10第十章曲面立体截交线
《工程制图》第十章-曲面立体的截交线
三、 圆柱截交线例题
12
例题1 求圆柱截交线
1' 2'3'
4'5'
6'7'
8'
5
3
2
3" 5"
7"
1" 8"
解题步骤
2"
1 分析 截交线的水平投影为椭
圆，侧面投影为圆；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；
4" 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、
Ⅵ、Ⅶ；
4 光滑且顺次地连接各点，作
6"
出截交线，并且判别可见性；
2 转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区分 曲线可见与不可见部分的分界点。
3 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端 点。
4 结合点 截交线由几部分不同线段（曲线、直线）组成时 结合处的那些点。
对于特殊点，根据现有的知识凡是能求出来的都应求出来 。
7
五、 作图步骤
1 根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形 状和性质。
5 整理轮廓线。
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
13
例题2 求圆柱截交线
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆的一部分，侧面投影为圆的 一部分； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ 、 Ⅴ； 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ ； 4 光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
14
例题6 想象出物体及其侧面投影的形状
18
§ 10-3 平面与 圆锥相交
一、平面与圆锥相交所得截交线形状 二、 圆锥截交线的求法 三、 圆锥截交线例题
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线.
1
d
f
e
29
平面体与曲面立体相交 交线 （相贯线）
共性
交线为二表面所共有线 求交线的本质 求二表面的共有点
本节重点讨论：求交线的基本方法
30
求交线的基本方法
作图步骤看动画演示
31
求交线的基本方法
例
此段外形轮廓线消失
（直线）构成的封 交线投影分析 实质是求平面体 闭的空间折线 交线的投影作图 各表面与回转体 H、 W投影已知 求V投影 求截交 的交线
特殊点 外形轮廓线 中间点 终止点 光滑连接曲线 截交线投影 虚实分界点 交线可见性
11
例 圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
3’
2’ 1’5”4” (4’)(5’)
3” 2” 1”
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
5 4 3 2 1 4 5
内、外交线分别求解 注意检查 孔的外形轮廓线投影 截平面与孔的交线
7
4、平面与圆锥体相交 平面P与圆锥面的交线
P
P
P轴线 交线为圆
P∠轴线 > 交线为椭圆
8
平面P与圆锥面的交线
P
P
P ∠轴线 = 交线为抛物线
P ∠轴线 0 < 交线为双曲线
9
平面P与圆锥面的交线
P
归纳
P轴线 交线为圆 P∠轴线 > 交线为椭圆 P∠ 轴线 = 交线为抛物线 P∠轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
10
P过锥顶 交线为直线
例 求截交线
椭圆短轴的投影 是什么点？
P
P
椭圆画法
第十章_曲面立体的截交线画法几何课件
§10-1 概述§10-2 平面与圆柱相交§10-3 平面与圆锥相交§10-4 平面与圆球相交§10-5 综合题§10-1 概述曲面体截交线的性质：1、封闭的平面图形（曲、平线围成）。
2、截交线为立体表面和平面的共有线。
3、截交线上的点为立体表面和平面的共有点。
求曲面体的截交线的方法：找出立体表面和平面上的若干共有点，然后依次连线。
求共有点的方法：1、利用投影的积聚性2、素线法3、纬圆法4、辅助平面求曲面体的截交线的作图步骤1.投影分析2.求特殊位置点3.求一般位置点4.连接各点5.判断可见性6.整理轮廓线§10-2 平面与圆柱相交一、平面与圆柱相交所得截交线形状二、圆柱截交线的求法三、圆柱截交线例题一、平面与圆柱相交所得截交线形状圆一对平行直线椭圆圆柱截交线求共有点的方法1、利用积聚性法2、素线法三、圆柱截交线例题11'1"4'5'6'7'6"7"5"4"2'3'2"3"8'8"8263756732451"8"圆柱截交线1圆柱截交线2圆柱截交线3圆柱截交线9§10-3平面与圆锥相交一、平面与圆锥相交所得截交线形状二、圆锥截交线的求法三、圆锥截交线例题一、平面与圆锥相交所得截交线形状圆椭圆一对相交直线二、圆锥上的截交线求共有点的方法素线法纬圆法作图步骤1.投影分析2.求特殊位置点3.求一般位置点4.连接各点5.判断可见性6.整理轮廓线三、圆锥截交线例题圆锥截交线1圆锥截交线4§10-4 平面与圆球相交一、平面与圆球相交所得截交线形状二、圆球截交线的求法三、圆球截交线例题一、平面与圆球相交所得截交线形状圆二、圆球上的截交线求共有点的方法纬圆法作图步骤1.投影分析2.求特殊位置点3.求一般位置点4.连接各点5.判断可见性6.整理轮廓线三、圆锥截交线例题圆球截交线1圆球截交线2圆球截交线3圆球截交线4圆球截交线7。
4-2 曲面立体-截交线
3、平面切割圆球体
圆球有无穷多条回转轴线，故它与平面的截交线总是圆。 当截平面为投影面平行面时，截交线的三投影为一个圆与 两条直线段。
PV QV
截平面为水平面
§4-2 截交线
截平面为侧平面
3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。
分析： 切槽由一对侧平面和一个水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。
PV
分析：
截平面是正垂面，截交线 的正面投影积聚为直线，底面 投影随圆柱面积聚为一个圆； 其侧面投影待求。
§4-2 截交线
1、平面切割圆柱体
例1 求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。
PV 5'(6') 1'(2') 4' 8 4 7 7'(8') 2 6 3 3' (6 ”) 2” 8” (3 ”) 7” 4” (5 ”) 1”
§4-2 截交线
(2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ 的 侧面投影；
(4)求圆弧及水平截断面的侧面投影； (5)完成作图。
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
矩形
分析：
圆环的一部 分
1.形体分析：基本体为空心圆柱体； 2.位置分析：弄清楚被切的位置； 3.截断面分析：搞清楚截断面的形状； 4.投影分析：截断面分别为侧平面和水平面。
RV
截交线为 椭圆
椭圆的短轴与 圆柱直径相等
§4-2 截交线
绘制 截交 线三 视图
1、平面切割圆柱体
(4)当截平面倾斜于圆柱轴线且与顶面相交时，截交线是由 直线段和椭圆弧围成的平面图线。 截切动画 三视图中截切
曲面立体的截交线
第二节 曲面立体的截交线[Intersection Plane and Curved Surface Solid]平面与曲面立体截交时，交线一般是由曲线、直线围成的封闭平面图形。
曲面体截交线上的每一点，都是截平面与曲面体表面的一个公有点。
当截平面的投影有积聚性时，截交线的投影就积聚在截平面有积聚性的同面投影上，可利用曲面表面上取点、线的方法求截交线。
表5-1平面与圆柱的交线一、 圆柱的截交线[Intersection of Planes and Cylinders]平面与圆柱相交，根据截平面与圆柱轴线不同的相对位置，圆柱上的交线有圆、椭圆、矩形三种形状。
如表5-1所示。
例5-3如图5-7（a），已知圆柱和截面P的投影，求截交线的投影。
投影分析：圆柱轴线垂直于W面，截平面P为正垂面，与圆柱轴线斜交，交线为椭圆。
椭圆的长轴平行于V面，短轴垂直于V面。
椭圆的V面投影成为一直线段与P V重影。
椭圆的W面投影，落在圆柱的W面积聚投影上而成为一个圆，只须作图求出截交线的H面投影。
作图步骤：（1） 求特殊点: 即求长、短轴端点A 、B 和C 、D 。
P V 与圆柱最高、最低素线的V 面 投影的交点a ′、b ′，即为长轴端点A 、B 的V 面投影，P V 与圆柱最前、最后素线的V 面投影的交点c ′、(d ′)，即为短轴C 、D 的V 面投影。
据此求出长、短轴端点的H 面投影a 、b 、c 、d ，如图5-7(b )所示。
（2） 求一般点: 为使作图准确，需要再求截交线上若干个一般点，例如在截交线V 面 投影上任取点1′，如图5-7(b )所示，据此求得W 投影1′′和H 投影1。
由于椭圆是对称图形，可作出与点I 对称的点II 、III 、IV 的各投影。
（3） 判别可见性: 光滑连点成线 截交线上各点的水平投影均可见，按侧面投影上各 点的顺序，在H 投影上顺次连接a -1-c -3-b -4-d -2-a 各点，即为椭圆形截交线的H 面投影。
曲面立体的截交线新
3'' 5'' 7''
8
6
4
7
5
3
是什么立体？属于截切的 低点、最前点、最后点、最左点、最 那种情况？ 右点、转向轮廓线上的点（可见与不 截交线的水平投影 可见的分界点），椭圆长短轴上的点。 截交线的侧面投影 2、找一般点（至少一对） 3、将点的投影光滑连线 4、加粗可见的轮廓线
1、找截交线的特殊点：最高点、最 分析：截交线的正面投影
一、平面与圆柱相交
截交线的形状有几种？
矩形 圆 椭圆
一、平面与圆柱相交
5'
(6‘) (7‘) 4' 3' 2' 6 '' 7 '' 8 '' 5'' 4'' 3'' 1 '' 2 ''
(8‘) 1'
7 8 1
6
5
2 3
4
是什么立体？属于截切的 低点、最前点、最后点、最左点、最 那种情况？ 右点、转向轮廓线上的点（可见与不 截交线的水平投影 可见的分界点）。 截交线的侧面投影 2、找一般点（至少一对） 3、将点的投影光滑连线 4、加粗可见的轮廓线
§2-3 平面与回转体表面相交
曲面立体截交线的性质
1. 曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和 直线所围成的平面图形或多边形；
2. 曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线； 3. 曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 4. 截交线的形状与立体的形状及截平面的相对位置有关。
1、找截交线的特殊点：最高点、最 分析：截交线的正面投影
第10章 曲面立体的截交线
第十章曲面立体的截交线基本要求§10-1 概述§10-2 平面与圆柱相交§10-3 平面与圆锥相交§10-4 平面与圆球相交§10-5 综合题基本要求§10-1 概述一、截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、截交线上的特殊点五、作图步骤一、曲面立体截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、特殊点五、作图步骤§10-2 平面与圆柱相交一、平面与圆柱相交所得截交线形状二、求圆柱截交线上点的方法三、例题一、平面与圆柱相交所得截交线形状圆矩形椭圆二、求圆柱截交线上点的方法三、例题11'1"5"4" 8' 8"83254ⅦⅢⅡ ⅣⅤⅠ4'5' 2'3' 2" 3" 解题步骤1．分析 截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
7 66'7'6"7"解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
3453'3"4'5'5' 4'1'2'2"1"122' 1'4'3'[例题3] 求圆柱截交线解题步骤1．分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
曲面立体的截交线
目录
曲面立体的截交线
平面与圆柱相交 平面与圆锥相交 平面与圆球相交
求共有点的方法:
1、 圆员柱: 积聚性法 2、 圆员锥: 辅助素线法
辅助纬圆法
3、圆球: 辅助纬圆员法
步骤
作图步骤
1.投影分析 2. 求特殊位置点 3. 求一般位置点 4. 判断可见性 5. 连接各点 6. 整理轮廓线 7.检查，加深
一、平面与圆圆球相交所得截交线形状
三、圆锥截交线例题
圆球截交线2
圆球截交线5
平面与圆柱相交
一、平面与圆柱员 相交所得截交线形状 二、圆柱截交线例题
圆柱截交线1
1" 2"
5” 4" 3
6"
8"
5
2
7
4
8"
6
4
圆柱截交线3
圆柱截交线5
圆柱截交线9
平面与圆锥相交
、平面与圆员锥相交所得截交线形状 —、 圆员锥截交线例题
圆锥截交线形状分析
1. 0>a 圆（能截到所有素线，曲线封闭）
2. 0=a抛物线（截不到所有素线，也截不到对顶圆锥）
3. 0<a双曲线（截不到所有素线，能截到对顶圆锥）
a
（注：a为半顶角，。为截平面和轴线夹角）
ห้องสมุดไป่ตู้
思考：0= 90°呢？ 0= 0 °呢？
-・-• -、圆锥截交线例题
圆锥截交线5
平面与圆球相交
、平面与员圆球相交所得截交线形状 二、圆球截交线例题
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线
(5’)
4’Βιβλιοθήκη 1”Pw6”
2” Qw
5”
3”
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
45
46
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
b”
27
例3 完成所示形体的投影图
d’
e’
f’
b’
5’ 2’
1’
a’
s’
4’
3’
6’
c’
f
c
d
6
s
3
2
5
b
14 e
a
28
例题4：已知三棱锥SABC与三棱柱DEF的三面投
影,求作s它’们的f’相贯Pv线。 s”
3’
3”
2’
Qv
14’’d()’ 5’
4” 6’e’ 6”
1”
a’ b’
c’ a”(c ”)
（闭实各H的直、质表交交空线W是面线线间）投求 与投的折构影平 回影投线成已面 转分影的知体 体析作封图
求截交 的交求线V投影 线问题
32
归纳
相交形式
外表面与外表面相交 外表面与内表面相交 内表面与内表面相交
交线相同 求交线的实质相同 求交线的方法相同
33
求：四棱柱与半球体的相贯线。
34
曲面体与曲面体相交
第10章-相贯线PPT课件
3．求出若干个一般点Ⅷ、Ⅸ；
4．光滑且顺次地连接各点，作 出相贯线，并且判别可见性；
5．整理轮廓线。
2 PH
7
5
QH
9
SH
3 -
TH
21
[例9] 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影
解题步骤
1．分析 相贯线为圆 弧和双曲线的组合； 相贯线的侧面投影已 知，可利用表面取点 法求共有点；
3．顺次地连接各点 ，作出相贯线，并 且判别可见性；
4．整理轮廓线。
y
2
-
11
[例5] 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
2'
4'
解题步骤
3'
5'
1'
6'
1．分析 相贯线为左右两组折线； 相贯线的正面投影已知，水平投影 未知；相贯线的投影前后、左右对 称；
2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ 、Ⅵ ；
2．求出相贯线上的 特殊点Ⅰ、Ⅱ 、 Ⅳ；
3．求出一般点Ⅲ ； 4．光滑且顺次地连 接各点，作出相贯线 ，并且判别可见性；
5．整理轮廓线。
-
22
10.5 曲面立体与曲面立体相交
两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空 间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共有 点。
• 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面
的共有点。
• 不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。一般情况下
两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。
-
23
10.5.1 两回转体相交
10.曲面立体截切详解
A、B的中C、D是截交线的水平投影椭圆的长轴 端点，也是水平投影的最前、最后点。 2.求一般点 ：选择适当位置的G、H点。
ec
• •• g
青
岛 理 工 大
例8:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平 面截切，侧面投影 为圆；球面被水平 面截切，水平面投 影为圆。
学
理 学 院
青
岛 理 工 大
二、平面与圆锥体相交
学
理 学 院
青
岛 理 工 大
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不 同，截交线有五种形状。 PV
PV θ PV PV α
θ
α
θ PV
α
学
理
过锥顶 学 θ = 90° 两相交直线 院 圆
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
青
岛 理
例4.求正垂面与圆锥的截交线。
学
理 学 院
1
2
青
岛 理 工 大
总结曲面体截交线的求解：
1. 截交线形状：是由几个平面曲线或 平面直线组成，每一段平面曲线或直 线都是截平面和曲面体表面的交线， 每个转折点都是两个截平面的交线与 曲面体表面的贯穿点。
学
理 学 院
2. 求法： 青
岛 理 工 大
学
理 学 院
（1）分析基本形体（圆柱、圆锥、球体） （2）根据截平面的位置分析各段截交线的形状。 圆柱体——截交线有三种情况（圆、椭圆、矩形） 圆锥体——截交线有五种情况（圆、椭圆、直线、 双曲线、抛物线） 球——截交线只有一种情况（圆） （3）在截平面的积聚投影面上找出所有的特殊点和转 折点及必要的一般点，并用数字标注。 （4）求出这些点的另外两面投影。 （5）连接：同一面上相邻两点依次用光滑的曲线或直 线连接，并正确判断截交线的可见性。 （6）整理：加深形体余下的轮廓线，并正确判断轮廓 线的可见性。
截交线与相贯线
二、辅助平面法；
三、相贯线的特殊情况；
四、相贯线的简化画法。
相贯线的性质
由于相交的两回转曲面的几何形状或相对 位置不同，其相贯线形状位置也不同，但都具 有下列性质： 共有性：相贯线是两曲面立体表面的共有 线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点 是两立体表面的共有点，这里我们定义它为相 贯点。 封闭性：两回转体的相贯线，一般是一条 封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直 线。
一、表面取点法
求作轴线垂直相交两圆柱的相贯线
1’ 4’ 3’
2’
4”
1” （2”） y y 3”
分析: 已知相贯线的 水平投影和侧面投影 求作：正面投影 作图步骤：
4 1 3 2 y
1、作特殊点 2、作一般位置点 3、光滑连接
注意：相贯线始终弯向大圆柱的轴线方向。
y
二、利用辅助平面法求相贯线
为了能简便地作出相贯线上的点，应选取特殊位 置平面作为辅助平面，并使辅助平面与两回转体的截 交线的投影为最简图形（直线或圆）。 利用辅助平面法求相贯线的作图步骤：
4. 圆 环
1.圆 柱
根据截平面与圆柱轴 线的相对位置不同，圆柱 截交线共有三种不同形状， 分别为：
圆
矩形
椭圆
平面与圆柱相交所得截交线形状
平面的位置
与轴线平行
与轴线垂直
与轴线倾斜
立体图
投影图
截交线
圆
两平行直线
椭圆
[例题] 求圆柱切割后的投影
y1
⑴ ⑵ ⑶
求特殊点 求一般位置点 光滑连线
y2 y1 y2
[例题１] 求三棱锥切割后的投影
b’ (c’) c” b”
a’
a”
a
5.3.2曲面立体截交线)
2．圆锥的截交线截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线有五种不同形状，3．球的截交线圆球被平面截切，无论截平面在任何位置，其截交线都是圆前两种情况比较简单，直接按截平面位置和投影关系即可得到截交线。
例4-4 如图4-17所示，画出带切口圆柱套筒的投影a) 分析 b）作特殊点当圆锥截交线为圆和直线时，其投影可直接画出。
当截交线为椭圆、抛物线、双曲线时，则需采用求共有点的方法作图。
不管截交线的投影是椭圆、抛物线、双曲线还是其他曲线，只要视图的投a)分析 b)作特殊点c)作一般点 d)光滑连接各点，完成全图图4-19 圆锥截交线的画法分析：由于截平面p与圆锥的轴线平行，所以截交线为双曲线。
又因截平面为正平面，故截交线的正面投影反映实形，水平投影和侧面投影分别积聚为一直线段。
作图：先画出完整圆锥的三视图和截平面的积聚性投影，即先完成水平投影和侧面投影，再根据下列步骤求截交线。
b)先作槽的正面投影c)再作槽的水平面、侧面投影，完成全图图4-20 球的截交线分析：半球被两个对称的侧平面和一个水平面截切。
两个侧平面与球面的截交线各为一段平行于侧面的圆弧，其侧面投影反映圆弧实形，正面和水平投影各积聚为一直线段。
水平面与球面的截交线为两段水平的圆弧，其水平投影反映圆弧实形，正面和侧面投影图6-7a)。
4-20所示先画出完整半球的三视图，根据槽宽和槽深画出反映通槽特4-20b)。
根据截交线圆弧半径，分别作出截交线在H、W面的投影，完成全图。
a) b)c) d)图4-21 圆球截交线的作图步骤因为圆球被正垂面P截切，所以截交线的正面投影积聚为一条直线段，很容易求得正面投影；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆，其作图基本步骤仍是根据点的投影原理，先求特殊点，再求一般点，最后依次光滑连接成曲线完成全图。
读者可自行分析。
4．复合回转体的截交线实际机件经常由几个回转体组成复合回转体，这样复合回转体的截交线就是组成该立体的若干回转体截交线的组合。
机械制图课件-曲面立体的截交线
b ca
[例題3] 求圓錐截交線
2' 3'
a'
3"
4'5'
5"
1'
3 5
1
a
解題步驟
1．分析 截平面為正垂
面側平面，截交線為部
分橢圓和梯形的組合；
其水準投影為部分橢圓
2" 和直線的組合，側面投
4"
影為部分橢圓和梯形的
組合；
1"
2．求出截交線上的特殊
點Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ ；
3．出一般點Ⅳ、Ⅴ ；
4．光滑且順次地連接各 點，作出截交線，並且 判別可見性；
5．整理輪廓線。
[例題2] 求圓錐截交線
a' c' b'
a"
c" b"
解題步驟
1．分析 截平面為正平面，截交線 為雙曲線；截交線的水準投影和側 面投影已知，正面投影為雙曲線並 反映實形；
2．求出截交線上的特殊點A、C；
3．求出一般點B ；
4．光滑且順次地連接各點，作出截 交線，並且判別可見性；
5．整理輪廓線。
[例題3] 求圓柱截交線
1'2'
2'
3'4'
4'
24
1' 3'
解題步驟
1．分析 截交線的水準投 影為直線和部分圓，側面 投影為矩形；
2．求出截交線上的特殊點 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3．順次地連接各點，作出 截交線並判別可見性；
4．整理輪廓線。
13
[例題4 ] 求圓柱截交線
1'2'
2"
曲面立体的截交线
上一级
圆锥截交线 2
上一级
圆锥截交线 3
y
截平面过锥顶
y
圆锥截交线 4
上一级
§ 8.2.4 平面与圆球相交
一、平面与圆球相交所得截交线形状 二、 圆球截交线的求法 三、 圆球截交线例题
上一级
一、平面与圆球相交所得截交线形状
圆
上一级
二、圆球上的截交线 求共有点的方法
纬圆法
上一级
三、圆锥截交线例题
上一级
圆球截交线1
上一级
圆球截交线 2
完了吗？
上一级
综合题1：平面与组合回转体相交
球
圆锥
PV
上一级
上一级
上一级
小结：截交线的作图方法
(1)空间及投影分析：a）确定截断面的形状； b）确定截交线的投影特性
(2) 确定截交点：找所有特殊点，适当作一般点；
题4 求立体截切后的投影
6' 4'（5'）
6"
5"
4"
1' 2'（3'）
3" 1" 2" 6
35
1
6
24
5 4
3 1' 2
圆柱截交线 3
Ⅱ Ⅳ
Ⅰ Ⅲ
上一级
8.2 平面与曲面立体相交
§8.2.1 概述
§8.2.2 平面与 圆柱相交
§8.2.3 平面与 圆锥相交
§8.2.4 平面与 圆球相交
§8.2.5 综合题
步骤
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§ 8.2.2 平面与圆柱相交
一、平面与圆柱相交所得截交线形状 二、 圆柱截交线的求法 三、 圆柱截交线例题
立体截交线讲诉
1'
（2'） 4' 5' （3'）
空间分析：
四棱锥被正垂面切割，截 交线也应是平面多边形， 其正面投影积聚为一条线 ，水平投影侧面投影小于 实形的类似形。
例5-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影 s' s" 作图步骤：
7'
（8'） 6' 1' a' 8"
7"
6"
四棱锥表面上取 截交线的各顶点
12
3
5
4
[例题6]
想象出物体及其侧面投影的形状
3
平面与 圆锥相交
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
二、圆锥截交线的求法 三、例题
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
二、求圆锥截交线上点的方法
圆锥上的截交线 求共有点的方法 素线法
纬圆法
三、 例题
[例题1] 求圆锥截交线
2. 截平面相对投影面的位置 （平行，垂直） 2" 3. 截交线的空间分析及
投影分析（积聚性）
1' 3 5 （7） 1 4 （6） 2
1" 作图：
侧平面
正垂面
4. 求棱线的交点连线或 求棱面的交线 ( 线上 取点或棱面上取线） 5. 检查漏线和多线 6. 判断可见性.
2．棱锥上截交线的求法
例题4
例题5
2'3'
4'5' 6'7' 5"
3"
1"
解题步骤
2" 4" 6"
曲面立体截交线
第一节、平面与圆柱体相交平面与圆柱体相交，截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
平面截切圆柱体截交线的形式有三种。
例：已知斜切圆柱体的主视图和俯视图，求左视图。
解：分析——圆柱的轴线是铅垂线，截平面为正垂面且与圆柱轴线倾斜，斜切圆柱体的截交线为椭圆。
截交线的正面投影积聚为直线，水平投影积聚在圆周上，侧面投影为椭圆。
作图步骤：（1）求特殊点截交线最左素线上的点Ⅰ和最右素线上的点Ⅱ分别是截交线的最低点和最高点。
截交线最前点Ⅲ和最后点Ⅳ分别是最前素线和最后素线与截平面的交点。
作出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的正面投影1'、2'、3'、4'和水平投影1、2、3、4，根据从属关系求出1"、2"、3"、4"。
（2）求一般点从正面投影上选取a'、b'、c'、d'四点，然后作OX轴的垂线求得a、b、c、d，根据点的投影规律求出侧面投影a"、b"、c"、d"。
（3）按截交线的顺序，光滑地连接各点的侧面投影。
已知条件求特殊点求一般点例：求开槽圆柱的左视图。
解：分析——圆柱体上部的槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。
另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。
三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。
作图——在水平投影上和正面投影上找出特殊点1、2、3、4、5、6和1'、2'、3'、4'、5'、6'根据点的投影规律作出1"、2"、3"、4"、5"、6"，按顺序依次连接各点。
判别可见性：截平面交线的侧面投影为不可见，应画成虚线。
已知条件作图过程例：已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
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第十章曲面立体的截交线
基本要求
§10-1 概述
§10-2 平面与圆柱相交
§10-3 平面与圆锥相交
§10-4 平面与圆球相交
§10-5 综合题
基本要求
1掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交，求表面交线的方法；
2掌握回转体截交线的性质及求截交线的方法；3掌握曲面立体截交线的性质及求截交线的方法（截平面限特殊位置平面）。
§10-1 概述
一、截交线的性质
二、截交线的类型及形状
三、求作截交线的方法
四、截交线上的特殊点
五、作图步骤
一、曲面立体截交线的性质
1 曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由
曲线和直线所围成的平面图形或多边形；
2 曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有
线；
3 曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。
二、截交线的类型及形状
1曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。
2截平面与复合回转体相交，其截交线是截平面与基本几何体截交线的组合。
这种截交线之间的分界点，是复合回转体的相邻两立体表面分界线与截平面的交点，称为结合点。
3多个截平面与立体相交所得的截交线是各截平面所得截交线的组合、截交线的结合点是相邻两截平面与立体表面的共有点，它是两截平面的交线与立体表面的交点。
两截平面的交线是各截断面的分界线。
三、求作截交线的方法
1素线法在曲面立体表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点，将其依次光滑连接即得所求的截交线。
2纬圆法在曲面立体表面取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点，将其依次光滑连接即得所求的截交线。
3辅助平面法用三面共点原理作适当数量的辅助平面，然后求作辅助平面与立体表面以及截平面的交线，则这两条交线的交点就是截交线上的点，将这些点依次光滑连接即得所求截交线。
4求作截平面与复合回转体的截交线时，应把复合回转体分解为基本几何体，分别求出截交线。
求作多个截平面与基本立体相交时，应按单一截平面求截交线的方法，分别求出各截平面的截交线。
四、特殊点
特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有：
1极限点确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。
2转向点曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。
3特征点曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。
4结合点截交线由几部分不同线段（曲线、直线）组成时结合处的那些点。
对于特殊点，根据现有的知识凡是能求出来的都应求出来。
五、作图步骤
1根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。
2根据截平面位置或曲面立体所处位置，决定采用什么方法求共有点。
3求出截交线上的特殊点。
4根据需要求出若干个一般点。
5光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。
6最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
§10-2 平面与圆柱相交
一、平面与圆柱相交所得截交线形状
二、圆柱截交线求共有点的方法
三、圆柱截交线例题
一、平面与圆柱相交所得截交线形状
圆
一对平行直线椭圆
二、圆柱截交线求共有点的方法
素线法在圆柱表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；当圆柱的轴线处于特殊位置时，可利用圆柱的积聚性投影求共有点。
三、圆柱截交线例题
例题1 求圆柱截交线
37
1
1'1"
5"
4"8'8"
8
26
5
4
Ⅵ
Ⅶ
Ⅲ
ⅡⅣ
ⅤⅠ
Ⅷ
6'7'6"
7"
4'5'2'3'2"
3"解题步骤
1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；
2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；
3求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；
4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。
例题2 求圆柱截交线解题步骤
1分析截交线的水平投影
为椭圆的一部分，侧面投影
为圆的一部分；
2求出截交线上的特殊点Ⅰ
、Ⅳ、Ⅴ；
3求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ
；
4光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见
性；
5整理轮廓线。
例题3 求圆柱截交线
解题步骤
1分析截交线的水平
投影为圆的一部分，侧
面投影为矩形；
2求出截交线上的特殊
点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3顺次地连接各点，作
出截交线并判别可见性
；
4整理轮廓线。
例题4 求圆柱截交线解题步骤
1分析截交线的水平投影
为椭圆，侧面投影为圆；
2求出截交线上的特殊点Ⅰ
、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；
3求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ
、Ⅵ、Ⅶ；
4光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可
见性；
5整理轮廓线。
例题5 求圆柱截交线
解题步骤
1分析截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求一般点Ⅴ；
4顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。
3'
1'
2'
4'
4
5
5'3"
2"
5"
1"4"
例题6 想象出物体及其侧面投影的形状
§10-3 平面与圆锥相交
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
二、圆锥截交线的求法
三、圆锥截交线例题
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
圆椭圆
一对相交直线
二、圆锥截交线求共有点的方法
求圆锥截交线共有点常用的方法为：
1 素线法在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；
2纬圆法在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.
三、圆锥截交线例题
例题1 求圆锥截交线
解题步骤
1分析截交线的水平投影
和侧面投影均为椭圆；
2求出截交线上的特殊点Ⅰ
、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3求出一般点Ⅴ；
4光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可
见性；
5整理轮廓线。
例题2 求圆锥截交线解题步骤
1分析截交线的水平投
影和侧面投影已知，正面
投影为双曲线并反映实形
；
2求出截交线上的特殊点
A、C；
3求出一般点B；
4光滑且顺次地连接各点
，作出截交线，并且判别
可见性；
5整理轮廓线。
例题3 求圆锥截交线
解题步骤
1分析截交线的水
平投影为椭圆和直线
的组合，侧面投影为
椭圆和梯形的组合；
2求出截交线上的特
殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
；
3求出一般点Ⅳ、Ⅴ
；
4光滑且顺次地连接
各点，作出截交线，
并且判别可见性；
5整理轮廓线。
例题4 分析圆锥切割后截交线投影的形式
例题5 分析并想象出圆锥穿孔后的投影
§10-4 平面与圆球相交
一、平面与圆球相交所得截交线形状
二、圆球截交线的求法
三、圆球截交线例题
§10-3 平面与圆球相交
一、平面与圆球相交所得截交线形状
二、圆球截交线的求法
三、圆球截交线例题
一、平面与圆球相交所得截交线形状
圆
二、圆球截交线求共有点的方法
纬圆法在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.
三、圆球截交线例题
例题1 求圆球截交线
解题步骤
1分析截交线的水平投影
和侧面投影均为椭圆；
2求出截交线上的特殊点Ⅰ
、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、
Ⅶ、Ⅷ；
3求出若干个一般点N、R
；
4光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可
见性；
5整理轮廓线。
例题2 求圆球截交线
解题步骤
1分析截交线的水
平投影和侧面投影均
为圆弧和直线的组合
；
2求出截交线上的特
殊点Ⅰ、Ⅱ；
3求出各段圆弧；
4判别可见性，整理
轮廓线。
例题3 分析并想象出圆球穿孔后的投影
例题4 分析并想象出圆球穿孔后的投影
§10-5 综合题
例题1 分析并想象出物体的投影
例题2 求出物体切割后的投影
例题3 分析并想象出物体切割后的投影
本章结束
41。