幂函数(第一课时)
高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
幂函数(第1课时)课件4
1.21
1.331 1.048808848
"y=x^2" y=x^3 y=x^(1/2)
图象的性质
幂函数f(x)=x的性质： 1。>0时，(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）；
(2)图象在第一象限是增函数。 2。 <0时，(1)图象都经过点（1，1）；
(2)图象在第一象限是减函数,且向右无限 接近X轴，向上无限接近Y轴。
学生练习
利用上面所学的图像的性质，比
较下列各组值的大小：
1
1
（1）5.232 5.242
(2)0.26-1 0.27-1
(3)(-0.72)3 (-0.75)3
1
1
解：（1） 5.232 5.242
（2） 0.26-1 > 0.27-1 (3) (-0.72)3 < (-0.75)3
例3:
0.8
0.64
0.512 0.894427191
-2
0.85
0.7225 0.614125 0.921954446
0.9
0.81
0.729 0.948683298
-3
0.95
0.9025 0.857375 0.974679434
1
1
1
1
1.05
1.1025 1.157625 1.024695077
1.1
0.0625 0.015625
0.5
2
0.3
0.09
0.027 0.547722558
0.35
0.1225 0.042875 0.591607978
0.4
0.16
0.064 0.632455532
1
幂函数课件必修1-PPT课件
2
(
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
x -3 -2 -1 1 2 3
-2
y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
\ \0 … -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=x2 9 4 1 0 1 4 9 3
y=x
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
2.5.1简单的幂函数第一课时(幂函数的概念)
(1)点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，求 f（x）的解析式 1 (2)点(－2，4)在幂函数 g(x)的图象上．求 g（x）的解析式
【思路点拨】 由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式.
【解析】
设 f(x)＝xn，由题意得 2＝( 2)n，
∴n＝2，即 f(x)＝x2. 再设 g(x)＝xm， 1 由题意得4＝(－2)m， ∴m＝－2，即 g(x)＝x－2.
2
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 解:(1)y=
(3)
-2 -2 2.5 5 与 2.7 5 x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
1．下列函数中是幂函数的是(
)
A．y＝3x2
B．y＝2x
C．y＝x－1＋1
D．y＝x3.14
【答案】 D
2 2 3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：则f(8)＝_______.
x f(x )
1 1
4 2
4.已知幂函数f（x）=(4m - 1)x1 - m (1) 若点(a , 3）在该函数的图像上，则a = 9 (2) f(x)的定义域是 [0，+ ∞ )
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
幂函数第一课时
幂函数（第1课时）学习目标： 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．新知探究：（1）创设情境：思考下列实际问题问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要付的钱数y = 元， 问题2：如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积是y = ， 问题3：如果正方体的边长为x ，那么正方体的体积是y = ， 问题4:如果正方形场地的面积为x ，那么正方形的边长y= ，问题5：如果某人x h 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度y = km/h ， 思考1:这些函数有什么共同的特征？总结：幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数， 为未知数． 例1：判断下列函数是否为幂函数：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；(5) y=2x 2；(6) y=x 3+2；(7) y= -x 2 ；（8）y=1例2、幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2），试求解析式.例3、已知函数()221(2)m m f x m m x+-=+ 是幂函数，试确定m 的值。
(2)幂函数性质探究由具体幂函数的图像和性质来探究幂函数的性质：思考2：幂函数的图象能过第四象限吗？例3、求下列函数的定义域和值域．总结：在研究幂函数的定义域时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式，然后由根式、分式有意义求定义域；。
2.3__幂函数_(第一课时)
2．3 幂函数（第一课时）1、下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A.31x y =B. 21-=xy C. 35x y = D. 32x y =2、如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123、以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错4、已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为( )A ．16 B.116 C.12D ．25、下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13 D ．y ＝x －346、已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( ) A ．－1或1 B ．－1,1或3 C ．1或3 D ．37、下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④8、在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9、幂函数f(x)＝x α满足x ＞1时f(x)＞1，则α满足条件( ) A ．α＞1 B ．0＜α＜1 C ．α＞0 D ．α＞0且α≠110、函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)12的定义域为________．11、幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________．12、设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R)的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．13、如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝a x 与幂函数g(x)＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．14、函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．15、已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？16、已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．17、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x 52；（2）y=x 43-；（3）y=x －2.18、比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1； （2）（－22）32-，（－710）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53； （4）31.4，51.5.19、幂函数f （x ）=ax mm82-（m ∈Z ）的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m.。
新课标人教版必修一幂函数课件(共11张PPT)
代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
知识要点：
1：幂函数的定义：
一般地,函数y x 叫做幂函数, 其中x是自变量,
是常数.
注： 1 1.对于幂函数，我们重点讨论 =1，2，3， ,-1 2 时的情形。(对照教材，作出上述图像)
2.幂函数不同于指数函数和对数函数，其定义域
1
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
p x (0,1) 变式1： 时，函数 y x 的图像在直线 y x
上方，则P的取值范围是_________.
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
变式2:如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m2 ;∞ ）内是减函数，求满足条件 的实数m的集合。
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函 数图象都通过点(1,1);
a>1 0<a<1
２.如果a>0,则幂函数的图象过点 (0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
a<0
３.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1), 并在(0,+∞)上为减函数; 其它象限的图像可由函数奇偶性对称作出
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
典型题例：
例1：若f(x)=(m2-3m+3)x3为幂函数,求m的值
解析：由题意： m2-3m+3=1 解得：m=1或4
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
例2：如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象
1 限内的图象，已知 a分别取 1,1, , 2 2
四个值，则相应图象依次为:________
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
高中数学人教A版必修一《幂函数》课件1
(1,1)
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》课件( 共25张 PPT)
探究1
你能找出所有幂函数的共同特性吗？
探究2
你能找出所有α>0的幂函数的共同特性吗？
探究3
你能找出所有α<0的幂函数的共同特性吗？
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》课件( 共25张 PPT)
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》课件( 共25张 PPT)
1
(4) y=x2
(2) y=x2 (5) y=x-1
(3) y=x3
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》课件( 共25张 PPT)
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》课件( 共25张 PPT)
正抛负双 大竖小横
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》课件( 共25张 PPT)
归纳总结
幂函数的性质
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图 象都通过点(1,1);
２.如果α>0,则幂函数的图象过 y 点(0,0),并在(0,+∞)上为增函数; o
α>1 0<α<1
x
３.如果α<0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数;
在第一象限内，当x从右边趋近于原
y α<0
点时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当
y x3
y x2
yx
1
y x2
y x1
点高指数大
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表 高中数学人教A版必修一第二章2.3《幂函数》课件(共25张PPT)
y=x
y=x2
y=x3 y=x1/2
幂函数的图像和性质(第一课时)课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
新知探究| 几个常见的幂函数
其他的幂函数 也可以这样去 研究它的性质
分子有理化
利用函数性质指导作图再检验，更科学！！！
新知探究| 归纳幂函数的性质
பைடு நூலகம்
新知探究| 归纳幂函数的性质
所有幂函数都在y轴右侧有图像，并且都出现在第一象限，如何解释？
新知探究| 归纳幂函数的性质
幂函数图像都过点(1,1),你能在解析式中找到答案吗？
新知探究| 归纳幂函数的性质
代关数于方这法些的一证般明性验结证论了，我能们用观代察数图方像法得证到明的吗结？论。
新知探究|归纳幂函数的性质
后期我们就可以利用奇偶性把幂函数的图像补充完整。
新知探究| 幂函数性质的应用
思考题
新知探究| 幂函数性质的应用
思考题
3 典型例题
典型例题
典型例题
指数幂的方程或 不等式，优先考 虑化为同底
湘教版高中必修第一册
幂函数的图像和性质
教学课件
1 新课导入
新课导入
上述函数的解析式有什么共同特征呢？
2 新知探究
新知探究| 幂函数的定义
新知探究| 幂函数的定义
正整数次幂函数
整数次幂函数
幂函数
负整数次幂函数
分数次幂函数
这几个常见的幂函数是我们研究幂函数性质的窗口！！！
新知探究| 几个常见的幂函数
4 课堂练习
课堂练习
5 课堂小结
课堂小结
利用奇偶性就可以把图像补充完整。
6 作业布置
作业布置 书面作业：习题4.1 8、13 补充作业：
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问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？
问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？ 问题3：再举出几个这样的函数．
函数特征分析
(1) 都是形如 y x a 的函数； (2) 指数为常数； (3) 均是以自变量为底的幂.
一般地，函数y＝xa叫做幂函数，
其中x是自变量，a是常数. 注意: 幂函数中a的可以为任意实数.
1 1 B．2，2，－2，－2 1 1 D．2，2，－2，－2
的图象.
1 2
1
O
x
幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1)． (2)α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是 增函数． 特别地，当 α>1 时，幂函数的图象下凸； 当 0<α<1 时，幂函数的图象上凸． (3)α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一 象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正 半轴；当 x 趋于＋∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．
变式函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
幂函数的图象
[例 2] (1)如图，图中曲线是幂函数 y＝xα
1 在第一象限的大致图象，已知 α 取－2，－2， 1 2，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3， C4 的 α 的值依次为 1 1 A．－2，－2，2，2 1 1 C．－2，－2,2，2 ( )
练习 1. 判断下列函数是否为幂函数
1 2
(1) y x
4
( 2) y x
2
( 3) y 2 x
3
( 4) y x
2
(5) y x 2
2. 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
y x, y x , y x ,
2 3
y x , y x
的图象.
1 2
1
2. 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
y
y x, y x , y x ,
2 3
y x , y x
的图象.
1 2
1
O
x
2. 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
y
y x, y x , y x ,
2 3y x Leabharlann y x的图象.1 2
1
O
x
2. 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
y
y x, y x , y x ,
2 3
y x , y x
的图象.
1 2
1
O
x
2. 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
y
y x, y x , y x ,
2 3
y x , y x
的图象.
1 2
1
O
x
2. 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
y
y x, y x , y x ,
2 3
y x , y x
[例 1]
(1)下列函数：①y＝x
3
1x ；②y＝2 ；③y＝4x2；
④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函 数的个数为 A． 1 C． 3 B． 2 D． 4 ( )
(2)已知幂函数 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的 解析式，并指出定义域．