13级《数学模型》考核题目

2015-2016年度第一学期《数学模型》考查试题

要求：

在第18周的星期四下午将数学建模论文交上来，论文大体包括：中文摘要，问题重述，模型假设，模型建立，模型求解，结果分析，模型改进，模型评价，参考文献，附录等。

引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查阅的资料）必须按照规定的参考文献的标示方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号表示参考文献的编号，如（[1]、[3]）等；引用书籍还必须指出页码。附录里有一篇作为示范的论文及《数学模型》考试大纲。

题目：

在如下8道题目中任选一题作为考试内容，或者历年来的高教社杯数学建模竞赛的C或D题中任选一题作为考试内容。

1、如何更合理的利用学生打分评价教师的教学效果

在中学，学校常拿学生的考试成绩评价教师的教学水平，虽存在一定的合理性，但这与素质教育相悖。在高校不存在以学生考试乘积评价教师教学水平的条件。很多高校让每一位学生给每一位授课教师教学效果打一个分，来评价教师的教学效果，这样能全面体现教师教学效果。现某高校要从甲、乙、丙三位教师中选一位优秀教师，他们在A、B、C、D班的得分如下：

方案一：取每位教师的最高得分作为最后得分，则应选丙。

方案二：取每位教师的最低得分作为最后得分，则应选乙。

方案三：取每位教师的平均得分作为最后得分，则应选乙。

但大家都会感觉甲应该当选，显然上述三种方案都有不合理的地方。

如何利用全校同学的打分给每一位教师整体教学效果一个更合理、更公平

的评价，对提高教师和同学的积极性，提高学校的教学氛围有促进作应。问：1)、请根据你们班的具体情况进行分析，对某位教师的得分统计建立一个合理

的教学效果评价模型。

2)、已知数学学院的所有同学给信息系教师的打分，建立一个模型给出各位教

师更合理、更公平的教学效果得分，并根据你的模型给出后面某高校（其中数据认定为根据你在问题1中方法得出）各位教师一个得分，见附件一。

3)若学校采用了你的模型，请给全校同学写一封信给教师打分应注意哪些事

项，让你的模型更合理、更公平。

附件一：

在洪水肆虐时，从全局出发有必要采取破堤泄洪，但从何处破堤分洪要考虑破堤的最小损失。现在选定在河岸一边完全封闭的某一区域破堤泄洪，根据区域内地形以及当前地面财产总数的不同，可将该区域分成17个小区域，各个相邻小区之间有相对高度为1.2米的小堤互相间隔。如下图所示：

----------------河----------------------------流----------------------------

每个小区域内分别标有该区域的海拔高度h(米)、面积s(平方千米)和泄洪后完全淹没时各种损失之和k （百万元）。约定：

（1） 泄洪后洪水淹没一个小区的损失、小区总资产以及水位的高度p 之间的关系如下：

损失=⎪⎩⎪⎨⎧>≤h

p k h p k h p

,,；

（2） 在大堤和小堤上的决口数不受限制，可在任意地方选择决口，但决口后不可再补合；

（3）大堤决口后流入小区的洪水量按决口宽度成比例，小区之间一经决口则认为该小堤完全决口；

（4）在各小区之间，若水位高于某一相邻小堤，则水将向邻近最低的小区自动泄洪，若有多个同高小区，则约定平均泄洪。

求解：

（1） 整个区域最大损失的最小洪水量max Q ？ （2） 选取满足条件

max max

6

Q Q Q ≤≤的不同洪水量为Q ，制定损失最小的泄洪方案（至少选择4个不同的洪水量）并计算该方案的损失数。

3、投资的收益和风险

市场上有n 种资产（如股票、债券 、）i S ),,2,1(n i =供投资者选择，某公

司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买i S 的平均收益为i r ，并预测出购买i S 的风险

损失率为i q 。考虑道投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的i S 种最大的一个风险来度量。

购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（不买当然无须付费）。另外，家丁同期银行存款利率是0r ，且既无交易费又无风险费。（%50=r ）

已知4=n 时的相关数据如下：

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

4、服务机构劳务安排的优化设计

在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。例如，交通管理人员、医院医护人员、宾馆服务人员、超市卖场营销人员等。在不同的时段劳务需求量不同，主管单位在不同时段支付的劳务工资往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支是管理者必须思考的决策问题。现就某公司超市卖场营销人员工作安排问题建立一个数学模型来进行优化设计，使得既要满足公司超市卖场需要，又使公司的劳务开支最少。

超市卖场的营业时间是上午8点到21点，以两小时为一时段，各时段内所需的服务人员数如表1，每个营销人员可在任一时段开始时上班，但要连续工作8小时，中途需要1小时的吃饭和休息时间。为保证营业时间内都有人值班，公司安排了四个班次，其班次与休息时间安排如表2，在不同时段的工资标准不同，上午8点到17点工作的人员月工资为1200元，中午12点到21点工作的人员月工资为1500元。

的变化。

5、调度计划

某公司下设三个工厂，生产同一种产品，现在要把三个工厂生产的产品运送给四个订户。工厂的供应量、订户的需求量以及从三个工厂到四个订户的单

①：订户4的订货量首先要保证全部予以满足；

②：其余用户的定货量满足程度应不低于80%；

③：工厂3调运给订户1的产品量应不少于15个单位；

④：因线路限制，工厂2应尽可能不分配给订户4；

⑤：订户1和订户3的需求满足程度应尽可能平衡；

⑥：力求使总运费最少。

6、售后服务数据的运用

产品质量是企业的生命线，售后服务是产品质量的观测点，如何用好售后服务的数据是现代企业管理的重要问题之一。

现以某轿车生产厂家为例考虑这个问题。假设该厂的保修期是三年,即在售出后三年中对于非人为原因损坏的轿车免费维修。在全国各地的维修站通过网络将保修记录送到统一的数据库里面，原始数据主要包含哪个批次生产的轿车（即生产月份）、售出时间、维修时间、维修部位、损坏原因及程度、维修费用等等。通过这样的数据可以全面了解所有部件的质量情况，若从不同的需求角度出发科学整理数据库中的数据，可得到不同用途的信息，从而实现不同的管理目的。

整车或某个部件的“千车故障数”是一个很重要的指标，常用于描述轿车的质量。首先将轿车按生产批次划分成若干个不同的集合（下面表格的同一行数据就来自同一集合），再对每个集合中迄今已售出的全部轿车进行统计，由于每个集合中的轿车是陆续售出的，因此它们的统计时间的起点即售出时间是不同的。