数学第四册(综高)17.4棣莫弗定理与欧拉公式

欧拉公式

编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

棣美弗定理与Euler公式

n→∞ n→∞
y θn θn · n tan θn = lim · n→∞ tan θ tan θn n 1+
x n
=y
(2.7)
定理 2.1. 已知 z = x + iy 則 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y ) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式。由這個定理可容易證明函數方程。系 2.2. 指數函數 ez 滿足函數方程 ez1 +z2 = ez1 ez2 z1 , z2 ∈ C (2.9) (2.8)
與 (1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分 df = KeKx = − sin x + i cos x = i(cos x + i sin x) dx 因此 K = i, 換言之 f (x) = cos x + i sin x = eix 這正是 Euler 公式。同理對於函數 g (x) 也有類似的公式: g (x)g (y ) = g (x + y ), [g (x)]n = g (nx) (1.7) (1.8) (1.6)
這個函數方程 (functional equation) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看。 (B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 ez = zn , n=0 n!
∞
z = x + iy
(2.10)
在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 (analytic function), 因為是無窮級數所以必需先討論收斂性問題。對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 (modulus) 或範數 (norm) |z | = |x + iy | = x2 + y 2

隶莫佛拉普拉斯定理

隶莫佛拉普拉斯定理
摘要：
1.隶莫佛拉普拉斯定理的概述
2.隶莫佛拉普拉斯定理的证明方法
3.隶莫佛拉普拉斯定理的应用领域
4.隶莫佛拉普拉斯定理的意义和影响
正文：
隶莫佛拉普拉斯定理，是数学领域中的一个重要定理。

这个定理的全称是“隶莫佛- 拉普拉斯定理”，它是由法国数学家皮埃尔- 西蒙·拉普拉斯和瑞士数学家约瑟夫- 路易·拉格朗日共同提出的。

隶莫佛拉普拉斯定理的概述是：如果一个函数在某一闭曲面上的积分为零，那么这个函数在这个闭曲面上的切向场的旋度也为零。

简单来说，就是这个定理说明了一个向量场的旋度在曲面上的积分和该向量场在曲面上的切向场的积分是相等的。

隶莫佛拉普拉斯定理的证明方法相对复杂，它需要涉及到一些高级的数学概念，如向量场、旋度、切向场、积分等等。

具体的证明过程需要用到一些复杂的数学工具和方法，不适合在这里详细展开。

隶莫佛拉普拉斯定理的应用领域非常广泛，它被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

在物理学中，这个定理被用来研究电场、磁场等物理场的性质；在工程学中，这个定理被用来解决一些流体力学、热力学等问题；在计算机科学中，这个定理被用来设计一些高效的算法，如求解电磁场问题的快速算法等。

隶莫佛拉普拉斯定理的意义和影响非常深远。

它不仅丰富了数学领域的理论体系，也为实际应用提供了强大的工具。

同时，这个定理的证明方法和应用方法也为数学家们提供了研究其他数学问题的思路和方法。

§17.4-棣莫弗定理与欧拉公式

课堂练习
学生小结教师补充
分析：积的辐角等于辐角的和，欲求+可利用的乘积进行求解.
学生黑板练习
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教学内容、方法和过程
附记
解： (2+i)(3i)=5+5i=
由复数的乘法法则知，
又∵两个复数分别为2+i和3i
∴其辐角主值 <<， <<2，
∴2<+<3
∴+=2+ =
点评：利用复数的乘法法则求两辐角的和，关键要注意辐角和的范围，复数积的辐角主值不一定是两个复数辐角的和.分析：复数积的等于模的积，商的模等于模的商.
解：|z|=
点评：如果一个复数是由若干个复数相乘或相除而构成，则求其模时，不需要将该复数进行化简运算，而可利用复数三角形式的乘除运算法则，先求各自复数的模，再进行乘除运算.
【举一反三】
已知，则
【例3】已知复数 =2+i和 3i的辐角主值分别为、，求+的值
解：（1）原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
教师讲授
讲授
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教学内容、方法和过程
附记
点评：若复数是代数形式或非标准的三角形式，要先将复数化为标准的三角形式，然后再利用相应法则进行运算.
【举一反三】
计算：
（1）
(2) (cos +isin )÷ (cos isin )
【例2】求复数的模.
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15单招2
课题：§17.4棣莫弗定理与欧拉公式
教学目的要求：掌握复数三角形式的乘除法运算法则，能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算.

欧拉公式的启发性推导

欧拉公式的启发性推导
以瑞士著名数学家欧拉命名的公式定理不胜枚举，平面几何，拓扑，复变函数，数论等等各个数学领域内均有欧拉大神的插旗。

本文所指的欧拉公式是比较广为人知的，联系三角函数与复指数的公式: 预备知识：
(1)自然对数的底
以及相应的推广：对任意a
(2)极限
(3)棣莫弗公式
对复数
有
备注：棣莫弗公式比欧拉早，当时他还没有认识到复数的指数形式。

另外简单介绍一下，棣莫弗De Moivre（1667-1754），法国数学家，一生未婚。

87岁时患上了“嗜眠症”，每天睡觉20小时。

当达到24小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世。

接下来是推导。

根据棣莫弗公式，对任意n，都有
令n趋于无穷，根据预备知识（2），则
于是
根据预备知识（1）第二个公式，n趋于无穷时，有
由n的任意性，趋于可改为等号，从而
就得到了欧拉公式。

当然，以上过程并不严谨，严谨的证明需要用泰勒级数，但可以加深对欧拉公式的理解。

也许欧拉一开始也是这么想的，无聊的时候，对着棣莫弗公式一顿操作，突然，Eureka！发现了这一公式，然后才进一步通过其他严谨的方法证明了这一公式。

从无到有的第一步最为艰难，道生一，一生二，二生三，三生万物。

大部分时候，差的就是“道生一”的关键一步。

[欧拉定理]欧拉定理

[欧拉定理]欧拉定理[欧拉定理]欧拉定理篇一 : 欧拉定理欧拉定理濮阳市第一高级中学杨英辉欧拉定理正多面体认识欧拉简单多面体正多VFE 欧拉定理证明意义小结欧拉定理欧拉定理1.什么叫正多面体, 什么叫正多面体, 什么叫正多面体正多面体有哪几种, 正多面体有哪几种, 正多面体有哪几种欧拉定理数学家欧拉欧拉定理欧拉，瑞士数学家，岁进巴塞尔大欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导( 指导(欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文岁开始发表论文，出的数学家，他从岁开始发表论文，直到76岁他那不倦的一生，直到岁，他那不倦的一生，共写下了 886本书籍和论文，其中在世时发表了本书籍和论文，本书籍和论文 700多篇论文。

彼得堡科学院为了整理他多篇论文。

多篇论文的著作，整整用了47年的著作，整整用了年。

欧拉定理欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。

欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。

他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作: 以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。

抱着孩子在膝盖上完成论文。

既使在他双目失明后的17年间年间，目失明后的年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。

余篇的论文。

研究，口述了好几本书和余篇的论文当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。

后离开了人世。

欧拉永远是我们可敬的老师。

欧拉定理欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究～有许多公式、定理、筑学、音乐都有研究～有许多公式、定理、解法、函数、方程、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

名的。

欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。

世纪伟大的数学家高斯标准教程。

棣莫弗定理解n次方程的n个根

棣莫弗定理解n次方程的n个根1. 引言大家好，今天我们聊聊一个听上去很高级的数学话题——棣莫弗定理。

这可是数学中的一颗明星呢。

别担心，我会用最简单的语言来解说，让你听了之后能恍若身处一个轻松的聊天场景中。

2. 棣莫弗定理概述2.1 什么是棣莫弗定理？棣莫弗定理是由法国数学家阿布拉罕·棣莫弗提出的。

简单来说，这个定理帮助我们解决n次方程的n个根。

想象一下，你手里有个复杂的方程，棣莫弗定理就像是给你一把万能钥匙，让你能轻松找到所有的解。

2.2 棣莫弗定理的基本内容棣莫弗定理讲的是：如果一个复数可以写成极坐标形式，那么它的n次方根也可以用类似的方法找到。

这就像是你有一个大蛋糕，要分成很多块，棣莫弗定理就是那把切蛋糕的刀，帮你一块一块地把蛋糕分好。

3. 如何使用棣莫弗定理3.1 复数的极坐标形式首先，我们得知道复数的极坐标形式。

一个复数可以表示为 ( z = r (cos theta + i sin theta) )，其中 ( r ) 是复数的模长，( theta ) 是角度。

想象一下，你把复数看成一个点，这个点的距离和角度决定了它在平面上的位置。

3.2 寻找n次方根现在，假如我们有一个复数 ( z )，想找到它的n次方根。

根据棣莫弗定理，我们可以这么做：把这个复数的模长开n次方，角度除以n。

然后，为了找到所有的n次方根，还得加上一个额外的角度，每次增加 ( frac{2pi}{n} )。

这些额外的角度就像是在舞池中转圈圈，让你找到所有的根。

4. 实际应用4.1 例子假设我们有复数 ( z = 8 (cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) )。

我们想找这个复数的3次方根。

按照棣莫弗定理，我们先计算模长的3次方根，也就是 ( sqrt[3]{8} = 2 )。

然后角度 ( frac{pi}{4} ) 除以3，再加上 ( frac{2pi}{3} ) 的倍数，得到三个不同的角度。

棣美弗定理

棣美弗定理
维基百科，自由的百科全书
复平面上的立方根等于1.
棣美弗定理是一个关于复数的定理。

历史
法国数学家棣美弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立了棣美弗定理，并于1730年发表。

定理
当一个复数z以极坐标形式表达，即z = cosθ+ isinθ时，其n次方(cosθ+ isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ)，其中n属于任何整数。

证明
证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

正整数情形
用数学归纳法，
设命题
n为1时，式左
式右。

因此 P(1)成立。

假设P(k)成立，即
(cosθ + isinθ)k = cos(kθ) + isin(kθ)
当n = k + 1时，
因此P(k + 1)也成立。

由数学归纳法可知，，P(n)成立。

整数情形
只需运用恒等式：
即可。

用棣美弗定理求根
此定理可用来求单位复数的 n 次方根。

设 | z | = 1，表为
z = cosθ + isinθ
若 w n = z，则 w 也可以表成 w = cosφ + isinφ。

根据棣美弗定理：
于是得到
nφ = θ + 2kπ（其中）
也就是：
当 k 取，我们得到 n 个不同的根。

有理数情形
注意到，将θ换为 mθ就有：
因此
这样就证明了有理数的情形。

数学第四册(综高)17.4棣莫弗定理与欧拉公式

备注§17.4 棣莫弗定理与欧拉公式教学目标：1.掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行三种形式的互化；2.掌握复数的三角形式的乘、除和棣莫弗定理与欧拉公式。

教学重点：掌握复数的三角形式的乘、除和隶莫弗定理与欧拉公式。

教学难点：掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行三种形式的互化。

新课讲授：棣莫弗定理与欧拉公式一、复习导入在三角形式下对复数进行的运算主要是乘除。

二、探究设复数z 1= 2(cos6π+isin6π)，z 2= 4(cos3π+isin3π)，则z 1 ·z 2等于多少？三、知识链接(1)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)，则有z 1 ·z 2= r 1 r 2 [cos(θ1 +θ2 )+isin （θ1+θ2）]由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和。

(2)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)，则有21z z = 21r r[cos(θ1 -θ2 )+isin （θ1-θ2）] 由此可见，复数的积的模等于模的商，积的辐角等于辐角的差。

四、典型例题例1、计算（1）3（cos6π+isin6π）·4（cos12π+isin12π）（2）2（cos 500+isin500）·3（cos400+isin400）例2、计算：[6（cos 700+isin700）]÷[3（cos400+isin400）]若3（cos6π+isin6π），那么z 2与z 3的值分别为多少？练习1.计算：（1）2（cos6π+isin6π）·2（ cos12π+isin12π）（2）2（cos83π+isin83π）·3（ 1+i ）（3）2（cos6π-isin6π）÷2（ cos12π+isin12π）课内练习：P77练习一、复习导入学习了复数三角形式的乘法后，接下来我们学习复数三角形式的幂运算。

棣莫弗公式

棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则: Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].2解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。

在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推广为一般形式：3推广设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。

如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。

利用棣莫弗定理有：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，……，Zn=rne^iθn,Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i（θ1+θ2+……+θn)这和指数的可加性一致.在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.5简介棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham)1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学．棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱．棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响．随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义．那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是C．惠更斯（Huygens）关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》（Deratiociniis in ludo aleae）一书，启发了他的灵感．1684年1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J．奥扎拉姆（Ozanam）．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作．1685年1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，参加了震惊欧洲的宗教骚乱，在这场骚乱中，他与许多人一起被监禁起来．正是在这一年，保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销．随后，包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记载，棣莫弗一直被监禁至1688年才获释，并于当年移居伦敦．但据20世纪60年代发现的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经到了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全是在英国做出的．抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到I．牛顿（Newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（Mathematical principles of natural philosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的：他靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧，于是就将这部巨著拆开，当他教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就有了充实的学术基础，并开始进行学术研究．1692年1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷（Halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（On New-ton’s doctrine of fluxions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（The doctrine of chances）呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏．据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多”．1710年，棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可见他很受学术界的尊重．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院接纳为会员．棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．。

《数学》第四册§174棣莫弗定理与欧拉公式

cos( ) cos cos sin sin
复数的代数形式 z a bi
复数的三角形式 z r(cos isin )
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
三角形式有哪些特征？
确定复数的三角形式，需要先明确什么？模和辐角
两个共轭复数的模和辐角有什么关系？模相等，辐角互为相反数
解：(1)原式 cos360 i sin 360 1
(2)原式 [2(cos i sin )]2012
3
3
22012 (cos 2012 i sin 2012 )
3
3
22012 (cos 2 i sin 2 )
3
3
22012 ( 1 3 i) 22011 22011 3i 22
6
3 3(cos i sin ) 3 3i
2
2
由此推测，复数的n次幂的模等于模的n次幂，
复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
棣莫弗定理：[r(cos i sin )]n rn (cos n i sin n ).
计算：(1)(cos 40 i sin 40 )9; (2)(1 3i) . 2012
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ). 则z1 z2 r1(cos1 i sin1) r2 (cos2 i sin2 )
r1r2 (cos1 i sin1)(cos2 i sin2 ) r1r2 (cos1 cos2 i cos1 sin2
§17.4复数三角形式的乘除法与棣莫弗定理
学习目标
1、理解复数的三角形式的乘除法法则;
2、理解、掌握复数三角形式的乘方法则，即棣莫弗定理；

棣莫弗公式.

sint = t - t^33!+t^55!-t^77!+……-……
cost = 1 - t^22!+t^44!-t^66!+……-……
将t = ix 代入以上三式，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
[编辑本段]在三角问题中的应用
在r=1时：
（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)
有这个公式可以得到一个特别重要的结果。我们可以令n=3为例，此时
（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)
(k=0,1,2,......). n∈N.
这两条公式叫做棣莫弗公式
[编辑本段]证明
棣莫弗公式证明
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + …… + t^nn！+ ……
其中θ为z的辐角，k=0,1,2,...,n-1
例如解方程x^3=1
得x1=1 , x2=(-1/2)+i(√3)/2 , x3=(-1/2)-i(√3)/2 .
再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得
cos 3x=4cos^3 x-3cos x
sin 3x=-4sin^3 x+3sin x

《数学》第四册17.4棣莫弗定理与欧拉公式

17.4棣莫弗定理与欧拉公式学习目标：1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。

2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。

3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。

学习重点：棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幂运算。

复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。

学习难点：复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。

复数在电工学中的应用。

学习过程：一、知识链接：1、若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=∙21z z 因此，复数的积的模等于，积的辐角等于证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：2、若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=21z z 因此，复数的商的模等于，商的辐角等于证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。

3、棣莫弗定理若()θθsin cos i r z +=，则=nz ()+∈N n证明：因此，复数的n 次幂的模等于，辐角等于 4、复数的指数形式：欧拉公式：cos sin i θθ+=欧拉公式表示复数：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+= （复数的指数形式）5、复数指数形式乘除法则：若1212,i i z re z reθθ==，则12z z ∙= ；12z z = 。

证明：6、复数指数形式乘方法则：若,i z re θ=则n z = 证明：二、例题讲解：例1、利用复数的三角形式计算下列各式：（1）()()000032cos30sin 30cos 60sin 602i i ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（233cos sincos sin 4477i i ππππ⎤⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎦（3002cos 40sin 40i + （4）5512cossin 662i ππ⎛⎫⎛⎫+∙- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）32cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （6）(51+ （7）7cos sin 77i ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例2、将下列复数化为指数形式：（1）cos sin44i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（255cossin 33i ππ⎫+⎪⎭（3）cos sin 55i ππ--（4）cossin36i ππ- （5）1i -+ （6i （7）4i - （8）0例3、将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：（1）32ie π（223iπ- （3）28ieπ练习：将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：（1）625.610iieeππ-∙ （2）445i ieeππ⎛⎫- ⎪⎝⎭÷ （3）424i π⎫⎪⎭练习：将下列复数化为复数的三角形式和指数形式（1）1cos sin66z i ππ=- （2）23z =-- （33iπ练习：已知复数66123,i iz ez ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，用复数的指数形式分别求出：（1）12z z ∙ （2）12z z （3）31z。

棣莫弗定理与欧拉公式

棣莫弗定理与欧拉公式编写人：刁国龙审核人：叶新红学习目标：1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。

2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。

3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。

学习重点：棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幂运算。

复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。

学习难点：复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。

复数在电工学中的应用。

学习过程：一、知识链接：1、若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=∙21z z 因此，复数的积的模等于，积的辐角等于证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：2、若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=21z z 因此，复数的商的模等于，商的辐角等于证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。

3、棣莫弗定理若()θθsin cos i r z +=，则=nz ()+∈N n证明：因此，复数的n 次幂的模等于，辐角等于欧拉公式表示复数：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+= （复数的指数形式） 5、复数指数形式乘除法则：若1212,i i z re z reθθ==，则12z z ∙= ；12z z = 。

证明：6、复数指数形式乘方法则：若,i z re θ=则nz =证明：7、复数的极坐标形式：r θ∠表示模为，辐角为的复数。

即r θ∠= 复数的极坐标形式的运算法则：（1）1122r r θθ∠∙∠= （2）1122r r θθ∠=∠ （其中220r θ∠≠）（3）()nr θ∠=二、例题讲解：例1、利用复数的三角形式计算下列各式：（1）()()00032cos30sin 30cos60sin 602i i ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（233cos sincos sin 4477i i ππππ⎤⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎦（3002cos 40sin 40i +（4）5512cossin 662i ππ⎛⎫⎛⎫+∙- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）32cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（6）(51+ （7）7cos sin 77i ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭小结：例2、将下列复数化为指数形式：（1）cos sin44i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（255cossin 33i ππ⎫+⎪⎭（3）cos sin 55i ππ-- （4）cossin36i ππ- （5）1i -+（6i （7）4i - （8）0例3、将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：（1）32ie π（223iπ- （3）28ieπ例4、计算：（1）625.610iieeππ-∙ （2）445i ieeππ⎛⎫- ⎪⎝⎭÷ （3）424i π⎫⎪⎭例5、将下列复数化为复数的极坐标形式：（1）1cos sin66z i ππ=- （2）23z =-- （33iπ例6、已知复数66123,i iz ez ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，用复数的极坐标形式分别求出：（1）12z z ∙ （2）12z z （3）31z例7、在并联电路中，已知两个正弦交流电流为()()0012120,30i t A i t A ωω=+=+，求总电流i。

棣莫弗公式

棣莫弗公式棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），则:z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].证：先谈一下复数的三角形式的概念。

在为丛藓科扭口藓平面c上，用向量z(a,b）去则表示z=a+bi.于是，该向量可以分为两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量z与实轴的夹角为θ，这两个分后向量的模分别等同于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数z可以则表示为z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称作复数z的辐角.因为z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推展为通常形式：设n个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，zn=rn(cosθn+isinθn），则：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。

如果把棣莫弗定理和欧拉（euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参看《泰勒公式》，严苛的证明须要复分析）放到一起看看，则可以用以认知欧拉公式的意义。

利用棣莫弗定理存有：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数重写成指数的形式，即为：z1=r1e^iθ1,z2=r2e^iθ2，……，zn=rne^iθn,z1z2……zn=r1r2……rne^i（θ1+θ2+……+θn)这和指数的直和性一致.在一般形式中如果令z1=z2=……=zn=z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.棣莫弗，a．（demoivre，abraham)1667年5月26日出生法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学．棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤政，以行医税金勉力保持家人温饱．棣莫弗自幼拒绝接受父亲的教育，稍大后步入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不淡，学生们以求在一种随心所欲、民主自由的环境中自学，这对他的性格产生了关键性影响．随后，他返回农村，步入色拉的一所清教徒学院稳步念书，这里却戒律森严，令人窒息，学校建议学生誓词效忠教会，棣莫弗婉拒顺从，于是受了严苛制裁，被罚诵读各种宗教教义．那时，学校不注重数学教育，但棣莫弗常常偷偷地自学数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的就是c．惠更斯（huygens）关于赌徒的著作，特别就是惠更斯于1657年出版发行的《论赌徒中的机会》（deratiociniisinludoaleae）一书，鼓舞了他的启发．1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的j．奥扎拉姆（ozanam）．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（euclid）的《几何原本》（ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作．1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，出席了愤慨欧洲的宗教暴乱，在这场暴乱中，他与许多人一起被监禁出来．正是在这一年，维护加尔文教徒的南兹敕令被撤消．随后，包含棣莫弗在内的许多存有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记述，棣莫弗一直被监禁至1688年才出狱，并于当年迁居伦敦．但据20世纪60年代辨认出的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经至了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全系列就是在英国作出的．抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到i．牛顿（newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（mathematicalprinciplesofnaturalphilosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何自学牛顿的这部重要著作的：他依靠搞家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子听课，因此时间很很紧，于是就将这部重要著作拆下，当他本学期一家的孩子后回去另一家的路上，赶紧写作几页，没多久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就存有了扩充的学术基础，并已经开始展开学术研究．1692年1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书e．哈雷（halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（onnew-ton’sdoctrineofflux ions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．棣莫弗的天才及成就逐新受了人们广为的高度关注和认同．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（thedoctrineofchances）呈交牛顿，牛顿对棣莫弗十分观赏．据传，后来碰到学生向牛顿求教概率方面的问题时，他就说道：“这样的问题必须去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入细致得多”．1710年，棣莫弗被委派参予英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可知他很受到学术界的认同．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院采纳为会员．棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．。

什么是棣莫弗定理

棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗 (1667-1754年 )创立。指的是设两个复数（用三角函数形式表示） Z1=r1(cosθ1+isinθ1）， Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则： Z1Z2=r1r2[cos（ θ1+θ2） +isin（ θ1+θ2） ]。
请您及时更换请请请您正在使用的模版将于2周后被下线请您moivre, 1667~1754)于 1667年出生于法国香槟，长大后在巴黎从师学习数学。由于宗教信仰的缘故，十八岁那年他被迫离开自己的祖国，去了英国伦敦。在那里，他靠做家庭教师以及为有钱人解决赌博中的概率问题为生，直到去世。他很想在剑桥或其它大学谋一个数学教授之职，却未能如愿。他的数学工作主要在概率论和三角学方面，著有《人生保险》 (1725)、《机会学说》 (1718)和《分析杂记》 (1730)等，并发表了许多重要论文。

证明棣莫弗公式

证明棣莫弗公式好的，以下是为您生成的关于证明棣莫弗公式的文章：咱们今天来聊聊棣莫弗公式，这玩意儿在数学里可有着重要的地位呢！还记得我上高中那会，数学老师在课堂上讲棣莫弗公式的时候，那场面真是紧张又刺激。

当时班里的同学一个个都瞪大了眼睛，生怕错过任何一个细节。

咱们先来说说棣莫弗公式到底是啥。

棣莫弗公式说的是：对于任意一个实数\(θ\)和正整数\(n\)，都有\((\cosθ + i\sinθ)^n = \cos(nθ) +i\sin(nθ)\) ，其中\(i\)是虚数单位。

那怎么来证明它呢？咱们从复数的乘法规则开始。

假设我们有两个复数\(z_1 = r_1(\cosθ_1 + i\sinθ_1)\)和\(z_2 = r_2(\cosθ_2 + i\sinθ_2)\)，它们相乘的结果是：\[\begin{align*}z_1z_2&=r_1r_2[(\cosθ_1\cosθ_2 - \sinθ_1\sinθ_2) + i(\sinθ_1\cosθ_2 + \cosθ_1\sinθ_2)]\\&=r_1r_2[\cos(θ_1 + θ_2) + i\sin(θ_1 + θ_2)]\end{align*}\]这就说明，两个复数相乘，其模长相乘，幅角相加。

那对于\((\cosθ + i\sinθ)^n\)，咱们可以用数学归纳法来证明。

当\(n = 1\)时，\((\cosθ + i\sinθ)^1 = \cosθ + i\sinθ\)，显然成立。

假设当\(n = k\)时，\((\cosθ + i\sinθ)^k = \cos(kθ) + i\sin(kθ)\)成立。

那么当\(n = k + 1\)时：\[\begin{align*}&(\cosθ + i\sinθ)^{k + 1}\\=&(\cosθ + i\sinθ)^k \times (\cosθ + i\sinθ)\\=&(\cos(kθ) + i\sin(kθ))(\cosθ + i\sinθ)\\=&\cos(kθ)\cosθ - \sin(kθ)\sinθ + i(\sin(kθ)\cosθ + \cos(kθ)\sinθ)\\=&\cos((k + 1)θ) + i\sin((k + 1)θ)\end{align*}\]所以，对于任意正整数\(n\)，棣莫弗公式都成立。

棣莫弗公式

棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则: Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].2解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。

在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推广为一般形式：3推广设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。

如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。

利用棣莫弗定理有：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，……，Zn=rne^iθn,Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i（θ1+θ2+……+θn)这和指数的可加性一致.在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.5简介棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham)1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学．棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱．棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响．随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义．那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是C．惠更斯（Huygens）关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》（Deratiociniis in ludo aleae）一书，启发了他的灵感．1684年1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J．奥扎拉姆（Ozanam）．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作．1685年1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，参加了震惊欧洲的宗教骚乱，在这场骚乱中，他与许多人一起被监禁起来．正是在这一年，保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销．随后，包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记载，棣莫弗一直被监禁至1688年才获释，并于当年移居伦敦．但据20世纪60年代发现的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经到了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全是在英国做出的．抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到I．牛顿（Newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（Mathematical principles of natural philosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的：他靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧，于是就将这部巨著拆开，当他教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就有了充实的学术基础，并开始进行学术研究．1692年1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷（Halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（On New-ton’s doctrine of fluxions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（The doctrine of chances）呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏．据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多”．1710年，棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可见他很受学术界的尊重．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院接纳为会员．棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．。