第四章4-1角动量守恒定律

宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它们具有旋转 盘状结构，成因是角动量守恒。
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仙女座星系 (220万光年)
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盘状星系
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说明：
1. 内力矩不影响质点系总角动量，但可影响质点 系内某些质点的角动量。
2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的同一固定 点说的。质点系受的外力的矢量和为零，但总外力 矩不一定为零；
r
p
rpsin
, 0
px py pz
( ypz zpy )i
( zp x
xpz
)
j
(xpy ypx )k
注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。
说一个角动量时，必须指明是对哪个固定点而言的。
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例1圆周运动的质点关于圆心O的角动量
L
r
p
L rp mrv mr2
L v m
SI：kg•m2/s , 或 J• s
or
微观体系的角动量是明显量子化的，其取值
只能是普朗克常数
h / 2 1.05 1034 J s
的整数或半奇数倍。
但因宏观物体的角动量比 大得多，所以宏
观物体的角动量可以看作是连续变化的。
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三．质点的角动量定理与角动量守恒定律
牛顿定律 角动量定理：
t2 t1
M
dt
L2
L1
t2 Mdt
—冲量矩，力矩的时间积累。
t1
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2. 质点角动量守恒定律
由质点角动量定理：
M
d
L
当Mv 0时，有： dddt Lvt 0
Байду номын сангаас
若 M 0 ，则 L 常矢量
— 质点角动量守恒定律
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注意：
1.力矩、角动量均对惯性系中同一点而言。若对惯 性系某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质 点对该固定点的角动量矢量保持不变，即角动量的大 小和方向都保持不变。
矢量和
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1.
M
垂直于
r,
F
构成的平面。
2. 必须指明对那一固定点.
3. F 0, M 可能为零
M 0 的条件是
F 0
或 F 过固定点：有心力
（如行星受的万有引力）
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4.对定点力矩在直角坐标系中的表达：
r
xi
yj
zk
z F Fxi Fy j Fzk M z
dL dt
d dt
(r
p)
rddpt
ddrt
p
dp dt
F
ddrt p 0
dL dt
r
F
M
（共线）
因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系。
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1.单质点的角动量定理：
化率质点所受的合外力矩M，等dd于Lt质点角动量对时间的变
M 和L 都是相对惯性系中同一定点定义的。
积分形式：
冲量矩或 角冲量
下拉 R/2 时角速度 为多少？
解：L mvR mR2
L' mv' R 1 mR2'
24
L L'
' 4
mR F
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四．质点系的角动量定理和守恒定律
1．质点系的角动量定理
r
m1
:
rv1
v F1
rv1
v f12
dL1 dtr
m2
:
rv2
v F2
rv2
v f21
dL2 dt
rv1
v F1
rv2
v F2
(rv2
rr1)
v f21
F1
m1 r1
dv v
O
dt (L1 L2 )
rv1
v F1
rv2
v F2
d dt
v (L1
v L2 )
F2
f12 f21
r21
m2
r2
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对i , j 两个质点来说，内力矩之和为:
rvi
v fij
rvj
v f ji
rvi rvj
B
l
A
v0
300
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解：mmvv00l/
mvB mvA1 2 mvA2l
cos
300
mvA2
sin
300
vB cos 300 vA1
解得：
3 vB 7 v0
B
vB
A v0
l 300
vA2 vA1
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解：M
r
F
dL
0
dt
L 常量
L
r
mv
m(r
dr)
dt
L m r dr 2m dS
dt
dt
dS L 常量 dt 2m
dS dr r
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例 3 如图，质量为 m 的小球，拴于不可伸长的轻绳上， 在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其半径为 R，角速度 为，绳的另一端通过光滑的竖直管用手拉住，如把绳向
v fij
m2
ri rj
与
f ij 共线，
mi ri rj
m1
这一对内力矩之和为零。
同理所有内力矩之和为零。
于是有：
M外
dL dt
fij ri
f ji m j
rj
0
“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量
对时间的变化率” — 质点系角动量定理 东北石油大学
质点系对定点的角动量，等于各质点对该点的
3. 若系统不是孤立系统（受外力不为零），但系统 所受外力对某点的外力矩之和为零，则系统动量不 守恒，但对该点的角动量守恒。
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小结：动量与角动量的比较
动量
p
miv i
i
矢量
角动量
L ri pi
矢量 i
与固定点无关
与固定点有关
与内力无关
守恒条件 Fi 0
i
与内力矩无关
v
守恒条件 M i 0 i
M
i jk
M
r
F
x
y
z
O
My y
Fx Fy Fz
Mx
x
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
M xi M y j M zk
－－力矩具有矢量叠加性
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5.力与力矩的关系：
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
Fi 0 , Mi 0
即：“只要系统所受的总外力矩为零，其总的 角动量就保持不变。”
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内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但合内 力矩等于零，对总角动量无影响。
当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外 力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量 将不随时间改变 —质点系的角动量守恒定律
孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。
2.和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自然界 的一条最基本的定律。
3. M＝0，可以是r=0,也可以是F=0,还可能是r与F同 向或反向，例如有心力情况。
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开普勒第二定律的证明 行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
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例 2 利用角动量守恒证明开普勒定律（Ⅱ）：从太阳到行 星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。
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一．力矩
力 F对参考点 O 的力矩定义为：
M
v M
rv
v F
Or
d
P
大小 M Fr sin Fd M
F
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力矩合成：
当质点受到n个力，如：F1、F2…Fn力同时作用时， 则n个力对参考点O的力矩为：
M
r
F
r
F1 F2 ... Fn
r
F1
r
F2
...
r
Fn
M1 M2 ... Mn
角动量的矢量和。
v
L
v Li
rvi
v Pi
v
dL dt
i
v
rvi
dPi dt
i
i
i
rvi
v Fi
v fi
vv M M in
因为内力的力矩两两相消，则：
v
M in 0
dL
M
dt
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2．质点系的角动量守恒定律
若 M 外 0，则 L 常矢量
vv L2 L1
——质点系角动量守恒定律
Fi 0
Mi 0
F
Fi 0 , Mi 0
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二．质点的角动量
质点对参考点O的角动量定义为：
v L
rv
pv rv mv
角动量的大小
L
L rPsin mr sin
角动量的方向 : 右手螺旋
Or
v
L
d
m
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质点m对O点的角 动量：
Lr p
L
r
p
i jk
x y z
L
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例4 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球 A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A 以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动 到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动 时速度vB的大小。