用正交变换化二次型为标准型
6.3 用正交变换化二次型为标准型
2 B 0 0
0
0 1 1 . 1 1
8
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 例 设方阵 A 为正交阵，且 | A| 1，试证 A + I 不可逆。 六 证 A I A A AT A ( I AT ) 章 二 次 型
A ( I T AT ) A ( I A)T A ( A I )T ,
则 P 为正交阵，且
T X1 P 1 A P P T A P T A ( X 1 P1 ) P 1
14
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 证明 (1) 设 l 是 A 的特征值, 则存在 X 0 使得 A X l X , 六 (a) X T AX l X T X , 章 其中 X 是 X 的共轭。 二 对上式两端取共轭转置，并利用 A T A 得 次 型 (b) X T AX l X T X , 从而有 l X T X l X T X , 即得
从而 X C Y 为正交变换。 12
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 三、正交变换 六 T 章 目标 求正交矩阵 P，即 P P I , 使得 二 次 型
f (X )
X PY
2 2 2 Y T ( P T AP )Y d1 y1 d 2 y2 d n yn ,
d1 d2 . 或 P T A P P 1 A P Λ dn
P178 定理 6.6
l1 l2 . C T AC C 1 AC ln
17
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 证明 (数学归纳法) 对于 1 阶实对称矩阵，性质显然成立。 六 假设性质对于 n 1 阶成立， 需证对于 n 阶也成立 。 章 (1) 设 A 的某特征值 l 1对应的单位特征向量为 X1 , 二 将 X1 扩充为 Rn 中的标准正交向量组 X 1 , 2 , 3 , , n , 次 型 记为 令 P ( X1 2 3 n ) ( X1 P1 ) ,
8.2化二次型为标准形
其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 例2.1 求一个正交变换X=CY，把二次型: f = 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 − 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3x4
化为标准形.
0 1 解: 1)二次型的矩阵为 A = 1 −1
所用的线性变换为
x1 1 1 0 1 0 1 z1 x = 1 −1 0 0 1 2 z 2 2 x3 0 0 1 0 0 1 z3
13
1 1 3 z1 1 −1 −1z , = 2 0 0 1 z3
§2 化二次型为标准形
1. 用正交变换化实二次型为标准形 定理2.1(主轴定理). 对于任意实二次型 f(x)=XTAX ,存 定理 在正交变换X=CY，使f 化为标准形.
2 2 2 f = k1 y1 + k2 y2 + L + kn yn
其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 证明: 证明 由于A是实对称矩阵,由第5章定理3.1知有正交阵 C, 使CTAC=ding(k1,k2,…,kn),其中k1,k2,…,kn为A的n个特征值. 作正交变换X=CY, 则实二次型 f =XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y=
1 0 −3 1 −3 A 0 E = 0 1 0 0 1 0 0 1 0
18
1 1 1 −2 1 −2 0 1 2 1 0 1 0 1 0 −3 −3 −3 1 −3 −2 −3 0 r1 + r2 1 −3 0 0 → → c1 + c2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0
第三节 正交变换法化二次型为标准型.
1 求矩阵A的特征值, 2 求特征值的特征向量, 3 将属于同一特征值的特征向量正交化, 4 单位化特征向量, 5 单位化的向量为列，构造正交矩阵；
从而正交对角化对称矩阵.
例1：设对称矩阵 2 2 4 A 2 4 2 2 2 4 求一个正交矩阵C，使得C T AC 为 对角矩阵，并写出此矩阵.
定理2 设 A为 n阶对称矩阵, 是A 的k 重特征根, 则矩阵A的对应于的特征 子空间的维数恰等于k ,即齐次线性方程组： ( E A) X 0的基础解系恰有k 个解向量， 亦即：r ( E A) n k , 从而对应特征值
恰有 k 个线性无关的特征向量.
对比复习：第五章 定理6：设0是n阶矩阵A的k 重特征值， 则A的对应于0的特征子空间的维数 不超过重数k .
此式表明，当C为正交矩阵时，由上式 所得的对角矩阵既与A合同，又与A相 似，且对角线元素全是A的全部特征值。
由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只 要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定 有n个特征向量组成的标准正交组,则问题 就可以得到完全解决. 定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
T T T
T 1 T 1
(1 2 ) X X 2 0, 1 2 , 故：X X 2 0, 即二者正交.
由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，
可得以下定理4：
定理4 对n阶对称矩阵A，一定存在 正交矩阵C ,使得： 1 2 T 1 C AC C AC O . n
02-用正交变换化二次型为标准形
§5 二次型及其标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋅⋅⋅+a nn x n2+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+⋅⋅⋅+2a n -1,n x n -1x n令a ij =a ji ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应的关系.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 因此,二次型可记作f =x T Ax ,其中A 是一个实对称矩阵.实对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵,f 也叫做实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵的秩就叫做二次型f 的秩.对于二次型，寻找可逆的线性变换11111221221122221122,,.n n n n nn m nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩简记为x = C y ，于是f =x T Ax =(C y )T A (C y )=y T (C T AC )y使二次型只含平方项，即标准形f = k 1y 12+ k 2y 22+ … + k n y n 2说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.二次型f =x T Ax 在可逆线性变换x =Cy 下,有合同矩阵:若存在可逆矩阵C ,使B =C T AC ,=y T (C T AC )y .=(Cy )T A (Cy ) f =x T Ax 则称矩阵A 与B 合同.显然，☐B T = (C T AC )T = C T A T (C T )T = C T AC = B 即若A 为对称阵，则B 也为对称阵．☐R (B ) = R (A ) ．由此可知,经可逆变换x=Cy后,二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵C T AC,且二次型的秩不变.若二次型f 经过可逆变换x = C y 变为标准形，即222()()()TT TT f x Ax Cy A Cy y C AC y ===1122112212(,,,)n nn n n k y k y k y k y k y y y y k y =+++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭问题：对于对称阵A，寻找可逆矩阵C，使C T AC为对角阵（把对称阵合同对角化）．定理：设A 为n 阶对称阵，则必有正交阵P，使得P−1AP= P T AP= Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.定理：任给二次型f (x)=x T Ax（其中A = A T），总存在正交变换x= P y，使f化为标准形f(P y) = λ1y12+ λ2y22+ … + λn y n2其中λ, λ2, … , λn是f的矩阵A的特征值．1推论：任给二次型f (x )=x T Ax （其中A = A T ），总存在可逆变换x = C z ，使f (C z )为规范形．证明：f (P y ) = λ1y 12+ λ2y 22+ … + λn y n 2若R (A ) = r ，不妨设λ1,λ2,…, λr 不等于零，λr +1= … = λn =0.12,,|k i r k ⎛⎫⎪≤⎪=⎪ 其中令则K 可逆，变换y = Kz 把f (P y )化为f (PKz ) = (PKz )T A (PKz ) = z T K T P T APKz = z T K T ΛKz其中|=, 1,.i i n K k i r k λ⎨ ⎪> ⎪⎩⎝⎭1212,,,,0,,0||||||Trr K K diag λλλλλλ⎛⎫Λ=⎪⎝⎭将二次型化为标准形的问题，可以转化为将二次型的对称矩阵的对角化问题.。
用正交变换化二次型为标准型
1
1
1
1 2 2 λ +1
0 λ 1 2 = (1 λ) 0 2 λ 1 0 0 0
1
2
1
1
= (1 λ) 0 λ 1 2 0 2 λ 1
= (1 λ) (λ + 2λ 3)
2 2 2
Hale Waihona Puke = (1 λ) (λ + 3)(λ 1) = 0
得A的特征值为
3) 由（A λE）x = 0, 求A 的特征向量. 当λ1 = 3时，解方程（A + 3 E）x = 0. 由
k2 .k3 , k4不 时 零 同 为 .
1 0 1 1 0 1 ξ2 = , ξ3 = , ξ4 = . 0 1 1 0 1 1
单 化 位 1 2 1 P = 2 0, 2 0 0 2 0 P = 3 1, 2 1 1 1 1 P = . 4 2 1 1
三 、用正交变换化二次型为标准型
经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤：
1.将 次 f = ∑∑aij xi xj： 成 阵 式 = x Ax 二 型 写 矩 形 f
T
n
n
2、由 A λ E = 0, 求出A的全部特征值： 3、由（ A λ E） x = 0，求出 A的特征向量；
3 1 1 3 A + 3E = 1 1 1 1 1 1 0 2 ~ 0 2 0 2 1 1 1 1 1 1 ~ 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 2 0 0 1 ~ 0 0 2 0 2 4 0 0 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 0 4 4 0 0 1 3
当λ2 = λ3 = λ4 = 1，解方程（A E）x = 0.由
二次型化为标准型.
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
得
2 2 2 f 2 z1 2z2 6z3 .
Page 15
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值 .
Page 3
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
Page 12
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0.
Page 13
例3 化二次型
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
2 2 f 1 y1 n yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
Page 4
例1 将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
Page 8
二、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
线性代数 用正交变换法换二次型为标准型.ppt
X1 CY1, X2 CY2时， X1, X2 Y1,Y2
③线性变换X=CY把Rn中的标准正交基变成标准正交基.
证明（循环证明过程）：
(1) (2) : 因为X=CY为正交变换，故矩阵C为正交矩阵
当 1 时， I A X 0 的基础解系 2 0,1,1T
当 1 时， I A X 0 的基础解系 3 0,1,1T
1,2 ,3 两两相互正交，单位化得
1 1,0,0T
2
1 0,1,1T
2
3
1 0,1,1T
2
令正交矩阵C
1
C 0
0 1
0 1
0
则正交变换为X=CY
2 2
1 2
1 2
故结论成立. 定理：对n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵C，使
1
CT
AC
C 1 AC
2
成立.
n
证明：（利用数学归纳法+标准正交向量组的性质）
详见课本179-180证明过程。
注：实对称阵一定有n个标准正交的特征向量。
上述定理的等价描述：
定理（主轴定理）：实二次型 f X T AX 必可由正交
0 2 λ-1 2 0 0 0 λ+1
11
1
1 2 0 1 2
0 2 1
(1 )2 (2 2 3) (1 )2 ( 3)( 1) 0
得A的特征值 1 3,2,3,4 1
3）当 3 时，特征向量为 1 1,1,1,1T
对其单位化
1
1 2
1, 1, 1,1T
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤(精)课件
二次型在物理学中有广泛应用 ，如描述物体运动轨迹、弹性 形变等。
在经济学中，二次型可以用来 描述成本、收益等函数关系， 帮助企业制定最优策略。
在化学和生物学中，二次型也 被用来描述分子结构和生物模 型等。
如何进一步优化正交变换的方法
寻找更高效的算法
01
针对大规模数据集，需要寻找更高效的算法来加速正交变换过
VS
计算出矩阵$A$的特征值 $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n$和对应的特征向量$q_1, q_2, ldots, q_n$。
构造正交矩阵
根据特征向量构造正交矩阵$Q = [q_1, q_2, ldots, q_n]$，满足$QQ^T = I$。
正交矩阵的列向量是特征向量，且各列向量之间相互 正交。
02
正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵。
03 正交矩阵的各列向量是单位向量，且两两正交。
正交矩阵的判定
01
实对称矩阵是正交矩阵的充分必要条件。
02
若存在一个正交矩阵P，使得$A=P^TAP$，则A是 实对称矩阵。
03
若A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵P，使得 $A=P^TAP$。
用正交变换化二次
03
实例分析
04
实例一：具体的二次型和正交矩阵
具体展示
选取具体的二次型，例如 $f = x_1^2 + 2x_2^2 3x_3^2 + 4x_1x_2 4x_1x_3 + 4x_2x_3$。
构造相应的正交矩阵，例如 $Q = begin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} & 0 frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$。
用正交变换化二次型为标准形
3
3
xi2 yi2，知该正交变换将 f 化为标准形
i 1
i 1
f 2 y12 2 y22 7 y32 k( y12 y22 y32 )
(2 k) y12 (2 k) y22 (7 k) y32 为使二次型正定，按定理2，必有
2k 0
2
k
0
7 k 0
6.2 正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理 二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小节、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的， 但标准形中所含有的项数是确定的， 项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例 将二次型
f 17 x12 14 x22 14 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形，并问 f 2表示 什么曲面？
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x) xT Ax, 如果对任何 x 0,
(1) f ( x) 0,则称 f 是正定二次型，对应的 实对称矩阵A为 正定矩阵.
(2) f ( x) 0,则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵A为 负定矩阵.
(3) f ( x) 0则称此二次型为半正定二次型，对应的 实对称矩阵为半正定矩阵. (4) f ( x) 0则称此二次型为半负定二次型，对应的 实对称矩阵为半负定矩阵.
用正交变换将二次型化为标准型例题
用正交变换将二次型化为标准型例题正交变换是线性代数中非常重要的概念，它能够将一个二次型矩阵化为标准型。
在本文中，我们将以一个具体的例题来说明如何使用正交变换将二次型化为标准型，帮助读者更深入地理解这一概念。
1. 例题描述假设有一个二次型矩阵Q如下：\[Q = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & 0 \\0 & 0 & 3 \\\end{bmatrix}\]我们的任务是使用正交变换将这个二次型矩阵化为标准型，并进行必要的计算和推导过程。
2. 步骤一：寻找正交矩阵我们需要寻找一个正交矩阵P，使得\[P^TQP = D\]其中D是一个对角矩阵，称为标准型矩阵。
3. 寻找特征值和特征向量我们先计算二次型矩阵Q的特征值和特征向量。
计算得到特征值为1，3，3，对应的特征向量分别为\[v_1 = \begin{bmatrix}1 \\-1 \\0 \\\end{bmatrix},v_2 = \begin{bmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{bmatrix}\]4. 步骤二：构造正交矩阵接下来，我们可以使用特征向量构造正交矩阵P。
根据特征向量的定义，我们可以取单位化后的特征向量作为P的列向量，即\[P = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}\]5. 步骤三：进行正交变换现在，我们可以进行正交变换，计算\[P^TQP\]的结果。
将P带入计算，得到\[P^TQP = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 3 \\\end{bmatrix}\]6. 总结与回顾通过以上步骤，我们成功地使用正交变换将二次型矩阵Q化为标准型矩阵。
这说明正交变换在矩阵化简中的重要性和应用价值。
用正交变换将二次型化为标准型例题
用正交变换将二次型化为标准型例题随着数学的发展，线性代数作为数学的一个重要分支之一，其中的二次型是一类非常基础而又重要的数学概念。
在线性代数中，二次型是一种十分基础的形式，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等。
而用正交变换将二次型化为标准型便成为线性代数中一个重要的转化方法。
本文将围绕着这个主题展开深入的讨论，通过例题来解释如何用正交变换将二次型化为标准型。
1. 二次型的定义我们需要了解二次型的定义。
在数学上，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，它通常写作：\[ Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \]其中，\( a_{ij} \) 为常数，\( x_1, x_2, \ldots, x_n \) 为变量。
在矩阵形式下，二次型可以表示为：\[ \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} \]其中，\( \mathbf{x} \) 为列向量，\( \mathbf{A} \) 为对称矩阵。
2. 用正交变换将二次型化为标准型的步骤现在，我们开始讨论如何用正交变换将二次型化为标准型。
假设有一个任意的二次型\[ Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \]我们可以通过以下步骤将其化为标准型。
步骤一：找到矩阵A的特征值和特征向量我们需要找到矩阵A的特征值和特征向量。
设\( \lambda_1,\lambda_2, \ldots, \lambda_n \)为矩阵A的n个特征值，\( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \)为对应的特征向量。
步骤二：构建正交矩阵P我们将特征向量构成正交矩阵P，即\[ P = [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n] \]步骤三：进行正交变换进行正交变换，即\[ \mathbf{x} = P\mathbf{y} \]其中，\( \mathbf{x} \)为原二次型的变量向量，\( \mathbf{y} \)为新的变量向量。
第三节 用正交变换化二次型
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 说明：本节所提到的对称矩阵， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数. 定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 设复数λ为对称矩阵A的特征值 , 复向量X为
取正交矩阵P2
1 0 P2 = 0 Q 1
0 1 0 0 1 0 λ1 0 Q = 0 QT B 0 Q Bk −1 1 k −1 1 1
1
1 0 λ1 P BP2 = 0 QT 0 1
0 −2 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
2−λ
( 第二步 由 A− λi E)X = 0, 求出A的特征向量 对 λ1 = 4,由( A − 4 E )X = 0, 得
第三节 用正交变换化二次型 为标准型
对于二次型，我们讨论的主要问题是： 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． x1 = c11 y1 + c12 y 2 + L + c1n y n , x = c y + c y + L+ c y , 21 1 22 2 2n n 设 2 LLLLLLLLLLLLL x n = c n1 y1 + c n 2 y 2 + L + c nn y n
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
第三节正交变换法化二次型为标准型
例2：用正交变换化二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2 x3 2x2 x4 2x3x4
•
为标准形，并求相应的正交变换.
注：此种类型需要先写出二次型矩阵.
补充知识
(1) 矩阵等价. 设A,B为同型矩阵，若A• 经过有限次初等变 换可以化为B,则称A与B等价. 判别方法：A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).
(E A) X 0的基础解系恰有k个解向量，
亦即：r(E A) n k,从而对应特征值
恰有 k 个线性无关的特征向量.
对比复习：第五章
定理6：设0是n阶矩阵A的k重特征值， 则A的对应于0的特征子空间的维数
不超过重数k.
由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有
n个线性无关的实特征向量，从而它必相似
2(1 a)x1x2的秩为2. • (1)求a. (2)求正交变换X QY , 把二次型化为标准二次型.
3 求f x1, x2 , x3 =0的解.
谢谢观赏
T
1
1 X1 T AX1 •T
T T
1
T
A,
1
于是 1 X T1 X 2 X T1 AX 2 2 X T1 X 2
(1 2 ) X1T X 2 0 , 1 2 ,
故：X1T X 2 0, 即二者正交.
由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，
可得以下定理4：
定理4 对n阶对称矩阵• A，一定存在
于对角矩阵.
•
现须说明，一定存有A的n个特征向量组成
的标准正交组，为简化计算，先看下面的
定理：
定理3 设 1和2是对称矩阵A的互异特征根，
X1和X 2分别A的属于它们的特征向量，则
2--正交变化法化二次型为标准型
1 1 1 1 1 ,2 2 ,3 3 . 3 3 3
2 1 2 1 于是所求正交变换的矩阵为 Q 1 2 2 , 3 2 1 2
2 2 令 X QY，则二次型化为标准形 y12 4 y2 2 y3 .
练 习
用正交变换法将二次型
y 2 y n y .
2 1 1 2 2 2 n
1 , 1 , , n为 f 的矩阵 A的特征值。 n
正交变换法将二次型化为标准形的一般步骤：
(i) 写出二次型的矩阵 A；
(ii ) 求出A的所有相异的特征值1, 2 , , m ; (iii) 对每一个重特征值i，求出对应的ri 个线性无关的特征向量
0 2 2 3 5 4 3 5 5 3 5 1 3 2 . 3 2 3
2 2 令 X QY，则二次型化为标准形 2y12 2 y2 7 y3 .
正交变换法将二次型化为标准形的一般步骤：
(i) 写出二次型的矩阵 A；
(ii ) 求出A的所有相异的特征值1, 2 , , m ; (iii) 对每一个重特征值i，求出对应的ri 个线性无关的特征向量
i
(v) 将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵 Q，则Q即为所求的正交方阵。此时 Q 1 AQ QT AQ 为对角阵。
(vi) 作正交变换 X QY , 即可将二次型化为标准形
f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y Y T Y .
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 2 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
6-1.4(用正交变换化二次型为标准形)
2 2
2 4
4 2
1 2 2
| I A | 2 2 4 ( 2)2( 7)
2 4 2
特征值：1= 2（二重特征值），2 = -7.
求1= 2 的特征向量：
1 2 2 1 2 2
1I
A
2 2
故正交变换为
1
x x x
1 2 3
6 1
6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1Leabharlann 3 1y1 y2 y3
,
3
化二次型为
f
4
y
2 2
9
y
2 3
.
p1
1 2
,
p2
10 ,
p3
11 .
将其单位化得
1 6
q1
1 2
6 , 6
1 2 q2 1 2 , 0
1 3
q3 1 3 . 1 3
3
0
5 35
2 3
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T
则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 -7 y32
练习 用正交变换，将二次型
f ( x1, x2, x3) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3
正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法化二次型为标准型技巧正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法是一种有效的数学方法，它可以将一般形式的二次型变换为标准型。
通常，将一般形式的二次型变换为标准型，有助于求解二次型问题。
怎样将一般形式的二次型变换为标准型呢？将正交变换法化二次型为标准型的
技巧可以概括为两个步骤：第一步是要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型；第二步是要把这一标准型变换过程中的参数化为正交变换的取值。
具体而言，要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型，首先要取f(x, y) = ax + by + c为原来型式中参数系数，把x', y'取为标准型形式中系数，把r, a, b取为原来型式中系数，把A, B, C取为标准型形式中的系数，这样原来的不
规则二次型就被转变成标准型。
然后，我们可以把此标准型变换之后的参数量化为正交变换系数，即：A = ax + by + c, B = ay - bx + c, C = -(ax - by + c), D = -axy + bx^2 + cx。
通
过将原来的不规则二次型参数转换成正交变换参数，就可以把任意二次型变换为标准型。
经过上述两步，正交变换法可以有效地将一般形式的二次型变换为标准型形式，其精准性和有效性在求解二次型问题上非常有用。
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二 次 型 ｆ = X Ｔ Ａ Ｘ 能 用 正 交 变 换 X = P Y 化 成 标 准 型
f=1 y 1 2+2 y 2 2+ L +n y n 2= Y T Y
c
关于对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使
1
PT AP = P-1AP = =
2
O
n
那么，这个P 存在吗？
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一、正交矩阵与正交变换
正交变换的概念
定义2 设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换
为正交变换.
X＝PY
正交变换的性质 性质1 正交变换是可逆线性变换； 性质2 正交变换不改变向量的内积. 证明：因为 (X,X)=(PY,PY)=(PY)T(PY)=YTPTPY =YT(PTP)Y= Y T Y = (Y ,Y ).
b1=a1=(1, 1, 1, 1)T
b2 =a2 -（ （ab12， ，bb11） ）b1
=(3, 3, -1, -1)T - 4 (1, 1, 1, 1)T =(2, 2, -2, -2)T
4
（ a， b）（ a， b）
b3 =a3-（ b3， b1） b1-（ b3， b2） b2
11
2
2
= ( - 2 , 0 , 6 , 8 ) - T 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 2 ) T - - 3 ( 2 , 2 , - 2 , - 2 2 ) T 4 16
解: 二次型的 f 系数矩阵为
3 -2 -4
A
=
-
2
6
-2
,
-4 -2 3
矩阵A的特征方程为
-3 2 4
E-A= 2 -6 2
4 2 -3
-3 2
0
= 2 -6 -2(-7)
4 2 -7
-3 2 0 =(-7) 2 -6 -2
4 21
-3 2 0 =( -7) 10 -2 0
4 21
=(-7)-3 2 10 -2
三、 用正交变换化二次型为标准形
（要求：熟练掌握！）
(1) 写出二次型的矩阵形式；
(2) 求出A的全部特征值1, 2 , …, n ； (3) 对每一个特征值i , 解方程 (i E-A )X=o, 求出基础解系，
然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化； (4) 将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一
k2，，km，使
a1＝k2a2+ +kmam ，于是 (a1 , a1)= (a1 , k2a2+ +kmam)
= (a1 , k2a2)+ + (a1 , kmam) =k2 (a1 , a2)+ + km (a1 , am)=0 这与(a1 , a1)≠0矛盾，所以a1，a2，，am线性无关.
则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.
另外：①很明显，向量组a1,a2,,am可由向量组b1,b2,,bm线性
表示.
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②向量组b1,b2,,bm也可由向量组a1,a2,,am线性表示，因为：
b1
b2
= a1
=a2
-(a2,b1) (b1,b1)
b1
=a2
- ((ab12,,bb11)) a1
α
2
,L
αnT
,
α
n
)
=
α1Tα1 α2Tα1
M
αnTα1
α1Tα2 α2Tα2
M αnTα2
L L O L
α1Tαn α2Tαn
M αnTαn
显然，若A为正交矩阵，则a1，a2，，an为标准正交向量组； 若a1，a2，，an为标准正交向量组，则A为正交矩阵.
A的行向量组的证明类似，略.
第4节 用正交变换化二次型为标准形
一、正交矩阵与正交变换 二、实对称矩阵的性质 三、利用正交变换化二次型为标准形
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内积的定义(复习)
定义1 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量，
则实数
n
aibi =a1b1+a2b2+...+anbn,
b3=a3-((a b1 3,,b b1 1))b1-((a b2 3,,b b2 2))b2
= a3- ( (a b1 3 ,,b b1 1 ) )a1- ( (a b3 2 ,,b b2 2 ) )[a2- ( (a b1 2 ,,b b1 1 ) )a1 ]
LLL
baa bb baa bb baa bb ba m =m - ( (m 1 ,,1 1 ) )1 - ( (m 2 ,,2 2 ) )[2- ( (1 2 ,,1 1 ) )1 ]- L
则称该向量组为标准正交向量组.即
(ai,aj)= 1 0,,
i=j ,
ij
i,j=1,2,L,m
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2.8 向量组的正交化标准化
定理1 正交向量组是线性无关的向量组.
证明: (反证)
设a1，a2，，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向 量线性表示，不妨设a1可由a2，，am线性表示，即有一组数
=(-1, 1, -1, 1)T
此时 b1, b2, b3 为正交向量组.
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(2)再将正交化后的向量组标准化，即令
b = 1
=1（1,1,1,1） T
1 ||b1|| 2
2
b
=||b2 2||
=1（ 1,1,-1,-1） T 2
b = 3
=1（ -1,1,-1,1） T
3 ||b3|| 2
i=1
称为向量a和b的内积，记为(a , b ). 或aTb .
例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a和b 的内积为
(a , b ) = (-1)2+10+0(-1)+23 =4 .
内积的性质(复习)
设a，b，g 都为 n维向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .
令
2 2
2
2 2
2
3
2
6
P
=
(1, 2 ,3
)
=
1 3
0
-2
2
,
3
2 3-2 22 6 x1 x2 x3=
3 1 3 2
3
2 0 -2 2
-
6 22
3 2
y1 y2 y3
,
6
将二次型 f 化为标准形
则通过正交变换
f=-2y1 2+7y2 2+7y3 2.
定义3 长度为1的向量称为单位向量.若a 为非零向量，则
a0= a || a ||
为单位向量，称此过程为向量的标准化.
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正交向量组(复习)
定义4 设向量a，b都为n维为向量，若(a ,b )=0，则称向量 a与b互相正交(垂直).
定义5 如果m个非零向量组 a1，a2，，am 两两正交，即 (ai ,aj )=0(ij), 则称该向量组为正交向量组. 如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单位向量,
即有 P TAP= (因为PT=P -1). 问题：
（1）n元二次型的矩阵（即实对称矩阵）A是否存在n个 实特征值?
（2）A的特征值是否对应n个标准正交的特征向量?
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二、 实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 ti 重特
征值i 对应ti 个线性无关的特征向量.
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施密特正交化方法
定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令
b1
b2
= a1
=a2
-(a2,b1) (b1,b1)
b1
b3=a3-((a b1 3,,b b1 1))b1-((a b2 3,,b b2 2))b2
LLL
baa bb bba bb bb b ab bb m =m - ( (m 1 ,,1 1 ) )1 - ( (m 2 , ,2 2 ) )2 - L - ( (m m - 1 ,,m m - - 1 1 ) )m - 1
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例2. 已知二次型 f( x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 4 x 1 2 + 3 x 2 2 + 3 x 3 2 + 2 a 2 x 3 x ( a 0 ) 通过正交变换X=PY化为标准形 f=2y12+4y2 2+4y3 2,求a及正交 变换矩阵P．
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向量的长度(复习)
定义2 对于向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为
a aa || ||=(, )=a 1 2+ a 2 2+ L+ a n2.
例如，向量a=(-3, 4)T的长度为
||a||=(a,a)=(- 3)2+42=5.
向量的单位化（标准化） (复习)