7-2 LC单口网络的性质与综合

1 K i' Li = ' C i = '2 i = 1, 2, L , m Ki ωi
K K s Ks K s N ( s) = K∞ s + 0 + 2 1 2 + 2 2 2 + L + 2 m 2 D( s ) s s + ω1 s + ω 2 s + ωm
' ' ' K0 Kms K1' s K2s N ( s) ' YLC ( s ) = = K∞s + + 2 + 2 +L+ 2 '2 '2 '2 D( s ) s s + ω1 s + ω2 s + ωm
2 2 2 2 K 0 K 1 (ω1 + ω ) K 2 (ω 2 + ω ) d X (ω ) = K ∞ + 2 + + +L ≥ 0 2 dω (ω12 − ω 2 ) 2 (ω 2 + ω 2 ) 2 ω
驱动点阻抗函数的性质
实系数有理函数是LC 驱动点阻抗函数的充分必要条件 实系数有理函数是 零点和极点是单阶的，且在虚轴上相间排列； (a) 零点和极点是单阶的，且在虚轴上相间排列； 处必须有单阶零点或单阶极点； (b)在s=0 和 s = ∞处必须有单阶零点或单阶极点； b)在
LC 组合的基本形式
单电感 单电容 LC并联 并联
sL
1 sC
1 sL
sC
L = K∞
C= 1 K0
L=
1 ' K0
' C = K∞
1 s C 2 s + 1 LC
Li =
1 s L s 2 + 1 LC
Ki
ω
2 i
Ci =
1 Ki
i = 1, 2, L , m
LC串联 串联
Z LC ( s) =
福斯特I型电路和福斯特II型电路都只用了最少的元件来实 福斯特I型电路和福斯特II型电路都只用了最少的元件来实 II 现所给定的LC 驱动点函数，称这种电路为典型电路。 驱动点函数，称这种电路为典型电路 典型电路。 现所给定的 实现 K ∞ s和 项各用一个元件实现，而每个 项各用一个元件实现， 项用两 个元件实现，所以，总共需要2 +2个元件实现， +2个元件实现 个元件实现，所以，总共需要2m+2个元件实现，这与所有 的常数个数相等，是最少的元件数目。 的常数个数相等，是最少的元件数目。
驱动点阻抗函数的性质
零点和极点均为单阶且在虚轴上相间排列； (1) 零点和极点均为单阶且在虚轴上相间排列； 处有单阶零点或单阶极点； (2) 在s=0 处有单阶零点或单阶极点； 处有单阶零点或单阶极点； (3) 在 s = ∞处有单阶零点或单阶极点； 时驱动点阻抗函数的实部为零， (4) 当 s = jω 时驱动点阻抗函数的实部为零，即 Re[Z LC ( jω )] = 0 ； 电抗频率特性曲线的斜率为正； (5) 电抗频率特性曲线的斜率为正； 驱动点阻抗函数是有理奇函数，即是奇、 或偶、 (6) 驱动点阻抗函数是有理奇函数，即是奇、偶（或偶、 多项式之比； 奇）多项式之比； 虚轴极点的留数为正实数。 (7) 虚轴极点的留数为正实数。
() 解 将Z(s)展开为部分分式如下
Z ( s ) = 2s + Ks 6s = K∞ s + 2 1 2 s2 +1 s + ω1
所以 K ∞ = 2
K1 = 6
ω12 = 1
L1 = K1
L = K ∞ = 2H
ω12
2H
= 6H
6H
1 1 C1 = = F K1 6
Z (s )
1 F 6
福斯特（ 福斯特（Foster）型电路实现 ）
项后， 当用一个电感 L = K∞ 实现 K ∞ s 项后，就全部移除了Z LC (s) 在 s = ∞ 处的极点。 处的极点。
K0 1 当用一个电容C = K 实现 s 0 处的极点。 s = 0 处的极点。
项后，就全部移除了Z LC (s) 在 项后，
1 Ki
当用一个电感 Li =
Kis s 2 + ω Leabharlann Baidu2
Ki
ω
2 i
和一个电容 C i =
的并联组合实现
项后， 处的极点。 项后，就全部移除了Z LC (s)在s = ± j ω i 处的极点。
福斯特I型电路的实现过程可以看成是逐次移除阻抗函数的极 福斯特I 点的过程。同理，福斯特II II型电路的实现过程可以看作是逐次 点的过程。同理，福斯特II型电路的实现过程可以看作是逐次 移除导纳函数的极点的过程。 移除导纳函数的极点的过程。
Z ( s) = 1 I1
2
( F0 + sT0 +
V0 ) s
Z LC ( s ) =
1 I1
2
V0 ( sT0 + ) ——驱动点阻抗函数 驱动点阻抗函数 s
其零点为 s 其零点为： z = ±
V0 = ± jω z T0
在虚轴上且共轭
1 U1
2
Y 驱动点导纳函数为： LC ( s) = 驱动点导纳函数为 ：
Z LC ( s) = K K s Ks K s N ( s) = K∞ s + 0 + 2 1 2 + 2 2 2 + L + 2 m 2 D( s ) s s + ω1 s + ω 2 s + ωm
' ' ' K0 Kms K1' s K2s N ( s) ' YLC ( s ) = = K∞s + + 2 + 2 +L+ 2 '2 '2 '2 D( s ) s s + ω1 s + ω2 s + ωm
驱动点阻抗函数的性质
驱动点阻抗函数的零点和极点在虚轴上相间排列
X
X
o
ω1
ω2
ω
o
×
ω1
ω2
×
ω
电抗频率特性曲线的斜率为正
K0 K 1ω K 2ω Z LC (jω ) = j K ∞ ω − + 2 + 2 + L = jX (ω ) 2 2 ω ω1 − ω ω2 + ω
或
( s 2 + ω z21 )( s 2 + ω z22 ) L N ( s) Z LC ( s ) = =K 2 2 D( s ) s( s 2 + ω p1 )( s 2 + ω p 2 ) L
LC网络的驱动点函数是有理正实奇函数。 网络的驱动点函数是有理正实奇函数。 网络的驱动点函数是有理正实奇函数
福斯特II II型电路 2 福斯特II型电路
1 K 0' 1 K1' 1 ' K2
' ω22 ' K2
YLC (s)
' K∞
1 ' Km
'2 ωm ' Km
ω1'2
K1'
例6－2的福斯特II型实现电路 的福斯特II型实现电路 II
3 H 8 3 F 32
Y (s)
8H
福斯特（ 福斯特（Foster）型电路实现 ）
1
' K ∞2 s +
1 K ∞3 s + 1 ' K ∞4 s + L
Z (s )
' ' ' C 2 = K ∞ 2 C 4 = K ∞ 4 C6 = K ∞ 6
柯尔（ 柯尔（Coaer）型电路实现 ）
例6－4 解
2 s 3 + 8s 将阻抗函数 Z ( s) = 2 ( s + 1)
用柯尔I型电路实现。 用柯尔I型电路实现。
C1 = 1 K 01 C3 = 1 K 03 C5 = 1 K 05 L2 = 1 ' K 02 L4 = 1 ' K 04 L6 = 1 ' K 06
Z (s)
K 01 1 + ' Z (s) = s K 02 1 + K 03 1 s + ' s K 04 +L s
柯尔（ 柯尔（Coaer）型电路实现 ）
Z1 Z3 Z2 Z4 Z5 Z6
梯形电路结构
柯尔I型电路: 柯尔I型电路:只交替移除阻抗函数和导纳函数在 s = ∞ 处的极点 所实现的电路。 所实现的电路。
L1 = K ∞1 L3 = K ∞ 3 L5 = K ∞ 5
Z ( s ) = K ∞1 s +
§7-2 LC单口网络的 单口网络的 性质与综合
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
LC单口网络驱动点函数的性质 单口网络驱动点函数的性质
LC网络是指仅含有电感 （ 包括互感 ） 和电容元件的网 网络是指仅含有电感 包括互感） 网络 是指仅含有电感（ 又称作电抗网络 无耗网络。 电抗网络或 络，又称作电抗网络或无耗网络。
( s *T0 +
V0 ) * s
其零点也在虚轴上且共轭 驱动点函数的零极点必须是单阶的，且极点的留数 驱动点函数的零极点必须是单阶的， 为正实数。 为正实数。
LC单口网络驱动点函数的性质 单口网络驱动点函数的性质
驱动点函数的分子多项式和分母多项式具有形如的形式： 驱动点函数的分子多项式和分母多项式具有形如的形式：
将阻抗函数的分子分母多项式按降幂排列并辗转相除。 将阻抗函数的分子分母多项式按降幂排列并辗转相除。
Z (s) = 2s + 1 1 1 s+ 6 6s = sL1 + 1 sC 2 + 1 sL3
L1 = 2 H
L3 = 6 H
Z (s)
C2 =
1 F 6
柯尔（ 柯尔（Coaer）型电路实现 ）
柯尔II型电路:只交替移除阻抗函数和导纳函数在 s = 0 处的极 柯尔II型电路: II型电路 点所实现的电路。 点所实现的电路。
2 K 0 s ( s − jω1 )( s + jω1 )( s − jω 2 )( s + jω 2 ) L = K 0 s ( s 2 + ω12 )( s 2 + ω 2 ) L
s( s 2 + ω z21 )( s 2 + ω z22 ) L N ( s) Z LC ( s) = =K 2 2 2 D( s ) ( s + ω p1 )( s 2 + ω p 2 ) L
福斯特（ 福斯特（Foster）型电路实现 ）
福斯特I 1 福斯特I型电路
K∞ 1 K0 K1 ω12
2 K 2 ω2 2 K m ωm
Z LC (s )
1 K1
1 K2
1 Km
福斯特（ 福斯特（Foster）型电路实现 ）
例6－1 对阻抗函数
2 s 3 + 8s Z (s) = 2 s +1
进行LC综合。 进行 综合。 综合
K0 s
K is s 2 + ω i2
极点移出
Z LC ( s) = K K s Ks K s N ( s) = K∞ s + 0 + 2 1 2 + 2 2 2 + L + 2 m 2 D( s ) s s + ω1 s + ω 2 s + ωm
' ' ' K0 Kms K1' s K2s N ( s) ' YLC ( s ) = = K∞s + + 2 + 2 +L+ 2 '2 '2 '2 D( s ) s s + ω1 s + ω2 s + ωm