人教版高中数学必修5同步练习,基本不等式(二)

§3.4 基本不等式： ab ≤ (二)

(1)若 x ＋y ＝s(和 s 为定值)，则当 x ＝y 时，积 xy 有最大值，且这个值为 . ⎛ ⎫ ∴2x ＋4y ≥2 2x ·4y ＝2 2x ＋2y ＝4 2(x ＝ ，y ＝ 时取等号)．

2 2x －4 A ．最大值 B ．最小值

C ．最大值 1

D ．最小值 1

2x －4 2(x －2) ＝ ⎣

(x －2)＋x －2⎦≥1. x －2

人教版高中数学同步练习

a ＋b

2

课时目标

1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．设 x ，y 为正实数

s 2

4

(2)若 xy ＝p (积 p 为定值)，则当 x ＝y 时，和 x ＋y 有最小值，且这个值为 2 p . 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是正数；

(2)求积 xy 的最大值时，应看和 x ＋y 是否为定值；求和 x ＋y 的最小值时，应看积 xy 是 否为定值．

(3)等号成立的条件是否满足．

利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、 二定、三相等”．

一、选择题

1 1．函数 y ＝log 2⎝x ＋x －1＋5⎭ (x>1)的最小值为(

)

A ．－3

B ．3

C ．4

D ．－4

答案 B

2．已知点 P(x ，y)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则 2x ＋4y 的最小值为( )

A ．2 2

B ．4 2

C ．16

D ．不存在 答案 B

解析 ∵点 P(x ，y)在直线 AB 上，∴x ＋2y ＝3.

3 3

2 4

5 x 2－4x ＋5

3．已知 x ≥ ，则 f(x)＝ 有( )

5 5

2 4 答案 D

x 2－4x ＋5 (x －2)2＋1

解析 f(x)＝ ＝

1⎡ 2

1 ⎤

1

当且仅当 x －2＝ ，即 x ＝3 时等号成立．

4．函数 y ＝ x 2＋5 x 2＋4

的最小值为( )

A ．2 B.

C ．1

D ．不存在

x 2＋4 2

值，函数 y ＝x ＋ 在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．

A ．3

B ．4 C. D. 解析 ∵8－(x ＋2y)＝2xy ＝x ·(2y)≤( )2

.

6．若 xy 是正数，则⎝x ＋2y ⎭2＋⎝y ＋2x ⎭2 的最小值是(

A ．3

B.

C ．4

D. 解析 ⎝x ＋2y ⎭2＋⎝y ＋2x ⎭2

＝x 2＋y 2＋ ⎝x 2＋y 2⎭＋ ＋ ＝⎝x 2＋4x 2⎭＋⎝y 2＋4y 2⎭＋⎝y ＋x ⎭≥1＋1＋2＝4.

当且仅当 x ＝y ＝ 或 x ＝y ＝－ 时取等号．

x ＋1 于是有 y ＝ ＝ ＝t ＋ ＋5≥

2 t · ＋5＝9，

当且仅当 t ＝ ，即 t ＝2 时取等号，此时 x ＝1.

x ＋1

5 2 答案 B

解析 y ＝ x 2＋5 1

＝ x 2＋4＋

x 2＋4 x 2＋4

∵ x 2＋4≥2，而 1 1

≤ ，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最

1

x

5

∴当 x 2＋4＝2 即 x ＝0 时，y min ＝2.

5．已知 x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则 x ＋2y 的最小值是( )

9 11

2

2

答案 B

x ＋2y 2

∴原式可化为(x ＋2y)2＋4(x ＋2y)－32≥0. ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4. 当 x ＝2，y ＝1 时取等号．

⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫

)

7

9 2 2

答案 C ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫

1⎛ 1 1 ⎫ x y 4 y x

⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛x y ⎫

2 2

2 2

二、填空题

(x ＋5)(x ＋2)

7．设 x >－1，则函数 y ＝ 的最小值是________．

答案 9

解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设 x ＋1＝t >0，则 x ＝t －1，

(t ＋4)(t ＋1) t 2＋5t ＋4 4

t t t

4

t 4

t

∴当 x ＝1 时，

(x ＋5)(x ＋2)

函数 y ＝ 取得最小值为 9.

8．已知正数 a ，b 满足 a ＋b －ab ＋3＝0，则 ab 的最小值是________． 答案 9

解析 ∵a ＋b －ab ＋3＝0， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2 ab ＋3.

边长为 m ．那么

2x ＋2·

x ＋y ＝120·4＋2·80·

＝480＋320x ⎭⎝ ⎝ x ⎭ 上，其中 mn >0，则 ＋ 的最小值为________．

故 ＋ 的最小值为 8.

11．已知 x >0，y >0，且 ＋ ＝1，求 x ＋y 的最小值．

＋ ＝10＋ ＋ .∴x ＋y ＝(x ＋y )· ⎝x

y ⎭当且仅当 ＝ ，即 y ＝3x 时，取等号．

又 ＋ ＝1，∴x ＝4，y ＝12.

y －9 ≥480＋320·2 x · ＝1 760(元)．

∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ＋2≥4＋2· · ＝8.

当且仅当 ＝ ，即 m ＝ ，n ＝ 时等号成立．

解 方法一 ∵ ＋ ＝1，

∵x >0，y >0，∴ ＋ ≥2 · ＝6.

x y y －9 y －9 y －9 y －9 ∴y －9＋ ＋10≥2 (y －9)·

＋10＝16， y －9＋9

令 ab ＝t ，则 t 2≥2t ＋3.

解得 t ≥3(t ≤－1 舍)．即 ab ≥3.

∴ab ≥9.当且仅当 a ＝b ＝3 时，取等号．

9．建造一个容积为 8 m 3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方 米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为________元．

答案 1 760

解析 设水池的造价为 y 元，长方形底的一边长为 x m ，由于底面积为 4 m 2，所以另一 4

x

⎛ 4⎫ ⎛ 4⎫ 4

x

当 x ＝2，即底为边长为 2 m 的正方形时，水池的造价最低，为 1 760 元．

10．函数 y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点 A ，若点 A 在直线 mx ＋ny ＋1＝0

1 2

m n

答案 8

解析 ∵A(－2，－1)在直线 mx ＋ny ＋1＝0 上， ∴－2m －n ＋1＝0，

即 2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0.

1 2 2m ＋n 4m ＋2n n 4m n 4m m n m n m n m n n 4m 1 1

m n 4 2

1 2

m n

三、解答题

1 9

x y

1 9

x y ⎛1 9⎫ y 9x x y

y 9x y 9x

x y x y

y 9x

x y

1 9

x y

∴当 x ＝4，y ＝12 时，x ＋y 取最小值 16.

1 9 y

方法二 由 ＋ ＝1，得 x ＝ ，

∵x >0，y >0，∴y>9.

y 9 x ＋y ＝ ＋y ＝y ＋ ＝y ＋ ＋1

9

＝(y －9)＋ ＋10.

∵y >9，∴y －9>0，

9 9

y －9 y －9