3-2函数的单调性与最值

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问题探究 2：函数 f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数 f(x) 的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？
提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除 f(x)在其他区间单调递增，而 f(x)的单调递增区间为[a，b]意味 着 f(x)在其他区间不可能单调递增．
结 论
M为最大值
M为最小值
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问题探究 3：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图 象上有什么特征？
提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大 (小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．
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ห้องสมุดไป่ตู้
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(对应学生用书 P26)
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内
某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
定 义 当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)
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(对应学生用书 P26)
1.定义法 用定义证明函数单调性的一般步骤 (1)取值：即设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1<x2. (2 作差：即 f(x2)－ f(x1)(或 f(x1)－ f(x2))，并通过通 分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变 形．
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已知 f(x)＝x－x a(x≠a)． (1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
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，那么就说函数 f(x)在区 ，那么就说函数 f(x)在
间D上是增函数
区间D上是减函数
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增函数
减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是
上升的
自左向右看图象是 下降的
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考纲要求
考情分析
理解函数 的单调 性、最大 值、最小 值及其几 何意义.
函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点， 常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，求参数的 取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等 问题．客观题主要考查函数的单调性，最值的灵活确定 与简单应用，如2019年广东卷4、上海卷7.主观题在考查 基本概念，重要方法的基础上常与导数结合考查函数方 程、等价转化数形结合、分类讨论的思想方法，如2019 年北京卷18、山东卷22等． 预测：2019年高考对本节内容的考查仍将以函数性质的 应用为主，题型延续选择题、填空题的形式，分值约为5 分．函数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质如周期 性、对称性相结合求函数值或参数的范围，在备考时应 加强这方面的训练.
单调性是函数在一个区间上的“整体”性质，因此定义中 x1，x2 要有任意性，不能用两个特殊值的大小判断函数在区间 上的单调性．例如：对函数 f(x)＝－1x，由于 f(－1)>f(2)，所以 函数是单调递减函数，这是错误的说法．其实函数 f(x)＝－1x在 (－∞，0)上是单调递增，在(0，＋∞)上是单调递增．
问题探究 1：函数 f(x)＝1x的单调减区间是(－∞，0)∪(0， ＋∞)吗？
提示：函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数 在其定义域内的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能说该 函数在其定义域上是增函数(或减函数)，也不能将各个单调区 间用“∪”连接，而应写成(－∞，0)和(0，＋∞)．
【解】 (1)证明：任设 x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝x12＋x21－xx2＋2 2. ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
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(3)定号：根据给定的区间和 x2－x1 的符号，确定差 f(x2) － f(x1)(或 f(x1)－ f(x2))的符号．当符号不确定，可以进行 分类讨论．
(4)判断：根据定义得出结论．
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2．函数的最值
前 设函数y＝ f(x)的定义域为I，如果存在实数M满
提
足
①对于任意x∈I，都有 条 f(x)≤M ； 件 ②f(x存0)在＝xM0∈.I，使得
①对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ； ②f(x存0)＝在Mx0∈. I，使得
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(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ，则称 函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做 f(x)的单调区间．
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2．导数法 f ′(x)≥0(x∈A)⇔f(x)在 A 上为增函数，(使 f ′(x)＝0 的 x 仅是个别值)； f ′(x)≤0(x∈A)⇔f(x)在 A 上为减函数，(使 f ′(x)＝0 的 x 仅是个别值)．
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