概率论与数理统计浙大第四版答案 第五章

故拒绝域为 (0, 0.2597 ) U ( 4.3, + ∞ ) . 代入样本值 s12 = 0.253 2 ,
2 s2 = 0.173 2 得 F 值为 F =
0.253 2 = 2.1386 0.173 2
2 ′ ，故可以认为 σ 12 = σ 2 。 所以接受 H 0
再检验假设 H 0 : µ 1 = µ 2
设总体方差不变，问在 α = 0.01 下能否认为这批钢索质量有显著提高？ 解：在检验水平 α = 0.01 下，检验假设 H 0 : µ = µ 0 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
H1 : µ > µ0
U=
X − µ0
σ/ 9
~ N (0,1)
由
⎧ X − µ0 ⎫ P⎨ > Z 0.01 ⎬ = 0.01 ⎩σ / 9 ⎭
解：在检验水平 α = 0.01 下，检验假设 H 0 : µ = µ 0 = 3.25 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
H 1 : µ ≠ µ 0 = 3.25
T=
X − 3.25 S/ 5
~ t ( 4)
由
⎫ ⎧ ⎪ ⎪ X − 3.25 P⎨ > t 0.01 (4)⎬ = 0.01 ⎪ ⎪ 2 ⎭ ⎩ S/ 5
H1 : µ A < µ B
T= Sω
X −Y 1 1 + 220 205
~ t (220 + 205 − 2)
由
⎫ ⎧ ⎪ ⎪ X −Y ⎪ ⎪ P⎨ < −t 0.05 ( 223)⎬ = 0.05 1 1 ⎪ ⎪S + ω ⎪ ⎪ 220 205 ⎭ ⎩
查表得： − t 0.05 ( 223) ≈ − Z 0.05 = −0.645 ，故拒绝域为 (−∞, − 1.645) . 代入样本值 x A = 2.46, T 值为
H 1 : µ ≠ µ 0 = 72
T=
X − 72 S / 10
~ t (9)
由
⎧ ⎫ ⎪ X − 72 ⎪ P⎨ > t 0.05 (9)⎬ = 0.05 ⎪ ⎪ 2 ⎩ S / 10 ⎭
2
查表得： t 0.05 (9) = 2.2622 ，故拒绝域为 ( −∞ ,−2.2622 ) U ( 2.2622,+∞ ) .
由
2 ⎫ ⎧ S2 ⎪ ⎪S P ⎨ 12 < F 0.05 (10， 8) U 12 > F0.05 (10,8)⎬ = 0.05 1− S2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎭ ⎩ S2
查表得： F 0.05 (10,Βιβλιοθήκη Baidu) = 4.3,
2
F
0.05 1− 2
(10,8) =
1 1 = = 0.2597 ， F0.025 (8,10 ) 3.85
概率论与数理统计
习题五解答
1. 正常人的脉搏平均为 72 次/分，现某医生测得 10 例慢性四乙基铅中毒者的脉搏 （次/分）如下： 54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。 α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93 在检验水平 α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ 0 = 72 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
代入样本值得 T 值为
T=
67.4 − 72 5.93 / 10
= 2.453 > 2.2622
所以拒绝 H 0 ，即患者与正常人的脉搏有显著差异。
2.某厂生产的某种钢索的断裂强度服从 N ( µ , σ 2 ) 的分布，其中 σ = 40(kg / cm 2 ) ，现从一批 这种钢索的容量为 9 的一个样本测得断裂强度 X ，它与正常生产时的 µ 相比，较 µ 大 20 (kg / cm 2 ) ，
查表得： Z 0.01 = 2.325 ，故拒绝域为 (2.325,+∞) . 代入样本值得 T 值为
U=
20 = 1.5 < 2.325 40 / 3
所以接受 H 0 ，即可以认为这批钢索质量没有显著提高。 3. 某批矿砂 5 个样品中镍含量（%）经测定为 3.25，3.27，3.24，3.26，3.24 ；设测定值 X 服从正 态分布。问在 α =0.01 下能否认为这批矿砂的镍含量均值为 3.25？
H 1 : σ > σ 0 = 0.005
K=
(9 − 1) S 2 ~ χ 2 (8) (0.005) 2
由
⎧ 8S 2 ⎫ > χ 2 0.05 (8)⎬ = 0.05 P⎨ 2 ⎩ (0.005) ⎭
查表得： χ 2 0.95 (8) = 15.507 ，故拒绝域为 (15.507, + ∞) . 代入样本值 s = 0.007 得 K 值为 K =
s A = 0.57,
x B = 2.55, s B = 0.48 得
T=
2.46 − 2.55 219 × 0.57 2 + 204 × 0.48 2 220 + 205 − 2 1 1 + 220 205
= −1.7556 < −1.645
所以拒绝 H 0 ，故可以认为使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量大。 8. 机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中， 分别抽取若干样品测量零件尺寸， 测得数据如下： 机器甲：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0 机器乙：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5 问两台机器的加工精度是否有显著差异（ α = 0.05 ）？ 解：在检验水平 α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ 1 = µ 2
2 2 ，试在水平 α = 0.05 下 和 0.5006。若甲、乙测定值的总体都是正态分布，其方差分别为 σ 甲 和σ 乙 2 2 2 2 检验假设 H 0 : σ 甲 。 = σ乙 , H1 :σ甲 ≠ σ乙
s = 54 得 K 值为 K =
8 × (54) 2 = 9.3312 < 15.507 (50) 2
所以接受 H 0 ，故可以认为这批元件的标准差没超过 50 小时。 综上分析得，这批元件合乎要求。 6. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过 0.005 欧姆。今在生产的一批导线中抽取样品 9 根，测 得 s = 0.007 欧姆。设总体为正态分布，问在水平 α = 0.05 下能否认为这批导线的标准差显著地偏 大？ 解：在检验水平 α = 0.05 下，检验假设 H 0 : σ = σ 0 = 0.005 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
H 1 : µ1 ≠ µ 2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T= Sω
X −Y 1 1 + 11 9
~ t (11 + 9 − 2)
由
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ X −Y ⎪ P⎨ > t 0.05 (18)⎬ = 0.05 1 1 ⎪S ⎪ 2 + ω ⎪ ⎪ 11 9 ⎩ ⎭
查表得： t 0.025 (18) = 2.1009 ，故接受域为 (−2.1009, 2.1009) . 代入样本值 x1 = 6,
(1) H 0 : µ = 0.5%; H 1 : µ < 0.5% (2) H 0 : σ = 0.04%; H 1 : σ < 0.04%
解： （1）当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T=
X − 0.005 S / 10
~ t (9)
由
⎧ X − 0.005 ⎫ P⎨ < −t 0.05 (9)⎬ = 0.05 ⎩ S / 10 ⎭
H 1 : σ > σ 0 = 50
K=
(9 − 1) S 2 ~ χ 2 (8) (50) 2
由
⎧ 8S 2 ⎫ > χ 2 0.05 (8)⎬ = 0.05 P⎨ 2 ⎩ (50) ⎭
查表得： χ 2 0.05 (8) = 15.507 ，故拒绝域为 (15.507, + ∞) . 代入样本值 x = 1178,
H 1 : µ1 ≠ µ 2
2 2 均未知，且不知 σ 12 与σ 2 是否相等， 因为 µ1，µ 2，σ 12，σ 2 2 2 ′ : σ 12 = σ 2 ′ : σ 12 ≠ σ 2 故先检验假设 H 0 , H1 。
′ 为真时，取检验统计量 当假设 H 0
F=
S12
2 S2
~ F (10,8)
H 1 : µ < µ 0 = 1200
T=
X − 1200 S/ 9
~ t (8)
由
⎫ ⎧ X − 1200 P⎨ < −t 0.05 (8)⎬ = 0.05 ⎭ ⎩ S/ 9
查表得： t 0.05 (8) = 1.8595 ，故拒绝域为 (−∞, − 1.8595) . 代入样本值 x = 1178,
查表得： t 0.05 (9) = 1.8331 ，故拒绝域为 (−∞,−1.8331) . 代入样本值 x = 0.452%,
s = 0.037% 得 T 值为 T =
0.452% − 0.5% 0.037% / 10
= −4.1024 < −1.8331
所以拒绝 H 0 ，接受 H 1 。 （2）当假设 H 0 为真时，取检验统计量
8 × (0.007) 2 = 15.68 > 15.507 (0.005) 2
所以拒绝 H 0 ，故可以认为这批导线的标准差显著地偏大。 7. 某厂使用两种不同的原料 A, B 生产同一类产品，现抽取用原料 A 生产的样品 220 件，测得平均 重量为 2.46kg，标准差为 0.57kg。抽取用原料 B 生产的样品 205 件，测得平均重量为 2.55kg，标 准差为 0.48kg。设这两个总体都服从正态分布，且方差相等，问在显著水平 α = 0.05 下能否认为 使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量为大？ 解：在检验水平 α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ A = µ B 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
s = 54 得 T 值为 T =
1178 − 1200 54 / 9
= −1.2222 > −1.8595
所以接受 H 0 ，即可以认为这批元件的平均寿命大于 1200 小时。 （2）在检验水平 α = 0.05 下，检验假设 H 0 : σ = σ 0 = 50 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
K=
(10 − 1) S 2 ~ χ 2 ( 9) (0.04%) 2
由
⎧ 9S 2 ⎫ 2 < P⎨ χ 1− 0.05 (9) ⎬ = 0.05 2 ⎩ (0.04%) ⎭
查表得： χ 2 0.95 (9) = 3.325 ，故拒绝域为 (0, 3.325) . 代入样本值 x = 0.452%,
s = 0.037% 得 K 值为 K =
9 × (0.037%) 2 = 7.7006 > 3.325 (0.04%) 2
所以接受 H 0 ，拒绝 H 1 。 5. 一种元件，用户要求元件的平均寿命不得低于 1200 小时，标准差不得超过 50 小时，今在一批元 件中抽取 9 只，测得平均寿命 x = 1178 小时，标准差 s = 54 小时。已知元件寿命服从正态分布， 试在 α = 0.05 下确定这批元件是否合乎要求？ 解： （1）在检验水平 α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ 0 = 1200 当假设 H 0 为真时，取检验统计量
s1 = 0.253,
x 2 = 5.7, s 2 = 0.173 得
T 值为
T=
6 − 5 .7 10 × 0.253 2 + 8 × 0.173 2 11 + 9 − 2 1 1 + 11 9
= 3.0226 > 2.1009
所以拒绝 H 0 ，故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。 （注：书中答案不对。 ） 9. 甲乙两位化验员， 对一种矿砂的含铁量各独立地用一方法做 5 次分析， 得到样本方差分别为 0.4322
2
查表得： t 0.01 (4) = 4.6041 ，故拒绝域为 ( −∞,−4.6041) U ( 4.6041,+∞ ) .
代入样本值 x = 3.252,
s = 0.013 得 T 值为 T =
3.252 − 3.25 0.013 / 5
= 0.344 < 4.6041
所以接受 H 0 ，即可以认为这批矿砂的镍含量均值为 3.25。 4. 测定某种溶液中的水分，它的 10 个测定值给出 x = 0.452%, s = 0.037% ，设测定值总体为正态分 布， µ 为总体均值，试在 α = 0.05 下检验假设