中职数学基础模块5.2.2同角三角函数的基本关系式教学设计教案人教版

度．为下面运用 公式化简和证明
因为 是第二象限角，
所以
cos ＝－
6 6
，代入③式得
sin α＝－ 5 cos α
＝－
5
×(－
6 6
)
1．注意同角三角函数的基 做好知识铺垫． 本关系式的变形应用．
2．已知 sin ，cos ，tan
中的任意一个，可以用方程（组）
求出其余的两个．
＝
30 6
．
同角三角函数的基本关系式应用之二： 化简．
教学 重点 与 难点
教学重点：
同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）．
教学难点：
同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用
教学 方法 与 手段
讲练结合的方法
使
用
教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用．课
教 材
堂中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主探究问题并解决问题，使学生熟练用方程（组）
的 解决问题的方法．
构
想
中职中专数学教学设计教案
教师行为
复习三角函数定义、单位圆和三角函数
线、勾股定理．
y P(cos ，sin )
1
sin
O cos x
学生行为 教师提出问题，学生回答．
设计意图
推出
sin2＋cos2＝1
sin cos
＝tan
这两个基本关系
式．
☆补充设计☆
在单位圆中，由三角函数的定义和勾股
＝
cos2 x (1－sin x)cos
； x
右边＝
1＋sin x cos x
1－sin x ·1－sin x
练习：教材 P 142，练习 A 组第 3 题，练习 B 组第 2 题．
＝
cos2 x (1－sin x) cos
． x
所以 左边＝右边． 即原等式成立．
中职中专数学教学设计教案
板书设计
1. 同角三角函数的基本关系式
中职中专数学教学设计教案
课题
5.2.2 同角三角函数的基本关系式 课型 新授
第几 课时
1
1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，
课
时 证明．
教
学
2. 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生
目
标 分析问题，解决问题的能力．
（三维）
3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想．
②
例 2 可在教师的引导下解决，带 领学生详细解方程组． 练习：教材 P141，练习 A 组第 1 （4）题．
小结步骤：知正切 解方程组 求
中职中专数学教学设计教案
由②，得 sin ＝－ 5 cos ，代入① 余弦（或正弦）． 式得
灵活应用公
6 cos2＝1，
式，加快运算速
cos2＝16 ．
师：求值题目总结
同角三角函数的基本关系式应用之三：
证明．
例 4 求证：
（1） sin4 －cos4 ＝2 sin2－1；
（2） tan2 －sin2＝tan2 sin2；
（3）
cos x 1－sin
x
＝
1＋sin x cos x
．
证明：
（ 1 ） 原 式 左 边 ＝ (sin2 ＋ cos2)(sin2 －
cos2)
可让学生自己先独立Байду номын сангаас索 证明思路，再小组讨论．教师在 证明思路和解题格式上给予指 导．
由学生完成证明，展示不同 证法，分析优劣．
对（3）作分析：
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因此 tan2 －sin2 ＝tan2 sin2 ． 思路 1：用作差法，不管分母，
（3）证法 1：
只需将分子转化为零．
因为
cos x 1－sin
解 由 sin2＋cos2＝1，得 cos ＝± 1－sin2 ．
因为 是第二象限角，cos ＜0,
所以 cos ＝－ 1－(45)2 ＝－35 ，
例 1 鼓励学生自己解决，教师只
在开方时点拨符号问题．
练习：教材 P141，练习 A 组第
1（2）（3）题．
多练几个类
小结步骤：已知正弦（或余弦） 似例题的题目，
sin2＋cos2＝1，
无关，如：sin2 β＋cos2 β＝1．
4．同角的意义：一是“角相同”；
二是“任意一个角”．
当我们知道一个角的某一三角函数值 时，利用这两个关系式和三角函数定义，就 可求出这个角的另外几个三角函数值．此 外，还可用它们化简三角函数式和证明三角 恒等式．
同角三角函数的基本关系式应用之一： 求值．
例 1 已知 sin ＝45 ，且 是第二象限的 角，求 的余弦和正切值．
根据平方关系 求余弦（或正弦）
使学生熟练两个 基本关系式的应
根据商数关系 求正切．
用和用方程求值 的方法．
4
tan
＝csoins
＝5 －
3 5
＝－43 ．
例 2 已知 tan ＝－ 5 ，且 是第二象 限角，求 的正弦和余弦值．
解 由题意得
sin2 ＋cos2 ＝1，
①
sin cos
＝－
5．
＝sin2－cos2 ＝sin2－(1－sin2) ＝2 sin2－1
＝右边．
因此 sin4 －cos4 ＝2 sin2 －1．
（2）原式右边＝tan2 (1－cos2 )
＝tan2 －tan2 α cos2
＝tan2
－csoins22
cos2
＝tan2 －sin2
＝左边．
教师提示：证明恒等式一般 从繁到简，从高次到低次．从左 向右，或从右向左，或从两头向 中间来证明．
定理，可得同角三角函数的基本关系式：
sin2 ＋cos2＝1；
sin cos
＝tan
．
师讲解：
1．sin2，cos2 的读法、写法．
2．让学生验证 30°，45°，60°的
初步认识和
正弦，余弦，正切值满足两个关 记 忆 两 个 关 系
系式．
式，理解“同角”
3．“同角”的概念与角的表达形式 的含义．
例 3 化简：sintaθn－θ－co1s θ ．
解
原式＝sicsnoiθns－θθc－os1θ
＝
sinθ－cos sin θ－cos
θ θ
cos θ
＝cosθ．
教师小结化简方法： 把切函数化为弦函数． 练习：教材 P142，练习 A 组第 2 题，练习 B 组第 1 题．
通过讨论探 究，使学生进一 步熟练公式的各 种变形.培养学 生的发散思维， 提高综合运用知 识分析问题、解 决问题的能力．
x－1＋cossinx
x
＝
cos2 x－(1－sin x)2 (1－sin x)cos x
＝(c1o－s2sxin－xc)cooss2
x x
＝0．
所以
cos x 1－sin x
＝
1＋sin x cos x
．
证法 2：因为
左边＝
cos x 1－sin x
cos x ·cos x
思路 2：利用公分母将原式的左 边和右边转化为同一种形式的 结果．