不等式经典例题1
不等式的题目
不等式的题目一、一元一次不等式1. 解不等式3x - 5 < 4- 解析：- 首先将不等式进行移项，得到3x<4 + 5，即3x<9。
- 然后两边同时除以3，解得x < 3。
2. 解不等式2(x+1)-3x≥0- 解析：- 先展开括号得2x+2 - 3x≥0。
- 合并同类项得-x+2≥0。
- 移项得-x≥ - 2。
- 两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得x≤2。
3. 不等式5x+12 - 8(x - 1)<0的解集是多少？- 解析：- 先展开括号得5x + 12-8x + 8<0。
- 合并同类项得-3x+20 < 0。
- 移项得-3x<-20。
- 两边同时除以-3，不等号方向改变，解得x>(20)/(3)。
4. 解不等式(2x - 1)/(3)≤(3x+2)/(4)-1- 解析：- 首先给不等式两边同时乘以12去分母，得到4(2x - 1)≤3(3x + 2)-12。
- 展开括号得8x-4≤9x + 6-12。
- 移项得8x-9x≤6 - 12 + 4。
- 合并同类项得-x≤ - 2。
- 两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得x≥2。
5. 若关于x的不等式3x - m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是多少？- 解析：- 解不等式3x - m≤0，得x≤(m)/(3)。
- 因为正整数解是1，2，3，所以3≤(m)/(3)<4。
- 解3≤(m)/(3)得m≥9；解(m)/(3)<4得m < 12。
- 所以m的取值范围是9≤ m<12。
二、一元一次不等式组6. 解不等式组cases(x+3>02x - 1≤3)- 解析：- 解不等式x + 3>0，得x>- 3。
- 解不等式2x-1≤3，移项得2x≤3 + 1，即2x≤4，解得x≤2。
- 所以不等式组的解集为-3 < x≤2。
7. 解不等式组cases(3x - 1>2x+12x<4)- 解析：- 解不等式3x - 1>2x + 1，移项得3x-2x>1 + 1，解得x>2。
不等式练习题（精选5篇）
不等式练习题（精选5篇）第一篇：不等式练习题不等式练习题（二）1.已知两个正数a、b的等差中项是5，则a、b的等比中项的最大值为A.10B.25C.502.若a>b>0，则下面不等式正确的是（）A.D.100 222aba+ba+b2ab<<abB.<<ab a+b22a+ba+b2ab2aba+bC.D.<ab<<ab<2a+ba+b2a13.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是 xy⎧x≥-1⎪4.若变量x,y满足约束条件⎨y≥x 则z=2x+y的最大值为⎪3x+2y≤5⎩A.1B.2C.3D.4⎧x+3y-3≥0,⎪5.若实数x，y满足不等式组⎨2x-y-3≤0,且x+y的最大值为9，则实数m=⎪x-my+1≥0,⎩A.-2B.-1C.1D.26.若对任意x>0,≤a恒成立，则a的取值范围是__________.x+3x+12ab7若实数a,b满足a+b=2，则3+3的最小值为_______。
8.某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨，8吨和5吨把货物分别调运给甲，乙，丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲，乙，丙，每吨货物的运费分别为8元，6元，9元；从仓库B运货物到商店甲，乙，丙，每吨货物的运费分别为3元，4元，5元，问应该如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？第二篇：均值不等式练习题均值不等式求最值及不等式证明2013/11/23题型一、均值不等式求最值例题：1、凑系数：当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值。
2、凑项：已知x<51，求函数f(x)=4x-2+的最大值。
44x-5x2+7x+10(x≠-1)的值域。
3、分离：求y=x+14、整体代换：已知a>0，b>0，a+2b=1，求t=11+的最小值。
高中不等式经典例题
高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式， 也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。
解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴， 然后从右上开始画线顺次经过三个根， 其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为 或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。
不等式中1的妙用经典例题
不等式中1的妙用经典例题在数学中，1的妙用在不等式中经常被使用，下面是一个经典的例题：问题，证明对于任意正实数x，满足不等式x + 1/x ≥ 2。
解答，我们可以通过多种方法来证明这个不等式。
方法一，使用AM-GM不等式。
根据AM-GM不等式，对于任意正实数a和b，有a + b ≥2√(ab)。
将x和1/x代入，得到x + 1/x ≥ 2√(x 1/x) = 2。
因此，不等式x + 1/x ≥ 2 成立。
方法二，使用平方差公式。
我们可以将不等式x + 1/x ≥ 2 进行平方，得到 x^2 + 1 +2 ≥ 4x。
整理得到x^2 4x + 1 ≥ 0。
这是一个二次函数的判别式大于等于0的条件，即Δ = b^24ac ≥ 0。
对于这个二次函数，a = 1，b = -4，c = 1。
计算得到Δ = (-4)^2 4 1 1 = 16 4 = 12。
由于Δ ≥ 0，所以不等式成立。
方法三，使用导数。
我们可以求函数 f(x) = x + 1/x 的导数，来分析其变化趋势。
f'(x) = 1 1/x^2。
当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数单调递增。
因此，当 x > 0 时，f(x) 在 x = 1 时取得最小值。
代入 x = 1，得到 f(1) = 1 + 1/1 = 2。
因此，不等式x + 1/x ≥ 2 成立。
综上所述，对于任意正实数x，满足不等式x + 1/x ≥ 2。
以上是对这个经典例题的多角度全面完整的回答，希望能够帮助到你。
十个不等式取值练习题
十个不等式取值练习题一、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 42. 解不等式：5 2(x 1) ≤ 3x + 13. 解不等式：4 3(x + 2) > 7 2x4. 解不等式：2(3x 1) 5(x + 2) < 3二、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 02. 解不等式：2x^2 3x 2 < 03. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 04. 解不等式：x^2 + 5x 6 ≥ 0三、绝对值不等式1. 解不等式：|2x 3| > 52. 解不等式：|3x + 4| < 23. 解不等式：|x 1| ≥ 44. 解不等式：|2x + 5| ≤ 3四、分式不等式1. 解不等式：\(\frac{1}{x2} > \frac{2}{x+1}\)2. 解不等式：\(\frac{3}{x+3} < \frac{1}{x1}\)3. 解不等式：\(\frac{2x1}{x+2} ≥ \frac{3}{x4}\)4. 解不等式：\(\frac{x3}{x+5} ≤ \frac{4}{x2}\)五、混合不等式1. 解不等式组：\(\begin{cases} 2x 3 > 5 \\ x^2 4x + 3 < 0 \end{cases}\)2. 解不等式组：\(\begin{cases} |x 2| ≥ 3 \\\frac{1}{x+1} < 2 \end{cases}\)3. 解不等式组：\(\begin{cases} 3x + 4 > 2x 1 \\\frac{2x1}{x+3} ≤ 1 \end{cases}\)4. 解不等式组：\(\begin{cases} x^2 5x + 6 ≤ 0 \\ |2x + 3| > 5 \end{cases}\)六、含参不等式1. 当 a > 0 时，解不等式：ax 2 > 3 x2. 当 a < 0 时，解不等式：2x a^2 < ax + 13. 当a ≠ 0 时，解不等式：|x a| ≥ a4. 当a ≠ 1 时，解不等式：\(\frac{x1}{a} < x\)七、复合不等式1. 解不等式：(2x 1)(x + 3) > 02. 解不等式：(x 4)(3x + 2) < 03. 解不等式：(x + 5)(x 5) ≥ 04. 解不等式：(3x 2)(2x + 1) ≤ 0八、指数不等式1. 解不等式：2^x > 42. 解不等式：3^(x1) < 93. 解不等式：4^(2x3) ≥ 164. 解不等式：5^(x+2) ≤ 25九、对数不等式1. 解不等式：log_2(x 1) > 12. 解不等式：log_3(x + 2) < 03. 解不等式：log_5(2x 3) ≥ 24. 解不等式：log_10(3x + 4) ≤ 1十、综合应用题1. 已知函数 f(x) = 2x^2 4x + 3，求不等式 f(x) > 0 的解集。
基本不等式1的代换经典例题
基本不等式1的代换经典例题那咱就开始讲基本不等式“1”的代换的经典例题啦。
一、例题呈现已知x> 0，y> 0，且x + y = 1，求(1)/(x)+(9)/(y)的最小值。
二、解题思路1. 首先呢，我们看到已知条件x + y = 1，这个“1”可就太关键啦，就像一把神奇的钥匙，能帮我们解开这道题的锁。
2. 然后我们对要求最小值的式子(1)/(x)+(9)/(y)进行变形。
我们把“1”（也就是x + y）代进去，就得到((1)/(x)+(9)/(y))(x + y)。
3. 接下来就展开这个式子呗。
((1)/(x)+(9)/(y))(x + y)=(1)/(x)× x+(1)/(x)× y+(9)/(y)×x+(9)/(y)× y = 1+(y)/(x)+(9x)/(y)+9 = 10+(y)/(x)+(9x)/(y)。
4. 到这一步呢，基本不等式就该闪亮登场啦。
因为x> 0，y> 0，根据基本不等式a + b≥2√(ab)（这里a=(y)/(x)，b = (9x)/(y)），所以(y)/(x)+(9x)/(y)≥2√(frac{y){x}×(9x)/(y)} = 2√(9)=6。
5. 那么10+(y)/(x)+(9x)/(y)≥10 + 6 = 16，所以(1)/(x)+(9)/(y)的最小值就是16啦。
当且仅当(y)/(x)=(9x)/(y)，再结合x + y = 1（可以联立方程组求解哦），就能求出此时x和y的值啦。
这就是基本不等式“1”的代换的一个经典例题，是不是还挺有趣的呢？就像玩一个巧妙的数字游戏一样。
一元二次不等式例题20道
例题1 题目：解不等式x 2 −4x+3>0。
答案：x<1 或x>3。
例题2 题目：解不等式2x 2 −5x−3≤0。
答案：− 2 1 ≤x≤3。
例题3 题目：解不等式x 2 −6x+9<0。
答案：无解。
例题4 题目：解不等式4x 2 −12x+9≥0。
答案：x= 2 3 。
例题5 题目：解不等式x 2 +2x−3<0。
答案：−3<x<1。
例题6 题目：解不等式x 2 −2x−8>0。
答案：x<−2 或x>4。
例题7 题目：解不等式3x 2 −5x−2≤0。
答案：− 3 1 ≤x≤2。
例题8 题目：解不等式x 2 +4x+4>0。
答案：x =−2。
例题9 题目：解不等式2x 2 +x−3≥0。
答案：x≤− 2 3 或x≥1。
例题10 题目：解不等式−x 2 +4x−4<0。
答案：x =2。
例题11 题目：解不等式x 2 −5x<0。
答案：0<x<5。
例题12 题目：解不等式4x 2 −4x+1>0。
答案：无解（因为不等式左侧是完全平方，始终非负，但等号不成立）。
例题13 题目：解不等式x 2 −3x−10≤0。
答案：−2≤x≤5。
例题14 题目：解不等式2x 2 +7x+3>0。
答案：x<− 2 3 或x>− 2 1 。
例题15 题目：解不等式x 2 −2 2 x+2≤0。
答案：x= 2 。
例题16 题目：解不等式x 2 +x−6<0。
答案：−3<x<2。
例题17 题目：解不等式x 2 −4x−5≥0。
答案：x≤−1 或x≥5。
例题18 题目：解不等式4x 2 −12x−5<0。
答案：需要求解对应的二次方程找到根，然后判断不等式的解集。
例题19 题目：解不等式−2x 2 +5x+3>0。
答案：− 2 1 <x<3。
例题20 题目：解不等式x 2 +6x+8≤0。
不等式练习题及答案
不等式练习题及答案不等式练习题及答案不等式是数学中常见的概念，它描述了数值之间的大小关系。
在解决实际问题时，不等式也经常被用来建立数学模型。
本文将为大家提供一些不等式练习题及其答案，帮助读者提升对不等式的理解和应用能力。
1. 练习题一：解不等式求解不等式2x - 5 < 3x + 2。
解答：首先，我们可以将不等式转化为等式，即2x - 5 = 3x + 2。
然后，将x项移到一边，常数项移到另一边，得到2x - 3x = 2 + 5。
化简得到-x = 7，再乘以-1，得到x = -7。
所以，不等式2x - 5 < 3x + 2的解集为x < -7。
2. 练习题二：求不等式的解集求解不等式x^2 - 4x > 3。
解答：首先，我们可以将不等式转化为等式，即x^2 - 4x = 3。
然后，将所有项移到一边，得到x^2 - 4x - 3 > 0。
接下来，我们可以使用因式分解或配方法来求解这个二次不等式。
通过因式分解，我们可以得到(x - 3)(x + 1) > 0。
根据零点的性质，我们可以得到x - 3 > 0或x + 1 > 0。
解得x > 3或x > -1。
所以，不等式x^2 - 4x > 3的解集为x > 3。
3. 练习题三：证明不等式证明对于任意正实数a、b和c，有(a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)。
解答：我们可以使用数学归纳法来证明这个不等式。
首先，当n = 2时，不等式成立，即(a + b)^2 ≥ 3ab。
假设当n = k时，不等式成立，即(a1 + a2 + ... + ak)^2 ≥ 3(a1a2 + a2a3 + ... + ak-1ak)。
我们需要证明当n = k + 1时，不等式也成立。
考虑(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)^2，展开后可以得到：(a1 + a2 + ... + ak)^2 + 2(a1 + a2 + ... + ak)(ak+1) + ak+1^2。
高一数学不等式部分经典习题及答案
ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。
如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
高考不等式经典例题
高考不等式经典例题高考数学中的不等式经典例题通常包括比较两个数（式）的大小、不等式的性质、一元二次不等式恒成立问题、特值法判断不等式等。
以下是一些高考数学中不等式的经典例题：例1：比较两个数的大小题目：若a = 1/2, b = 3, c = 2, 请比较a, b, c的大小。
解答：因为a = 1/2 < 1 < 2 < 3 = b < c，所以a < b < c。
例2：不等式的性质题目：若x > 0, y > 0, 且x + y > 2, 请证明：xy < 1。
解答：根据不等式的性质，可以得到以下推导：x > 0, y > 0, 则x + y > 2 > 0, 所以xy < (x + y) / 2 < 1。
例3：一元二次不等式恒成立问题题目：若a, b, c均为实数，且a > 0, b > 0, c > 0。
求解不等式：ax2 + bx + c > 0。
解答：首先考虑判别式，由一元二次方程的判别式可知，当判别式小于0时，不等式恒成立。
因此，我们需要求解判别式：Δ= b2 - 4ac < 0，所以不等式ax2 + bx + c > 0恒成立。
例4：特值法判断不等式题目：若a, b为实数，且a > 0, b > 0。
求解不等式：a2 + b2 > ab。
解答：我们可以使用特值法来求解这个不等式。
取a = 2, b = 1，则a2 = 4, b2 = 1, ab = 2。
因为4 > 2 > 1，所以a2 + b2 > ab。
希望以上例题能够帮助你复习不等式部分的知识，祝你高考取得好成绩！。
基本不等式经典题目
基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\) 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 \(p\) 和 \(q\) 是大于 \(1\) 的实数且满足\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则对于任意 n 维实数序列\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\)，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots,x_n\)，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 \(a\) 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量，\(E(X)\) 为期望，\(V(X)\) 为方差。
5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 \(a > 0\) 和 n 维非负实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量。
不等式计算题50道
不等式计算题50道一、一元一次不等式1. 解不等式2x + 3>5- 解析：首先将常数项移到右边，得到2x>5 - 3，即2x>2。
然后两边同时除以2，解得x > 1。
2. 解不等式3x-1<8- 解析：先将常数项移到右边，3x<8 + 1，也就是3x<9。
两边同时除以3，解得x<3。
3. 解不等式(1)/(2)x+5≥slant3- 解析：先将常数项移到右边，(1)/(2)x≥slant3 - 5，即(1)/(2)x≥slant - 2。
两边同时乘以2，解得x≥slant - 4。
4. 解不等式4-(2)/(3)x>2- 解析：先将常数4移到右边，-(2)/(3)x>2 - 4，即-(2)/(3)x>-2。
两边同时乘以-(3)/(2)，不等号方向改变，解得x < 3。
5. 解不等式5x+2≤slant3x - 4- 解析：先将含x的项移到左边，常数项移到右边，5x-3x≤slant - 4 - 2，即2x≤slant - 6。
两边同时除以2，解得x≤slant - 3。
6. 解不等式2(x - 1)+3>3x- 解析：先展开括号2x-2 + 3>3x，即2x + 1>3x。
将2x移到右边，得到1>3x-2x，解得x < 1。
7. 解不等式3(x + 2)-1≥slant5x-2- 解析：展开括号得3x+6 - 1≥slant5x-2，即3x + 5≥slant5x-2。
移项3x-5x≥slant - 2 - 5，-2x≥slant - 7。
两边同时除以-2，不等号方向改变，解得x≤slant(7)/(2)。
8. 解不等式(3x - 1)/(2)<(2x+3)/(3)- 解析：两边同时乘以6去分母，得到3(3x - 1)<2(2x + 3)。
展开括号9x-3<4x + 6。
移项9x-4x<6 + 3，5x<9，解得x<(9)/(5)。
初中不等式经典例题
初中不等式经典例题一、例题11. 若不等式3x - a ≤ 0的正整数解是1、2、3，求a的取值范围。
这题啊，可有点小绕呢。
首先我们来解这个不等式3x - a ≤ 0，把它变形一下就得到x ≤ a/3。
正整数解是1、2、3，那就是说3肯定是满足这个不等式的，所以3 ≤ a/3，这就得出a ≥ 9。
但是呢，4就不满足这个不等式了，要是4满足的话正整数解就不止1、2、3了，所以4 > a/3，也就是a < 12。
所以啊，a的取值范围就是9 ≤ a < 12。
2. 已知关于x的不等式组{x - a > 0，1 - x > 0}的整数解共有3个，求a的取值范围。
先看这个不等式组，x - a > 0，那就是x > a；1 - x > 0，变形一下就是x < 1。
这个不等式组的解集就是a < x < 1。
它的整数解共有3个，那这三个整数解肯定是 - 2， - 1，0啊。
所以 - 3 ≤ a < - 2。
为什么呢？要是a < - 3的话，整数解就不止3个了，要是a ≥ - 2的话，整数解就没3个了，是不是很有趣呢？二、例题21. 解不等式2(x - 1) + 5 < 3x。
这题看着简单，可也有不少同学会犯错哦。
我们先把括号展开，2x - 2 + 5 < 3x，然后把含有x的项移到一边，常数项移到另一边，就得到2x - 3x < 2 - 5，也就是 - x < - 3。
两边同时除以 - 1，注意哦，除以一个负数的时候，不等式要变号，所以x > 3。
2. 若不等式组{x + 8 < 4x - 1，x > m}的解集是x > 3，求m 的取值范围。
先解x + 8 < 4x - 1，移项得到x - 4x < - 1 - 8， - 3x < - 9，x > 3。
这个不等式组的解集是x > 3，还有个x > m，那m肯定是小于等于3的。
不等式练习题带解析
不等式练习题带解析一、一元一次不等式1. 解下列不等式：(1) 3x 7 > 2(2) 5 2x ≤ 3x + 1(3) 4(x 3) > 2x + 62. 已知不等式2x 5 > 7，求解x的取值范围。
二、一元二次不等式1. 解下列不等式：(1) x^2 5x + 6 > 0(2) 2x^2 3x 2 < 0(3) x^2 4x + 4 ≤ 02. 已知不等式x^2 6x + 9 > 0，求解x的取值范围。
三、分式不等式1. 解下列不等式：(1) 1/x > 2(2) x/(x 1) ≤ 3(3) (x + 2)/(x 3) > 02. 已知不等式(x 1)/(x + 2) < 0，求解x的取值范围。
四、绝对值不等式1. 解下列不等式：(1) |x 3| > 2(2) |2x + 1| ≤ 3(3) |x + 4| < 52. 已知不等式|3x 5| ≥ 7，求解x的取值范围。
五、综合运用1. 已知不等式组：2x 3y > 6x + 4y ≤ 8求解该不等式组的解集。
2. 设x为实数，求解下列不等式组：x^2 5x + 6 > 03x 2 < 2x + 13. 已知不等式|2x 1| |x + 3| > 0，求解x的取值范围。
六、含参不等式1. 解下列不等式，其中a为常数：(1) ax 4 > 2x + a(2) (a + 1)x 2(a 3) < 3x + a(3) |x a| ≤ a2. 当a为何值时，不等式组有解？(1) ax 5 > 2x + 1(2) 3x a ≤ 4 x七、实际应用题1. 某商品的成本为x元，售价为150%的成本价，若要使利润超过成本的一半，求x的取值范围。
2. 一辆汽车以v km/h的速度行驶，其油耗为v^2/100升/公里。
若要使油耗不超过5升/100公里，求v的取值范围。
不等式的基本公式例题
不等式的基本公式例题在数学中，不等式是描述两个数之间大小关系的一种表示方法。
不等式可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）等符号的组合。
在解决问题时，使用不等式的基本公式例题可以帮助我们建立正确的思维方式和解题方法。
下面将提供一些关于不等式的基本公式例题，并以相应的格式进行解答。
例题一：求解不等式2x - 1 < 7。
解答：将不等式中的x项移到一边，并将常数项移到另一边，得到不等式形式为：2x < 7 + 12x < 8接下来，我们需要将不等式左边的系数变为1，因此两边同时除以2：x < 8/2x < 4所以，不等式2x - 1 < 7的解集为x < 4。
例题二：求解不等式3(x + 1) ≥ 4(x - 2) - 1。
解答：首先，我们需要将不等式中的括号展开，得到：3x + 3 ≥ 4x - 8 - 1然后，将相同项合并，得到：3x + 3 ≥ 4x - 9接下来，将变量项移到一边，并将常数项移到另一边，得到不等式形式为：3x - 4x ≥ -9 - 3-x ≥ -12注意，当乘以-1时，需要反转不等式的方向，即得到：x ≤ 12所以，不等式3(x + 1) ≥ 4(x - 2) - 1的解集为x ≤ 12。
例题三：求解不等式2x - 3 > x + 4。
解答：将不等式中的x项移到一边，并将常数项移到另一边，得到不等式形式为：2x - x > 4 + 3x > 7所以，不等式2x - 3 > x + 4的解集为x > 7。
通过以上例题的解答，我们可以看到不等式的基本公式在解决问题时起着重要的作用。
通过对不等式进行整理和计算，我们可以得出不等式的解集，从而得到数值范围的区间，这对于解决数学问题和实际应用具有重要意义。
总结：不等式的基本公式例题是理解和掌握不等式概念和解题方法的关键所在。
基本不等式典型例题
基本不等式典型例题一、利用基本不等式求最值1. 例1：已知x > 0，求y = x+(1)/(x)的最小值。
- 解析：对于基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0，当且仅当a = b时等号成立）。
- 在y=x+(1)/(x)中，a = x，b=(1)/(x)，因为x>0，所以(1)/(x)>0。
- 根据基本不等式y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2。
- 当且仅当x=(1)/(x)（x > 0），即x = 1时等号成立。
所以y的最小值为2。
2. 例2：已知x <0，求y=x+(1)/(x)的最大值。
- 解析：因为x<0，则-x>0。
- 此时y=x+(1)/(x)=-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]。
- 对于-x和(1)/(-x)，根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），这里a=-x，b = (1)/(-x)，则(-x)+(1)/(-x)≥slant2√((-x)×frac{1){-x}}=2。
- 所以y =-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]≤slant - 2，当且仅当-x=(1)/(-x)，即x=-1时等号成立。
所以y的最大值为-2。
二、基本不等式在实际问题中的应用1. 例3：用篱笆围一个面积为100m^2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？- 解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy = 100。
- 篱笆的周长C=2(x + y)。
- 根据基本不等式x + y≥slant2√(xy)，因为xy = 100，所以x +y≥slant2√(100)=20。
- 则C = 2(x + y)≥slant40。
- 当且仅当x=y时等号成立，由xy = 100且x=y，可得x=y = 10。
不等式练习题及答案
不等式练习题及答案不等式是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系，通常用于解决实际问题中的最值问题。
下面我将提供一些不等式的练习题，以及相应的答案，帮助大家更好地理解和掌握不等式的解法。
练习题1：解不等式：\[ x^2 - 5x + 6 < 0 \]答案：首先，将不等式因式分解为：\[ (x-2)(x-3) < 0 \]因此，不等式成立的条件是两个因子的乘积为负数，即一个因子为正，另一个为负。
这发生在\[ 2 < x < 3 \]的区间内。
练习题2：解绝对值不等式：\[ |x - 4| > 3 \]答案：绝对值不等式可以分成两个不等式来解：1. 当\[ x - 4 > 3 \]时，解得\[ x > 7 \]。
2. 当\[ -(x - 4) > 3 \]，即\[ x - 4 < -3 \]时，解得\[ x < 1 \]。
因此，不等式的解集为\[ x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty) \]。
练习题3：解不等式组：\[\begin{cases}x + 2 > 0 \\x - 3 < 0\end{cases}\]答案：第一个不等式\[ x + 2 > 0 \]解得\[ x > -2 \]。
第二个不等式\[ x - 3 < 0 \]解得\[ x < 3 \]。
因此，不等式组的解集是两个解集的交集，即\[ -2 < x < 3 \]。
练习题4：解不等式：\[ \frac{x^2 - 1}{x - 1} \geq 0 \]答案：首先，将分子因式分解为\[ (x+1)(x-1) \]，然后考虑分母不能为零，即\[ x \neq 1 \]。
接下来，我们分析分子和分母的符号：- 当\[ x < -1 \]时，分子和分母都是负数，因此整个表达式是正数。
- 当\[ -1 < x < 1 \]时，分子是正数，分母是负数，因此整个表达式是负数。
不等式经典例题
不等式经典例题一、一元一次不等式例1：解不等式2x + 3>5x - 11. 移项- 将含有x的项移到一边，常数项移到另一边。
- 得到2x-5x > - 1 - 3。
2. 合并同类项- 计算得-3x>-4。
3. 求解x的范围- 两边同时除以-3，因为除以一个负数，不等式要变号。
- 所以x <(4)/(3)。
二、一元一次不等式组例2：解不等式组x + 3>2x - 1 2x - 1≥(1)/(2)x1. 解第一个不等式x + 3>2x - 1- 移项可得x-2x > - 1 - 3。
- 合并同类项得-x>-4。
- 两边同时除以-1，不等式变号，解得x < 4。
2. 解第二个不等式2x - 1≥(1)/(2)x- 移项得到2x-(1)/(2)x≥1。
- 合并同类项(3)/(2)x≥1。
- 两边同时乘以(2)/(3)，解得x≥(2)/(3)。
3. 综合两个不等式的解- 所以不等式组的解集为(2)/(3)≤x < 4。
三、一元二次不等式例3：解不等式x^2-3x + 2>01. 因式分解- 对x^2-3x + 2进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)>0。
2. 分析不等式的解- 要使(x - 1)(x - 2)>0成立，则有两种情况：- 情况一：x - 1>0 x - 2>0，即x>1 x>2，取交集得x>2。
- 情况二：x - 1<0 x - 2<0，即x<1 x<2，取交集得x<1。
- 所以不等式的解集为x < 1或x>2。
不等式及恒成立经典例题
不等式及恒成立经典例题例1 已知f(x)=x 2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x ∈R ，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围.(2)如果对x ∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a 的取值范围.解：f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x ，f(x)＞0，则△＜0，即(a-2)2-4＜0，∴0＜a ＜4；(2)当x ∈〔-3，1〕时，f(x)＞0，对称轴2-a 可在区间内，也可在区间外， ∴ 或 或 解得- ＜a ＜4例2 设A=｛x ｜-2＜x ＜-1,或x ＞1｝，B=｛x ｜x 2+ax+b≤0｝，已知A ∪B=｛x ｜x ＞-2｝，A∩B=｛x ｜1＜x≤3｝，试求a,b 的值.分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析.解：如图所示，设B=｛x ｜α≤x≤β｝设想集合B 所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B“覆盖”住集合｛x ｜-1≤x≤3｝，才能使A∩B=｛x ｜1＜x≤3｝∴“α≤-1且β≥1”，并且α≥-1及β=3.∴α=-1,β=3.因此B=｛x ｜-1≤x≤3｝，根据二次不等式与二次方程的关系，可知-1与3是方程x 2+ax+b=0的两根.∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.解恒成立问题常用方法1 分离参数法例3：设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。
解： 由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：()0121>+-+++a n n x xx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔x x x n n n a 1121 ，由指数函数单调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x n n n x 1121 ϑ的最大值是()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211 ϑ＝()n -121 故 a>()n -121 例 2： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。
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【经典例题1】
1、已知a＜b，则下列不等式中不正确的是（）
A.4a＜4b
B.a+4＜b+4
C.﹣4a＜﹣4b
D.a﹣4＜b﹣4
2、不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是( )
3、实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是
( )
A.ac > bc
B.|a–b| = a–b
C.–a <–b < c
D.–a–c >–b–c
【经典例题2】
4、如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）
A.a≤﹣1
B.a＜﹣1
C.﹣2≤a＜﹣1
D.﹣2＜a≤﹣1
5、关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）
A.﹣＜a≤﹣
B.﹣≤a＜﹣
C.﹣≤a≤﹣
D.﹣＜a＜
﹣
6、若关于的不等式组有三个负整数解，则的取值范围是
（）.
A.-4<a<-3
B.-3<a≤-2
C.-4≤a<-3
D.-3≤a≤-2 【经典例题3】
7、某商品的进价为800元,出售标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,要保证利润率不低于5％,该商品最多可打( )
A. 9折
B. 8折
C. 7折
D. 6折
8、在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破.操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒.为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（）
A.66厘米
B.76厘米
C.86厘米
D.96厘米
9、某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）
A.40%
B.33.4%
C.33.3%
D.30%
【经典例题4】
10、不等式﹣3x﹣1＜7的负整数解是_________.
11、某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元。
由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价
____________元出售该商品。
12、对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190？”为一次操作.如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是_________.
【经典例题5】
13、解不等式：. 14、解不等式组
.
【经典例题6】
15、若不等式组的解集为，求的值.
16、已知关于x，y的方程组的解满足不等式组求满足条件的m的整数值. 17、某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品.购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售.若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81 600元，B种商品最低售价为每件多少元？
参考答案
1、C
2、D.
3、D
4、C
5、B
6、C
7、C
8、D
9、B
10、答案为：﹣1，﹣2.
11、答案为：6
12、答案为：x＞64.
13、答案为：；
14、答案为：﹣2＜x≤1.
15、解：原不等式组可化为
因为它的解集为所以解得
16、m＝－3或－2.
17、（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意得
解得
答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件. （2）由于A商品购进400件，获利为（1 380-1 200）×400=72 000（元）.
从而B商品售完获利应不少于81 600-72 000=9 600（元）.
设B商品每件售价为z元，则120（z-1 000）≥9 600.解得z≥1 080.
答：B种商品最低售价为每件1 080元.。