高三数学练习题及答案(四)

一、单项选择题：1．若复数z 满足2512z i =+，则z =（ ）A ．32i +或32i --B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13±【答案】A【解析】设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 由z 2＝5+12i ，得a 2﹣b 2+2abi ＝5+12i ，∴225212a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩或32a b =-⎧⎨=-⎩．∴z ＝3+2i 或z ＝﹣3﹣2i ． 故选：A ．2．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。

丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。

本题选C 。

3．已知32()n x x+的展开式的各项系数和为243,则展开式中x 7的系数为A ．5B ．40C ．20D ．10【答案】B【解析】由题意，二项式32()n x x+的展开式中各项的系数和为243， 令1x =，则3243n =，解得5n =，所以二项式352()x x +的展开式为351541552()()2r r r r r rr T C x C x x--+==，令2r，则221542735240T C xx -⨯==，即7x 的系数为40，故选B. 4．已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且1||3PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．2B C D 【答案】B【解析】圆22142x y +=的左右焦点分别为1F ,2F ,点P 在椭圆上,且1||3PF = 所以1224PF PF a +== 则2431PF =-=而222c a b =-=所以122F F c ==因为2221122PF F F PF =+所以12PF F ∆是以1PF 为斜边的直角三角形则1221211122PF F P F F S F ∆⨯=⨯⨯⨯==故选:B5．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．3【答案】A【解析】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++， 故选：A ．6．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[0,1]x ∈时，2()42f x x x =-，则当[2,2]x ∈-时，方程2()1f x =的解的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】根据题意，()f x 为奇函数，则()f x 的图象关于原点对称，又由(1)(1)f x f x -=+，则()f x 的图象关于直线1x =对称，因为当[0,1]x ∈时，2()42f x x x =-，故可画函数在[2,2]x ∈-的图象如下，所求方程2()1f x =在[2,2]x ∈-的解的个数， 等价于函数()y f x =与函数12y =的交点个数， 由图可知函数()y f x =与函数12y =在[2,2]x ∈-上有2个交点， 故方程2()1f x =在[2,2]x ∈-上有2个解， 故选：A7．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B【解析】构造函数()y xf x = 则()()'0y f x xf x +'=<所以()y xf x =在()0,+∞上单调递减又因为()()()2111f x x f x +>--所以()()()()221111x f x x f x ++>--所以211x x +<- 解得2x >或1x <-（舍）所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞故选B.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值； ②三棱锥1B A EF -的体积是定值；③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值． 其中真命题的个数是( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】以A 点为坐标原点，AB,AD,1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),1A (0,0,1),1B (1,0,1),1C (1,1,1),1D(0,1,1),设F(t ，1，1-t)，（0≤t≤1），可得1AC =(1,1,1),1B F =(t -1，1，-t)，可得11AC B F =0，故异面直线1AC 与1B F 所的角是定值，故①正确；三棱锥1B A EF -的底面1A BE 面积为定值，且1CD ∥1BA ,点F 是线段1CD 上的一个动点，可得F 点到底面1A BE 的距离为定值，故三棱锥1B A EF -的体积是定值，故②正确； 可得1A F =(t ，1，-t)，1B C =(0,1,-1),11B D =(-1,1,0),可得平面11B CD 的一个法向量为n =（1，1，1），可得1cos ,A F n 不为定值，故③错误; 故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29【答案】AC【解析】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为211413327⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭,故A正确；对于B,用A 、B 、C 分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则1()5P A =,1()3P B =,1()4P C =,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为42325345⨯⨯=,所以此密码被破译的概率为23155-=,故B 不正确； 对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则82()123P A ==,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则61()122P B ==,故取到同色球的概率为2111132322⨯+⨯=,故C 正确； 对于D,易得()()P A B P BA =,即()()()()P A PB P B P A ⋅=,即()[1()]()[1()]P A P B P B P A -=-,∴()()P A P B =,又1()9P AB =,∴1()()3P A P B ==,∴2()3P A =,故D 错误故选：AC10．已知曲线44:2C x y +=，则曲线C （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称【答案】ABCD【解析】44:2C x y +=，则()442x y -+=；()442x y +-=；()()442x y -+-=成立 故曲线关于x 轴对称；关于y 轴对称；关于原点对称；取曲线44:2C x y +=任一点(),x y 关于直线y x =轴对称点为(),y x442y x +=成立.故选：ABCD11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．681a a > C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为6T【答案】AD【解析】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾. 得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD.12．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，如图，则下列等式成立的是( )A ．2A C C AB A ⋅=B ．2C B BC B A ⋅=C ．2B A CD AC ⋅=D ．()()22AB B AC BA BC CDA ⋅⨯=⋅【答案】ABD【解析】由cos AC AB AC AB A AD AB ⋅==,由射影定理可得2A C C AB A ⋅=， 即选项A 正确，由BA BC ⋅=cos BA BC B BA BD =,由射影定理可得2C B BC B A ⋅=， 即选项B 正确，由cos()0CD AC CD A CD C A π⋅=-∠<,又20AB >，即选项C 错误， 由图可知Rt ACD Rt ABC ∆≅∆，所以AC BC AB CD =，由选项A,B 可得 ()()22AB B AC BA BC CDA ⋅⨯=⋅，即选项D 正确，故选ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设集合(){},|1U x y y x ==+，()3,|12y A xy x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，U C A =______. 【答案】(){}2,3【解析】(){},1,2A x y y x x ==+≠，集合A 表示直线1y x =+上除去()2,3的所有点组成的集合，(){}2,3U C A ∴=. 故答案为：(){}2,314．已知函数()()22log 34f x x mx =-+在区间[)1,x ∈+∞上的增函数，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】(],6-∞【解析】函数()()22log 34f x x mx =-+在区间[)1,x ∈+∞上的增函数则16m≤且340m -+>解得6m ≤ 故答案为(],6-∞15．如图，在三棱锥S ABC -中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长SA SB SC ===M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM MN ⊥，则异面直线MN 与AC 所成角为______；三棱锥S ABC -的外接球的体积为______．【答案】π29π2【解析】由三棱锥S ABC -中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长SA SB SC ===三棱锥S ABC -是正三棱锥，则点S 在底面ABC 中的投影为底面的中心O ，E 为AC 中点如图，因此,,SO BE O SO AC AC BE ⊥⊥⋂=,所以AC ⊥平面SBE ,SB ⊂平面SBE ,SB AC ∴⊥,又M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，则MN SB ,因此MN AC ⊥，异面直线MN 与AC 所成角为2π； ,MN AC,AM AM MN AC A ⊥⊥=,MN ∴⊥平面SAC ,又MN SB ，则SB ⊥平面SAC ,又三棱锥S ABC -是正三棱锥， 因此三棱锥S ABC -可以看成正方体的一部分且,,,S A B C 为正方体的四个顶点，故球的3=，则球的体积为3439322ππ⎛⎫=⎪⎝⎭. 故答案为：2π；9π2. 16．函数()f x 满足下列性质： （1）定义域为R ，值域为[1,)+∞． （2）图象关于2x =对称．（3）对任意1x ，2(,0)x ∈-∞，且12x x ≠，都有1212()()f x f x x x -<-．请写出函数()f x 的一个解析式__________（只要写出一个即可）．【答案】2()45f x x x =-+【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式2()(2)1f x x =-+， 此时()f x 对称轴为2x =，开口向上，满足（2）， 因为对任意1x ，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，等价于()f x 在(,0)-∞上单调减， ∴2()(2)1f x x =-+，满足（3），又2()(2)11f x x =-+≥，满足（1），故答案为()245f x x x =-+．四、解答题：本小题共6小题，共70分。