数学课件第五节 指数与指数函数

mn
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 an＝__a_m_ (a ＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；正数的负分数指数幂的意义
1 是 a－mn ＝___n _a_m___ (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；0 的正 分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂__没__有__意__义__．
(2) 有 理 指 数 幂 的 运 算 性 质 ： aras ＝ _a_r＋__s _ ； (ar)s ＝ __a_rs__；(ab)r＝_a_r_b_r _，其中 a＞0，b＞0，r，s∈Q.
所以函数 f(x)＝3x－13x在 R 上是增函数． (3)由 a0＝1 知，当 x＝2 时，f(2)＝1＋2＝3. 所以点 A 的坐标为(2，3)． 答案：(1)C (2)B (3)(2，3)
考点 1 指数幂的运算(自主演练)
【例】 化简下列各式：
1
(1)338－3＋160.25－(
第二章 函数、导数及其应用
第五节 指数与指数函数
最新考纲
1.了解指数函数模型的实际背 景． 2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的含义，掌握 幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
考情索引
2018·上海卷， T11 2017·北京卷， T8 2017·全国卷Ⅰ， T11 2016·全国卷Ⅲ， T6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角度 指数函数性质的应用
【例 3】 已知 f(x)＝ax－1 1＋12x3(a＞0，且 a≠1)． (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立． 解：(1)由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0， 所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}． 对于定义域内任意 x，有 f(x)＝ax－1 1＋12x3＝x23（（aaxx－＋11）），
a2 表示成分 3
a· a2
数指数幂，其结果是( )
1
A．a2
5
B．a6
7
C．a6
3
D．a2
(2)(2017·北 京 卷 ) 已 知 函 数
f(x)
＝
3x
－
1 3
x
，
则
f(x)( )
A．是偶函数，且在 R 上是增函数 B．是奇函数，且在 R 上是增函数 C．是偶函数，且在 R 上是减函数 D．是奇函数，且在 R 上是减函数 (3)(2019·青岛调研)已知函数 f(x)＝ax－2＋2(a＞0 且 a ≠1)的图象恒过定点 A，则 A 的坐标为________．
3
2)6÷( 3)6
＝23＋2－89＝196.
(2)原式＝1 6040015－5223－28713－1
1 5 2
1
＝14035×－2×3－3233－1
＝52－32－1＝0.
增加 p%，则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式
为( )
A．y＝a(1＋p%)x(0<x<m) B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) C．y＝a(1＋xp%)(0<x<m) D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈Z)
解析：(1)依题意可知 a2＝13，解得 a＝ 33， 所以 f(x)＝ 33x， 所以 f(－1)＝ 33－1＝ 3.
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．教材衍化
(1)(人 A 必修 1·P56 例 6 改编)若函数 f(x)＝ax(a＞0，
且 a≠1)的图象经过2，13，则 f(－1)＝(
)
A．1
B．2
C. 3
D．3
(2)(人 A 必修 1·P59A 组 T6 改编)某种产品的产量原
来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年
7
解析：(1)由题意得a1＋a322×12＝aa625＝a6.
(2)因为函数 f(x)的定义域为 R， f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数． 因为函数 y＝13x在 R 上是减函数， 所以函数 y＝－13x在 R 上是增函数． 又因为 y＝3x 在 R 上是增函数，
3 2÷
3)6；
1
2
3
(2)[(0.0645)－2.5]3－
338－π0；
1
2
1
(3)56a3·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a3·b－3)2；
3
(4)
a3b2
11
ab2 1(a>0，b>0)．
1
（a4b2）4a－3b3
1
解：(1)338－3＋160.25－(
3
2÷ 3)6
1
＝287－3＋(24)0.25－(
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正 数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能 既有分母又含有负指数．
考点 2 指数函数的图象及应用(讲练互动)
[典例体验]
1．(2019·浙江镇海中学阶段检测)不论 a 为何值，函
数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是(
)
A.1，－12
答案：[－1，1]
考点 3 指数函数的性质及应用(多维探究)
角度 指数函数的单调性
【例 1】 (2019·河南八市第一次测评)设函数 f(x)＝
x2－a 与 g(x)＝ax(a>1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同
的单调性，则 M＝(a－1)0.2 与 N＝1a0.1的大小关系是(
[变式训练] 1．(2019·益阳调研)已知函数 f(x)＝1＋2ax·2x(a∈R)的
图象关于点0，12对称，则 a＝________．
解析：由已知，得
f(x)
＋
f(
－
x)
＝
1
，
即
2x 1＋a·2x
＋
1＋2a－·x2－x＝1，整理得(a－1)[22x＋(a－1)·2x＋1]＝0 恒成立，
解析：将函数 f(x)＝|2x－2|－b 的零点个 数问题转化为函数 y＝|2x－2|的图象与直线 y ＝b 的交点个数问题，利用数形结合求解．
在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图 象，如图所示．
所以当 0＜b＜2 时，两函数图象有两个交点，从而函 数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点．
2
1
(3)原式＝－52a－16b－3÷(4a3·b－3)2
1
＝－54a－16b－3÷(a3b－32)＝－54a－12·b－32
＝－54· a1b3＝－54aabb2 .
12 1
(4)原式＝（a3b2a31b31）2＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ab. ab2a－3b3
1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分 数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底 数幂相乘，指数才能相加．(2)运算的先后顺序．
3．指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指数函数，其
中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数．
(2)指数函数的图象与性质．
图象
a＞1
0＜a＜1
定义域 值域
R _(_0_，__＋__∞__)__
过定点_(_0_，__1_)_，即 x＝0 时，y＝1 性 当 x＞0 时，__y_＞__1_； 当 x＜0 时，__y_＞__1_； 质 当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1_ 当 x＞0 时，_0_＜__y_＜__1_
)
A．M＝N
B．M≤N
C．M<N
D．M >N
解析：因为 f(x)＝x2－a 与 g(x)＝ax(a>1，且 a≠2)在(0， ＋∞)上具有不同的单调性．
所以 a>2， 因此 M＝(a－1)0.2>1，N＝1a0.1<1. 故 M >N. 答案：D
【例 2】 若函数 f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19， 则 f(x)的单调递增区间是________．
因此 a－1＝0，所以 a＝1.
答案：1
2．若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________．
解析：画出曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所 示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点， 则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]．
B.1，12
C.－1，－12
D.－1，12
解析：y＝(a－1)2x－a2＝a2x－12－2x，令 2x－12＝0， 得 x＝－1，故函数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点－1，－12.
答案：C
2．若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的 取值范围是________．
在(－∞，＋∞)上是 在(－∞，＋∞)上是
_增__函___数__
_减__函__数___
1．在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图 象越高，底数越大．
2．指数函数的单调性仅与底数 a 的取值有关． 3．画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住 三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.
4
解析：(1)由于 （－4）4＝ 44＝4，故(1)错．
24
(2)(－1)4＝ （－1）2＝1，故(2)错．
(3)由于指数函数解析式为 y＝ax(a＞0，且 a≠1)，故
y＝2x－1 不是指数函数，故(3)错．
(4)由于 x2＋1≥1，又 a＞1，所以 a x2＋1≥a.故 y＝ax x2
＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错．