复变函数讲解第一节孤立奇点

公式知: f( n ) ( z 0 ) 0 ,( n 0 ,1 ,2 , m 1 );
并且
f(m m)(!z0)c0 0.
充分性证明略 .
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例4 求以下函数的零点及阶数: (1) f(z)z31, (2) f(z)sizn .
解 (1)由于 f(1)3z2 30, z1 知 z1是 f (z) 的一阶零点 . (2)由于 f(0)cozz s010, 知 z0是 f (z) 的一阶零点.
1 1)(z
1)2
,
所以 : z1是函数的一,级极点
z 1是函数的二级极 . 点
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例3
问
z 0是
ez z2
1
的二阶极点吗?
解
ezz21z12n 0znn!1 解析且(0)0
11z1(z),
z 2! 3! z
所以 z0不是二阶极点, 而是一阶极点.
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
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3) 本性奇点
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f(z)F(z),zz0
故 z l z 0 if( m z ) z l z 0 iF ( m z ) F ( z 0 ) c 0
性质
若z
(2)
0
为 f (z) 的可去奇点，则 lim
无论
zz0
f (z) 在 z 0 是否有定义,
f
(z) 存在
补充定义
f(z0)c0,则函数 f (z) 在 z 0 解析.
c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 ) 那末孤立奇点 z 0 称为函数 f (z) 的 m级极点.
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说明: 定义式可改写为：
其中，
f(z)(z1z0)mg(z)
g ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c m 2 ( z z 0 ) 2
课堂练习 求 f(z)z5(z21)2的零点及阶数 .
答案 z0是五阶零点, zi是二阶零点.
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3 零点与极点的关系
定理
如果 z 0 是 f (z) 的 m 阶极点, 那末z 0 就是
f
1 (z
)
的
m
阶零点.
反过来也成立.
说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为 简便的方法.
不存在且不为 .
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综上所述: 孤立奇点 可去奇点
洛朗级数特点 无负幂项
lim f (z)
zz0
存在且为 有限值
含有限个负幂项 m阶极点 关于(zz0)1的最高幂
为 (zz0)m
本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在 且不为
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二 函数的零点与极点的关系
1 零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z)如果
f(z)Fc(0z,),zzz0z0
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例1 函数 sin z 的孤立奇点 z0的类型 z
解：sizn11z21z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
故 z0是
sin z
z
的可去奇点 .
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
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2) 极点
定义 如果洛朗级数中只有有限多个z z0的 负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
在z z0 内解析且，g(z0)0
性质
如果 z 0 为函数 f (z) 的极点 , 则 limf(z).
zz0
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例2
函数 f(z) 3z2 的奇点类 . 型
(z1)3(z2 1)
z 1是三阶极点, zi是一阶极点.
课堂练习
求
z3
1 z2 z1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
级数.
答案
由于 z3z21z1(z
z
z1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 奇点并不一定都是孤立的。
例如:
z
0 不是
1 sin 1
的孤立奇点.
z
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2 孤立奇点的分类
依据 f (z)在其孤立奇点 z 0 的去心邻域 0zz0内的洛朗级数的情况分为三类: 可去奇点 洛朗级数中不含 z z0的负幂项 极 点 洛朗级数中含有限个 z z0 的负幂项 本性奇点 洛朗级数中含无穷多个 z z0 的负幂项
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1)可去奇点
定义 如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项, 那末孤立奇点 z 0 称为 f (z) 的可去奇点. 说明: (1) 若z0是f (z)的孤立奇,点
f ( z ) c 0 c 1 ( z z 0 ) c n ( z z 0 ) n . (0zz0)
其和函数F(z)为在 z 0 解析的函数.
如果 f (z) 在 z 0 解析, 那末 z 0 为 f (z)的 m阶 零点的充要条件是
f ( n ) ( z 0 ) 0 ,( n 0 , 1 ,2 , m 1 ) ;f(m)(z0)0. 证 (必要性) 如果 z 0 为 f (z)的 m阶零点
由定义: f(z)(zz0)m (z)
设 (z)在z0的泰勒展开式为:
( z ) c 0 c 1 ( z z 0 ) c 2 ( z z 0 ) 2 ,
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其中 c0(z0)0,
从而 f(z)在z0的泰勒展开式为 f ( z ) c 0 ( z z 0 ) m c 1 ( z z 0 ) m 1 c2(zz0)m 2 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
能表示成 f(z)(zz0)m (z)其, 中 (z) 在 z 0
解析且 (z0)0,m为某一正整数, 那末 z 0 称为
f (z) 的 m 阶零点. 例6 z0是函f数 (z)z(z1)3的一阶零点，
z1是函f(数 z)z(z1)3的三阶 . 零点
注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.
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2 零点的判定
复变函数讲解 第一节孤立奇点
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一、孤立奇点的概念和分类 二、函数的零点与极点的关系 三、小结与思考
一、孤立奇点
1 定义 如果函数 f (z)在 z 0 不解析, 但 f (z)在 z 0
的某一去心邻域0zz0内处处解析, 则称
z 0 为 f (z)的孤立奇点.
例如
z0是函数
e
1 z
,
sin
z
的孤立奇点.
定义 如果洛朗级数中含有无穷多个 z z0的负幂项,
那末孤立奇点 z 0 称为 f (z) 的本性奇点.
例如， e1 z1z 11z21zn ,
2 !
n !
含有无穷多个z的负幂项 (0z)
1
所以z 0为本性奇同点时，lim e z 不存在. z 0
性质： 若 z 0 为函数 f (z)的本性奇点 , 则 lim f (z) zz0