从一题多解到多题一解ppt课件
从“一题多解”到“多题一解”
解法 ４ 因为直线 ｚ 过定点 （ ３０ 直线 ｆ过定 。 一 ，）， ２
点 Ｎ Ｏ ） 所以Ｉ ＮＩ２ ， （， ， Ｍ ＝
又因为 ｏＤ 的半 径 ｒ ＝ ２ ， 以如图 所 ａ ｆ ３ ￣因为 ｔ ＝ ＝ ＋０。 ｌ ａ ｎ
又因为ｏＤ的半径 ｒ ２ ￣， ＝ ４ 直线 Ｚ到直线 Ｚ 的角为 。 ： ３ 。所以 ０，
—
—
—
—
一
ｎ 一，
ｎ
－
）＋ ３ ２
一
ｒ， ／ ／
Ｌ
ｎ一，
ｌ＝ ， １ １ ２
Ｊ
３ ｔｎ３ ＝ ｌ ｎ ａ ｏ ＋ｍ
点评
＝ 澈 栅＋ —＝ ３－ ｍ ｎ 一１
点评
本题是两直线与 圆共 三个元 素的交点 ， 如何
选择两者先求交点 ， 再代入第 三者 当中 ， 要有所取舍 ， 否 则运算 极大 ， 甚至无 功而返． 法在解 法一 的基础 上做 此
了适 当调整 ， 减化了运算量．
３ ＋ｌ ｍ
＾ 一
解法 １ （ 标准答案提 供方法 ） 将直线 ｚ 与 ｆ 的方 ， ２
绍．
（ｍ＋ ） ３ ２ ｎ ，） （ ｍ ＋ ｍ— ） ［ （ — 一 ３ １ ＝ ［ （ 一ｎ ＋ ３ ｎ ２ ｎ ］ ２ ｎ ｍ）
、
（ｍ ＋ ｍ ｎ ］ ３ ｎ ２ — ） 化 简 ， ３ １ ＝ ｎ３ ＋ ） ３ 一 ｍ 一 ｍ） 得（ｍ＋ ） ３ （ ｍ １ （ｎ ３ ｎ ４
３ ８
中。 ７ （ｌ 第 期・ 中 ） ？ 般Ｉ ２１ ５ 高 版 ｏ年
． 解题研究 ．
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践随着中国教育制度的不断改革，无论是教育目的还是方式方法，都是为了让学生拥有更加合理更加有效的学习环境而做出改变。
其中高中数学的教育目标，也不再单是让学生学会如何运用数学公式进行计算，除了针对学生对数学的学习兴趣以外，在实际解题方面，要求培养学生拥有更多更灵活的解题思路和方式，以改变统一性的教学模式。
就高中数学解题中“一题多解”与“多题一解”的解题方式加以分析研究。
高中数学解题方式思维模式学生在进入高中后，改变的不仅仅是学习的内容，学生自身的心智和思维模式也有较大的改变。
学生在思想成长的阶段，会出现种种的问题，这些问题会直接影响学生的学习情况，特别是数学。
因为高中阶段数学的难度将进一步加大，内容增多，因此学生解题的方式应更加的多样化。
因此，高中数学教学，首先要从学生解题过程中的思维模式入手，同时改变课堂教学的方式和内容，以此提高学生的学习成果。
一、“一题多解”在数学教学中的价值与实践（一）价值与实践在未来的社会发展中需求的人才将是多元化、多样化的，统一性思维的教育模式已经不再适用于现代社会。
因此，在高中数学教学中，“一题多解”的教学理念，是以学生学习为主，改变以老师为主导地位的教学模式。
因为每一个学生的受教育情况、性格、思维模式都不相同，因此一个固定性的解题方式不能最有效的适用于每一个学生，所以在数学教学的解题过程中，老师应引导学生多角度的去分析问题，让学生去探究、发现多样化的解题方式。
“一题多解”的根本在于问题本身，老师在创设和选择问题时，首先应考虑到问题自身是否具备多样化的解答模式。
同时，在培养学生多样化解题思维时，应注意调动学生解题的积极性，被动、消极的解题态度很难让学生产生多样化的解题思维。
所以针对这方面数学问题的内容应结合学生平时感兴趣的东西，让学生自觉的参与到多样化的解题中。
如有的学生喜欢足球，老师就把其融入习题中，让学生用原本感到枯燥的公式，运算他喜欢的与足球相关的问题。
一题多解与多题一解案例
一题多解与多题一解案例一、一题多解案例： 例：已知141=+ba 且a >0,b >0.求b a +最小值. 解法1:(1代换).由a >0,b >0,141=+ba 得: 942545441)41)((1)(=⋅+≥++=+++=++=⋅+=+b a a b b a a b b a a b b a b a b a b a 当且仅当ba ab 4= ,即b =2a ,即a =3,b =6时,(b a +)min =9.解法2:(凑常数法).由141=+b a 且a>0,b>0得)4)(1(--b a =4, 又∵140,110<<<<ba ,∴a >1,b >4. ∴1-a >0,4-b >0. ∴4)4)(1()4()1(=--≥-+-b a b a ∴9≥+b a .当且仅当41-=-b a ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法3:(增量法)∵141=+b a 且0,0>>b a .∴410,110<<<<ba . ∴4,1>>b a .令)0,0(4,1>>+=+=y x y b x a 代入141=+ba 得,4=xy , ∴,9255)4()1(=+≥++=+++=+xy y x y xb a 当且仅当2==y x 时,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法4:(消元法)由已知得,14-=a ab 且1>a , ∴514114+-+-=-+=+a a a a a b a ∵014,01>->-a a , ∴9514)1(25141=+-⋅-≥+-+-=+a a a a b a .当且仅当141-=-a a ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法5:(配方法)由)0,0(141>>=+b a ba 得,4)4)(1(=--b a ,1(>a )4>b .则5)4)(1(2)41(5)4()1(2+--+---=+-+-=+b a b a b a b a 9)41(2+---=b a .当且仅当41-=-b a 时,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法6:(三角代换)∵141=+b a 且140,110<<<<b a .令α2cos 1=a, ααπαα222sin 4,cos 1),20(sin 4==<<=b a b . ∴=+=+αα22sin 4cos 1b a α2sec α2csc 4+)1(4122ααctg tg +++= =5+tg αα224ctg ++≥52αα224ctg tg ⋅=9 当且仅当,2ααctg tg =即2=αtg ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法7:(判别式法)设s b a =+,则a s b -=.将a s b -=代入141a b +=整理得,0)3(2=+-+s a s a . ∵110<<a∴1>a ∴方程0)3()(2=+-+=s a s a a f 应在),1(+∞上有实解.则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥--=∆1230)1(04)3(2s f s s 或0)1(≤f 解得,9≤s . 当.6,3,9===b a s 时 当6,3==b a 时,9)(min =+b a .二、多题一解案例（都是空间平面化方法）1.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===若对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ D ）A.1B.2C.13+D.72. 如图，已知三棱锥BCD A -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于１， 30=∠BAC ，N M ,分别在棱ＡＣ和ＡＤ上，则NB MN BM ++的最小值是（ B ）A. 3B. 2C.1D.23. 圆柱的轴截面是边长为5cm 的正方形ABCD ，从点A 到点C 在圆柱侧面上的最短距离为（ B ）（A ）10cm （B ）4252+πcm （C ）52cm （D ）512+πcm ABC D N M4. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发， 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的 最短路线的长为 cm. 135.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC AC ===，13AA =，,D E 分别是棱1BB ，1CC 上的动点，则1AD DE EA ++的最小值是（ D ）A ．13B ．5C ．7D ．35。
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究：高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究：教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志（学生版）, 2020(24):2.
八．指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
九．系意见
系主任签字：
年 月 日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
波的多解问题(教学图文课件分享)
外汇维权；
；外汇经验心得-外汇投资心得 https:///xinde/
外汇经验心得；
；每日最新外汇新闻-今日实时全球外汇新闻 https:///yaowen/
外汇新闻网；
；外汇今天行情-黄金原油行情走势分析 https:///hangqing/ 外汇今天行情；
原题：如图，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点， 相距为14.0m，b点在a点的右方，波长λ＞１４ｍ。当 一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到 正极大时，b点的位移为零，且向下运动，经过1.00s后， a点的位移第一次为零，且向下运动，而b点的位移达到 负极大，则这列简谐波的波速等于多少？
a
b
变化二：若把原题中“a点的位移第一次为零”改为“a
点的位移为零”。问这列简谐波的波速可能等于：
A：4.67m/s B：6m/s C：10m/s D：14m/s 解答：由题意知，3 λ/4=14m，考虑时间上的周期性， 即：（n+1/4）T=1s ，故波速：V=λ/T=14（4n+1）/3
当n=0时，V= 4.67m/s A答案正确
https:///zigzag/ ZIGZAG指标；
；外汇ADX指标-ADX平均趋向指数下载 https:///adx/
ADX指标；
；外汇BOLL指标-布林线BOLL指标下载 https:///boll/
；外汇技术分析 /jishufenxi/ 外汇技术分析方法；
；外汇技术指标 /jishufenxi/jishuzhibiao/ 外汇常用技术指标；
；外汇图表形态 /jishufenxi/tbxingtai/ 外汇图表分析；
a
b
变化一：若把原题中“波长λ＞１４ｍ”的条件取消，
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践作者：钱万毅来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2017年第02期摘要：经新课标的多次改革，高中数学教学由从前的教师为主导，逐渐演变为教师的作用为指导、引导，而学生为主体的自主多样性课堂，这样的课堂可以帮助学生更加主动地学习，锻炼学生思考、组织、分析、归纳等的能力。
其中“一题多解”和“多题一解”在高中数学教学中有良好的价值，值得实践与推广。
关键词：高中数学；解题方式；思维模式中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2017）02-057-01学生在进入高中学习后，不仅仅面临着学习内容的改变，学习的难度上了一个更高的台阶，还面临着思想的成熟和思维方式的养成。
在这一阶段，学生要学会用发散思维和提纲挈领的方法处理问题，而数学的学习，对培养学生这些能力都非常有益，其中“一题多解”与“多题一解”正是培养这些能力的关键教学实践方法。
在此阶段，注重数学教学的方式方法，传递给学生正确的思考方式，锻炼学生正确的思考能力，对于学生今后学习能力以及生活能力的提高都尤为重要。
一、“一题多解”在数学教学中的价值研究与实践（一）价值在传统的数学教学模式中，通常是老师在讲台上教授数学公式、概念等内容，学生在下面记笔记。
学生和老师都认为掌握了大量的定理、定义，以及数学公式，就能做好题，做对题，就能够在考试中取得好成绩。
在此背景和环境下，培养学生的发散性思维是很必要的。
老师不应该对数学题目只做生硬的讲解，只讲一种“标准答案”，这样只会禁锢学生的思维。
长久下去，学生只会变成“书呆子”。
教师应该多注重教学的有效性，应在课堂上观察学生的状态，倾听学生的需求，倾听学生的提问与回答，倾听学生的讨论。
这样才能使课堂互动起来。
数学的学习，本来就应该是丰富多彩的。
这样一个锻炼逻辑思维的学科，教师在教授的过程中应当充分发挥学科特点，让学生学习了数学，真正能有所用。
例谈“一题多解”与“多题一解”之争
： ， ＝ 一 ， ＝ 一 ，０ ＝ １ ２ 贝有 ： ＋ ＝ ， ＋ ６
Ｃ× ； ３ Ａ Ａ 一８ ； ‘
方法三 对 同 色 球 不 加 区 别 ， 认 为 ３ 只 红 球 都 是 相 即 同的 ， ５只 白球 也 都 是 一 样 的 ， 所 有 的 球 一 一 摸 出 排 成 一 把 排， 每种 排 法 作 为 一 个 基 本 事 件 ， 基 本 事 件 总 数 为 ｎ＝ 则
把 所 有 的 球 都 一 一 摸 出 依 次 排 成 一 排 ， 一 种 排 法 作 为 一 每
个 基本事件 ， 么基本事 件 的总数 为 ｎ＝ ：其 中第 ４个球 那 Ａ，
Ｃ ＸＡ：
内 的球 数 ， 根 据 题 意 得 ： 则
是红球的排法数为 ｍ ｃ × ； ＝ Ａ， 所以Ｐ —＿ ÷． ＝ ｎ ＝ －
＾
以上四道题 目， 内容各有不 同 ， 在 解答 时都采 用 了 虽 但 同 一种 放 法 —— 插 空 法 ．
；×Ａ５
＾７
詈÷ ・
方 法 四 只 考 虑 第 ４次 摸 出 的 球 的 每 一 种 可 能 作 为 基 本 事 件 ， 么 基 本 事 件 总数 为 ｎ： 那 ３十５＝８ 而 摸 出 红 球 的基 ，
●
解 题 技 巧 与 方 法
谁
。
鲁
。
．Ｉ ＿ ．， ．
・
一
题 臆
◎ 马俊 杰 （ 武威 二 中 ７３０ ） ３０ ０
２８ ８ ０种 排 法 ．
一
插法 ， 右端 插入 ， 有 Ａ 从 也 种 插 法 ， 以 共 有 ２×Ａ 所 ×Ａ ＝
【 要 】 高 中数 学 教 学 中 贯 彻 “ 题 多 解 ” “ 题 一 摘 在 一 与 多
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１０８数学学习与研究㊀２０１９ ２４一题多解多题一解在高中数学教学中的价值一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的价值Һ韩云凤㊀(云南省昌宁县第一中学ꎬ云南㊀保山㊀６７８１００)㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解 与 多题一解 是锻炼学生思维能力的重要途径.高中数学具有一定的抽象性ꎬ对学生的思维能力提出了更高的要求.所以ꎬ高中数学教师应当巧用以上两种方式ꎬ帮助学生灵活运用数学概念㊁数学公式以及数学性质ꎬ不断锤炼学生的思维能力和提升学生的思维水平ꎬ为了达到重建学生思维体系的目的ꎬ从而提高学生的数学学习效率.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ解题能力ꎻ价值意义数学教学的本质是不断锻炼学生的思维ꎬ不断帮助学生解决问题. 一题多解 与 多题一解 这两种解决问题的方法对提高学生的思维品质有重要影响.因此ꎬ在日常数学教学中ꎬ高中数学教师能结合实际教学内容ꎬ有针对性㊁计划性地利用这两种方式锤炼学生的思维水平ꎬ扩大学生解题视野和解决思路ꎬ不断提高学生解决问题的能力.一㊁ 一题多解 的含义概述一题多解的含义是指:在原有问题的基础上ꎬ引导学生从不同的角度和层次思考原题ꎬ拓展学生的问题解决视野.实现思维扩散式发展ꎬ以帮助学生寻找到多种解题途径.允许学生使用不同的方法和方法来分析数学问题ꎬ可以帮助学生加深对数学知识ꎬ定理和自然的理解ꎬ并灵活地应用它们.在一定程度上ꎬ它还提高了学生的思维能力和创新能力.在高中数学课堂上ꎬ应用 一问与多解 的求解方法要求学生从原问题的实际情况出发.对题意进行深入分析ꎬ尝试从多个角度入手解决问题ꎬ通过对比ꎬ最终筛选出最佳解题方案.学生解决 一问与多解 问题的习惯和能力ꎬ可以有效激活学生的思维能力.学生的思维活起来ꎬ也就避免了 钻牛角尖 思维定式 等问题的出现.例如ꎬ在教授 不平等 相关知识点时ꎬ可以使用 一问与多解 教学模式.首先ꎬ要求学生用比较法㊁分析法来解析ꎻ接着ꎬ要求学生从不同角度再次解决问题.此外ꎬ为了提升学生对数学知识的掌握熟练度ꎬ还可以指导学生利用换元法㊁向量法等方式来进行解题.如果问题得到解决ꎬ学生将接受 一个问题和多个解决方案 的培训ꎬ学生将从解决方法演变为各种解决问题的方法.学生也实现了对此类问题的融会贯通ꎬ学生的思维能力㊁解题能力也得到了有效地提升.又如ꎬ在解析 概率 相关例题时ꎬ可以有意识地引导学生从不同角度进行排列计算ꎬ从而让学生掌握多样化求概率的方法.不难看出ꎬ 一个问题和多个解决方案 问题的解决方案并不仅仅意味着数量从 一个 变为 多个 .其本质意义在于锻炼学生的思维能力ꎬ培养学生的创新思维ꎬ帮助学生实现思想的质变.二㊁ 多题一解 的含义概述多题一解 的含义是指:利用一种解题思路去解析不同的题目ꎬ虽然利用到的数学性质㊁数学公式可能不同ꎬ但是ꎬ解题过程和解题思维是相同的. 多题一解 要求学生能够拥有较为完整的知识体系ꎬ能够在日常解题过程中ꎬ不断归纳和总结相应的解题方式ꎬ从而提高学生自己的解题水平.在高中数学问题解决中运用 多问题ꎬ一解 教学模式ꎬ引导学生运用一种方法探索数学的内在规律和本质标志.通过掌握问题解决方法之间的联系ꎬ可以发现数学问题的共同特征ꎬ并总结和总结解决相同类型问题的常用方法.从而提高学生的解题效率.多题一解 教学模式能够使学生的思维更加缜密ꎬ强化了学生对相关概念㊁性质㊁定理的理解以及运用ꎬ这也在一定程度上打破了 题海战术 的弊端ꎬ起到了 做题精炼 的效果.例如ꎬ在教授 寻找功能价值 等数学时ꎬ可以引导学生通过 数字组合 来解决问题.以函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２的值为例ꎬ首先提醒学生绘制函数图像ꎬ让学生使用图像识别函数的形式.然后让学生把它变成找到斜率的问题(假设移动点Ｐ(ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ)和固定点Ａ(２ꎬ０)ꎬ迅速计算出ＰＡ的斜率值ꎬ即[－ꎬ０])ꎻ又如ꎬ在教学三角函数求值相关问题时ꎬ也可以采用数形结合的方法进行解析.总之ꎬ数学教师应该经常向学生提出一些类似的问题ꎬ引导学生掌握 多问题ꎬ一个解决 的常见问题解决思路.这样学生可以继续反思和总结ꎬ学会推理ꎬ触摸类比ꎬ然后提高学生解决数学问题的能力.三ꎬ 多题一解 和 一题多解 的数学价值(一)帮助学生构建系统的知识体系无论是 一问多解 ꎬ还是 多问题一解 ꎬ其教学价值在于培养学生的思维能力ꎬ提高学生的思维品质.两者解题方式的顺利实施ꎬ离不开学生的主动思考.学生在利用两种方式解题的时候ꎬ也是学生温习旧知的重要途径ꎬ通过对旧概念㊁旧定义和旧公式的复习ꎬ学生可以更清楚地了解知识的相关性ꎬ并帮助学生建立系统的知识体系.自然也就提高了学生的学习效率.(二)帮助学生提高解题能力利用 一题多解 和 多题一解 两种方法解决问题ꎬ可以有效地消除 题海战术 引起的枯燥无聊的感觉.真正实现了量变向质变的有效过渡.学生解决问题的思维更加灵活多变ꎬ有效地避免了学生 深陷 的困境ꎻ学生解决问题的思路更加广泛ꎬ各种问题都清晰可见ꎬ有效地提高了学生解决问题的效率.(三)提升学生的创新思维通过这两种解题方式不断锤炼学生的思维品质ꎬ带领学生积极思考㊁温故知新ꎬ最大化地激发了学生的思维潜能.学生不仅能在有限时间内找到快速解题的方式ꎬ也在一定程度最大化激发了学生的潜能ꎬ提升了学生的创新能力ꎬ发展了学生的创新思维能力.以上只是作者的粗略见解ꎬ旨在抛出砖块吸引玉石ꎬ希望广大数学教育家批评和纠正.ʌ参考文献ɔ[１]朱如昌.例析一题多解㊀一题多变㊀多题一解[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２００５(１):４７－４９.[２]申祝平.一题多解㊁多题一解㊁一解多写与多解一写[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ１９９５(５):１３－１５.。
三年级《一题多解》奥数课件
例题三
米德和阿派两人共写324个字，4分钟完成，已知米 德每分钟写45个，阿派每分钟写多少个字？
两人一分钟一共可写几个？
米德4分钟一共写几个？
最简便 两人： 324÷4=81（个）
米德： 45×4=180（个） 卡尔4分钟一共写几个？
81-45=36（个） 答：阿派每分钟写36个字。
324-180=144（个） 144÷4-36（个）
练习三
欧拉和卡尔两人共看书看了270页，3天看完，卡尔
每天看35页，欧拉每天看多少页？
两人一天一共可看几页？
卡尔3天一共看几页？
最简便 两人： 270÷3=90（页）
卡尔： 35×3=105（页） 欧拉3天一共看几页？
90-35=55（页）
答：欧拉每天看55页。
270-105=165（页） 165÷3-55（页）
棒！”
生：“算不算怀孕肚子里的小鸟？”
师：“都是公的。”
生仍追问：“有没有傻到不怕死的？ ”
师：“都怕死。”
生满怀信心的说：“打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩1只；
如果掉下来，就1只不剩！”
终于等到学生的答案了，老师强忍着几乎倒地的晕眩感，颤抖地说：
“你不用读小学了，直接去考公务员吧！＂
例题一
练习四
图书馆新进了一些漫画书。第一批进了9本，第二批 进了16本，已知第二批比第一批多49元，这些漫画书一 共要多少钱？
思考
联1系.先例求题出四每，本的思钱考，有再几乘种两方批法共运？进的本数。（合并）
2.先求出每本的钱 ，再算第一批和第二批分别是多少钱？ （分开）
1. 16-9=7(本)
2. 16-9=7（本）
离4？60-330=130（米） 370-130=240（米）
拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解
拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解初三数学总复习是大家所关注的重要问题,确立复习的指导思想,选择正确的复习方法,使学生在毕业前把基础知识系统化,对所学教学内容有一个较全面的认识,并且得到综合和提高,以便为升学考试打好基础.在复习时间紧、内容多、任务重的情况下,选择典型题目进行精讲精练,探索研究揭示规律,训练解题技巧,以拓展学生思维,达到举一反三之功效,使知识融会贯通.因此,在复习解题中,应做到三个“一”,即一题多变,多题一解,一题多解.下面就举例说明.一、一题多变对培养学生分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力都是十分有效的如:农机厂职工距工厂15千米的农村检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两种车的速度.分析:设自行车的速度是x千米/时,则汽车的速度是3x千米/时,速度、时间、路程三者间的关系如下表:■因为汽车晚开出40分钟(即■小时),与自行车同时到达,说明行驶15千米,汽车比自行车少用■小时,即有如下等量关系:汽车所用时间=自行车所用时间-■小时于是得■=■-■,此题可变换成如下题目:变换1:若把条件中“他们同时到达”分别变换成如下条件:(1)汽车比自行车早到10分钟;(2)汽车到达时,自行车距目的地2千米.则可根据时间关系列出方程:设自行车速度是x千米/时,有:(1)■=■-■-■;(2)■=■-■.变换2:若把条件“汽车速度是自行车的3倍”,分别作如下变换:(1)已知汽车的速度是自行车的3倍多0.5千米;(2)汽车与自行车相同路程所用时间比为1∶3,则可列出方程:设自行车速度为x千米/时,有:(1)■=■-■;(2)■=■-■.变换3:农机厂职工骑自行车到距工厂15千米的农村检修农机.(1)行车5千米后,因有人车坏,因而以比原速度少1千米/时的速度骑行,结果比原计划晚15分钟到达;(2)行车5千米后,以后以速度的1.2倍骑行,因而比原计划早20分钟到达;(3)在回来的路中,用原速度行了半小时后,因事停留半小时,以后每小时多骑2千米,结果往来时间一样.分别求骑自行车原来的速度.设自行车原来的速度为x千米/时,则可列出相应的方程:(1)■=■+■;(2)■=■-■;(3)■=■-■.以上一组题都是同向而行,也可变换成异向而行,此时,只要掌握异向、相向而行与同向而行的区别,仍可按时间关系列出方程.又如:已知:如图1,点c为线段ab上一点,△acm,△cbn是等边三角形.求证:an=bm.■分析:为证结论,首先可按题中条件画出图形,让学生从直观上比较an与bm的大小关系,然后给予证明.证明:由∠acm=∠bcn得∠acn=∠bcm,又ac=mc,bc=nc,故△can≌△mcb,从而an=bm.此题可作如下变换:变换1:设an、bm交于d点,试求∠adb的度数.分析:根据三角形外角的性质和全等三角形的对应角相等,可得∠adb=120°.变换2:若an交cm于e,bm交cn于f,求证ce=cf.分析:△cen≌△cfb不难得出ce=cf.变换3:若连结ef,试证fe∥ab.分析:由ce与cf的关系和∠ecf为60°,可知△ecf是等边三角形,进而可得ef∥ab.变换4:若an的中点为p,bm的中点为q,试证:cp=cq.分析:因为cp是△can的一边an上的中线,而cq是△mcb的一边bm上的中线,又△acn≌△mcb,全等三角形对应边上的中线相等,故cp=cq.变换5:如图2,点c为线段ab上一点,且ac∶cb=2∶1,△acm、△cbn是等边三角形,连结mn,试证mn⊥cn.■分析:利用已知条件,ac∶cb=2∶1,再取ac中点h,连结mh,显然mh为等边△acm的中线,故可知mh⊥ac,由全等三角形判定定理(sas)可得△mcn≌△mch,故mn⊥cn.变换6:如图3,若ac=3,cb=1,试计算△cef的面积.■分析:仍从条件ac∶cb=3∶1入手,不难发现ec∥nb,故有ce∶bn=ac∶ab,即ce∶1=3∶4,解得ce=■,因为△cef为等边三角形,用勾股定理,可迅速求得s△cef=■.对这道几何题,从各个方面进行变换,对提高学生的思维能力大有裨益.下面一组题是利用图形位置的变化进行变换的,变换后的题与原题证法完全相似.例.如图4,在正方形abcd中,ae⊥bf,求证:ae=bf.■本题利用全等三角形的知识不难给出证明,若将bf平移,则有: 变换1:如图5,在正方形abcd中,ae⊥mn,求证:ae=mn.■若再将ae作类似的平移,即有:变换2:如图6,在正方形abcd中,若mn⊥gh,求证:mn=gh.■这两个变题,只需利用平行的有关知识,作出如各自图中所示的辅助线,即可仿照原题给出证明.本题还可给出下列变式:变换3:点h在正方形的一边上,将纸片折叠,使点h正好与所在边的对边上一点g重合,若折痕长10cm,试求hg的长度.在几何教学中,使用从一些基本题出发变换的相关题组,可帮助学生在解题过程中掌握知识间的联系,培养良好的思维习惯,提高解题效率.二、多题一解能训练学生的集中思维,揭示各方面知识的内在联系和规律,从而加深对各方面知识的理解和应用,使知识融会贯通如:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3,求证6b2=25ac.本题有多种证法,这里从略.若将两根之比推广到一般,即有命题:如果一元二次方程的两根之比为m∶n,求证mnb2=(m+n)2ac.证明:设已知方程的两根分别为mk、nk,则mk+nk=-■,mk·nk=■(m+n)k=-■,①mnk2=■②若m+n=0,则b=0,等式仍然成立;若m+n≠0,则由①得:k=-■,③将③代入②中,消去k,得:mn-■2=■.所以mnb2=(m+n)2ac,综上可知,命题成立.特别地,若m=n,这个等式就是b2=4ac,与方程有等根的条件一致. 利用此结论,解某些与一元二次方程两根之比有关的问题非常简单。
关于一题多解
关于“一题多解”
一题多解是从不同的角度,不同的方位审视分析同一题中的数量关系,用不同解法求得相同结果的思维过程。
教师再引导学生解答习题时应善于借题发挥、扩展思路，进行一题多解，多题一解的训练，通过引导学生不同角度思考问题，提高知识迁移能力，寻找解决问题的多种途径及多种可能，这样能促进学生思维的灵活性。
同时多解中的新思路、新方法，又有利于创新思维的形成，而在多种解法中选择更简、更优的解法，有利于优化思维品质。
多做一些一题多解的练习题，对巩固知识，增强解题能力，提高学习成绩大有益处。
一题多解是传统教学经常练习的形式之一，创新不代表就要全盘否定过去，过去教学中好的做法仍需要传承。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践一、概述高中数学作为培养学生逻辑思维、抽象思维和解决问题能力的重要学科，其教学方法的创新与实践一直是教育领域关注的重点。
“一题多解”与“多题一解”这两种教学方法，以其独特的优势，在高中数学教学中发挥着重要作用。
“一题多解”是指针对同一数学问题，从不同角度、不同知识点出发，寻找多种解题思路和方法。
这种方法能够帮助学生拓宽思维视野，培养思维的灵活性和创新性。
在“一题多解”的教学过程中，教师可以引导学生对同一问题进行深入探讨，通过比较不同解法的优劣，帮助学生掌握数学问题的本质和规律。
“多题一解”则是指通过归纳总结不同数学问题的共性和规律，找到一种通用的解题方法和思路。
这种方法能够帮助学生建立数学知识的体系化结构，提高解题效率。
在“多题一解”的教学过程中，教师可以引导学生发现不同问题之间的联系和相似之处，通过总结规律，让学生掌握一种更加高效的解题方法。
在高中数学教学中，将“一题多解”与“多题一解”相结合，可以充分发挥这两种教学方法的优势，提高教学效果。
通过“一题多解”培养学生的创新思维和灵活思维，通过“多题一解”提高学生的解题效率和知识体系化能力。
同时，这两种方法也能够激发学生的学习兴趣和积极性，促进学生的全面发展。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中具有重要的价值。
通过深入研究和实践这两种教学方法，可以推动高中数学教学的创新与发展，提高教育质量，培养更多具有创新精神和实践能力的人才。
1. 高中数学教学的挑战与机遇高中数学教学面临着诸多挑战与机遇。
一方面，随着课程改革的深入推进，高中数学的教学内容和教学方法都发生了显著的变化，对教师的教学能力和专业素养提出了更高的要求。
另一方面，随着信息技术的快速发展，高中数学教学的手段和方式也日趋多样化，为教学创新提供了广阔的空间。
在挑战方面，高中数学的知识点繁多且抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
一题多解 多题一解 一题多变(顶角是20度的等腰三角形问题)原创
顶角是20度的等腰三角形有关问题的解法比较在解顶角是20度的等腰三角形有关问题时不难发现，它们有共同之处，就是构造适当的等边三角形进行转化。
举例如下：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60゜，∠BCE=50゜.求∠AED的度数解法（一）解：如图2，作∠CBM=20°,点M在AC上，在AB上取点N，使BN=BM，在AM上取点P，使PM=MN，∵∠A=20゜, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,∴∠NBM=60°∴△BMN为等边三角形，∵∠CBM=20°∴∠BMC=∠BCM=80°∴BC=BM=BN=MN=PM∴∠BNM=60°, ∠NMP=180°-∠BMN-∠BMC=40°∠MNP=∠MPN=70°∴∠ANP=180°-∠MNP-∠BNM=50°连接CN，在△BMN中，∵BC=BN，∠NBC=80°∴∠BCN=50°，∴点N就是图1中的点E，连接PB，在△PBM中，∵BM=PM，∠PMB=100°∴∠PBM=40°，∵∠CBM=20°∴∠CBP=60°，∴点P就是图1中的点D，∴∠AED=50°解法二解：如图3，作∠CBM=20°,交AC于点M，连接EM，∵∠A=20°, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,BC=BM，∠NBE=60°∵∠BCE=50°∴∠BEC=180°–80°–50°= 50°∴BE=BC=BM∴△BMN为等边三角形，∴∠BEM=60°∵∠BMC =80°∴∠BMD=100°∵∠DBC =60°，∠CBM=20°∴∠DBM=40°在等腰△MDB中∴∠BDM=180°–100°–40°=40°AB CNMP(图2)AB CDE(图1)AB CEMD(图3)∴DM =BM =EM 在等腰△MDE 中 ∵∠BMD =100°∴∠MED =∠MDE =70°∴∠AED =180°-70°-60°=50°解法三：解：如图4 作等边三角形AGD 交AE 与F∴ ∠AGD ＝∠DBC ＝60°∠GAF ＝40° ∵∠A ＝20°AB ＝AC ∴ ∠ABC=∠ACB=80°又∵∠DBC ＝60°∴∠BDC ＝40°∴∠GAF ＝∠BDC ∴∠ABD ＝∠BAC ＝ 20° ∴AG=AD=DB△ AGF ≌△DBC∴AF=DC 又∵AB ＝AC∴BF=AD =DG ………① 又∵∠ABC =80°∠BCE =50゜∴∠BEC=50゜∴BE =BC=GF …………..② 由①②得 BF-BE=DG-GF 即：EF ＝FD又∵∠EFD =∠AFG ＝80°∴∠AED =（180°－80°）÷2=50° 2、（2004年山东省实验中学招生数学试题）12、在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=20°,在AB 边上取点M,使BM=AC,则AMC 的大小为解法一_ 图 4_ GC解：作∠FAC=20°使AF＝AB 交AC与E 连结BF CF ∠BAF=80°-20°＝60°可得△BAF为等边三角形，∴BA=BF=AF∵BM=AC ∠FAC=∠CBM=20°∴△MBC≌△ACF ∠BMC=∠ACF∠CBF=60°-20°=40°BC=BA=AF∴∠BCF=(180°-40°)÷2=70°∴∠ACF=80°+70°=150°∴∠BMC=150°∠AMC=30°解法二解：作BD⊥AC交AC与D ∴∠DBC=10°在BD上取点E 使EA=AC 连结EC可得△EAC为等边三角形，∴EC=AC=BM∠BCE=80°-60°＝20°∴∠BCE=∠CBM BC是公共边∴△BCE≌△CBM ∠BCM＝∠DBC=10°∠AMC=∠BCM+∠ABC =30°解法三解：如图作等边三角形△BCN 连结MN ∠MBN=60°＋20°＝80°＝∠BAC∵BM=AC BN=BCC∴△NBM ≌△BAC∠BNM=20° ∠BMN ＝80° ∠MNC=60°-20°=40° ∵NM=BN=NC∴ ∠NMC=(180°-40°)÷2=70° ∴∠BMC =80°+70°=150° ∴∠AMC=30°补充练习：【题1】等腰三角形ABC ，顶角∠C=20°，D 、E 分别在CA 和CB 上，∠EAB=70°，∠DBA ＝60°，求∠DEA 度数。
从“一题多解”到“多题一解”
投稿邮 ｓｊ ｖ ． ３ Ｏ 箱： ｋ ｉ１ ． ｒ ￣＠ ｐ６Ｃ Ｂ
例２ 已 知 数 列 ｛ 和 ｛ ｝ 是 等 差 数 列 ， 和 分 别 是 它 ％｝ ｂ 都
们 的前 ０和 ， ｉ 若 ：—ｎ ４ ＋３
—
３
．
评 洼 解 法 三 挖 掘 题 目 中 的 隐 含 条 件 — — 过定 点 ， 用 到 利 角 公 式 巧 妙 计 算 ， 算 量 小 ， 而 ， 用 知 识 不 在 苏 教 版 《 试 运 然 所 考 说 明 》 要 求 的范 围 中 ， 所 因此 最 好 不 要 向 学生 介 绍 ． 解 法 四 因 为 直 线 Ｚ 过 定 点 （ ３ ０ ， 线 Ｚ过 定 点Ｎ（ ， ｌ 一 ，）直 ２ Ｏ
点 为 Ｐ． 点 脓 且 ｏ Ｄ上 ．
一
—
的
Ｉ 、 ３ｍ（＋ ） ｙ ／ ｘ ３ ， ＝ 方程 联 立方程 组 ｛ 消去ｙ （ｍ＋ ） ＋ 得 ３ １ｘ ２
【 一 、 － ＝ ， ＋ ２ ／３ｙ ９ ０
ｍ ２
．
（８ １ ｍＬ６ ｘ ２ ｍ２ ８ ９ ｎ 因￣ Ｘ ＋ 一 ） ｍ １ ｍ） ＋ ７ －１ ｍ－ ： ２ ｏ （ ３ ：６ － ８
，
，
所 以 点
①若 ０Ｄ关于直线ｚ对称 ， 的值 ； 求ｎ ②若ｍ ０ ｎ ０ 求 证 ： ｎ ｍ ｎ ＞ ，＞ ， ｍ ＋ — 为常数．
让 我 们 来 看 一 下 第 二 问 的 第 ２ ， 的解 答 过 程 ． ｄ问
ｊｍ ‘ ｌ ＋
，
Ｑｍ２３ Ｖｍｍ）因 也 直。 ， （３． ， ＇２＋ ）。 Ｑ在 线上 ’ ６９ ’ －＋ １．为 ’ ｆ 所 １ ６ －１ －％ ３（ ｍ ｍ ＋ ４ 一 ｍ 。 。 点 ‘ ２ 以 ’
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用作者：闫萧寒来源：《求知导刊》2014年第12期摘要：数学知识内容丰富、形式多变，对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义、推导公式、例题演练、练习及习题的安排。
“一题多解”与“多题一解”的解题策略能够提升学生的数学问题解答能力，对学生数学水平的提升具有重要的影响。
下面就几道典型的一题多解与多题一解问题在教学中的运用谈谈我个人的几点看法，借以使学子们初步认识一题多解与多题一解问题，领略一题多解与多题一解问题的魅力，激发起学习兴趣，活化其解题思想。
关键词：“一题多解”；“多题一解”；中学数学教学；数学教学质量意大利著名的数学家、物理学家伽利略·伽利雷曾经说过：“数学是描述世界的语言。
”数学符号和数学公式精确、简洁而优美，为我们的生活带来了无限的便利，指引我们更好地认识世界、感受世界。
“一题多解”与“多题一解”的思想能够有效满足新课程改革背景下，对中学数学教学的要求，改善传统教学方式中的缺点和不足之处，使学生能够形成一定的数学思维，为学生未来的数学知识学习和综合能力的发展奠定良好的基础。
一、“4多”原则对数学教学的作用“4多”原则主要指的是多看、多想、多做和多问，“4多”原则能够直接影响中学数学教学的质量和效果。
1.多看数学知识离不开多看、多学，学生需要多看书，做好课前预习、课后复习才能将课本中的数学知识和数学难点进行深刻的理解。
多看对于中学数学教学具有积极的影响，学生对课堂教学内容产生了一定的了解，就会使课堂教学活动变得更加轻松、愉快，使中学数学教学达到事半功倍的效果[1]。
2.多想数学教学不仅在于指导学生学习数学知识点、提升学生的问题解答能力和数学知识灵活运用能力，更在于使学生通过数学知识的学习、应用，形成一定的数学逻辑思维能力和数学独立思考能力[2]。
3.多做俗话说：“熟能生巧。
”多做、多练能够增加学生对数学知识的深刻理解，巩固学生的数学知识和提升学生对数学知识灵活运用的能力，融会贯通，把不同内容的数学知识点关联起来，帮助学生建立一个完整的知识结构和框架体系[3]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈尔滨市第一六三中学 王志强
1
过
程
一题多解
一题一解 变式训练 一题多变 多题一解
2
推广变式
变式教学分类
课例《一线三角与全等三角形》
习题课的变式教学 3
推广变式
变式教学分类
课例《分比线段图形的探究》
习题课的变式教学 4
教材分析
教 学 目 标 分 析
5
教材分析
教学重点、难点
3 展示提升 15
教学过程分析
设计意图
• 让学生学会分析，反复体会 • 锻炼逻辑思维，推理能力和
语言表达能力 • 让学生的个性得到充分的展示
3 展示提升 16
教学过程分析
4
反
馈
验
让学生能够将刚刚总结的方式、方法，马
收
设计意图
上得以应用，达到巩固的目的，同时也体现了
本节课设计中 “浅入 — 深探 — 浅出”的思想。
17
教学过程分析
4
反
馈
验
避免学生形成惯性思维，固定解题模式，
收
设计意图
从而开拓学生思维，提高解决问题的灵活性
及数学思维能力。
18
教学过程分析
4
反
馈
验
通过此类训练让学生自己有意识地去寻找分比线
段型图形的本质特征并能在复杂的图形中将其发现，
收
设计意图
在突破难点的同时，提高自己的分析能力，培养数
学思考的习惯，同时为今后解决几何综合探究题奠
4
反 馈 验 收
（选作题） （选作题） （选作题）
作业布置
21
一题多变
教学评价与反思 一题多解
多题一解
22
从一题多解到多题一解
哈尔滨市第一六三中学 王志强
不当之处请批评指正
在无穷的变化中 领略数学的魅力 在曼妙的演变中 体会数学的快乐
23
重点
教
✓ 利用平行线在分
学
目
比线段型图形中
标
构造相似三角形
分
析
并解决问题。
难点
• 如何在复杂图形中 构造基本图形并利 用其本质特征解决 问题。
6
教学过程分析
1
自
设计意图
主
• 利于学生独立完成
学
• 使学生便于寻找图形的本质特征
• 顺利过渡到对一般三角形和相似三角形
习
的研究
• 为后续的探究活动打下基础
7
教学过程分析
1
自 主 学 习
8
教学过程分析
通过小组合作 的方式探究此 题的其他解决 方法
2 合作探究 9
教学过程分析
2 合作探究 10
教学过程分析
2 合作探究 11
教学过程分析
2 合作探究 12
教学过程分析
1 几何推理 13
教学过程分析
✓过任意分点作对边的平行线
2 数形结合 14
教学过程分析
定基础。
19
教材分析 教法、学法分析 教学过程分析 教学评价与反思
4
我们是如何一步一步揭示了分比线段型图形的本质？
反
在以上的学习过程中你体会到了那些数学思想及方法？
馈
验
设计意图：
收
让学生在收获知识的同时，
Hale Waihona Puke 也获得继续学习的方法和思想。 反思提升
20
教材分析 教法、学法分析 教学过程分析 教学评价与反思