13-14 线代期末考试卷 A(1)
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《线性代数》试卷 共8页 第1页 《线
性代数》试卷 共8页 第2页
安徽师范大学2013－2014学年第一学期
化材学院专业基础课2013级《线性代数》课程期
末考试试卷
(A 卷 闭卷 120分钟)
1. 设A , B , C 都是n 阶方阵，且ABC =E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )
(A) BCA =E (B) CBA =E (C) BAC =E (D) ACB =E 2. 在下列五个矩阵中，
①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011 ②⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1110 ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 ④⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0001 ⑤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110 属
于
初
等
矩
阵
的
是
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )
(A) ①③④⑤ (B) ①②③⑤ (C) ①②
③ (D) ①③⑤
3. 设A 是m ⨯n 矩阵，m 于线性方程组Ax =b ，下列结论中正确的是 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅( ) (A) A 的列向量组线性无关 (B) 增广矩阵的行向量组线性无关 (C) 增广矩阵的列向量组的线性无关 (D) 方程组有唯一解 4. 设向量组(I)α1, α2,…, αs 可以由向量组(II)β1, β2,…, βt 线性表示，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( ) (A) s ≤t (B) t ≤s (C) 秩(I) ≤ 秩(II) (D) 秩 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 《线性代数》试卷 共8页 第3页 《线 性代数》试卷 共8页 第4页 (II) ≤ 秩(I) 5. 设A ,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( ) (A) A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B) A 与B 相似于同一个对角阵 (C) 如果λ是A 的特征值，则A -λE = B -λE (D) 对任意常数t ， A - t E 与B -t E 相似 1. 设矩阵A =⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛1000103 01，f (x )=x +2，则 f (A -1) = . 2. 设A 是3⨯4矩阵，B 是4⨯2矩阵， B 的每一列都是齐次线性方程组Ax =0的解，若R (A )=1，则R (B )最大值是 . 3. 设 α1, α2, α3是 n 维列向量，记矩阵A =(α1,α2,α3)，已知R (A )=2， α1=α2+α3， 则齐次线性方程组Ax =0的通解为 . 4. 设A 是3阶方阵，且032=+=+=+E A E A E A ，则 =A . 5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242 111A 和⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=a 00020002B 相似，则a = . 二、填空题（每小题4分，共20分） 三、计算题（每小题7分，共35分） 《线性代数》试卷 共8页 第5页 《线 性代数》试卷 共8页 第6页 1. 设齐次线性方程组(I): ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00313111114321x x x x ；(II): ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00125135114321x x x x k 已知方程组(I)和(II)有公共的非零解. 求参数k 的值. 2. 设4维列向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12212α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02113α,⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=41314α. 求该向量组的秩，并写出一个最大无关组. 3. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=143β能否由向量组⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛=3211α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4322 α, ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=8523α 《线性代数》试卷 共8页 第7 《线 性代数》试卷 共8页 第8页 线性表示？ 如果不能，说明理由；如果能，求出线性表示的表达式. 4. 设矩阵A =⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--110011001，求 (A -2E )-1(A +2E ) 5. 用施密特正交化方法，将向量组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1322α,⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=0483α规范正交化 《线性代数》试卷 共8页 第9页 《线 性代数》试卷 共8页 第10页 1. 已知A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵，m >n ，令矩阵C =AB ， 证明： C 的列向量组和行向量组都是线性相关的. 2. 设A 是正交矩阵，λ1=1, λ2= -1是A 的两个特征值，ξ1, ξ2是相应的特征向量. 证明：ξ1, ξ2正交. 四、证明题（每小题6分，共12分） 五、解答题（13分）