高等数学 第八章 第五节 曲面及其方程

(2) 用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截
截得中心在原点的双曲线。
x2 a2
−
z2 c2
=1
y = 0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 y 轴相合。
第八章 第五节
33
与平面 y = y1 ( y1 b) 的交线为双曲线。
x2
a
2
−
z2 c2
= 1−
y12 b2
双曲线的中心都在 y 轴上。
第八章 第五节
26
与平面 z = z1 (z1 0) 的交线为椭圆。
x2
2
pz1
+
y2 2qz1
=
1
z = z1
当 z1变动时，这种椭
圆的中心都在 z 轴上。
与平面 z = z1 (z1 0) 不相交。
② 用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截
截得抛物线
x2 = 2 pz
y = 0
f ( x2 + y2 , z) = 0
同理：绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f (y , x2 + z2 ) = 0
问：曲线 C: f ( x , y) = 0 xoy 绕 x 轴旋转生成 的旋转曲面为？绕 y 轴旋转生成的旋转曲面为一条与 L 相交的直线旋转所得旋转
x
H(z , x) = 0 表示母线平行于 y 轴;
z
准线为 xoz 面上的曲线 l3的柱面。 l3
x
y
第八章 第五节
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例
y2 b2
+
z2 c2
=
1
椭圆柱面 // 轴
x
x2 a2
−
y2 b2
=
1
双曲柱面 // 轴
z
x2 = 2 pz 抛物柱面 // 轴 y
z =1
平面 // 轴 x // 轴 y
a
2
c2
x2 (c2 −
z12 )
+
b2 c2
y2 (c2 −
z12 )
=1
z
z = z1
同样与 y = y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆。
的截痕
第八章 第五节
23
椭球面的几种特殊情况：
(1)
a=b,
x2 y2 z2 a2 + a2 + c2 = 1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
+
z2 c2
=1
单叶双曲面
(1) 用坐标面 xoy (z = 0)与曲面相截
截得中心在原点 O(0 , 0 , 0) 的椭圆。
x2 a2
+
y2 b2
=1
z = 0
第八章 第五节
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与平面 z = z1 的交线为椭圆。
x2
a
2
+
y2 b2
= 1+
z12 c2
z = z1
当 z1 变动时，这种椭
圆的中心都在 z 轴上。
都可通过配方研究它的图形。其图形可能是
一个球面或点或虚轨迹。
第八章 第五节
5
两个基本问题： (1) 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。
(讨论旋转曲面)
(2) 已知坐标间的关系式(方程)，研究曲面形状。
(讨论柱面、二次曲面)
第八章 第五节
6
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面。 这条定直线叫旋转 曲面的轴。
y = y1
(1) y12 b2 实轴与 x 轴平行，虚轴与 z 轴平行。
(2) y12 b2 实轴与 z 轴平行，虚轴与 x 轴平行。
第八章 第五节
34
(3) y1 = b 截痕为一对交于 (0 , b , 0) 的直线。
x
−
z
=
0
a c
,
x
+
z
=
0
a c
y = b
y = b
(4) y1 = −b 截痕为一对交于(0 , − b , 0) 的直线。
2 p 2q
z
z
o
x
y
xo y
p 0, q 0
p 0, q 0
第八章 第五节
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特殊地：当 p = q 时，方程变为
x2 + y2 = z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p (由 xoz 面上的抛物线 x2 = 2 pz 绕 z 轴旋
转而成的)
与平面 z = z1 (z1 0)的交线为圆。
x
球面
方程可写为 x2 + y2 + z2 = a2
第八章 第五节
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2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
x2 + y2 = z ( p 与 q 同号) 2 p 2q 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0
① 用坐标面 xoy (z = 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0 , 0 , 0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点。
单叶旋转双曲面
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面。
第八章 第五节
12
同理
椭圆
y2
a
2
+
z2 c2
=1
x = 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 + z2 a2 + c2 = 1
旋 转 椭
绕 z 轴旋转
x2 + y2 z2 a2 + c2 = 1
球 面
y2 = 2 pz
抛物线
x
=
0
绕 z 轴旋转
x2 + y2 = 2 pz 旋转抛物面
x2
+
y2
=
2
pz1
z = z1
当 z1 变动时，这种圆
的中心都在 z 轴上。
第八章 第五节
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(2) 双曲抛物面(马鞍面)
− x2 + y2 = z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
用截痕法讨论：
z
设 p 0, q 0
图形如右：
o y
x
第八章 第五节
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3. 双曲面
x2 y2 z2 a2 + b2 − c2
第五节 曲面及其方程
教学内容
1 曲面研究的基本问题； 2 旋转曲面； 3 柱面; 4 二次曲面。
考研要求
了解曲面方程的概念，了解二次曲面的方程及其
图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平 行于坐标轴的柱面方程。
第八章 第五节
1
一、曲面研究的基本问题
例1 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。
+
y2 b2
=1
表示母线平行于
z
z 轴的椭圆柱面。
o
z
y
• x − y = 0 表示母线平行于
x
z 轴的平面。 (且 z 轴在平面上)
o
y x
第八章 第五节
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二元方程 F(x , y) = 0 在空间表示的曲面 S 是什么？
M(x , y , z) S
z
M( x , y , 0) xoy 面上的 曲线C : F(x , y) = 0
柱面。其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
x2 + y2 = R2 表示圆柱面
第八章 第五节
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定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的曲面叫做柱面。C 叫做准线，l 叫做母线。
第八章 第五节
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z
•
表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
o
x
准线为 xoy 面上的抛物线。
y
•
x2 a2
z2 = cot2 ( x2 + y2 )
第八章 第五节
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例6
求 xoz 面上的双曲线
x2 a2
−
z2 c2
=1
分别绕
x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程。
解 绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 + z2 a2 − c2 = 1
双叶旋转双曲面
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x
y
x2 + y2 z2 a2 − c2 = 1
解 设轨迹上的动点为 M ( x , y , z) AM = BM
即
( x − 1)2 + ( y − 2)2 + (z − 3)2
= ( x − 2)2 + ( y + 1)2 + (z − 4)2 化简得 2x − 6 y + 2z − 7 = 0
说明 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面。
第八章 第五节
第八章 第五节
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三、柱面
z
引例:
表示怎样的曲面？
M
解: 在 xoy 面上，
表示圆 C ， C o
在 C 上任取一点 M1( x , y , 0) ，过此点作 x M1
y
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , M(x , y , z)
l
的坐标也满足方程 x2 + y2 = R2
沿曲线 C 平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
半径随 c 的增大而增大。图形上不封顶，下封底。
第八章 第五节
3
例3 求与原点及 M0(2 , 3 , 4) 的距离之比为1 : 2的 点的全体所组成的曲面方程。
解 设 M(x , y , z) 是曲面上任一点， 根据题意有 | MO | = 1 , | MM0 | 2
x2 + y2 + z2
1
=,
2
例2 方程 z = ( x − 1)2 + ( y − 2)2 − 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z −1
z
用平面 z = c 去截图形得圆：
( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 1 + c (c −1)
c
当平面 z = c 上下移动时，
o
得到一系列圆。
y
x
圆心在 (1 , 2 , c)，半径为 1 + c
曲面叫圆锥面。两直线的交点叫圆锥面的顶点， 两 直线的夹角 (0 ) 叫圆锥面的半顶角。试建
立顶点在原点，旋转轴2为 z 轴， 半顶角为 的圆锥
面方程。
z
解 此锥面可看成 yoz 面上的直线
z = y cot
绕 z 轴旋转而生成的旋转曲面，
o
y
则圆锥面方程 z = x2 + y2 cot x
=
1
绕
z
轴旋转而成。
方程可写为
x2 + a2
y2
+
z2 c2
=
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z = z1 (| z1 | c) 的交线为圆。
第八章 第五节
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截面上圆的方程
x
2
+
y2
=
a2 c2
(c2
−
z12 )
z = z1
(2) a = b = c,
x2 a2
+
y2 a2
+
z2 a2
=1
第八章 第五节
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面。 这条定直线叫旋转 曲面的轴。
第八章 第五节
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建立旋转曲面 S 的方程： 由图，M( x , y , z) S
M1(0 , y1 , z1 ) C : f ( y1 , z1 ) = 0 ,
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
第八章 第五节
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了解(画)曲面的形状的一种方法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 通过考察其交线(即截痕)的形状来了解曲面的形 状 ——截痕法。
几种特殊的二次方程的曲面：
第八章 第五节
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1. 椭球面
x2 y2 z2 a2 + b2 + c2 = 1
M(x , y , z) S
•
M(x , y , z) 在与z 轴平行、 过 xoy 面上的曲线C :
O
F ( x , y) = 0 的直线上
x
y
•
M( x , y , 0)C
S : F ( x , y) = 0 表示母线平行于z 轴 (即 ⊥ xoy面)、 准线为xoy 面上的曲线C : F ( x , y) = 0 的柱面。
z
d M1(0 , y1 , z1)
M
f ( y , z) = 0
o
y
(1) z = z1
x
(2) 点 M 到 z 轴的距离等于 M1 到 z 轴的距离
d = x2 + y2 =| y1 | y1 = x2 + y2
f ( x2 + y2 , z) = 0
第八章 第五节
9
yoz 上曲线 f ( y , z) = 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程
第八章 第五节
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四、二次曲面
三元二次方程
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyx + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0
(二次项系数不全为 0 )
的图形通常为二次曲面。其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程，
下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 。
( a , b , c为正数)
z
(1) 范围：
x a, y b, z c
y
x
(2) 与坐标面的交线：椭圆
黄
x2 a2
+
y2 b2
=1
z = 0
绿
y2 b2
+
z2 c2
=1
x = 0
红
x2 a2
+
z2 c2
=1
y = 0
第八章 第五节
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(3) 截痕: 与 z = z1 ( z1 c) 的交线为椭圆：
第八章 第五节
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所以，二元方程在空间直角坐标系中表示柱面。 z
一般地，在三维空间
F( x , y) = 0 表示母线平行于 z 轴; 准线为 xoy 面上的曲线 l1 的柱面。 x G( y , z) = 0 表示母线平行于 x 轴;
y l1 z l2
准线为 yoz 面上的曲线 l2 的柱面。
y
( x − 2)2 + ( y − 3)2 + (z − 4)2 2
所求方程为
x
+
2
2
+
(
y
+
1)2
+
z
+
4
2
=
116
3
3 9
第八章 第五节
4
例4 研究方程 的曲面。
解 配方得
表示怎样
此方程表示:球心为 M0(1 , − 2 , 0 ), 半径为 5 的球面。
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠0 )
第八章 第五节