命题与证明的难题汇编附答案

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命题与证明的难题汇编附答案
一、选择题
1 .下列命题是真命题的是()
A.若x>y,则x2>y2
B.若|a|=|b| ,贝U a=b
C.若a> |b|,贝U a2> b2
D.若av 1,贝U a> 1
a
【答案】C
【解析】
【分析】根据实数的乘方,绝对值的性质和倒数的意义等,对各选项举反例分析判断后利
用排除法求解.
【详解】A. x>y,如x=0, y=-1, 02<(-1)2,此时x2<y2,故A选项错误;
B.|a|=|b| ,女口a=2, b=-2,此时a*b 故B 选项错误;
C.若a> |b|,则a2> b2,正确;
1
D.av 1,如a=-1,此时a=—,故D选项错误,
a
故选C.
【点睛】本题考查了命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题,本题主要利用了实数的性质.
2.下列定理中,逆命题是假命题的是(
A.在一个三角形中,等角对等边
B.全等三角形对应角相等
C.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D.等腰三角形两个底角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,再进行判断即可.
【详解】
解:A、逆命题为:在一个三角形中等边对等角,逆命题正确,是真命题;
B、逆命题为:对应角相等的三角形是全等三角形,逆命题错误,是假命题;
C、逆命题为:如果一个三角形是等边三角形,那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°逆命题正确,是真命题;
D、逆命题为:两个角相等的三角形是等腰三角形,逆命题正确,是真命题;故选:B.
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题.
3.下列命题是假命题的是()
A. 同角(或等角)的余角相等
B. 三角形的任意两边之和大于第三边
C. 三角形的内角和为 180 °
D. 两直线平行,同旁内角相等
【答案】 D 【解析】 【分析】
利用余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质分别判断后即可确 定正确的选项. 【详解】
故选 D .
【点睛】 考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解余角的定义、三角形的三边关系、三角形的 内角和及平行线的性质,难度不大.
解析】 【分析】
根据多边形内角和公式可对 A 进行判定;根据矩形的性质可对 B 进行判定;根据全等三角 形的性质可对C 进行判定;根据平行线的性质可对 D 进行判定.
【详解】
A. 多边形的内角和为(n-2)180 ° ( n >3 ,故该选项是假命题, B •矩形的对角线不一定平分每一组对角,故该选项是假命题, C 全等三角形的对应边相等,故该选项是真命题,
D.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故该选项是假命题, 故选: C .
【点睛】 本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两 部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成
如果••那
么…”形式•有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理•熟练掌握矩形的 性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键.
A 、
B 、
C 、
D 、
同角(或等角)的余角相等,正确,是真命题; 三角形的任意两边之和大于第三边,正确,是真命题; 三角形的内角和为 180 °,正确,是真命题; 两直线平行,同旁内角互补,故错误,是假命题, 4. 下列命题中是真命题的是( ) A.
多边形的内角和为
180 °
C. 全等三角形的对应边相等
B. 矩形的对角线平分每一组对角
D .两条直线被第三条直线所截,同位角相等
答案】 C
【解析】 【分析】
分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可 【详解】
① 64 的平方根是 8,正确,是真命题; ②
a 2
b 2,则不一定a b ,可能a b ;故错误;
③ 根据角平分线性质,三角形三条内角平分线交于一点,此点到三角形三边的距离相等; 是真命题; ④ 根据三角形外心定义,三角形三边的垂直平分线交于一点,是真命题; 故选: C 【点睛】
考核知识点:命题的真假 .理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质 是关键 .
6.下列命题中是假命题的是( ).
A. 同旁内角互补,两直线平行
B. 直线a b ,则a 与b 相交所成的角为直角
7.
用反证法证明 “三
角形的三个外角中至多有一个锐角 ”,应先假设 (

A. 三角形的三个外角都是锐角
B. 三角形的三个外角中至少有两个锐角
C. 三角形的三个外角中没有锐角
5.下列命题是真命题的个数是(
).
①64 的平方根是 8;
22
a b ,贝y a b ;
三角形三条内角平分线交于一点,此点到三角形三边的距离相等; 三角形三边的垂直平分线交于一点.
1 个
B . 2 个
③ ④
A . C. 3个 D . 4个
C. 如果两个角互补,那么这两个角是一个锐角,一个钝角
D. 若 a // b , a
【答案】 C
【解析】 根据平行线的判定,可知 根据垂直的定义,可知 根据互
补的性质,可知
c , 那么 b c
“同旁内角互补,两直线平行 ”,是真命题; 直线
a b ,则a 与b 相交所成的角为直角 两个角互补,这两个角可以是两个直角 ”,
根据垂直的性质和平行线的性质,可知
若a Pb , a c ,那么b
故选 C.
”,是真命题; 是
假命题; c ”,是
真命题.
D. 三角形的三个外角中至少有一个锐角
【答案】 B
【解析】 【分析】 反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立. 【详解】
解:用反证法证明 “三角形的三个外角中至多有一个锐角 至少有两个锐角, 故选 B . 【点睛】
考查了反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤 论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则 必须一一否定.
8.
下列选项中,可以用来说明命题 若a 2
>b 2
,则a >b ”是假命题的
反例是()
分析:根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题. 详解:•••当a=-2, b=1时,(-2) 2
> 12
,但是-2< 1,.・.a=- 2, b=1是假命题的反例. 故选 B .
点睛:本题考查的是命题与定理,要说明数学命题的错误,只需举出一个反例即可.这是 数学中常用的一种方法.
9. 下列命题是真命题的是( ) A. 若两个数的平方相等,则这两个数相等 B .同位角相等
C.
同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行
D .相等的角是对顶角
【答案】 C 【解析】 【分析】
根据平方的意义,同位角的概念,平行线的判定,对顶角的概念逐一进行判断即可得. 【详解】
”,应先假设三角形的三个外角中
.
在假设结论不成立时要注意考虑结
A . a 2, b=-1
【答案】 B 【解析】
B . a 2,b 1
C . a 3, b=-2
D . a 2, b 0
A . 误;
若两个数的平方相等,则这两个数不一定相等,如
22= (-2) 2,但2工2,故A 选项错
B .
C .
D .
项错误,
只有两直线平行的情况下,才有同位角相等,故 同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行
,真命题,符合题意; 相等的角不一定是对顶角,如图,/ 1 = / 2,但这两个角不符合对顶角的概念,故 D 选
B 选项错误;
【点睛】
本题考查了命题真假的判定,涉及了乘方、同位角、对顶角、平行线的判定等知识,熟练 掌握相关知识是解题的关键.
结论组成一个命题,组成真命题的个数为
【点睛】
本题考查了命题与不等式的性质,解题的关键在于根据题意得出命题,根据不等式的性质 判断真假.
11.下列正确说法的个数是( )

同位角相等;②等角
的补角相等; ③两直线平行,同旁内角相等; ④在同一平面内,
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解析】 【分析】
根据平行线的性质以及等角或同角的补角相等的知识,即可求得答案.
10.用三个不等式a b,ab 0, a
b |中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为
B . 1
C. 2
A . 0
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意得出三个命题,根据不等式的性质判断命题的真假 【详解】 D . 3
若a b, ab 若a b, a
若ab
0, a 故选: A
0,则a b ,则 ab
b 为假命题.反例:a=-1,b=-2 0为假命题.反例:a=2,b=-1
b 为假命题.反例:a=-2,b=-1
A . 1
【答案】B
B . 2 C. 3 D . 4
b ,则a
【详解】
解:•••两直线平行,同位角相等,故 ①错误;
•••等角的补角相等,故 ②正确; •••两直线平行,同旁内角互补,故
③错误;
•••在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故 •••正确说法的有②④. 故选 B . 【点睛】
此题考查了平行线的性质与对顶角的性质,以及等角或同角的补角相等的知识.解题的关 键是注意需熟记定理.
答案】 B 解析】 【分析】
正确的命题是真命题,根据真命题的定义依次进行判断
【详解】 ① 平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应,是假命题; ② 两直线平行,内错角相等,是假命题;
③ 平行于同一条直线的两条直线不一定相互平行,是真命题; ④ 对顶角相等,是真命题; 故选: B .
【点睛】 此题考查真命题的定义,正确掌握坐标与图形,平行线的性质,平行公理,对顶角性质是 解题的关键 .
答案】 A 解析】 分析】
④ 正确.
12. 下列命题中,其中真命题的个数是(

① 平面直角坐标系内的点与实数对一一对应; ② ③ ④ A .
内错角相等;
平行于同一条直线的两条直线互相平行; 对顶角相等 1个
B . 2 个
C . 3 个
D . 4 个
13.下列命题为真命题的是()
A .
B .
C .
D .
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 两直线被第三条直线所截,同位角相等 垂直于同一直线的两直线互相垂直 三角形的外角和为 180o
根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可. 【详解】
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角, A 是真命题;
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等, B 是假命题;
在同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行, C 是假命题;
三角形的外角和为 360° D 是假命题; 故选A . 【点睛】
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题 的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
14.下列命题正确的是( )
矩形对角线互相垂直 方程X 2 14x 的解为x 14 六边形内角和为 540 °
一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】D 【解析】 【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等得出选项
A 不正确;
由方程x 2
=l4x 的解为x=14或x=0得出选项B 不正确;
由六边形内角和为(6-2) X 180=720°得出选项C 不正确; 由直角三角形全等的判定方法得出选项
D 正确;即可得出结论.
【详解】
A. 矩形对角线互相垂直,不正确;
B. 方程x 2=14x 的解为x=14,不正确;
C. 六边形内角和为 540 °不正确;
D. —条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,正确;
故选D. 【点睛】
本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形 全等的判定;要熟练掌握.
【答案】C
A .
B . C. D . 15.下列命题中,真命题的是(

两条直线被第三条直线,同位角相等
若a 丄b , b 丄C ,贝U a 丄c
点P (x , y ),若y = 0,则点P 在x 轴上 若需=a ,贝U a =— I
B . C. D .
【解析】 【分析】
根据平行线的性质对 A 进行判断;根据平行线的判定方法对 B 进行判断;根据x 轴上点的
坐标特征对C 进行判断;根据二次根式的性质对 D 进行判断.
【详解】
故选:C. 【点睛】
本题考查了命题与定理:命题的 假•要说明一个命题的正确性,一般需要推理、 出一个反例即可.
16.下列命题中,是真命题的是( )
A .同位角相等

A 、 两直线平行,同位角相等,是假命题;
B 、 若两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补,是假命题;
C 、 同旁内角互补,两直线平行,是假命题;
D 、 平行于同一直线的两条直线互相平行,是真命题;
故选:D . 【点睛】
此题考查命题与定理,解题关键在于掌握正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.
【答案】D 【解析】
A 、
B 、
C 、
D 、
两条平行直线被第三条直线,同位角相等,所以 在同一平面内,若 a 丄b , b 丄C ,贝y a // c ,所以 点P (x , y ),若y = 0,则点 若 j a = a ,则 a = 0 或 a = 1, P 在x 轴上,所以 A 选项为假命题;
B 选项为假命题;
C 选项为真命题;
所以D 选项为假命题.
真”假”是就命题的内容而言•任何一个命题非真即
论证,而判断一个命题是假命题,只需举
B .若两直线被第三条直线所截,同旁内角互
C.同旁内角相等,两直线平行
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行线的判定、平行线的性质判断即可.
【详解】
D. 平行于同一直线的两直线互相平行
17.下列命题中是假命题的是() 一个三角形中至少有两个锐角
在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行 同角的补角相等
A .
B . C. D . 如果a 为实数,那么a 0
A. 一个三角形中至少有两个锐角,是真命题;
B. 在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行,是真命题;
C. 同角的补角相等,是真命题;
D. 如果a 为实数,那么|a|>0,是假命题;如:0是实数,|0|=0,故D 是假命题; 故选: D.
解析】 【分析】
根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的 性质一一判断即可. 【详解】
A. 正确;有一个角是 60。

的等腰三角形是等边三角形;
B. 正确.等边三角形有 3条对称轴;
C. 错误,SSA 无法判断两个三角形全等;
D •正确.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 故选: C .
【点睛】
本题考查了命题与定理,等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判 定、线段垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念,属于中考常考题 型.
解析】 分析】
x 2-4x+m=0 没有实数解,
4x+m=0 一定有实数根 ”是假
命题的
反例.
【详解】 当 m=5 时,方程变形为 x 2
-4x+m=5=0, 因为△= (-4) 2-4 X 乂 0, 所以方程没有实数解,
所以m=5可作为说明命题 关于x 的方程x 2
-4x+m=0 一定有实数根”是假命题的反例.
18. 下列命题是假命题的是( ) 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形有 3 条对称轴 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 A . B . C . D .
【答案】 C
19.能说明命题 关于 x 的方程 x 2 4x
m 0一定有实数根 ”是假命题的反例为( )
A . m 1
【答案】 D
B . m 0
C. m 4
D . m 5
利用 m=5 使方程 从而可把 m=5 作为说明命题 “关于 x 的方程 x 2
-
故选 D . 【点睛】
本题考查了命题与定理:命题的 “真 ”假“”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即 假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举 出一个反例即可.
直角三角形的两个锐角互余; ② 同旁内角互补; ③ 如果直线 l 1 Pl 2,
解析】 【分析】 利用直角三角形的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解: ① 直角三角形的两个锐角互余,正确,是真命题; ② 两直线平行,同旁内角互补,故错误,是假命题;
③ 如果直线l l PI 2,直线〔2 Pl 3,那么l l PI 3,正确,是真命题; 故选: B . 【点睛】 本题主要考查了命题与定理,掌握命题与定理是解题的关键.
20. 下列命题: ① 直线l 2 Pl 3,那么
l 1 Pl 3 .其中真命题的序号是
A .①②
【答案】 B B .①③
C.②③
D . ①②③。

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