证明: V 中存在n t -个向量与其中任一组组成V 的一个基.
(6) 证明 设V 中m 组线性无关的向量分别为12,,,(1,2,,),i i it i m t n ααα=≤ . 令 12(,,,)i i i it V L ααα= , 则dim i V t n =<. 因存在1,(1,2,,)
i V i m ξ∉=
, 使121,,,,i i it αααξ 线性无关, 若1t n +<,令/
121(,,,,)i i i it V L αααξ= , 则/
i V 也为V 的非平
凡子空间, 同理存在/
2,1,2,,i V V i m ξ=-= , 而且1212,,,,,i i i t αααξξ 线性无关, 如此继续下去, 可找到12,,,n t ξξξ- 使得12,,,,i i it ααα 12,,,n t ξξξ- 线性无关, 故对每个i , 它们都是V 的一个基.
(7) 设n 维向量空间V 的向量组12,,,n ααα 的秩为r , 使得11220
n n k k k ααα+++= 全体n 维向量12(,,,)n k k k 的集合为W . 证明W 是n F 的n r -维子空间.
(7) 证明 显然12dim (,,,)n L r ααα= , 今设每个i α在12(,,,)n L ααα 的某个基下的坐
标为
12
[]i i i ir
a a a α⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,1,2,,i n = 那么由11220n n k k k ααα+++= 可得
1122[][][]0n n k k k ααα+++= .
它决定了一个含n 个未知量12,,,,n k k k r 个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵
12([],[],,[])n ααα 的秩为r , 故解空间即W 的维数为n r -.
(8) 设12,,,n a a a 是数域F 中n 个不同的数, 且12()()()()n f x x a x a x a =--- . 证明
多项式组()()(1,2,,)()
i i f x f x i n x a ==- 是向量空间1[]n F x -的一个基.
(8) 证明 因1dim []n F x n -=, 所以只需证12,,n f f f 线性无关. 设有12,,,n k k k F ∈ ,
使
1220n n k f k f k f +++= (*) 由()0,,()0j i i i f a i j f a =≠≠, 因此将i a 带入(*)得()0i i i k f a =, 从而0,(1,2,)i k i n == 故12,,n f f f 线性无关, 为1[]n F x -的一个基.
(9) 设W 是n
R 的一个非零子空间, 而对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说, 或者
120n a a a ==== , 或者每一个i a 都不等于零. 证明: dim 1.W =
(9) 证明 由W 非零, 我们总可以取12(,,,)n b b b W β=∈ , 且0β≠, 那么每个0i b ≠且
β线性无关. 今对任意12(,,,)n a a a W α=∈ , 若0α=当然α可由β线性表示; 若0α≠而11
a W
b αβ-
∈, 由于其第一个分量为0, 由题设知11
a b αβ=
. 故β可作为W 的一个基,
且dim 1.W =
(10) 证明: 22,,1x x x x x +-+是2[]F x 的一个基, 并求2
273x x ++关于这个基的坐标.
(10) 证明: 2dim []3,F x =2
2
,,1x x x x x +-+由基2
1,,x x 表示的演化矩阵为
0011
1111
0A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭
但A 可逆, 故2
2
,,1x x x x x +-+是2[]F x 的一个基.
2
273x x ++关于这个基的坐标(3,1,3)-,
因为
13371.23A -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(11) 若123,,W W W 都是V 的子空间, 求证: 11231213(())()()W W W W W W W W +=+ .
(11) 证明: 任意1123(())W W W W α∈+ , 则1W α∈, 且123()W W W α∈+ , 因此
1311233,,W W W ααααα=+∈∈ , 但1W α∈, 知313W W α∈ , 故 1213()()W W W W α∈+ .
反之, 任意121
3()()W W W W β∈+ , 12112213
,,W W W W
βββββ=+∈∈ , 则
1W β∈, 且123()W W W β∈+ , 故1123(())W W W W β∈+ .
(12) 设12,,,s W W W 是n 维向量空间V 的子空间. 如果12s W W W +++ 为直和.
证明:{0},,,1,2,,i j W W i j i j s =≠= .
(12) 证明: 由12s W W W +++ 为直和, 有(){0},,,1,2,,i j i j
W W i j i j s ≠=≠=∑ , 而
(){0},,,1,2,i j i
j i j
W W W W i j i j s ≠⊆=≠=∑ . 故
{0},,,1,2,,i j W W i j i j s =≠= .
(13) 设12,W W 分别是齐次线性方程组120n x x x +++= 与12n x x x === 的解空间.
证明: 12n F W W =+.
(13) 证明 因120n x x x +++= 的解空间的维数为1n -, 且一个基为
12(1,1,0,,0),(1,0,1,0,,0),αα=-=- 1,(1,0,,0,1)n α-=- , 又12n x x x ===
即方程组
1223100
0n n x x x x x x --=⎧⎪
-=⎪⎨⎪
⎪-=⎩
的系数矩阵的秩为1n -, 其解空间的维数为1, 且一个基为(1,1,,1β= , 但
121,,,n αααβ- 线性无关, 它是n F 的一个基, 且12dim dim dim n F W W =+, 故
12n
F
W W =+.
(14) 证明 每一个n 维向量空间都可以表成n 个一维子空间的直和.
(14) 证明: 设12,,,n ααα 是n 维向量空间V 的一个基, 那么12(),(),,()n L L L ααα
都是一维子空间.
显然 12()()()n V L L L ααα=+++ 于是由V 中向量在此基下表示唯一, 立得结论.
(15) 证明n 维向量空间V 的任意一个真子空间都是若干个1n -维子空间的交.
(15) 证明: 设W 是V 的任一子空间, 且设12,,,s ααα 为W 的一个基, 将其扩充为V 的
一个基12,,,s ααα 1,,,s n αα+ , 那么令
12111
(,,,,,,,,,)
i s s s i s i n
W L ααααααα++-++=
于是这些,1,2,i W i n s =- , 均为1n -维子空间, 且12n s W W W W -= .
(16)设:f V W →是数域F 上向量空间V 到W 的一个同构映射, 1V 是V 的一个子空间.
证明: 1()f V 是W 的一个子空间.
(16) 证明: 因1(0)()f f V ∈, 所以1()f V 非空. 对任意/
/
1,()f V αβ∈, 由于f 是1V 到
1()f V 的满射, 因此存在1,V αβ∈, 使//
(),()f f ααββ==, 对任意,a b F ∈, 有 1a b V αβ+∈, 于是/
/
1()()()()f a b af bf a b f V αβαβαβ+=+=+∈, 故1()f V 是W
的一个子空间.
(17) 证明: 向量空间[]F x 可以与它的一个真子空间同构.
(17) 证明: 记数域F 上所有常数项为零的多项式构成的向量空间V , 显然[]V f x ⊂, 且V 中有形式()xf x , 这里()f x ∈[]F x .
定义 :[];F x V σ ()()f x x f x →, 显然σ是[]F x 到V 的双射, 且对于任意 (),()f x g x ∈[],,,F x a b
F
∈
(()())(()
())()()(
())(
())
a f x
b g x x a f x b g x a x f x b x g x a f x b g x σσσ
+
=+=+
=+
故σ是[]F x 到V 的同构映射. 从而V 是[]F x 的一个真子空间, []F x V ≅.
(18) 设,αβ是复数, {()[]|()0},{()[]|()0}
V f x R x f W g x R x g αβ=∈==∈=, 证明: ,V W 是R 上的向量空间, 并且V W ≅.
(18) 证明: 易证,V W 是R 上的向量空间,
设V 中次数最低的多项式为()h x , 则对任意()f x V ∈, 都有()[]s x R x ∈, 使
()()()f x h x s x =, 因此{()()|()[]}V h x s x s x R x =∈
同理, 设W 中次数最低的多项式为()k x , 则{()()|()[]}W k x s x s x R x =∈. 定义:()()()()h x s x k x s x σ
易证σ是V 到W 的同构映射, 故V W ≅.
(19) 证明 实数域R 作为它自身上的向量空间与全体正实数集R +
对加法: a b ab ⊕=, 与
纯量乘法: k k a a = 构成R 上的向量空间同构.
(19) 证明: 定义:(1)x
x a a σ>
显然σ是R 到R +的映射.
1),x y R ∈, 若x y ≠, 则x
y
a a ≠, 所以σ为单射;
任意b R +
∈, 因log ,log b
a
b a b a
R =∈, 则(log )b
a b σ=, 即σ为满射.从而σ为双射.
2) 任,,()()()x y
x y x y
x y R x y a a a a a x y σσσ+∈+===⊕=⊕.
3) 任,()()()kx
x
k
x
k R kx a
a k a k x σσ∈==== ,
于是σ是R 到R +的同构映射. 故R R +≅.
(20) 设V 是数域F 上无限序列12(,,)a a 的集合, 其中i a F ∈, 并且只有有限i a 不是零. V 的加法及F 中的数与V 中元的纯量乘法同n F , 则V 构成F 上的向量空间. 证明: V 与
[]F x 同构.
(20) 证明: 取[]F x 的一个基2
1,,,x x , 则[]F x 中任一多项式
01()n
n f x a a x a x =+++
关于这个基有唯一确定的坐标01(,,,,0,)n a a a V ∈ . 定义:()f x σ 01(,,,,0,)n a a a
则σ是[]F x 到V 的一个同构映射, 故[]F x V ≅.。