5.2(中心极限定理)

1, 第i个成年男子吸烟， Xi i 1,2, n. 0， 第i个成年男子不吸烟，
【吸烟率调查问题解答】
X X i ~ B( n, p )
n
由大数定理知，当n很大时，频率X / n与概率p很接 近，可用X / n作为p的估计．依题意要保证P{|X / n – p| 0.05} 0.90，即
第5章 大数定律和中心极限定理
5.2
中心极限定理
大数定律讨论的是多个随机变量的算术平均的渐 近性质．现在我们来讨论独立随机变量和的极限分 布．先给出一个例子．
5.2 中心极限定理
【例 5-4】误差分析是人们经常遇到且感兴趣的随 机变量，大量的研究表明，误差是由大量微小的相 互独立的随机因素叠加而成的．现在考虑一位操作 工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要 求，但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差， 这是因为在加工时受到一些随机因素的影响，它们 是： (1) 在机床方面有机床振动与转速的影响； (2) 在刀具方面有装配与磨损的影响；
1 n n P X i p 0.05 P X i np 0.05n n i 1 i 1 n 1 0.90 2 0 . 05 p ( 1 p ) 也即 n 0.95 0 . 05 p ( 1 p )
此时， E( X i ) p, D( X i ) p(1 p), ( i 1,2,)
又记 n X i
论可写成
i 1
n
，则n~B(n，p)．此时定理5.5的结
t2 2
x 1 n np limP x e n n p ( 1 p ) 2
5.2.2 二项分布的正态近似
令
x 260p Φ( ) 95% 260p(1 p)
查得 (1.65) 0.9505 0.95 x 260p 1.65 故取 260p(1 p) 于是 x 1.65 260p(1 p) 260p
1.65 260 0.04 0.96 260 0.04 15.61
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
【例 5.5】用机器包装味精，每袋净重为随机变量， 期望值为 100 克，标准差为 10 克，一箱内装 200 袋味 精,求一箱味精净重大于20400克的概率． 解：设箱中第i袋味精的净重为Xi克， X1 , X 2 ,, X 200 是 200个相互独立同分布的随机变量. 且
(Lindeberg-Levy)定理，该定理是这两位学者在上世
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
我们来看一下(5.6)式含义：若记
Yn
X
i 1
n
i
n ,
n
记 FYn ( x ) 为Yn的分布函数，则(5.6)式可以写成
lim FYn ( x ) Φ( x )
n
这表明，当充分大时，Yn近似服从标准正态分布N(0，
1 0.9977 0.0023
5.2.2 二项分布的正态近似 现在将定理5.5应用于服从0-1分布的随机变量，即 设 X1 ， X2 ， … ， Xn ， … 相互独立，且都服从参数为 的0-1分布：
P{Xi = k} = pk(1 – p)1- k，k = 0，1；i = 1，2，…
也就是说，至少需要 16 条外线才能 95% 满足每个分
机在用外线时不用等候．
【吸烟率调查问题解答】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率 p，将 被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在 要保证有 90% 以上的把握，使得调查对象吸烟者的 频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于 5%，问至少要调查多少对象？ 解：设共调查n个成年男子，记 则Xi独立同分布，且又记n个调查对象中，吸烟的人 数为X，则有
1)，即
X
k 1
n
n 近 似 ~ N ( 0,1) n
i
从而当n充分大时，
2 X ~ N ( n , n ) i i 1
n
近似
(5.7)
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
2 X ~ N ( n , n ) i i 1
n
近似
(5.7)
(5.7) 式说明，不论 X1 ， X2 ， … ， Xn 服从什么分布，
P{7800 X 8200 }
Φ( 8200 8000 7800 8000 ) Φ( ) 10000 0.8 0.2 10000 0.8 0.2
2 2 ( ) 1 2 ( 5 ) 1 1 0.4
5.2.2 二项分布的正态近似
【例 5.7】某单位内部有 260 部电话分机，每个分机 有 4% 的时间要与外线通话，可以认为每个电话分
定理 5.5 （独立同分布的中心极限定理）设 X1 ， X2,…,Xn,… 为相互独立、服从同一分布的随机变 量序列, 且 E ( X i ) , D(Xi) = 2 0（i = 1,2,…）, 则对于任意x，有
该定理我们通常称之为林德伯格-莱维 纪20年代证明的，这里证明从略．
n X i n t2 x 1 2 i 1 limP x e dt Φ( x ) (5.6) n n 2
由于这些因素很多，每个因素对加工精度的影响 都是很微小的，而且每个因素的出现又都是人们无
法控制的、随机的、时有时无、时正时负的．这些
因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差，
若将这个误差记为 Yn ，那么 Yn 是随机变量，且可以
将 Yn 看作很多微小的随机波动 X1 ， X2 ， … ， Xn 之和， 即Yn = X1 + X2 +…+ Xn，这里n是很大的，那么我们 关心的是，当n→∞ 时，Yn的分布是什么？
只要满足定理的条件,当n充分大时,就可以把 X i 作
为正态随机变量处理，这在理论研究和实际计算上
i 1
n
都非常重要．
我们将上述结论稍作变形，还可以得到定理结论 的另外表现形式．
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
推论5.1 设相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn服 从同一分布，其均值为，方差为2 > 0，则当n充
5.2.2 二项分布的正态近似
一般来说，当 n 较大时，二项分布的概率计 算起来非常复杂，这时我们就可以用正态分 布来近似二项分布，使概率计算得到简 化．即对于任意正数n1和n2，有
k n1 k k n k C p ( 1 p ) P{n1 n n2 } n n2
n1 np n np n2 np P{ } np(1 p) np(1 p) np(1 p) n2 np n1 np ( ) ( ) np(1 p) np(1 p)
(5.10)
5.2.2 二项分布的正态近似
【例5.6】设电路供电网内有10000盏相同的灯，夜 间每一盏灯开着的概率为 0.8，假设各灯的开关彼 此独立，计算同时开着的灯数在 7800 与 8200 之间 的概率． 解：记同时开着的灯数为X，它服从二项分布 B(10000，0.8)，于是由定理5.6，有
i 1
查表得
(1.645) 0.95
【吸烟率调查问题解答】
所以 从而
n 0.05 1.645 p(1 p)
1.6452 n p(1 p) p(1 p) 1082 .41 2 0.05
又因为 p(1 p) 0.25
所以
n 270 .6
即至少要调查271个成年男子．
5.2 中心极限定理
(3) 在材料方面有钢材的成分、产地的影响； (4) 在操作者方面有注意力集中程度、当天的情绪 的影响； (5) 在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响；
(6) 在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电
压的影响；
(7) 在具体场合还可列出许多其他影响因素．
5.2 中心极限定理
分大时 2 近似 X 近似 ~ N (0,1) 即 X ~ N ( , ) n n
n 1 其中 X X i . n i 1
(5.8)
由推论可知，无论 X1 ， X2 ， … ， Xn 是服从什么分
布，其算术平均值当n充分大时总是近似地服从正态 分布．这一结果是数理统计中大样本理论的基础．
t2 2
dt Φ( x )
这个定理表明，当n充分大时，服从二项分布的随机 变量n的标准化变量近似服从标准正态分布． 近似 np n 即有 ~ N (0,1) np(1 p)
5.2.2 二项分布的正态近似
从而
n ~ N ( np, np(1 p))
近似
即当n充分大时，服从二项分布的随机变量n近似服 从正态分布．
X
i 1
200
近似 i
~ N ( 20000 , 20000 )
200 i 1
P{ X i 20400 } 1 P{ X i 20400 }
200 X i 20000 20400 20000 i 1 1 P 1 Φ( 2.83) 20000 20000
5.2 中心极限定理
当然，我们可以考虑用卷积公式去计算 Yn 的分布， 但这样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是
不易实现的．有时即使能写出 Yn 的分布，但由于其
形式过于复杂而无法使用．
本节研究在相当一般的条件下独立随机变量的和
的分布收敛于正态分布的问题．
5.2 中心极限定理
5.2.1
独立同分布的中心极限定理
机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条
外线才能以95的分机数，则～B(260， p)，其中p = 0.04．根据题意应确定最小的使