第五章大数定律及中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理

第一节引言、第二节大数定律 一、教学目的要求

1.了解大数定律及中心极限定理的提出和发展历史。

2.掌握引理：切贝雪夫不等式。

3.掌握常用的切贝雪夫大数定律、贝努里大数定理、辛钦大数定律的适用条件及定律内容，会解答有关问题。 二、教学方法

讲授法：讲授大数定律、中心极限定理的概念。

演绎法：推导切贝雪夫不等式、定理1，2，3及例题 三、重点难点

重点：掌握切贝雪夫不等式及握常用的大数定律。 难点：大数定律应用具体应用。 四、课时安排：2课时 五、教具准备：多媒体。 六、教学步骤：

（一）明确目标：通过问题引入本次课的教学，明确大数定律、中心极限定理的概念，掌握贝雪夫不等式的推导及应用，定理1及2的证明，了解定理3的条件及应用。 （二）教学过程及教学内容：

1问题引入：大数定律及中心极限定理的提出和发展历史 2.内容：

（1）定义5.2.1 设 ,,,,21n X X X 是随机变量序列，记

)(1

21n n X X X n

Y +++=

， 若存在一个常数序列 ,,,,21n a a a ，使得对任意正数ε，有

{}1lim =<-∞

→εn n n a Y P

则称随机变量序列{}n X 服从大数定律（Law of Great Numbers ）。

（2）定义5.2.2 设 ,,,,21n X X X 是随机变量序列，a 是一个常数，若对任意正数ε，有

{}1lim =<-∞

→εa X P n n

则称随机变量序列{}n X 依概率收敛(Convergence In Probability)于常数a ，记为：a X P

n −→−。

（3）推论：可以证明：若a X P n −→−

，b Y P

n −→−，),(y x g 在点),(b a 连续，则有：

()()b a g Y X g P

n n ,,−→−。

（4）.（重要）引理5.2.1 对于任何具有有限方差的随机变量X 及任意正数ε恒成立

{}2

)

()(εεX D X E X P ≤

≥- （5.2.1）

公式（5.2.1）称为契比雪夫（Chebyshev ）不等式。

（5）.利用引理的例子： 例5.2.1 证明：当0)(=X D 时，{}1)(==X E X P 。

（6）定理 5.2.1 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，具有有限方差，且存在常数C 使得),2,1(,)( =≤k C X D k ，则对任意正数ε，恒成立

1)(11lim 1

1=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εn

k k n k k n X E n X n P （5.2.2）

定理5.2.1称为契比雪夫Chebyshev 大数定律。

利用引理证明契比雪夫Chebyshev 大数定律。

（7）注意到上述定理的全部条件实际上是为了保证下述的Markov 条件成立

0112→⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑=n

k k X D n 所以我们又可以得到更为一般的马尔可夫（Markov ）大数定律：若随机变量序列{}n X 满足Markov 条件，则公式（5.2.2）成立。这里甚至不要求随机变量序列的相互独立性。 （8）.定理 5.2.2 记A n 为n 次重复独立的试验中事件A 发生的次数，p 为事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意正数ε，恒成立

1lim =⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧<-∞

→εp n n P A n （5.2.3）

定理5.2.2称为贝努利(Bernoulli)大数定律。

（9）. 定理5.2.3 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，服从同一分布，且μ=)(k X E ,),2,1( =k ，则对任意正数ε，恒有

11lim 1=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞

→εμn k k n X n P （5.2.4）

定理5.2.3称为辛钦大数定律。

（10）.大数定律运用。

例5.2.2 若n X X X ,,,21 相互独立且与X 具有相同的分布，并有()k k X E μ=，试证 ()()k P

k k P n i k i k g A A A g X n A μμμμ,,,,,,,121211

−→−−→−=∑=。

（三）.总结及扩展

结合教材内容要适当补充例题及课堂练习巩固本次课所学内容，并注意概念的教学启发学生理解概念，运用有关概念及定理解决问题，本次课教学有一定难度。详见教学课件。 （四）布置作业：第5章习题 七、板书设计

第三节 中心极限定理 一、教学目的要求

1.掌握中心极限定理的概念

2. 掌握Lindeberg-Levy 中心极限定理（5.

3.1） 3.了解李雅普诺夫中心极限定理.（5.3.2）

4.掌握德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（

5.3.3） 5.会运用定理解决有关问题。 二、教学方法：

讲授法：定义5.3.1、定理5.3.1、定理5.3.2 演绎法：定理5.3.3、例1、例4 案例法：保险案例例2 三、重点难点：

重点：三个极限定理的内容。 难点：极限定理的运用。 四、课时安排：2课时 五、教具准备：多媒体 六、教学步骤

（一）明确目标：明确极限定理的内容及使用条件，注意和实际问题的结合，重

点掌握定理5.3.1、5.3.3 （二）教学过程教学内容：

1.复习大数定律引入中心极限定理

（1）.中心极限定理的概念：

定义5.3.1 若独立随机变量序列 ,,,,21n X X X 的标准化和)

()

(1

1

1∑∑∑===-=

n

i i n

i n

i i i

n X D X E X

Y 使得

{}⎰

∞

--

∞

→=

≤x

t n n dt e

x Y P 2

221lim π

恒成立，则称随机变量序列{}n Y 服从中心极限定理（The Central

Limit Theorem ）。

（2）.定理5.3.1 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：0)(,)(2≠==σμk k X D X E ，),2,1( =k ， 记σ

μ

n n X

X D X E X Y n

k k

n k k n k k n

k k n -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=

∑∑∑∑====1

111，则恒成立

{}⎰

∞

--

∞

→=

≤x

t n dt e

x Y P 2

n 2

21lim π

（5.3.1）

定理5.3.1称为林德贝格——勒维(Lindeberg-Levy)中心极限定理，也称为独立同分布的中心极限定理。 证明略。

（3）.例5.3.1 在数值计算中，任何实数x 都只能用一定位数的有限小数y 来近似，这就产生了一个误差y x z -=。假定每个数都按四舍五入的方法保留到十进制小数点后5位，则相应的舍入误差可以看作是[]

55105.0,105.0--⨯⨯-上的均匀分布。若将10000个数i x 相加，试估计所有这些数和的误差。

（4）.定理5.3.2 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且

),2,1(,)(,)(2 ===k X D X E k

k k k σμ，记)

()

(1

1

1∑∑∑===-=n

i i n

i n

i i i

n X D X E X

Z ，∑==n

k k n

B 1

22σ，

若存在0>δ，使得当∞→n 时，

{}∑=++→-n k k

k

n

X

E B 1

2201

δ

δμ，则恒成立

{}⎰

∞

--

∞

→=

≤x

t n dt e

x Z P 2

n 221lim π

（5.3.2）