用正交变换化二次型为标准型

个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为 X＝PY； (5) 所求二次型的标准形为
f=1y1 2+2y2 2+ L+nyn 2.
《线性代数》
返回
下页
结束
例1. 用正交变换化下列二次型为标准形．
f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 3 x 1 2 + 6 x 2 2 + 3 x 3 2 - 4 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 - 4 x 2 x 3
此时 1,2,3 即为所求标准正交向量组.
说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.
《线性代数》
返回
下页
结束
一、正交矩阵与正交变换
正交矩阵的概念 定义1 如果n阶实矩阵A满足 ATA=E 或 AAT＝E，
则称A为正交矩阵.
例如，单位矩阵E为正交矩阵.
再如，矩阵 Q=csoins -csoisn也为正交矩阵.
《线性代数》
返回
下页
结束
二 次 型 ｆ = X Ｔ Ａ Ｘ 能 用 正 交 变 换 X = P Y 化 成 标 准 型
f=1 y 1 2+2 y 2 2+ L +n y n 2= Y T Y
c
关于对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使
1
PT AP = P-1AP = =
2
O
n
那么，这个P 存在吗？
b3=a3-((a b1 3,,b b1 1))b1-((a b2 3,,b b2 2))b2
= a3- ( (a b1 3 ,,b b1 1 ) )a1- ( (a b3 2 ,,b b2 2 ) )[a2- ( (a b1 2 ,,b b1 1 ) )a1 ]
LLL
baa bb baa bb baa bb ba m =m - ( (m 1 ,,1 1 ) )1 - ( (m 2 ,,2 2 ) )[2- ( (1 2 ,,1 1 ) )1 ]- L
《线性代数》
返回
下页
结束
一、正交矩阵与正交变换
正交变换的概念
定义2 设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换
为正交变换.
X＝PY
正交变换的性质 性质1 正交变换是可逆线性变换； 性质2 正交变换不改变向量的内积. 证明：因为 (X,X)=(PY,PY)=(PY)T(PY)=YTPTPY =YT(PTP)Y= Y T Y = (Y ,Y ).
=(-1, 1, -1, 1)T
此时 b1, b2, b3 为正交向量组.
《线性代数》
返回
下页
结束
(2)再将正交化后的向量组标准化，即令
b = 1
=1（1,1,1,1） T
1 ||b1|| 2
2
b
=||b2 2||
=1（ 1,1,-1,-1） T 2
b = 3
=1（ -1,1,-1,1） T
3 ||b3|| 2
即有 P TAP= (因为PT=P -1). 问题：
（1）n元二次型的矩阵（即实对称矩阵）A是否存在n个 实特征值?
（2）A的特征值是否对应n个标准正交的特征向量?
《线性代数》
返回
下页
结束
二、 实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 ti 重特
征值i 对应ti 个线性无关的特征向量.
(-2E-A)X=o,
得基础解系
x1 =(2,1,2)T,
将其单位化得
1
=
(
2 3
,
1 3
,
2)T 3
.
对于2=3=7，解方程组
(7E-A)X=o,
得基础解系
x 2 = (1,0,-1)T ，x3 = (1, -2, 0)T .
将其正交化得
x2
=(1,0,-1)T,
x3
=(1,-2, 2
1)T 2
将其单位化得
《线性代数》
返回
下页
结束
向量的长度(复习)
定义2 对于向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为
a aa || ||=(, )=a 1 2+ a 2 2+ L+ a n2.
例如，向量a=(-3, 4)T的长度为
||a||=(a,a)=(- 3)2+42=5.
向量的单位化（标准化） (复习)
=(+2)(-7)2=0
解得 1=-2, 2=3=7．
《线性代数》
返回
下页
结束
例1. 用正交变换化下列二次型为标准形．
f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 3 x 1 2 + 6 x 2 2 + 3 x 3 2 - 4 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 - 4 x 2 x 3
解得 1=-2, 2=3=7． 对于1=-2，解方程组
三、 用正交变换化二次型为标准形
（要求：熟练掌握！）
(1) 写出二次型的矩阵形式；
(2) 求出A的全部特征值1, 2 , …, n ； (3) 对每一个特征值i , 解方程 (i E-A )X=o, 求出基础解系，
然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化； (4) 将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一
则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.
另外：①很明显，向量组a1,a2,,am可由向量组b1,b2,,bm线性
表示.
《线性代数》
返回
下页
结束
②向量组b1,b2,,bm也可由向量组a1,a2,,am线性表示，因为：
b1
b2
= a1
=a2
-(a2,b1) (b1,b1)
b1
=a2
- ((ab12,,bb11)) a1
解: 二次型的 f 系数矩阵为
3 -2 -4
A
=
-
2
6
-2
wenku.baidu.com
,
-4 -2 3
矩阵A的特征方程为
-3 2 4
E-A= 2 -6 2
4 2 -3
-3 2
0
= 2 -6 -2(-7)
4 2 -7
-3 2 0 =(-7) 2 -6 -2
4 21
-3 2 0 =( -7) 10 -2 0
4 21
=(-7)-3 2 10 -2
k2，，km，使
a1＝k2a2+ +kmam ，于是 (a1 , a1)= (a1 , k2a2+ +kmam)
= (a1 , k2a2)+ + (a1 , kmam) =k2 (a1 , a2)+ + km (a1 , am)=0 这与(a1 , a1)≠0矛盾，所以a1，a2，，am线性无关.
b1=a1=(1, 1, 1, 1)T
b2 =a2 -（ （ab12， ，bb11） ）b1
=(3, 3, -1, -1)T - 4 (1, 1, 1, 1)T =(2, 2, -2, -2)T
4
（ a， b）（ a， b）
b3 =a3-（ b3， b1） b1-（ b3， b2） b2
11
2
2
= ( - 2 , 0 , 6 , 8 ) - T 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 2 ) T - - 3 ( 2 , 2 , - 2 , - 2 2 ) T 4 16
《线性代数》
返回
下页
结束
性质5 设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其
列(行)向量组是标准正交向量组.
证明：设A=(a1，a2，，an)，其中a1，a2，，an为A的列向 量组，则AT的行向量组为a1T，a2T，，anT，于是
1
1
O
1
=
α1T
A
T
A
=
α2T M
(α1
,
令
2 2
2
2 2
2
3
2
6
P
=
(1, 2 ,3
)
=
1 3
0
-2
2
,
3
2 3
-2 2
2 6
x1 x2 x3
=
3 1 3 2
3
2 0 -2 2
-
6 22
3 2
y1 y2 y3
,
6
将二次型 f 化为标准形
则通过正交变换
f=-2y1 2+7y2 2+7y3 2.
第4节 用正交变换化二次型为标准形
一、正交矩阵与正交变换 二、实对称矩阵的性质 三、利用正交变换化二次型为标准形
《线性代数》
返回
下页
结束
内积的定义(复习)
定义1 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量，
则实数
n
aibi =a1b1+a2b2+...+anbn,
则称该向量组为标准正交向量组.即
(ai,aj)= 1 0,,
i=j ,
ij
i,j=1,2,L,m
《线性代数》
返回
下页
结束
2.8 向量组的正交化标准化
定理1 正交向量组是线性无关的向量组.
证明: (反证)
设a1，a2，，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向 量线性表示，不妨设a1可由a2，，am线性表示，即有一组数
《线性代数》
返回
下页
结束
例2. 已知二次型 f( x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 4 x 1 2 + 3 x 2 2 + 3 x 3 2 + 2 a 2 x 3 x ( a 0 ) 通过正交变换X=PY化为标准形 f=2y12+4y2 2+4y3 2,求a及正交 变换矩阵P．
《线性代数》
返回
下页
结束
施密特正交化方法
定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令
b1
b2
= a1
=a2
-(a2,b1) (b1,b1)
b1
b3=a3-((a b1 3,,b b1 1))b1-((a b2 3,,b b2 2))b2
LLL
baa bb bba bb bb b ab bb m =m - ( (m 1 ,,1 1 ) )1 - ( (m 2 , ,2 2 ) )2 - L - ( (m m - 1 ,,m m - - 1 1 ) )m - 1
α
2
,L
αnT
,
α
n
)
=
α1Tα1 α2Tα1
M
αnTα1
α1Tα2 α2Tα2
M αnTα2
L L O L
α1Tαn α2Tαn
M αnTαn
显然，若A为正交矩阵，则a1，a2，，an为标准正交向量组； 若a1，a2，，an为标准正交向量组，则A为正交矩阵.
A的行向量组的证明类似，略.
Q TQ = - cso insc sio n sc sio ns- cso in s=
1 0
0
1
=
E.
《线性代数》
返回
下页
结束
正交矩阵的性质
正交矩阵具有如下性质：
1．A为正交矩阵的充要条件是A-1 = AT；
2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1； 5. A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准 正交向量组. （证明见下页）
《线性代数》
返回
下页
结束
那么，这个P 存在吗？
分析： ①若A有n个线性无关的特征向量x1, x2,…, xn，令 Q=(x1, x2,…, xn), 则有 Q-1AQ=；
②将x1, x2,…, xn正交化标准化为1, 2,…, n，令 P=(1, 2,…, n), 仍有P -1AP= (正交必无关) ,
定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.
定理3 设A为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P 使
P-1AP=PTAP= =d ia g (1,2,L,n),
其中 1,2,,n 为A的n个特征值，正交矩阵P 的n个列向量 是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.
《线性代数》
返回
下页
结束
由此可知，若向量组a1,a2,,am为AX=o的一个基础解系，则向 量组b1,b2,,bm也为AX=o的一个基础解系.
《线性代数》
返回
下页
结束
例1．已知向量组a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2, 0, 6, 8)T,
线性无关，试将它们正交化、标准化.
解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
定义3 长度为1的向量称为单位向量.若a 为非零向量，则
a0= a || a ||
为单位向量，称此过程为向量的标准化.
《线性代数》
返回
下页
结束
正交向量组(复习)
定义4 设向量a，b都为n维为向量，若(a ,b )=0，则称向量 a与b互相正交(垂直).
定义5 如果m个非零向量组 a1，a2，，am 两两正交，即 (ai ,aj )=0(ij), 则称该向量组为正交向量组. 如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单位向量,
2
=(
2 ,0, 2
2)T, 2
3 =(
2,-2 2, 63
2)T. 6
《线性代数》
返回
下页
结束
例1. 用正交变换化下列二次型为标准形．
f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 3 x 1 2 + 6 x 2 2 + 3 x 3 2 - 4 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 - 4 x 2 x 3
i=1
称为向量a和b的内积，记为(a , b ). 或aTb .
例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a和b 的内积为
(a , b ) = (-1)2+10+0(-1)+23 =4 .
内积的性质(复习)
设a，b，g 都为 n维向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .