四年级奥数.计算综合.公式、换元法与常用计算结论
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一、 整数裂项基本公式
① 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ ② 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 二、 换元思想
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。
三、 常用公式
① (1)1232
n n n ⨯+++++=L ； ② 2222(1)(21)1236
n n n n ⨯+⨯+++++=L ； ③ ()22
23333(1)1231234
n n n n ⨯+++++=++++=L L ； ④ ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=L L L ； ⑤ 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a q
q --=++⋅⋅⋅+=-(1q ≠)； ⑥ 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；
⑦ 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2
222a b a ab b -=-+；
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”． 四、 常用技巧
① 1001abcabc abc =⨯；
② 10101ababab ab =⨯；
知识结构
公式、换元法与常用计算结论
③
··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=， ··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427
=； ④ 11
11111111123321n n n ⨯=L L L L 123123个个，其中9n ≤．
一、 整数裂项
【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L =_________
【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________
【例 1】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L =_________
【例 2】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L
例题精讲
【例 3】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L ．
【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L L
二、 换元法
【例 4】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624+
+⨯++-+++⨯+
【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234
+
++⨯+++-++++⨯++
【例 5】 计算：1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L
【巩固】 111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
三、常用计算结论
【例 6】2222
++++
L
13519
【巩固】22222222222 ++++++++++
1245781011131416【例 7】计算：33333333
+++++++
135********
【巩固】计算：3333
L___________．
13599
++++=
【例 8】⑴()2
-⨯=________；
314159263141592531415927
⑵22
++⨯=________．
1234876624688766
【巩固】 2009200920082008⨯-⨯=
【随练1】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
【随练2】 计算：333
12320061232006
+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
【随练3】 3737263376363⨯+⨯⨯+⨯=
【作业1】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯L
课堂检测
家庭作业
【作业2】计算：123434565678979899100
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=
L
【作业3】计算：
573734573473
()
123217321713123217133217
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
= 。
【作业4】计算1111111111111111
())() 5791179111357911137911 +++⨯+++-++++⨯++
（）（
【作业5】计算：36496481400
+++++
L
【作业6】计算：31431.462868.668.6686
⨯+⨯+⨯＝。