第7章 7.4 数学建模活动：周期现象的描述-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第三册课件

(2)依题意，周期 T≤1150， 即2ωπ≤1150(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942，又 ω∈N*， 故所求最小正整数 ω＝943.
已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像确定三角函数的解 析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取 值范围．
[跟进训练] 1．弹簧振子以 O 为平衡位置，在 B，C 两点间做简谐运动，B， C 相距 20 cm，某时刻振子处在 B 点，经 0.5 s 振子首次到达 C 点， 求： (1)振动的振幅、周期和频率； (2)弹簧振子在 5 s 内通过的路程及位移．
[解] (1)当 t＝0 时，E＝110 3(V)，即开始时的电压为 110 3V. (2)T＝1020ππ＝510(s)，即时间间隔为 0.02 s. (3)电压的最大值为 220 3V，当 100πt＋π6＝π2，即 t＝3100s 时第一 次取得最大值.
确 定模型 解决问 题
【例 3】 下表是某地某年月平均气温(华氏)： 月份 1 2 3 4 5 6
t∈[0，＋∞)，则电流 I 变化的周期是( )
A．510
B．50
C．1100
D．100
A [T＝102π0π＝510.]
3．电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I＝5sin100πt＋π3，则当 t＝2100 s 时，电流 I 为________A．
2.5 [I＝5sinπ2＋π3＝5cos π3＝2.5(A)．]
[解] (1)设振幅为 A，则 2A＝20 cm， 所以 A＝10 cm. 设周期为 T，则T2＝0.5 s，所以 T＝1 s，所以 f＝1 Hz. (2)振子在 1 s 内通过的路程为 4A，故在 5 s 内通过的路程 s＝ 5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)． 5 s 末物体处在 B 点，所以它的位移为 0 cm.
由 模 型 解 析 式解决 问题
【例 2】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡 位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋ ∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？
2T＝2ωπ称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； 3f＝T1＝2ωπ称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的 次数.
[跟进训练] 2．交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E＝ 220 3sin100πt＋π6来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
2．掌握 1 个步骤 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意 读懂题目中的“文字”“图像”“符号”等语言，理解所反映的 实际问题的背景，提炼出相应的数学问题． (2)建立函数模型 整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知 识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型.
[解] (1)由题图知 A＝300，设 t1＝－9100，t2＝1180， 则周期 T＝2(t2－t1)＝21180＋9100＝715. 所以 ω＝2Tπ＝150π. 又当 t＝1180时，I＝0，即 sin150π×1180＋φ＝0， 而|φ|＜π2，所以 φ＝π6. 故所求的解析式为 I＝300sin150πt＋π6.
(3)因为 x＝月份－1， 所以不妨取 x＝2－1＝1，y＝26.0. 代入①得Ay＝2265..08＞1≠cos π6，故①不适合； 代入②得y－A46＝262.05－.846＜0≠cos π6，故②不适合．所以应选③.
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后 进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问 题.
第7章 7.4 数学建模活动：周期现象的描述-(新教 材)人 教B版（ 2019） 高中数 学必修 第三册 课件【 精品】
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2．已知简谐振动的振幅是32，图像上相邻最高点和最低点的距离
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为 x 轴(x＝月份－1)，以平均气温为 y 轴．
(1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)估计这个正弦曲线的周期 T 和振幅 A；
是 5，且过点0，34，则该简谐振动的频率和初相是(
)
A．16，π6
B．18，π6
C．18，π3
D．16，π3
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第七章 三角函数
7.4 数学建模活动：周期现象的描述
学习目标
核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际 通过实际问题，构建三角函数数学
问题．(重点) 模型，重点提升学生的数学抽象、
2．体会利用三角函数构建事物周 数学运算和数学建模素养.
期变化的数学模型．(难点)
情境 导学 探新 知
温州市区著名景点——江心屿，江心屿
B [由题意可知 A＝32，32＋T22＝52， 则 T＝8，ω＝28π＝π4，所以 y＝32sinπ4x＋φ. 由图像过点0，34得32sin φ＝34， 所以 sin φ＝12，因为|φ|＜π2，所以 φ＝π6， 因此频率是18，初相为π6，故选 B．]
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(4)交变电流模型
交变电流可以用三角函数表达为 y＝Asin (ωx＋φ)，其中 x 表示
时间，y 表示电流，A 表示
最大电流
，|2ωπ|表示频率，φ 表示初相位．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的
函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制．
()
(2)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t(单位：h)的变化近似
满足函数关系：f(t)＝10－2sin1π2t＋π3，t∈[0,24)，则实验室这一天的
最大温差为 4℃ .
()
[答案] (1)√ (2)√
2．电流 I(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的关系是 I＝3sin 100πt，
y＝－4cos
5π 2t
[设 y＝Asin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则从表中数
据可以得到 A＝4，ω＝2Tπ＝02.π8＝52π，又由 4sin φ＝－4.0，得 sin φ＝
－1，得 φ＝－π2，则 y＝4sin52πt－π2，即 y＝－4cos
5π 2 t.]
课堂 小结 提素 养
1．把握 1 类策略 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共 同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等 概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
4．振动量 y＝ 2sin (ωx＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π 和32， 则它的相位是________．
3πx－π [因为 T＝23，所以 ω＝3π，初相为－π，所以相位为 3πx －π.]
合作 探究 释疑 难
由 模 型 图 像 解决问 题
【例 1】 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin (ωt＋φ)． (1)如图所示的是 I＝Asin (ωt＋φ)ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的 图像，根据图中数据求 I＝Asin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电 流 I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值， 那么 ω 的最小正整数值是多少？
提示 (1)水深随时间的变化呈周期变化． (2)若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线．
四类周期现象模型
(1)潮汐现象模型
潮汐现象可以用函数 y＝Asin (ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，A＞0，ω＞0)
来表示．
(2)单摆弹簧等简谐振动模型
单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为 y＝Asin (ωx＋φ)，其
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－ 4 cm.
(3)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间是 π s.
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数 y＝Asin ωx ＋φ来表示运动的位移 y 随时间 x 的变化规律，其中：
1A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位 移；
(3)解答函数模型 利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果． (4)得出结论 将所得结果翻译成实际问题的答案．
1．如图所示的一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、OB
为终边的角 θ(－π＜θ＜π)与时间 t(s)满足函数关系式 θ＝21
sin(2t＋π2)，则当 t＝0 时，角 θ 的大小及单摆的频率是( )
y
|ω|
x
A
中 表示时间， 表示位移， 表示振幅， 2π 表示频率，φ 表示
初相位．
(3)音叉发出的纯音振动模型
音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y＝Asin ωx，其中 x
位移
表示时间，y 表示纯音振动时音叉的
，|ω|表示纯音振动的 频率 2π
(对
Βιβλιοθήκη Baidu应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强)．
(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①Ay ＝cos
π6x；②y－A46＝cos
π6x；③y－－A46＝cos
πx 6.
[解] (1)如图．
(2)最低气温为 1 月份 21.4，最高气温为 7 月份 73.0， 故T2＝7－1＝6，所以 T＝12. 因为 2A 的值等于最高气温与最低气温的差， 即 2A＝73.0－21.4＝51.6，所以 A＝25.8.
[思路探究] 确定函数 y＝Asin (ωx＋φ)中的参数 A，ω，φ 的物 理意义是解题关键．
[解] 列表如下：
t
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
2t＋π3
0
π 2
π
3π 2
2π
sin2t＋π3 0
s
0
1 0 －1 0 4 0 －4 0
描点、连线，图像如图所示．
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin π3＝2 3，所以小球开 始振动时的位移是 2 3cm.
[跟进训练] 3．一物体相对于某一固定位置的位移 y(cm)和时间 t(s)之间的一 组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置 y 和时间 t 之间 的关系的一个三角函数式为________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了
一副非常知名的对联．上联是：云朝朝 朝
朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长
江心屿
长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江湖水涨落的壮阔画
面．下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：
时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 问题 (1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信 息？ (2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上 面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？
A．12，1π
B．2，1π C．12，π
D．2，π
第7章 7.4 数学建模活动：周期现象的描述-(新教 材)人 教B版（ 2019） 高中数 学必修 第三册 课件【 精品】
A [当 t＝0 时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知，单摆的周期 为22π＝π，故单摆的频率为1π，故选 A．]