第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解

§1.3方程的初始和边界条件
对常微分方程，要完全确定方程的解就必须知道初始条件。而对偏微分方程，还必须给定适当的边界条件。以弦振动问题而言，方程是在弦之内部的点满足的条件，边界可能是固定的，也可能自由的，等等。
假如边界是 ， ，则可能的条件：
1） ， （固定边界）（Dirichlet条件）
2） ， （在端点的垂直方向自由滑动），或更一般 （Neumann条件）
解如图，在 内的流体，经过时间 ，一定处于 。所含污染物应相同，即
，
由此
，
从而，
。
【End】
可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。
例2（扩散方程）假设水流静止，在 时间内，流经 处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为 ：
，
所以，在时间段 内，通过 的污染物为
。
利用守恒定律和时间的任意性，
。
由高斯公式推论， ，所以
。
由 的任意性， 。
【end】
热传导方程推导类似。
例2（二维膜振动方程）均匀鼓膜上任意截取区域 ，在平面上的投影为 。作用于 的张力的垂直分量 近似等于沿 的法向张力 。因此垂直方向总合力为 。由此，
，
由二维的高斯公式，
。
因此
，
这里 。
【end】
为方程的特征线。
例如，当 ， 为常数，则过任意给定的点 的特征线为直线，方程为
。
之所以称其为特征线，是因为沿该ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线函数 取常数值。以 为常数为例，
特征线上的任意一点可表示为 ，其中 是参数，由此
，
即 。
利用特征线的该性质，在给定适当的初始或边界条件后就可确定方程的解。
例1求解方程 。
解特征线 ，即 ，沿该直线， 是常数。所以，
，
或写为
。
【end】
例2求解方程 。
解特征线方程 ，其解为 。所以，
，
或
。
【end】
例3（流方程的解）考虑一端具有稳定的流速的无限长管道的流，
解特征线方程 ，过 的特征线 。所以，
。
当 时，
；
当 时，
。
所以，方程的解为
。
【end】
第一章习题
1.对平面扩散方程 ，若 的值仅依赖于 和 ，证明：
。
而对空间扩散方程，若 的值仅依赖于 和 ，证明：
。
在时刻 和 ，在 内的污染物分别为 和 ，由物质守恒定律
由 ， 的任意性，
，
再由 ， 的任意性，
。
【end】
例3（弦振动方程）假设
（1）弦的两端固定（非本质的假设），弦长为 ，线密度为 ；
（2）外力作用下在平衡位置附近作微小的垂直振动；
（3）弦上各点张力方向与弦的切线方向一致，大小服从Hooke定律。
，
记 ，则非齐次的波动方程为
。
【end】
§1.2平面和空间上的偏微分方程
例1（三维空间中的扩散方程）假设污染流体充满三维空间的某区域， 是其密度。任取简单区域 ，相应的边界 。假设，在 时间内，流出 的流与密度关于 处的法向导数成正比，即 ，因此在 流出曲面 的流量为
；
同时，该区域在 的流量变化又可表示为
，或 。
2.求解方程 。
3.求解方程 。（提示：令 ）
4.求解方程 。
5.求解方程 。
6.求解方程 。
3） （弦的一端固定在弹性支承上）（Robin条件）
在高维空间，相应的边界条件为
1）Dirichlet条件： （ 是边界）
2）Neumann条件：
3）Robin条件：
§1.4一阶线性偏微分方程解的特征线方法
对一阶齐次线性偏微分方程
，
从几何观点看，如果 满足该方程，则由函数 确定的平面上的向量场 ，与方程系数构成的向量场 正交。称由向量场 作为切向所确定的曲线
问题：建立 满足的方程。
解选定弦的一段 ，（此处 ），考虑其在时间段 内的运动情况。点 处的张力记为 。
沿水平方向合力为
；
沿垂直方向合力为
。
显然，水平方向合力为零（假设2：弦只在垂直方向有运动），即
。
垂直方向合力为
。
由牛顿第二运动定理，
，
因此
。
记 ，则得到标准的波动方程，
。
注：如果弦上有外力 作用，则
第一章偏微分方程和一阶线性偏微分方程解
本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。
典型的偏微分方程：扩散方程 ， ；波动方程 ， 。这是本课程讨论的主要两类方程。
偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。
§1.1一维空间中的偏微分方程
例1（刚性污染流的方程）假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是 （即 处在时刻 的污染物的密度）。如果流速是 ，问题： 满足什么样的方程？