广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二第一学期期中考试数学(文)试题

广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二第一学期期
中考试数学（文）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-20题，共100分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。

2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。

3、考试结束，监考人员将答题纸收回。

第Ⅰ卷 （本卷共计50分）
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分）
1.若集合}42|{<≤=x x P ，}3|{≥=x x Q ，则=Q P （ ）
A ．}43|{<≤x x
B ．}43|{<<x x
C ．}32|{<≤x x
D ．}32|{≤≤x x
2.若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()1,1-
B ．()2,2-
C ．()(),22,-∞-+∞∪
D ．()(),11,-∞-+∞∪
3.在ABC ∆中，若
b B a A cos sin =，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90
4.公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A. (1)n n +
B. (1)n n -
C. (1)2n n +
D. (1)2
n n - 6.设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）
A.24
B.22
C.20
D.18
7.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. 222a b ab +>
B. a b +≥
C. 11a b +>
D. 2b a a b +≥ 8.矩形两条邻边的边长分别是a b 、，且62=+b a ,则矩形面积的最大值是（ ）
A.4
B.2
9 C.5 D.6 9.在△ABC 中,222sin sin sin sin sin A C B A B -+=则角C =（ ）
A ．060 B. 045 C. 0120 D. 030
10.若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ） A.
245 B. 285 C.5 D.6
第Ⅱ卷 （本卷共计100分）
二．填空题：（每小题5分，共计20分）
11.不等式0652≤+-x x 的解集为________________.
12.若ΔABC 的面积为3，2BC =，60C =︒，则边AB 的长度等于_________．
13.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a n
n ，则=1a ________. 14.若变量x ，y 满足约束条件,4,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
则z ＝2x ＋y 的最大值为________.
三．解答题：（共计80分）
15.（本小题满分12分）
设函数()3sin()6f x x πω=+
，0ω>，(,)x ∈-∞+∞，且以2
π为最小正周期. （1）求(0)f ； （2）求()f x 的解析式；
（3）已知9(
)4125f απ
+=，求sin α的值；
16.（本小题满分12分）
如图，三棱锥中BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，BD CD ⊥。

（I ）求证：⊥CD 平面ABD ；
（II ）若1===CD BD AB ，M 为AD 中点，求三棱锥MBC A -的体积。

17.（本小题满分14分）
已知{}n a 是递增．．的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和.
18.（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2
2.
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设n a
n a b n +=2，求数列{}n b 的前n 项和.
19.（本小题满分14分）
如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC =EA ＝2，2π3ADC ∠=，π3
BEC ∠=. (1)求sin ∠CED 的值；
(2)求BE 的长．
20.（本小题满分14分）
在直角坐标系xoy 中，一次函数2(0)y kx b k =++≠的图像与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B.
（1）用b 和k 表示AOB ∆的面积AOB S ∆；
（2）若AOB ∆的面积|||| 3.AOB S OA OB ∆=++
① 用b 表示k ，并确定b 的取值范围；
② 求AOB ∆面积的最小值.
宝安中学2014－2015学年第一学期期中考试
高二文科数学参考答案
一、选择题：1-10 A C B A A
C D B A C
二、填空题：11. {}23x x ≤≤
12. 2 13. 21 14. 7
三、解答题：
15.解：⑴13(0)3sin(0)=3=622f πω=+
⨯ ……3分 ⑵∵22πωπ==
T ∴4=ω )64sin(3)(π+=∴x x f ……6分 ⑶∵]6
)124(4sin[3)124(ππαπα
++⨯=+f )2sin(3πα+=αcos 3= ∴5
9cos 3=α即53cos =α ∴5
4cos 1sin 2±=-±=αα ……12分
16.
17.解：（I ）方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242, 3.a a == 设数列{}n a 的公差为d ，则422,a a d -=故1,2d =从而13,2
a =
所以{}n a 的通项公式为112n a n =
+ ……7分 （II ）设2n n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前n 项和为,n s 由（I ）知12,22n n n a n ++=则 2313412...,2222
n n n n n s +++=++++ 3412
13412....22222n n n n n s ++++=++++ 两式相减得
31213112(...)24222
n n n n s +++=+++- 123112(1).4422
n n n -++=+-- 所以142.2
n n n s ++=- ……14分
18.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，221(1)(1)22
n n n n n n n a S S n -+-+--=-=＝. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
……7分 （2）由(1)知，b n ＝2n ＋n .
记数列{b n }的前n 项和为T n ，
则T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )2
)1(21)21(2++--=n n n 2
)1(221++-=+n n n 故数列{}n b 的前n 项和为2
)1(221++-+n n n ……14分
19.解：如题图，设∠CED ＝α.
(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC . 于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0.
解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．
在△CDE 中，由正弦定理，得
sin sin EC CD EDC α
=∠.
于是，2πsin 23sin CD EC α⋅===，
即sin 7
CED ∠=
. ……7分 (2)由题设知，π03α<<，于是由(1)
知，cos 7
α===. 而2π3AEB α∠=-，所以2π2π2πcos cos()cos cos sin sin 333AEB ααα∠-=+＝
＝11cos 227αα-
=-+=. 在Rt △EAB 中，2cos EA AEB BE BE ∠==
，故2cos BE AEB ===∠ ……14分 20.（本小题满分14分）
解：（1）令x =0，得2(2)y b b =+>-；
令y=0，得2(0)b x k k
+=-<. 点2(,0),(0,2)b A B b k +-+，2
12(2)(2)()22AOB b b S b k k
∆++∴=+-=- ……5分 （2）① 由题意得2(2)2232b b b k k
++-=-+++， 解得22220,02(5)2(5)
b b b b k k b b ++=-<∴-<++， ，结合2->b ，解得.0>b 故22(0)2(5)
b b k b b +=->+ ……10分
② 由①得
22(2)(2)(5)271010777AOB b b b S k b
b b b b b
∆+++=-=++==++≥=+ 当且仅当10b b =
，即b AOB S ∆∴
最小值为7+.……14分。