点估计的基本思想及评价标准
点估计的评价标准
点估计的评价标准在统计学中，点估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的方法。
点估计的评价标准是统计学中一个非常重要的问题，因为它直接关系到所得到的估计结果的准确性和可靠性。
在实际应用中，我们常常需要对总体参数进行估计，比如平均值、方差、比例等，而点估计就是用来解决这个问题的。
对于点估计的评价标准，主要有无偏性、有效性和一致性三个方面。
首先，无偏性是评价点估计的重要标准之一。
无偏性是指在重复抽样的情况下，样本估计量的数学期望等于总体参数的真值。
换句话说，就是样本估计量的平均值等于总体参数的真值。
如果一个估计量是无偏的，那么它的抽样分布的中心值将会接近总体参数的真值。
无偏性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在大量重复抽样的情况下，估计结果不会出现系统性的偏差。
其次，有效性是评价点估计的另一个重要标准。
有效性是指在所有可能的总体分布下，一个估计量的方差最小。
换句话说，就是在所有可能的估计量中，方差最小的那个估计量是最有效的。
有效性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在给定样本量的情况下，估计结果的精确度最高。
最后，一致性是评价点估计的另一个重要标准。
一致性是指当样本量逐渐增大时，估计量趋向于总体参数的性质。
换句话说，就是当样本量足够大的时候，估计结果将会越来越接近总体参数的真值。
一致性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在大样本量的情况下，估计结果的稳定性和可靠性。
综上所述，无偏性、有效性和一致性是点估计的评价标准。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择合适的估计方法，并且对所得到的估计结果进行评价。
只有在估计结果具有无偏性、有效性和一致性的情况下，我们才能够对总体参数进行准确和可靠的估计。
因此，对于点估计的评价标准，我们必须严格把关，确保所得到的估计结果是具有统计学意义的。
点估计的评价标准
例6.2.7 均匀总体U(0, )中 的极大似然估计是x(n) 由于 ，所以x(n)不是 的无偏估计，而是 的渐近无偏估计。经过修偏后可以得到 的一个无 偏估计： 。且
另一方面，由矩法我们可以得到 的另一个无偏 估计 ，且 由此，当n>1时， 比 有效。
6.2.4
均方误差
无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参 数真值 的距离平方的期望，这就是下式给出的均方 误差
量序列,相合性就是 依概率收敛于,所以证明
估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种
大数定律。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。 定理6.2.1 设ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 是 的一个估计量， ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 若 lim E ˆn , lim Var ˆn 0,
由定理6.2.1可知，x(n)是 的相合估计。
由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到： 矩估计一般都具有相合性。比如：
样本均值是总体均值的相合估计；
样本标准差是总体标准差的相合估计；
样本变异系数是总体变异系数的相合估计。
6.2.2
无偏性
定义6.2.2
设 ˆ ˆ ( x , , x ) 是 的一个估计， 1 n 的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有
均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望 估计的均方误差越小越好。
注意到
MSE ( ) Var( ) ( E )
ˆ )=Var( ˆ )+(E ˆ - )2 . MSE(
2
(1)
若 ˆ是 的 无 偏 估 计 , 则 M SE ((ˆ ) Var) (ˆ ), ) Var( ˆ M SE
点估计量的评价标准
点估计量的评价标准点估计是统计学中一个重要的概念，它是利用样本数据来估计总体参数的值。
在实际应用中，我们经常需要对总体参数进行估计，而点估计量就是用来估计总体参数的统计量。
在进行点估计时，我们需要对点估计量的表现进行评价，以确保我们得到的估计是准确可靠的。
因此，本文将从偏差、方差和均方误差三个方面对点估计量的评价标准进行详细介绍。
首先，我们来看偏差。
偏差是指估计量的期望值与真实参数值之间的差异。
一个好的点估计量应该是无偏的，即其期望值等于真实参数值。
如果估计量存在偏差，那么它在大量重复抽样的情况下，估计值的平均将会偏离真实参数值。
因此，我们通常会对估计量的偏差进行评价，以确保我们得到的估计是准确的。
其次，方差也是一个重要的评价指标。
方差衡量了估计量的离散程度，即在重复抽样的情况下，估计值的变动程度。
一个好的点估计量应该是具有较小的方差，这意味着在不同的样本中，估计值的变动程度较小，估计结果较为稳定。
因此，我们需要对估计量的方差进行评价，以确保我们得到的估计是稳定可靠的。
最后，我们来看均方误差。
均方误差是衡量估计量的精确程度的指标，它是估计值与真实参数值之间差异的平方的期望值。
一个好的点估计量应该是具有较小的均方误差，这意味着估计值与真实参数值之间的差异较小，估计结果较为精确。
因此，我们需要对估计量的均方误差进行评价，以确保我们得到的估计是精确可靠的。
综上所述，点估计量的评价标准主要包括偏差、方差和均方误差三个方面。
一个好的点估计量应该是无偏的、具有较小的方差和均方误差，这样才能保证估计结果的准确性和可靠性。
因此，在进行点估计时，我们需要对估计量的偏差、方差和均方误差进行综合评价，以确保我们得到的估计是准确、稳定和精确的。
希望本文对点估计量的评价标准有所帮助，谢谢阅读！。
6-2点估计的评价标准
n
n
Var(ˆ1 ) ci2Var(xi ) 2 ci2
n
i 1n
n
i 1
利用柯西不等式 ( aibi )2 ( ai2 )( bi2 ) ,其中等号成立的充要条件是
i 1
i 1
i 1
a1 b1 a2 b2 an bn
而 1
n
ci
2
1 (
n
ci2 )(
n
1) n
判断一致性的三个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k阶矩的 相合估计. 即矩估计具有相合性 由辛钦大数定律可证
2. 设ˆn是 的一个估计, 且
定理1
lim
n
E(ˆn
)
lim
n
Var
(ˆn
)
0
定理2 则 ˆn 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
3. 若ˆn1 ,ˆn2 ,....,ˆnk 分别是 1,2 ,....,k 的相合
例11. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个
样本, 则由前可知：θ的最大似然估计是x(n).
由于
Ex(n)
n
n 1
所以x(n)不是θ的无偏估计, 而是渐近无偏估计.
但修正后可得θ的一个无偏估计:
ˆ 1
n
n
1
x(
n
)
另由矩法估计可知 ˆ2 2x 也是θ的无偏估计,
n
Var (ˆi )
1
2
n1
n
Var j 1
(
x
j
)
2
n1
ji
. 因此, x比 ˆi的方差小, 因而x比ˆi要优
概率论与数理统计-点估计-矩法估计
x
dx
2
2
0
故令
1
n
n
i2
i 1
2ˆ2
n
于是解得 的矩估计量为
ˆ
1 2n
i2
i 1
估计量的评价 标准
点估计有多种方法，同一个未知参数用不同的方法可得 到不同的估计量，那一个估计量好呢？必须有个评价标准。 评价标准有多种，用不同方法评价，得到的结论也不一样。
因此，说一个估计量的好坏，必须说明是用那一个评价标准 评价的。否则，是没有意义的。
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
理论依据: 大数定律
由辛钦大数定理知，
可以用
X
1 n
n i 1
Xi去估计EX,
如.求一个战士的射击命中率?
估计量,这个估计量称为矩估计量.
例2.设 : （， 2），求， 2的矩法估计量。
解：p( ,, 2 )
1
e
(
x )2 2 2
2
E x
1
(x )2
e 2 2 dx
2
xR
E 2 x2
1
(x )2
e 2 2 dx 2 2
2
列方程组：
2
1 n
n i1
2 1
n
i
n i 1
点估计问题就是要构造一个适当的统计量
ˆ(1,2 ,L ,n ),用它的观察值ˆ(x1, x2 ,L , xn ) 来估计未知参数 .
ˆ(1,2,L ,n )称为 的估计量. 通称估计,
2.2 点估计的评价标准
例1 设总体X 的 k 阶矩 k E ( X ) 存在 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体X 的样本,
k
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n 则 Ak X ik 是 k 的无偏估计量. n i 1 证 由于 E ( X ik ) k i 1,2, , n 因而
智商
组别
人数
智商平均数
样本标准差
甲 组 乙 组
n 6
46
x 78
99
s
19 16
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一 代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大? 提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题
解 智商一般受诸多因素的影响.从而可以
假定两组儿童的智商服从正态分布.
N (u1 , )和N (u 2 , )
n
2
因而
n n 1 1 2 2 2 E ( X i X ) E ( X i ) E ( X ) n i 1 n i 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n 1 2 2 n 1 n 2 2 (Xi X ) 故 E 证毕. n 1 i 1
2
估计量
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 ( X 1 , X 2 , , X n ) (n > 1) . 证明
n 1 2 2 (1) S n ( X i X ) 不是 D( X )的无偏估 n i 1
量; 1 2 (2) S
n 1 i 1
2 ( X X ) i
1 2 故 (n n) p X i X m i 1
2 2
m
第六章点估计教案要点
第六章参数估计在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.参数估计问题的一般提法:设有一个统计总体, 总体的分布函数为),(x F ,其中为未知参数(可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本nX X X ,,,21,再依据该样本对参数作出估计, 或估计参数的某已知函数).(g 第一节点估计问题概述一、点估计的概念设n X X X ,,,21是取自总体X 的一个样本, n x x x ,,,21是相应的一个样本值. 是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数, 需构造一个适当的统计量),,,,(?21n X X X 然后用其观察值),,,(?21n x x x 来估计的值.称),,,(?21n X X X 为的估计量. 称),,,(?21n x x x 为的估计值. 在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为?.注: 估计量),,,(?21n X X X 是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值,的估计值?一般是不同的.例1设X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：.0,00,1),(~/xx ex f X x 为未知参数, 0. 现得样本值为168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,试估计未知参数.二、评价估计量的标准估计量的评价一般有三条标准:无偏性; 有效性; 相合性（一致性）.1．无偏性定义1设),,(?1n X X 是未知参数的估计量, 若,)?(E 则称?为的无偏估计量.注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差. 在科学技术中, 称)?(E 为用?估计而产生的系统误差.定理1 设n X X ,,1为取自总体X 的样本,总体X 的均值为, 方差为2.则(1) 样本均值X 是的无偏估计量;(2) 样本方差2S 是2的无偏估计量;(3) 样本二阶中心矩ni iX X n12)(1是2的有偏估计量.2．有效性定义2设),,(??111n X X 和),,(??122n X X 都是参数的无偏估计量, 若)?()?(21D D ,则称1?较2?有效.注:在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下:设n X X ,,1是取自总体X 的一个样本, ),,(?1n X X 是未知参数的一个估计量,若?满足:(1) ,)?(E 即?为的无偏估计;(2) ),?()?(E ?是的任一无偏估计.则称?为的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).3．相合性(一致性) 定义 3 设),,(??1n X X 为未知参数的估计量, 若?依概率收敛于, 即对任意0, 有,1}|?{|lim P n或,0}|?{|lim P n则称?为的(弱)相合估计量.例2设总体),0(~2N X ,n x x x ,,,21是来自这一总体的样本.(1) 证明ni ix n1221?是2的无偏估计;(2) 求).?(2D 例3设n X X X ,,,21为来自总体X 的样本, X ,),,2,1(n i X i 均为总体均值)(X E 的无偏估计量, 问哪一个估计量有效?例4 设总体),(~2N X ,n X X ,,1为其样本. 试证样本方差2S 是2的相合估计量.课堂练习设总体X 的k 阶矩)1)((kX E kk存在, 又设nX X X ,,,21是X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本矩ni k ikXnA 11是k 阶总体矩k的无偏估计量.课后作业：P137 T 3、4第二节点估计的常用方法（1）一、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在大数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记总体k 阶矩);(kkX E 样本k 阶矩ni kik X n A 11;总体k 阶中心矩;)]([kk X E X E V 样本k 阶中心矩.)(11ni kikX X nB 用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计.求矩估计的方法：设总体X 的分布函数),,;(1k x F 中含有k 个未知参数k,,1, 则(1) 求总体X 的前k 阶矩k,,1，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为k i g ki i,,2,1),,,(1（*）(2) 从（*）中解得kjh kj j,,2,1),,,(1(3) 再用),,2,1(k ii 的估计量i A 分别代替上式中的i,即可得),,2,1(k i j的矩估计量:.,,2,1),,,(?1k j A A h k j j注：求,,,1k V V 类似于上述步骤，最后用kB B ,,1代替k V V ,,1，求出矩估计j?),,2,1(k I。
62 点估计的评价标准
通过此例题,我们看到,要证明一个估计量具有相 合性,必须证明它依概率收敛,这有时很麻烦.因此,我们 下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理.
17
ˆ 是的 定 理 6 .1 设 个 估 计 量 ,若 n 一 ˆ ) ˆ )0 lim E ( , 且 lim V a r (
2 C (X X ) i 1 i i 1 n 1
为Var (X)的无偏估计. 分析 需选择C，使
2 E [ C ( X X )] V a rX ( ) i 1 i i 1 n 1
6
2 2 C E ( X X ) E [ C ( X X ) ] 解 i1 i i 1 i
证
k k 故有 E ( X ) E ( X ) ,i 1 , 2 , , n . i k
因为 X , X , , X 与 X 同分布， 1 2 n
1n k k. 即 E ( A ) E ( X k i) n i 1
故 k 阶 样 本 矩 A 是 k 阶 总 体 矩 的 无 偏 估 计 . k k
16
故B A X 2 2
2
2 2 依概率收敛于 E ( X ) [ E ( X )] 2,
所 以 B 是 的 相 合 估 计 量 . 2 n 又 lim 1 , n n 1 n 2 2 所 以 S B 也 是 的 相 合 估 计 量 . n 2 n 1
2
V a r ( X X ) V a r ( X ) V a r ( X ) 2 V a r ( X ) i 1 i i 1 i
E ( X X ) E ( X ) E ( X ) 0 i 1 i i 1 i
7.1 点估计的基本概念及矩估计方法
点估计的基本概念及矩估计方法总体样本统计量描述作出推断随机抽样统计推断：参数估计和假设检验这类问题称为参数估计问题.参数估计问题的一般提法设有一个总体X ，其分布函数为F (x,θ)，其中θ为未知参数，现从该总体抽样，得样本X 1,X 2,…,X n .参数估计问题就是利用从总体抽样得到的样本来估计总体未知参数的问题.要依据该样本对参数θ作出估计，或估计参数θ的某个函数g (θ).点估计（Point Estimation）参数估计区间估计（Interval Estimation）点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使它以一定的概率包含未知参数.这是点估计.这是区间估计.估计μ在区间(1.59, 1.77)内，假如我们要估计某队男生的平均身高.（假定身高服从正态分布N (μ,0.12)），现从该总体抽取容量为5的样本，分别为1.65 1.67 1.681.71 1.69,求总体均值μ的估计.估计μ为1.68，全部信息就由这5个数组成.设总体X 的分布函数F (x ,θ)形式已知，θ是待估参数，X 1, X 2, …, X n 为抽自总体X 的样本，x 1, x 2,…, x n 是相应的一个样本值. 据此，应如何估计未知参数θ呢？点估计问题为估计θ，需要构造一个适当的统计量每当有了样本观测值x 1,x 2,…,x n ，就代入该统计量计算出一个值作为未知参数θ的近似值.12ˆ(,,,),n X X X θ12ˆ(,,,)n x x x θ称为参数θ的估计量（Estimator ）.称为参数θ的估计值（Estimate ）.在不引起混淆情况下统称为估计，记为12ˆ(,,,)n X X X θ12ˆ(,,,)n x x x θˆθ注意：被估计的参数θ是一个未知常数，而估计量是样本的函数，是一个随机变量，当样本值取定后，估计值是个已知的数值.对于不同的样本值，θ的估计值一般不同.问题：使用什么样的统计量去估计θ？矩估计法（Method of Moments）最大似然估计法（Method of Maximum Likelihood）矩估计法由英国统计学家卡尔•皮尔逊（Karl Pearson）在20世纪初提出.1.矩估计方法的基本思想用样本矩估计总体矩利用样本k阶原点矩作为总体k阶原点矩的估计.由此进一步估计未知参数θ，这就是矩估计法.1857-1936由大数定律总体k 阶原点矩为因此，可以用A k 估计μk 设X 1,X 2, …, X n 为来自总体X 的一个样本，()kk E X μ=样本k 阶原点矩为若g 为连续函数，则用g (A k )估计g (μk )又由于μk 一般可以表示为总体中未知参数的函数，从而可以估计出未知参数.11n kk i i A X n ==∑11nP kk i i A X n ==−−→∑k μ()Pk g A −−→()k g μ2.矩估计的步骤（1）根据未知参数的个数，求出总体的各阶矩.设总体X~F (x ,θ1,θ2, …,θk ), X 1,X 2, …, X n 为来自总体X 的样本.1(,,),1,2,,l l k l kμμθθ==X 为连续型X 为离散型+12()(;,,)lll k E X x f x ,dxμθθθ∞-∞==⎰12()(;,,)Xll l k x R E X x p x ,μθθθ∈==∑总体X 的密度函数总体X 的分布律（3）用样本矩估计相应的总体矩，即：用A l 替代相应的μl ，得到θl 的矩估计量（2）解方程（组），得12ˆ(,,,),1,2,,l l kA A A l k θθ==（4）g (θ1 ,⋯,θk )的矩估计量为12ˆˆˆ(,,,)kg θθθ1(,,),1,2,,l l k l kθθμμ==解：（1）10.求总体的1阶矩例1.设总体X 的概率密度为其中α>−1是未知参数，X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的样本，求（1）参数α的矩估计量；（2）g (α)=(α+1)/α的矩估计量.(1),01()0,x x f x αα⎧+<<=⎨⎩其它1()E X μ=111(1)=2x dx αααα++=++⎰+()xf x dx ∞-∞=⎰112EX αμα+==+20. 解方程11211μαμ-=-21ˆ1X Xα-=-10.30. 用代替μ1，得α的矩估计为111nii A X X n ===∑用代替α，得g (α)=(α+1)/α的矩估计为ˆα21ˆ1X Xα-=-ˆ1ˆ()ˆgααα+=21X X =-例1.设总体X 的概率密度为其中α>−1是未知参数，X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本，求（1）参数α的矩估计量；（2）g (α)=(α+1)/α的矩估计量.(1),01()0,x x f x αα⎧+<<=⎨⎩其它例2.设总体X 的均值μ和方差σ2都存在，且σ2>0，但μ和σ2均未知，设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本，求μ,σ2的矩估计量.解：10.求总体的1阶矩和2阶矩122222()()()()E X E X D X EX μμμσμ==⎧⎪⎨==+=+⎪⎩20.解方程组12221μμσμμ=⎧⎪⎨=-⎪⎩30.分别以A 1, A 2代替μ1, μ2得到μ, σ2的矩估计量分别为1ˆA X μ==22222211111ˆ()n ni i i i A A X X X X n n σ===-=-=-∑∑例2.设总体X 的均值μ和方差σ2都存在，且σ2>0，但μ和σ2均未知，设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 样本，求μ,σ2的矩估计量.特别，若X~N (μ, σ2),μ, σ2未知，则μ, σ2的矩估计量分别为ˆX μ=2211ˆ()ni i X X n σ==-∑若总体X~U [a,b ],其中a<b 且均未知，X 1,X 2, …,X n 是来自总体X 的样本，则a ,b 的矩估计量分别为213ˆ()ni i a X X X n ==--∑213ˆ()ni i b X X X n ==+-∑优点：直观、简单缺点（1）不唯一，如例1例1.设总体X 的概率密度为其中α>−1是未知参数，X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本，求（1）参数α的矩估计；(1),01()0,x x f x αα⎧+<<=⎨⎩其它可以求总体的二阶矩μ2，用A 2代替μ2得到矩估计.规定：用尽量低阶的矩求相应的矩估计.缺点（2）损失信息，如例2例2.设总体X的均值μ和方差σ2都存在，且σ2>0，但μ和σ2均未知，设X1, X2,…,X n是来自总体X样本，求μ,σ2的矩估计量.若已知总体X的服从正态分布，则该分布形式已知的信息没有用到，从而造成信息的损失.。
点估计优势的评价标准
一、无偏性
如何决定两者谁最优？
可以考察两个统计量的方差.
ˆ ˆ D 1 E 1
ˆ E 2 ˆ D 2 2
2
显然, 无偏估计以方差小者为好, 这就引进
了有效性这一概念 .
二、有效性
ˆ ˆ ˆ ˆ 设1 1 X 1 , , X n 和 2 2 X 1 , , X n 都是 参本值会得到不 同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动，而它的期望值最好等于未知参数的真值.
ˆ 定义1 设 X 1 , X 2 , , X n 为未知参数的一个 ˆ 估计,若 的数学期望存在,且 ˆ E ,
ˆ 则成 为的一个无偏估计.
一个参数往往有不止一个无偏估计, 如 设总体X的期望为m, X1, X2, ..., Xn是抽取样本.
1 显然, X X i 也是m 的无偏估计, n i 1
n
1 1 X1 + X 3不是m 的无偏估计, 3 3
问题 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若
ˆ ˆ 1和 2都是参数的无偏估计量,
一个参数往往有不止一个无偏估计,
1 X i , i 1,2,, n;
如 设总体X的期望为m, X1, X2, ..., Xn是抽取样本.
E X i E X m , i 1,2,, n
X i是m的无偏估计.
参数点估计
例 1 设总体 X 服从参数为λ 的指数分布，其中参
数λ 未知， (X1, X2,, Xn) 是来自总体的一个样本，
求参数λ 的矩估计量.
解: 其概率密度函数为
f
(x,
)
e x
,
x0
0, x 0
总体X的期望为 E( X ) xexdx 1
0
从而得到方程
设 (x1, x2,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值,若似然函数
n
L(1 ,2 ,,k ) L( x1 , x2 ,, xk ;1 ,2 ,,k ) f ( xi ;1 ,2 ,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ˆ1 X;
ˆ 2
1 2
X1
1 3
X2
1 6
X3;
ˆ3 X1
且ˆ1较ˆ2 , ˆ3都有效.
证明 显然有 E(ˆ1 ) E(ˆ2 ) E(ˆ3 ) 且 D(ˆ1 ) D( X ) D( X ) / 3
D(ˆ2 ) D( X1 / 2 X 2 / 3 X 3 / 6) 14D( X ) / 36
设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ .设 (x1, x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值，若似然函数 L( ) 关于θ 可导. 令 d L( ) 0
d
解此方程得θ的极大似然估计值ˆ(x1, x2,, xn ) , 从而得到θ的极大似然估计量ˆ(X1, X2,, Xn) .
又由于 X1, X 2 ,, X n 相互独立且都服从泊松分布
于是有
E(ˆ1)
E(
X
第十章点估计
点分布 B1, ，参数空间 0,1，容易得到统计模型
n
xi
i1
1
n
, n xi i1
0,1
例２ 一批灯管寿命服从指数分布E(λ), λ>0 未知，从中
随机抽取n支， X1, X 2,为, X其n 寿命，则统计模型为
值；试估计参数 λ。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数 nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： EX
令 X ,
m1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
250
第二节 估计方法
二.极大似然估计法 特点：适用总体的分布类型已知的统计模型
n
f (x1; ) f (x2 ; ) f (xn ; ) f (xi ; ) i 1 n
仍称为似然函数，并记之为 L( ) L(x1, x2,, xn; ) f (xi; ) . i 1
第二节 估计方法
定义:设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1) 设 (x1, x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值，若似
第二节 估计方法
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 ,...,X n ) ˆ 2 ˆ 2 ( X1, X 2 ,...,X n ) ................................... ˆ k ˆ k ( X1, X 2 ,...,X n )
用上面的解来估计参数θi就是矩法估计.
X
S2
1 2
2
2 1
12
2
点估计--教学设计
概率论与数理统计教学设计
教学方法
与策略
板书设计
教学时间设计1.引导课题…………3分钟
2.学生活动…………5分钟
3.参数点估计定义…………22分钟
4.矩估计法…………20分钟
5.极大似然估计法…………45分钟5.课堂小结…………5分钟
教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。
教学进程
教学意图教学内容教学理念
引出课题（3分钟）某工厂生产某种零件，零件上的疵点数X为一随
机变量，假定X服从参数为λ的泊松分布，且
(0)
λλ>未知，设有以下的样本观察值，试估计
未知参数λ。
疵点数k0 1 2 3 4 5 6
频数k n14 27 26 20 7 3 3
激发学生的
兴趣，让学生
体会数学来
源于生活。
学生活动（5分钟）问题细化，学生讨论，激发兴趣。
从日常生活
的经验和常
识入手，调动
学生的积极
性。
参数点估计定义（22分
钟）参数估计：实际工作中碰到的总体X，它的分布类型往往是知道的（如果对总体的分布类型也未确定，参见第6章）只是不知道其中的某些参数。
例如：产品的质量指标X~ N（μ，σ2），但μ，σ2未知，借助于总体X的一个样本来估计。
由于μ=E（X），可测得x1，x2，…，x10，用x来估计μ。
分为参数的点估计和参数的区间估计。
未知，试求,μσ
为离散型，其分布律为。
点估计的评价标准共40页
估计量
Ch7-49
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X
)的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
Ch7-48
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
i1
i1
n
n
Ch7-58
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
n
2n
而
1
ic
ic 2
2
ic jc
i1 i1
1i jn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
Ch7-59
Ch7-57
点估计的评价标准
点估计的评价标准点估计是统计学中的一个重要概念，它是指通过样本数据估计总体参数的值。
在实际应用中，我们经常需要对总体参数进行估计，以便做出合理的决策。
而如何评价点估计的好坏，是统计学中的一个关键问题。
本文将从准确性、一致性、有效性等方面，对点估计的评价标准进行探讨。
首先，我们来谈谈点估计的准确性。
准确性是评价一个点估计方法好坏的重要标准。
一个好的点估计方法应该能够尽可能接近真实的总体参数值。
在评价准确性时，我们通常使用均方误差、偏差、方差等指标来进行评估。
均方误差是指估计值与真实值之间的平方差的期望值，偏差是指估计值与真实值之间的差值的期望值，方差则是用来衡量估计值的离散程度。
因此，一个准确的点估计方法应该具有较小的均方误差、偏差和方差。
其次，我们来谈谈点估计的一致性。
一致性是指当样本容量趋于无穷大时，点估计值趋于总体参数值的性质。
在评价一致性时，我们通常使用渐进性、相合性等指标来进行评估。
渐进性是指当样本容量趋于无穷大时，点估计值以概率1收敛于总体参数值，相合性则是指当样本容量趋于无穷大时，点估计值以概率收敛于总体参数值。
因此，一个一致的点估计方法应该具有较强的渐进性和相合性。
最后，我们来谈谈点估计的有效性。
有效性是指在所有可能的估计方法中，具有最小的方差的性质。
在评价有效性时，我们通常使用克拉美洛-拉奇下界等指标来进行评估。
克拉美洛-拉奇下界是指在所有无偏估计中，方差最小的下界。
因此，一个有效的点估计方法应该具有较小的方差。
综上所述，点估计的评价标准包括准确性、一致性和有效性。
一个好的点估计方法应该在这三个方面都具有较好的性能。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点，选择合适的点估计方法，并通过准确性、一致性和有效性等指标对其进行评价，以便得到合理的估计结果。
希望本文对点估计的评价标准有所帮助。
7.2 点估计的评价标准
是方差 2的无偏估计量, 则常数c等于( A. 1 4 B. 1 2
) C. 2 D. 4
2.(2006 - 7)若 为未知参数的估计量, 且满足E ( ) , 则称 是的( A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量
)
3.(2007 -10)设总体X ~ N ( , 2 ), x1 , x2 , x3为来自X 的样本, 则当常数a __ 时, ˆ 1 1 x1 ax2 x3是未知参数的无偏估计. 4 2
1 1 x1 x2 kx3为的 2 3
ˆ 4.(2008 1)设总体X ~ N ( ,1), ( x1 , x2 , x3 )为其样本, 若估计量 无偏估计量, 则k _______ .
ˆ1 , ˆ 2是总体 5.(2008 - 4)设总体是X ~ N( , 2),x1 , x2 , x3是总体的简单随机样本, ˆ1 参数的两个估计量, 且 的估计量是 ___ .
E ( X ) , D( X )
2
所以, X 是θ 的无偏估计量. 易知 Z min { X i } 服从参数为θ/n的指数分布,故
1i n
n
,
E (Z )
n
,
于是,
E (nZ ) ,
D(nZ ) n D( Z ) n 2 , n
ˆ) 称为用 ˆ 来估计 的系统误差.因此, E (
无偏估计就是说无系统误差.
【例1】设总体X存在均值μ 与方差σ 2>0,则 1、样本均值 X 是总体均值μ 的无偏估计; 2、样本方差 S 2 是总体方差σ 2的无偏估计. 〖解〗因为
n n 1 1 1 E ( X ) E X i E ( X i ) , n i 1 n i 1 n i 1
6.2点估计的评价标准
Var ( x( n ) ) ?
三、有效性
ˆ ˆ 比较参数 的两个无偏估计量1 和 2 , 如果 ˆ 在样本容量 n 相同的情况下 , 1 的观察值在真值 ˆ ˆ ˆ 的附近较 2 更密集 , 则认为1 较 2 有效 .
由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.
又因为 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2
2 2
2
n
2,
2
所以 E ( ) E ( A2 X ) E ( A2 ) E ( X ) ˆ
n 1 2 2 2 , 所以 是有偏的. ˆ n
( n 1) 2 ˆ E ( ) n
2
n 2 若以 乘 , 所得到的估计量就是无 偏的. ˆ n 1
(这种方法称为无偏化).
n n 2 E E ( 2 ) 2 . ˆ ˆ n 1 n 1 1 n n ( X i X 2 ), 因为 2 S 2 ˆ n 1 i 1 n 1
n n n n
ˆ 则 n 是的相合估计
n
证明 lim E(ˆn ) , 当n充分大时, | E(ˆn ) |
ˆ ˆ 如果有 | n - E( n ) | ，则 2
n
ˆ lim P(| n | ) 0
X 总是总体 X 的数学期望 1 E ( X ) 的无偏 估计量.
练习：299页1（1）
例3
对于均值 , 方差 2 0 都存在的总体, 若
1 n , 2 均为未知, 则 2 的估计量 2 ( X i X )2 ˆ n i 1 是 有偏的(即不是无偏估计). 1 n 2 证 2 X i X 2 A2 X 2 , ˆ n i 1 因为 E ( A2 ) 2 2 2 ,
点估计的评价标准
点估计的评价标准在统计学中，点估计是通过样本数据来估计总体参数的一种方法。
在实际应用中，我们常常需要对总体参数进行估计，而点估计就是一种常用的估计方法。
那么，对于点估计的结果，我们应该如何进行评价呢？本文将从准确性、一致性、有效性三个方面来探讨点估计的评价标准。
首先，我们来看准确性。
准确性是评价点估计结果的重要标准之一。
一个好的点估计应该是无偏的，也就是说，它的期望值应该等于被估计的总体参数。
此外，我们还需要考虑点估计的方差，方差越小，说明点估计的结果越稳定，也就是说，它离真实值的偏差越小。
因此，评价点估计的准确性，我们需要综合考虑偏差和方差两个方面的指标。
其次，一致性也是评价点估计的重要标准之一。
一致性是指当样本容量不断增大时，点估计的结果趋向于总体参数的性质。
换句话说，当样本容量足够大时，点估计应该能够稳定地接近总体参数的真实值。
因此，评价点估计的一致性，我们需要考察其在不同样本容量下的表现，以及随着样本容量的增大，点估计的变化趋势。
最后，我们来看有效性。
有效性是评价点估计的另一个重要标准。
一个有效的点估计应该是高效的，也就是说，它应该能够以较小的样本容量获得较精确的估计结果。
此外，我们还需要考虑点估计的置信区间，置信区间越窄，说明点估计的精度越高。
因此，评价点估计的有效性，我们需要综合考虑样本容量和置信区间两个方面的指标。
综上所述，对于点估计的评价标准，我们需要从准确性、一致性和有效性三个方面进行综合评估。
一个好的点估计应该是准确无偏的，具有一致性，并且能够以较小的样本容量获得较精确的估计结果。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点，选择合适的点估计方法，并结合准确性、一致性和有效性的评价标准，来评估点估计的结果，从而得出更可靠的统计结论。
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最大似然估计
原理：似然函数：
L(1 ,..., k ) f ( xi ;1 ,..., k )
i 1
n
似然函数是把联合分布中的样本观察值( x1 ,..., xn )
看成1 ,...,k
的函数。
似然的意思就是“好像是”，即“好像是” ( x1 ,..., xn ) 这样一组 1 ,...,k 使得结果 发生 了。
EX 依概率收敛于
r
由方程r (1 ,...,k )
Ar , r 1, 2,...k
ˆ 解得 r
ˆ ( X ,..., X )(r 1,2,...k ) r 1 k
常见分布参数的矩估计量
X X X X X
ˆX b(1, p ), p ˆX P ( ), ˆ 2X U (0, ), 1 ˆ e( ), X 2 2 ˆ N ( , ), X , 2
的评价标准。即 ˆ( x ,..., x ) | ) 0 lim P(| 1 n
n
判断公式:
ˆ( x ,..., x ) 0 lim D 1 n
n n
ˆ( x ,..., x ) ] 0 lim b( ) lim[ E 1 n
n
谢谢！
参数点估计的本质和方法
参数估计的本质：根据样本(x1,x2,…,xn),猜
测总体X分布f(x, θ1, θ2,…,θk)中未知参数θ1, θ2,…,θk的值。 常用的两种参数估计方法： 矩估计法 最大似然估计法
矩估计法
r EX 原理：若总体X的r阶原点矩 存在，样
1 n r 本的r阶原点矩 Ar X i n i 1
似然函数
求解方法：
列出似然函数
写出对数自然函数（如果可以）
求导，令导数为0
求出最大似然估计量
评选估计量的标准
无偏性： 若
ˆ ( x ,...x ) 的数学期望存在且 1 n ˆ ( x ,...x ) E 1 n 则称 ˆ 为无偏估计量。 ( x ,...x )
无偏估计的含义是估计参数与真实参数的误
1 n
差的平均值为0，即只有随机误差，没有系统 误差。
评选估计量的标准
有效性： 若
ˆ ( x ,..., x ) , i 1, 2 E i 1 nˆ 比
2
2
有效。
只有无偏估计量才可以比较有效。
评选估计量的标准
相合性：相合性是综合考虑无偏性和有效性