几何原本

命题XI.11 从平面外的一点可向已知平面作一垂线。 命题XI.14 与同一直线成直角的两个平面是平行的。
8/9/2016 3
命题XI.1 一条直线不可能一部分在平面内，而另 一 部分在平面外。
如果一条直线可能一部分在平面内，另一部分在平面外。 设直线ABC的AB部分在平面内，而BC部分在平面外。 于是，在平面内的直线可以和它连成同一条直线， 设其为BD，于是，AB便是两条直线ABC和ABD的共同部分， 这是不可能的。 因为：如果我们以B为圆心以AB为半径作圆，那么，两条直径切不出相等的圆弧。 所以：一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外。 人教版必修二中作为公理出现：
几何原本
第XI卷
I. 本卷概述
II. 命题选讲与对比 III.教学启示
8/9/2016 1
I.本卷概述
从本卷开始的最后三卷论述立体几何，第XI卷论述立体 几何的基本知识内容。 包含： 28个定义，如 立体有关元素的定义； 立体角的定义； 球体的定义； 正多面体的定义； …… 39个命题,涉及 a.空间中的直线、平面（1—19） b. 立体角（20—23） c.平行六面体（24—39）
8/9/2016
4
命题XI.4 如果一条直线与另两条相交直线垂直于交点 上，那么它也与两相交线所在的平面垂直。
8/9/2016
5
8/9/2016
6
∴ FAD FBC (命题 I.8） 又 已证 AG BH ， FA FB, AG BH , FAG FBH 所以 FG FH 又 已证 GE EH , EF 是公共边， FG FH ∴ GEF HEF ∴ GEF , HEF 都是直角， ∴ EF 过 E 与直线 GH 成直角， 同理 EF 过 E 与 S 内一切和它相交的直线成直角 所以 l S （命题 XI.3）
ห้องสมุดไป่ตู้
8/9/2016
2
II.命题选讲与对比
用到的定义和命题：
定义XI.3 命题I.8 命题XI.2 命题XI.4
一条直线与平面相交，当平面上与之相交的所有直线皆与它成直角时，称该直线与平 面成直角。 如果两个三角形三边对应相等那么这两个三角形所有对应角也相等。 两条相交直线，在同一个平面内，他们构成的三角形也皆在一个平面内。 如果一条直线与另两条相交直线垂直于交点上，那么，它也与两相交线所在的平面垂 直。
人教版必修二中作为定理出现：
8/9/2016 7
命题XI.15 两相交直线平行于不在同一平面的另两条直 线， 那么两对相交直线构成的平面相互平 行。
设： AB BC B, DE EF E 求证： S1 S2
AB, BC S1 , DE, EF S2
过 B 作 BG S2 （命题 XI.11） 过 G 作 GH ED, GK EF 现在∵ BG S2 ，则 BG 垂直于任何属于 S2 的直线 则 BGH , BGK 都是直角， 又 GH BA ,∴ BGH GBA 1800 又 BGH 900 ∴ GBA 900 得到 BG BA 同理可得 BG BC ∴ BG S1 （命题 XI.4）
S1 S2 （命题 XI.14）
人教版必修二中作为定理出现：
8/9/2016
8
III.教学启示
• 严谨性 • 完备性 • 合理性 • 拓展性
8/9/2016
9
谢谢！
8/9/2016
10