解复杂一元一次方程
解一元一次方程(去分母
简单实例讲解与练习
例子1 1
解方程 $frac{x}{3} + 1 = frac{7}{3}$
练习2 4
解方程 $frac{5x + 3}{6} = frac{2x - 1}{3}$
例子2
2
解方程 $frac{2x - 1}{5}
= frac{3x + 2}{10}$
练习1
3
解方程 $frac{x - 2}{4} =
注意事项和易错点分析
在去分母的过程中，要确保每一 项都乘以最小公倍数，不要漏乘。
易错点在于计算最小公倍数时可 能出现错误，或者在去分母的过 程中漏乘某一项。
在计算过程中，要注意保持等式 的平衡，即在等式两边同时进行 操作。
解得的结果要检验是否满足原方 程，以确保解答的正确性。
Part
03
实例解析与技巧指导
引导学生将去分母的方法推广到其 他领域，如物理、化学等，提高学 生的综合应用能力和跨学科思维能 力。
开展数学探究活动
组织数学探究活动，让学生自主选 题、自主研究，培养学生的自主学 习能力和数学探究精神。
Part
06
总结回顾与自我评价
关键知识点总结回顾
一元一次方程的概念
01
只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。
我已经学会了去分母的方 法，并能够运用该方法解 一元一次方程。
我已经掌握了等式性质， 并能够运用等式性质进行 方程的变形。
下一步学习计划和目标
巩固一元一次方程的 解法，提高解题速度 和准确性。
拓展学习二元一次方 程组，了解多元一次 方程组的概念和解法。
学习一元一次方程的 应用题，理解方程在 实际问题中的应用。
方程——解稍复杂的方程(教案)人教版五年级上册数学
方程——解稍复杂的方程（教案）人教版五年级上册数学我今天要上的课程是人教版五年级上册数学的方程——解稍复杂的方程。
一、教学内容：今天我们将要学习的是解稍复杂的方程，具体来说是第三章第二节的内容。
我们将通过例题和练习来掌握解一元一次方程的方法，学会如何将实际问题转化为方程，并能够熟练地解出方程的解。
二、教学目标：通过本节课的学习，我希望学生们能够掌握解一元一次方程的基本方法，能够将实际问题转化为方程，并能够熟练地解出方程的解。
三、教学难点与重点：本节课的重点是让学生掌握解一元一次方程的基本方法，难点是让学生能够将实际问题转化为方程，并能够熟练地解出方程的解。
四、教具与学具准备：我已经准备好了PPT和一些实际的例子，以及学生们需要写的练习题。
五、教学过程：我会通过一个实际的例子来引入本节课的内容，让学生们了解到我们为什么要学习解方程。
然后，我会通过PPT来讲解解一元一次方程的基本方法，并配合一些实际的例子来进行讲解。
在讲解的过程中，我会让学生们进行随堂练习，以加深他们对知识的理解。
我会布置一些作业，以便学生们能够巩固所学的内容。
六、板书设计：我会设计一些简洁的板书，以便学生们能够清晰地了解解一元一次方程的步骤。
七、作业设计：1. 请解下列方程：2x+3=7；3x4=1；5x+2=17。
答案：x=2；x=1.6；x=3。
2. 小明的妈妈买了5斤苹果和3斤香蕉，一共花了42元。
苹果每斤6元，香蕉每斤x元。
请列出方程，并解出x的值。
答案：56+3x=42，x=4。
八、课后反思及拓展延伸：通过本节课的学习，我发现学生们在将实际问题转化为方程方面还存在一些困难，我在课后会加强这方面的训练。
同时，我也会鼓励学生们在课后多做一些类似的练习，以巩固所学的内容。
对于学有余力的学生，我可以引导他们学习一些更高级的方程，如二元一次方程等。
重点和难点解析：一、教学内容的选取和安排：在教学内容的选取和安排上，我选择了人教版五年级上册数学的方程——解稍复杂的方程作为教学内容。
一元一次方程的定义及解法
一元一次方程的定义及解法方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程，通常方式是ax+b=0(a，b为常数，且a0〕。
方程简介一元一次方程(linearequationinone〕经过化简，只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。
通常方式是ax+b=0(a，b为常数，且a0〕。
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。
我们将ax+b=0〔其中x是未知数，a、b是数，并且a0〕叫一元一次方程的规范方式。
这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必需是1。
即一元一次方程必需同时满足4个条件：〔1〕它是等式；〔2〕分母中不含有未知数；〔3〕未知数最高次项为1；(4)含未知数的项的系数不为0。
方程一词来源于我国古算术书«九章算术»。
在这本著作中，曾经会列一元一次方程。
法国数学家笛卡尔把未知数和常数经过代数运算所组成的方程称为代数方程。
在19世纪以前，方程不时是代数的中心内容。
详细内容兼并同类项1.依据：乘法分配律2.把未知数相反且其次数也相反的相兼并成一项；常数计算后兼并成一项3.兼并时次数不变，只是系数相加减。
移项1.含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到左边。
2.依据：等式的性质3.把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。
性质性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式依然成立。
等式的性质二:等式两边同时扩展或增加相反的倍数〔0除外〕，等式依然成立。
等式的性质三：等式两边同时乘方〔或开方〕，等式依然成立。
解方程都是依据等式的这三特性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数，等式依然成立解法步骤使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
普通解法：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数〔不含分母的项也要乘〕；2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号〕3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号4.兼并同类项：把方程化成ax=b(a0)的方式；5.系数为成1：在方程两边都除以未知数的系数a，失掉方程的解x=b/a.同解方程假设两个方程的解相反，那么这两个方程叫做同解方程。
一元一次方程之巧思妙解
一元一次方程之巧思妙解
解一元一次方程的通常步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1.但是对于有些具备特殊性的一元一次方程，我们完全可以打破常规，灵活、巧妙地变通解题步骤，避繁就简，使解题过程简捷明了. 下面介绍几种技巧，供同学们参考.
一、巧去括号
分析：如果按例1使括号前的系数依次相乘，解题过程会变得非常复杂.这时要充分利用方程特点，将方程两边同乘以或除以某数，是括号前的系数变成1，从而去掉括号.
解：方程两边同乘以3，去掉大括号，然后
二、巧拆项
分析：观察方程的特点，可先将每个含有分母的多项式拆开，分类合并，可简化过程.
分析：观察各项未知数的系数和常数
三、巧换元
分析：将（x-1）看成一个整体，用换元法，可大大简化运算.
四、巧用分式的基本性质
分析：若直接去分母较繁，观察本题可先用分数的基本性质，使化分数和去分母一次到位，从而避免了繁杂的运算.
五、巧分组通分
分析：观察四个分母的数字特点，采用移项后分组通分，即将分母是21和14的两项放在一组，另外两项成一组，可巧解方程.
分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项中的分母有公约数4，移项局部通分，可简化解题过程.。
解一元一次方程应用题的方法与技巧
一元一次方程是初等数学中最基本的概念之一，解一元一次方程应用题则是数学中常见的问题类型之一。
本文将带领读者深入了解解一元一次方程应用题的方法与技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、了解一元一次方程的概念在解一元一次方程应用题之前，我们首先需要了解一元一次方程的概念。
一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为一。
一元一次方程的一般形式为ax+b=c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次方程就是要找到使得该方程成立的未知数的值。
二、掌握解一元一次方程的基本方法在解一元一次方程应用题时，我们可以通过以下基本方法来求解。
1. 移项当方程中含有未知数的项和已知数的项时，我们可以通过移项的方法将未知数的项移到一个侧，以便进行下一步计算。
对于方程2x+3=7，我们可以通过移项将3移到等号的右侧，得到2x=7-3。
2. 消元如果方程中包含多个未知数的项，我们可以通过消元的方法化简方程。
消元的方法通常是通过加减乘除的运算，将未知数的系数相消，从而得到一个简化的方程。
对于方程3x-2y=5和2x+y=7，我们可以通过消元的方法将y的系数相消，从而仅含有一个未知数x的方程。
3. 求解通过移项和消元的方法，我们最终可以得到一个只含有一个未知数的简单方程，然后可以通过解方程的方法求解未知数的值。
解方程的方法包括凑平方、分式法、代入法等。
通过这些方法，我们可以得出未知数的值，从而求解一元一次方程。
三、应用题解题技巧在解一元一次方程应用题时，我们常常面临各种实际问题，而这些问题往往可以用一元一次方程来进行建模和求解。
以下是一些解一元一次方程应用题的常用技巧。
1. 建立方程在解题时，我们首先需要根据实际问题建立方程。
这就需要我们理解问题，将问题中的已知条件和未知量用数学符号表示出来，建立起方程模型。
2. 明确未知数在建立方程时，我们需要明确未知数代表的是什么，只有明确了未知数，才能建立准确的方程模型。
3.3一元一次方程的解法
1.5 x 1.5 x 0.5 0.6 2
分析：当分母中含有小数时，可以应用分数的基本性质把它们先化为整数，如
1.5 x 10 1.5 x 15 x 5 x 0.6 10 0.6 6 2 5 x 1.5 x 0.5 解：将原方程化为 2 2
去分母，得 去括号，得
例2、解下列方程：
3 (4 x 3) 7
有括号时要先去括 号,再移项,合并同 类项.
3 (4 x 3) 7
解: 去括号，得 3 4 x 3 7
移项，得
4 x 7 3 3
合并同类项，得 4 x 1
1 两边同除以-4，得 x 4
探究3 解方程：
1 2 -y y 3 3 3 y 2 y ________ y 4. 3y-4y-(-2y)=_______
探究1
x+2x+4x=140
思考：怎样解 这个方程呢？
x 2x 4x 140
合并同类项
分析：解方程，就是把 方程变形，变为 x = a （a为常数）的形式.
7 x 140
5x (1.5 x) 1
5 x 1.5 x 1
移项，合并同类项，得
∴
5 x 12
6 x 2.5
中考 试题
例1
3 的倒数与 2a - 9 互为相反数，那么a的值为（ C a 3 -3 A. 3 B. C.3 D.-3 2 2
分析
解
解方程即可求出a的值.
）.
3 a + 2a - 9 因为 a 的倒数是 a ，根据“互为相反数之和等于 0” 可得 ， 3 3 3
系数化为1,得
x=-13
一元一次方程解一元一次方程教案2021-2022学年人教版七年级数学上册
解一元一次方程【教学目标】：1. 梳理解一元一次方程的解法。
2. 梳理一元一次方程中含参数的解法。
【教学重难点】：1. 正确解复杂的一元一次方程。
2. 含参数的一元一次方程的解法。
【考点解析】考点一 解一元一次方程解一元一次方程的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为“1”。
例1. 解方程（1）5x ＋2＝7x －8 （2）11－2(x ＋1)＝3x ＋4(2x －3)（3）14126110312-+=+--x x x （4）35.0102.02.01.0=+--x x针对练习11. 在3×3方格上做填数字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，且填在三个格子中的数字如图所示，若要能填成，则（）A.s=24B. s=30C. s=31D. s=39108 132.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（）A．若a＝b，则ac＝bc B．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b C．若a＝b ，则＝D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣33.已知关于x的一元一次方程（a+3）x|a|﹣2+6＝0，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±24.按如图的运算程序，能使输出结果为3的x、y的值是（）A ．B ．C ．D ．5.解下列方程：(1)2x＋3x＋4x＝18 (2)3x＋5＝4x＋1（3）（4）；6. 已知方程a −2x ＝－4的解为x ＝4，求式子32a a a --的值．7. 阅读理解：已知a ，b 为有理数，且a ≠0，若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为x ＝b +a ，我们就定义该方程为“和解方程”．例如：方程2x ＝﹣4的解为x ＝﹣2，因为﹣2＝﹣4+2，所以方程2x ＝﹣4是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题：（1）方程3x ＝﹣6 “和解方程”；（填“是”或“不是”）（2）已知关于x 的一元一次方程5x ＝m 是“和解方程”，求m 的值；（3）已知关于x 的一元一次方程4x ＝ab +b 是“和解方程”，且它的解是x ＝b ，则a ，b 的值分别为 ， ．考点二 含参数的一元一次方程题型一：整数解、已知解求参数例1. 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k =例2. 关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程 （1） 则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ; （2） 若此方程的根为整数,求整数=____m例3. 已知方程()2412x ax +=-的解为3x =，则____a = 例4. 某同学在解方程513x x -=•+，把•处的数字看错了，解得43x =-，该同学把•看成了_________。
专训特殊一元一次方程的解法技巧 精品课件
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
5( x＋3)－7( x＋2)＝2( x＋1)－3( x＋4) .
35
12
化简，得 －2x＋1＝－x－10 .
35
12
解得 x＝－ 362 .
11
点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的 最小公倍分后再去分母，会给 解方程带来方便．
类型 3 含括号的一元一次方程
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
括号，同时又去小括号，非常简便．
技巧2 整体合并去括号
10．解方程：
x－
1 3
轾 犏 犏 臌x－
1 3
(
x－9)
＝
1 9
(
x－9)．
解：原方程可化为x－
1 3
x＋
1 9
(x－9)－
1 9
(x－9)＝0.
合并同类项，得 2 x＝0. 3
系数化为1，得x＝0.
技巧3 整体合并去分母
11．解方程： 1 ( x－5)＝3－ 2 ( x－5)．
0.01
一元一次方程的解法
（2） 调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系， 常见是“和、 差、 倍、 分”关系， 要注意调配对象流动的方向和数量。
例 1 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人 数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？
例 2 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲 处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 3 人，应调往甲、乙两处各多少人？
5
表或画图来帮助理解题意。
例 1 .一项工程，甲、单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，如果先由甲单独做 8 天，再由乙单独 做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？
例 2. .一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天， 丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？
一元一次方程的解法 知识点和方法概述 1、等式 等式：用“=”表示相等关系的式子。 等式的性质： 1） 等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， 则 A±C=B±C。 2） 等式两边都乘以 （或除以） 同一个数 （除数不为 0） ， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， A B C ≠ 0 ，则 A⋅C=B⋅C， = 。 C C 3)等式的对称性：若 A=B，则 B=A。 4）等式的传递性：若 A=B，B=C，则 A=C。 等式的类型： 1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样 的等式叫做恒等式。如 0 ⋅ x = 0 。 2）矛盾等式：如 2=0， 2 x = 2 x + 1 3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如 3 x − 4 = 3 2、方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 （注：用等式的 两条性质所得的方程与原方程是同解方程。 ） 方程的同解原理： 1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式。 不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。 检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和 右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。 含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时 也简称绝对值方程。 解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方 式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对
一元一次方程(专题详解)(解析版)
一元一次方程专题详解专题03 一元一次方程专题详解 (1)3.1从算式到方程 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 方程和一元一次方程的概念 (2)知识点2 方程的解与解方程 (3)知识点3 等式的性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 依题意列方程 (5)题型2 运用等式的性质解方程 (6)三、难点题型 (7)题型1 利用定义求待定字母的值 (7)3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 (8)知识框架 (8)一、基础知识点 (8)知识点1 合并同类项解一元一次方程 (8)知识点2 移项解一元一次方程 (9)二、典型题型 (10)题型1 一元一次方程的简单应用 (10)3.3解一元一次方程-去括号与去分母 (11)知识框架 (11)一、基础知识点 (11)知识点1 去括号 (11)知识点2 去分母 (12)二、典型题型 (13)题型1 去括号技巧 (13)题型2 转化变形解方程 (15)题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 (16)三、难点题型 (18)题型1 待定系数法 (18)题型2 同解问题 (18)题型3 含参数的一元一次方程 (19)题型4 利用解的情况求参数的值 (20)题型5 整体考虑 (21)3.4实际问题与一元一次方程 (21)一、基础知识点 (21)知识点1 列方程解应用题的合理性 (21)知识点2 建立书写模型常见的数量关系 (22)知识点3 分析数量关系的常用方法 (23)二、典型例题 (24)3.1从算式到方程知识框架一、基础知识点知识点1 方程和一元一次方程的概念1） 方程：含有未知数的等式。
例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含有一个未知数，且未知数 的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 例1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？①3x-6；②3-5=-2；③x+2y=8；④x+2≠3；⑤x-x1=2； ⑥y=10；⑦3y 2+2y=0；⑧3a<-5a ；⑨3x 2+2x-1=0；⑩213m m y =-+ 【答案】是方程的有：③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩方程需满足2个条件：1）含有未知数；2）是等式。
一元一次方程 的解法(提高)__一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解责编：康红梅【学习目标】1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解．b x a=不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：ax b c +=(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原0c <0c =0ax b +=0c >方程可化为：或.ax b c +=ax b c +=-2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0bx a=时，方程无解．【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．（2014秋•新洲区期末）关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x+2=m 有相同的解，则m 的值是（ ）A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B ．【解析】解：由2x ﹣4=3m 得：x=；由x+2=m 得：x=m ﹣2由题意知=m ﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? 3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x ＝2+5，合并得10x ＝7．，系数化为1得．710x =【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x 移到方程左边应变为-7x ，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x -7x ＝5-2， 合并得-4x ＝3，系数化为1得．34x =-类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：．112[(1)](1)223x x x --=-【答案与解析】解法1：先去小括号得：．11122[]22233x x x -+=- 再去中括号得：．1112224433x x x -+=-移项，合并得：．5111212x -=- 系数化为1，得：．115x =解法2：两边均乘以2，去中括号得：．14(1)(1)23x x x --=- 去小括号，并移项合并得：，解得：．51166x -=-115x =解法3：原方程可化为： ．112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-去中括号，得．1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=- 移项、合并，得．51(1)122x --=- 解得．115x =【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x -1)，因此将方程左边括号内的一项x 变为(x -1)后，把(x -1)视为一个整体运算．3．解方程：．1111111102222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号．111111102242x ⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭去中括号．11111102842x ⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭去大括号．11111016842x ----= 移项、合并同类项，得，系数化为1，得x ＝30．115168x =解法2：(层层去分母)移项，得．111111112222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭两边都乘2，得．1111112222x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦移项，得．111113222x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 两边都乘2，得．1111622x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭移项，得，两边都乘2，得．111722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭11142x -=移项，得，系数化为1，得x ＝30．1152x =【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程．111116412345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案】解：方程两边同乘2，得．1111642345x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦移项、合并同类项，得．111162345x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦两边同乘以3，得．1116645x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭移项、合并同类项，得．111045x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭两边同乘以4，得．1105x -=移项，得，系数化为1，得x ＝5．115x =类型三、解含分母的一元一次方程【高清课堂：一元一次方程的解法388407解较复杂的一元一次方程】4．解方程：．4 1.550.8 1.20.50.20.1x x x----=【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】解法1：将分母化为整数得：．40155081210521x x x----=约分，得：8x -3-25x+4＝12-10x ．移项，合并得：．117x =-解法2：方程两边同乘以1，去分母得： 8x -3-25x+4＝12-10x ．移项，合并得：．117x =-【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更简便一些，如解法2．举一反三：【变式】解方程．0.40.90.30.210.50.3y y++-=【答案】解：原方程可化为．4932153y y++-= 去分母，得3(4y+9)-5(3+2y )＝15．去括号，得12y+27-15-10y ＝15．移项、合并同类项，得2y ＝3．系数化为1，得．32y =类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x |-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值．【答案与解析】解：原方程可化为： ．223x =当x ≥0时，得，解得：，223x =13x = 当x ＜0时，得，解得：，223x -=13x =-所以原方程的解是x ＝或x ＝．1313-【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分ax b c +=ax b +类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A.B. 2C.D.3【答案】B解：∵|x ﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣），解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于的方程： x 1mx nx -=【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当，即时，方程有唯一解为：；0m n -≠m n ≠1x m n=-当，即时，方程无解．0m n -=m n =【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零ax b =x a 进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，64x k =-4k -4k -6∴为：5，6，7，10k 答：自然数k 的值为：5，6，7，10.。
冀教版数学七年级上册《解较复杂的一元一次方程》教学设计
冀教版数学七年级上册《解较复杂的一元一次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学七年级上册《解较复杂的一元一次方程》是学生在掌握了简单的一元一次方程的解法的基础上，进一步学习解较复杂的一元一次方程。
通过本节课的学习，学生能够理解并掌握解较复杂的一元一次方程的步骤，提高解题能力。
二. 学情分析学生在六、七年级时已经学习过简单的一元一次方程的解法，对本节课的内容有一定的了解。
但部分学生在解较复杂的一元一次方程时，仍然存在步骤混乱、运算错误等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理清解题思路，提高解题准确性。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握解较复杂的一元一次方程的步骤，能够独立解题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
四. 教学重难点1.教学重点：解较复杂的一元一次方程的步骤。
2.教学难点：在解题过程中，如何正确处理方程中的括号、分母等元素。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解并掌握解较复杂的一元一次方程的步骤。
2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论交流，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.启发式教学：教师引导学生思考，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
六. 教学准备1.教材：冀教版数学七年级上册。
2.教案：详细的教学设计。
3.课件：教学课件，包括图片、动画等元素，辅助教学。
4.黑板：用于板书重点内容。
5.粉笔：用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例，如购物时发现找回的钱数不对，引导学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题——解较复杂的一元一次方程。
2.呈现（10分钟）教师展示一组较复杂的一元一次方程，如3x + 5(2x - 1) = 4x + 7。
引导学生观察这组方程，并与之前学过的一元一次方程进行对比，发现解题的关键。
一元一次方程解方程步骤
一元一次方程解方程步骤嘿，朋友们！今天咱就来讲讲一元一次方程解方程的步骤，这可真是数学世界里的一把小钥匙呢！一元一次方程，就像是个调皮的小怪兽，不过咱有办法驯服它。
第一步，那就是观察这个方程，找到那个带着未知数的小家伙。
就好像你在一堆玩具里找到你最喜欢的那个小汽车一样。
比如说方程 3x+5=14，这里的“x”就是我们要找的目标呀！然后呢，我们要想办法把这个未知数孤零零地留在一边，就像把小汽车从其他玩具里拿出来一样。
那怎么做到呢？这就到了第二步啦！我们把那些不是未知数的数字，通过加减运算挪到等号的另一边。
在这个例子里，我们先把 5 给减掉，3x=14-5，那就是 3x=9。
嘿，你看，“x”是不是有点孤零零的感觉啦？接下来第三步，我们要让这个孤零零的“x”彻底独立起来，那就得除以它前面的系数。
就好像给小汽车清理出一条专属跑道一样。
在这，就是把等式两边都除以 3，x=9÷3，那结果不就出来啦，x=3！你说这是不是挺简单的呀？其实呀，解方程就跟你搭积木似的，一块一块慢慢来，最后就能搭出你想要的形状。
咱再举个例子呗，比如 2x-7=5。
首先，找到我们的目标“x”，然后把 7 挪到等号右边，2x=5+7，2x=12。
最后，除以 2，x=12÷2，x=6 就出来啦！你想想，要是生活中遇到难题，也像解一元一次方程这样，一步一步去解决，那还有啥难事儿呀！这解方程不就是教我们要有耐心，有方法地去面对问题嘛。
学了解方程，你就像是有了一把万能钥匙，可以打开很多数学大门呢！以后再遇到更复杂的方程，咱也不怕，因为基础打好了呀！所以呀，大家可别小瞧了这一元一次方程解方程的步骤哦，它可是我们在数学海洋里航行的重要技能呢！加油吧，朋友们，让我们一起在数学的世界里畅游，解开一个又一个有趣的方程！。
4.2 解一元一次方程的算法
4.2 解一元一次方程的算法42 解一元一次方程的算法在数学的世界里，方程就像是一个个神秘的谜题等待我们去解开，而一元一次方程则是其中较为基础和常见的一种。
解一元一次方程有着明确的算法和步骤，就像我们按照地图的指引找到目的地一样。
一元一次方程的一般形式是＄ax ＋ b ＝ 0$（其中＄a$ 和＄b$ 是常数，且＄a ＼neq 0$）。
为了求解这个方程，我们需要运用一系列的操作和规则。
首先，我们要明确解一元一次方程的目标，那就是求出未知数＄x$ 的值。
第一步，通常是进行移项。
如果方程中有常数项在等号的一边，而含有未知数的项在另一边，我们要把它们移到等号的同一边。
比如方程＄3x ＋ 5 ＝ 11$，我们要把常数 5 移到等号右边，变成＄3x ＝ 11 5$，这样就把方程简化了。
移项的时候要注意，移动的项要变号。
原来的加号变成减号，减号变成加号。
这就好像是物品在天平上从一边移动到另一边，重量的符号也要改变才能保持平衡。
接下来是合并同类项。
如果方程中有同类项，比如在方程＄2x ＋3x ＝ 15$ 中，我们把左边的同类项合并，得到＄5x ＝ 15$。
再然后，就是系数化为 1。
当方程变成了形如＄ax ＝ c$ 的形式（＄a$ 是系数，＄c$ 是常数），我们要把＄x$ 前面的系数＄a$ 除掉，得到＄x ＝＼frac{c}｛a}＄。
比如说在方程＄4x ＝ 16$ 中，我们将两边同时除以 4，就得到＄x ＝ 4$。
为了更好地理解解一元一次方程的算法，我们来看几个具体的例子。
例 1：＄2x 7 ＝ 9$首先进行移项，把－7 移到等号右边，得到＄2x ＝ 9 ＋ 7$，即＄2x ＝ 16$。
然后系数化为 1，两边同时除以 2，得到＄x ＝ 8$。
例 2：＄＼frac{x}｛3} ＋ 5 ＝ 14$先把 5 移到等号右边，得到＄＼frac{x}｛3} ＝ 14 5$，即＄＼frac{x}｛3} ＝ 9$。
接下来为了消除分数，两边同时乘以 3，得到＄x ＝ 27$。
一元一次方程经济问题的解题技巧
一元一次方程经济问题的解题技巧一元一次方程是基础数学中的重要知识点，也是经济学中经常遇到的问题。
解决一元一次方程经济问题可以帮助我们建立经济模型、计算各种经济指标、预测市场变化等。
下面我将介绍一些解决一元一次方程经济问题的解题技巧。
首先，了解一元一次方程的基本概念和特点是解题的前提。
一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程，一般的形式为：ax + b = 0，其中a和b是已知常数。
其次，根据实际问题建立方程。
在解决经济问题时，我们需要根据问题中的描述，建立与之相应的方程。
例如，若问题中描述了某商品的价格上涨了20%后的价格是之前的一半，我们可以设原来的价格为x，根据问题中的信息建立方程：（1+20%）x = x/2。
在建立方程时，要注意确定未知数及其含义，并且将问题中的数值转化为方程中的系数和常数项。
在一些复杂的情况下，可以引入辅助变量来进行建模。
第三，解方程。
解一元一次方程的方法有多种，包括代入法、加减法、消元法等。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的解法。
代入法是一种简单直接的解法。
将方程中的未知数用已知数代入，再进行计算，最终求得未知数的值。
例如，将方程2x + 3 = 7中的x用4代入，得到等式2×4 + 3 = 7，最终计算出x = 2。
加减法是另一种常用的解法。
将方程两边的式子通过加减法进行化简，最终得到未知数的值。
例如，将方程3x - 4 = 11中的-4移到等式左边，得到3x = 11 + 4，最终计算出x = 5。
消元法是多元一次方程组中的解法，也可以用于一元一次方程的解法。
我们可以通过一系列的变换，使得方程中的某一项系数为0，从而化简方程。
例如，将方程3x + 2(x + 4) = 2 - (2x + 1)中的x项进行消元，最终化简为2x + 8 = -2x - 1，进一步计算得到x = -3/4。
消元法在复杂的经济模型计算中常常出现。
同时，在解方程的过程中，要注意每一步的合理性和解的唯一性。
(完整版)一元一次方程难点
一元一次方程难点主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。
详细说明→事实上,方程就是一个含未知数的等式.列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。
而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。
由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系"。
所以，其实一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系,根据基本量设未知数。
一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。
初一年级涉及的主要有以下几类：（1)行程问题；（2）工程问题；（3）溶液配比问题；（4)销售问题；（5）数字问题；（6）比例问题;（7）设中间变量的问题.不管是什么问题,关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。
行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
等量关系为：①路程=速度×时间；②速度=路程/时间；③时间=路程/速度特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况,其速度在不同的条件下会发生变化。
①顺水(风）速度=静水(无风）速度+水流速度（风速）;②逆水（风)速度=静水（无风）速度－水流速度(风速)。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
典型例题例1甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。
求AB两地路程。
解析：本题可以简化为:A、B两地两人匀速相向而行，2小时候相距36千米，4小时候后仍相距36千米，求A、B距离。
(完整版)一元一次方程及其解法
3.1 一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x ＝3,3(x ＋2)＝4－x 等都是一元一次方程．解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根． ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．如x ＝3是方程2x －4＝2的解，而y ＝3就不是方程2x －4＝2的解． (3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．A ．S ＝12ab ；B.x －y ＝0；C.x ＝0；D.12x ＋3＝1；E.3－1＝2；F.4y －5＝1；G .2x 2＋2x ＋1＝0；H.x ＋2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C ，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】 x ＝－3是下列方程( )的解． A ．－5(x －1)＝－4(x －2) B ．4x ＋2＝1C ．13x ＋5＝5 D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c .②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)．③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a .(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(传递性) 如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°. (2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换． 谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．A ．若4y ＋2＝3y －1，则y ＝1B ．若7a ＝5，则a ＝57C ．若x 2＝0，则x ＝2D ．若x 6－1＝1，则x －6＝1解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是1；C 根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D 根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B 根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a ＝57.答案：B【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x －8＝12；(2)4x －2＝2x ；(3)x ＋1＝6；(4)3－x ＝7.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x ＝20. 方程的两边同时除以5，得x ＝4. (2)方程的两边同时减去2x ，得2x －2＝0. 方程的两边同时加上2，得2x ＝2. 方程的两边同时除以2，得x ＝1. (3)方程两边都同时减去1， 得x ＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.∴x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x －15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质1 移项要变号合并同类项将方程化为ax＝b的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )． A ．由2x ＝4，得x ＝2B ．由7x ＋3＝x ＋5，得7x ＋3＝5＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9解析：选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项B 中x ＋5变成5＋x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C 是作的移项变形；选项D 是应用等式的对称性“a ＝b ，则b ＝a ”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】 解方程2－x 3－5＝x －14.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x )－60＝3(x －1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12， 得4(2－x )－60＝3(x －1)． 去括号，得8－4x －60＝3x －3. 移项，得－4x －3x ＝－3－8＋60. 合并同类项，得－7x ＝49. 两边同除以－7，得x ＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x ＝a (a 是一个已知数)．(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】 解方程0.4x －90.5－x －52＝0.03＋0.02x0.03.分析：由于0.4x －90.5和0.03＋0.02x 0.03的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子0.4x －90.5的分子、分母中都乘以10，变为4x －905，在式子0.03＋0.02x0.03的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得 4x －905－x －52＝3＋2x3.去分母，得6(4x －90)－15(x －5)＝10(3＋2x )． 去括号，得24x －540－15x ＋75＝30＋20x . 移项，得24x －15x －20x ＝540－75＋30. 合并同类项，得 －11x ＝495. 两边同除以－11，得x ＝－45.5.与一元一次方程的解相关的问题 方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】 关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )．A ．－2B ．43C ．2D ．－43解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－53.将x ＝－53代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选C. 答案：C【例5－2】 若关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，则m ＝__________. 解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8. 答案：86.一元一次方程的常用解题策略 我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．【例6－1】 解方程34⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫12x －14－4＝32x ＋1. 分析：注意到34×43＝1，把34乘以中括号的每一项，则可先去中括号，34×43⎝⎛⎭⎫12x －14－34×4＝32x ＋1，再去小括号为12x －14－3＝32x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了． 解：去括号，得12x －14－3＝32x ＋1.移项，合并同类项，得－x ＝174.两边同除以－1，得x ＝－174.【例6－2】 解方程x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．解：方程两边分别通分，得5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012. 去分母，得12(－2x ＋1)＝35(－x －10)． 去括号，得－24x ＋12＝－35x －350. 移项、合并同类项，得11x ＝－362.两边同除以11，得x ＝－36211.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值 利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．【例7－1】 (1)当a ＝__________时，式子2a ＋1与2－a 互为相反数． (2)若6的倒数等于x ＋2，则x 的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a ＋1＋(2－a )＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x ＋2)＝1，解得x ＝－116.答案：(1)－3 (2)－116【例7－2】 已知x ＝－2是方程x －k 3＋3k ＋26－x ＝x ＋k2的解，求k 的值．分析：把x ＝－2代入原方程，原方程就变成了以k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出k 的值．解：把x ＝－2代入原方程，得 －2－k 3＋3k ＋26－(－2)＝－2＋k2. 去分母，得2(－2－k )＋3k ＋2－(－2)×6＝3(－2＋k )． 去括号，得－4－2k ＋3k ＋2＋12＝－6＋3k . 移项、合并同类项，得 －2k ＝－16.方程两边同除以－2，得k ＝8.【题01】下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =．B ．若77,x -=则1x =-．C ．若10.2x x -=，则1012x x -=． D ．若x ya a=，则ax ay =． 【题02】下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -=B ．2m n =C ．222p pq q -+D ．0x =【题03】解为2x =-的方程是（ ） A ．240x -=B ．5362x +=C ．3(2)(3)5x x x ---=D ．275462x x --=- 【题04】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．课后作业【题05】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = ．【题06】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．【题07】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．【题08】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x = ．【题09】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x =（ ） A ．2140- B ．2140C ．5615-D ．5615【题10】解方程：135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程：11 (4)(3) 34y y-=+【题12】解方程：122233x xx-+ -=-【题13】解方程：21511 36x x+--=【题14】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程：1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程：0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程：4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程：111[(1)6]20343x --+=。
专题06 一元一次方程(归纳与讲解)(解析版)
专题06 一元一次方程【专题目录】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程【注意】一元一次方程的特征1.只含有一个未知数x2.未知数x的次数都是13.等式两边都是整式，分母中不含未知数。
2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1. 【技巧归纳】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1．已知方程(m －2)x |m|－1＋16＝0是关于x 的一元一次方程，求m 的值及方程的解． 2．已知方程(3a ＋2b)x 2＋ax ＋b ＝0是关于x 的一元一次方程，求方程的解．3．已知(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，求式子199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17的值．【类型】一、利用方程的解求字母系数的值 题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值4．关于x 的方程a(x －a)＋b(x ＋b)＝0有无穷多个解，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D .ab ＝05．关于x 的方程(2a ＋b)x －1＝0无解，则ab 是( )A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的整数k ＝__________． 7．已知x ＝12是方程6(2x ＋m)＝3m ＋2的解，求关于y 的方程my ＋2＝m(1－2y)的解．8．当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx －53＝12⎝⎛⎭⎫x －43的解是正整数？ 题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解与关于x 的方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20的解相同，确定字母a 的值．题型3：利用方程的错解确定字母系数的值10．小马虎解方程2x －13＝x ＋a2－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x ＝2，试求a 的值，并正确解方程． 参考答案1．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|m|－1＝1，m －2≠0，所以m ＝－2.将m ＝－2代入原方程，得－4x ＋16＝0，解得x ＝4.2.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a≠0，所以3a ＝－2b ，即a ＝－23b.当3a ＋2b ＝0时，原方程可化为ax ＋b ＝0，则x ＝－ba .将a ＝－23b 代入方程的解中，得x ＝－b a ＝32.3．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，所以m ＝1.当m ＝1时，原方程可化为－2x ＋8＝0，解得x ＝4.当m ＝1，x ＝4时，199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2 016. 4．A 5.B 6.8，－8，10或267．解：将x ＝12代入方程6(2x ＋m)＝3m ＋2，得6⎝⎛⎭⎫2×12＋m ＝3m ＋2，解得m ＝－43. 将m ＝－43代入方程my ＋2＝m(1－2y)，得－43y ＋2＝－43(1－2y)，解得y ＝56.点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算．8．解：原方程可化为12mx －53＝12x －23，所以12(m －1)x ＝1，所以(m －1)x ＝2.因为x 必须为正整数且m 为整数，故m －1＝1或2.当m －1＝1，即m ＝2时，x ＝2； 当m －1＝2，即m ＝3时，x ＝1.所以当m ＝2或3时，方程的解为正整数． 9．解：x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)．去括号、移项、合并同类项，得5x ＝50.系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20， 得2a×10－(3a ＋5)＝5×10＋12a ＋20， 去括号、移项，得20a －3a －12a ＝5＋50＋20. 合并同类项，得5a ＝75，系数化为1，得a ＝15. 10．解：由题意得4x －2＝3x ＋3a －1，移项、合并同类项，得x ＝3a ＋1. 因为x ＝2，所以2＝3a ＋1，则a ＝13.当a ＝13时，原方程为2x －13＝x ＋132－1，解得x ＝－3.技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程 题型1：巧化分母为11．解方程：4x －1.60.5－3x －5.40.2＝1.8－x0.1.2．解方程：2x ＋10.25－x －20.5＝－10.题型2：巧化同分母3．解方程：x 0.6－0.16－0.5x0.06＝1.题型3：巧约分去分母4．解方程：4－6x 0.01－6.5＝0.02－2x0.02－7.5.【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程 题型1：巧用拆分法5．解方程：x －12－2x －36＝6－x3.6．解方程：x 2＋x 6＋x 12＋x20＝1.题型2：巧用对消法7．解方程：x 3＋x －25＝337－6－3x15.题型3：巧通分8．解方程：x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.【类型】三、含括号的一元一次方程 题型1：利用倒数关系去括号9．解方程：32⎣⎡⎦⎤23⎝⎛⎭⎫x 4－1－2－x ＝2. 题型2：整体合并去括号10．解方程：x －13⎣⎡⎦⎤x －13（x －9）＝19(x －9)． 题型3：整体合并去分母11．解方程：13(x －5)＝3－23(x －5)．题型4：不去括号反而添括号12．解方程：12⎣⎡⎦⎤x －12（x －1）＝23(x －1)． 题型5：由外向内去括号13．解方程：13⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫13x －1－6＋2＝0. 题型6：由内向外去括号14．解方程：2⎣⎡⎦⎤43x －⎝⎛⎭⎫23x －12＝34x. 参考答案1．解：去分母，得2(4x －1.6)－5(3x －5.4)＝10(1.8－x)．去括号、移项、合并同类项，得3x ＝－5.8. 系数化为1，得x ＝－2915.点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便 . 2．解：去分母、去括号，得8x ＋4－2x ＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x ＝－18. 系数化为1，得x ＝－3.点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1. 3．解：化为同分母，得0.1x 0.06－0.16－0.5x 0.06＝0.060.06.去分母，得0.1x －0.16＋0.5x ＝0.06. 解得x ＝1130.4．解：原方程可化为4－6x 0.01＋1＝0.01－x0.01.去分母，得4－6x ＋0.01＝0.01－x. 解得x ＝45.点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．5．解：拆项，得x 2－12－x 3＋12＝2－x3.移项、合并同类项，得x2＝2.系数化为1，得x ＝4.点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化． 6．解：拆项，得⎝⎛⎭⎫x －x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 3＋⎝⎛⎭⎫x 3－x 4＋⎝⎛⎭⎫x 4－x5＝1. 整理得x －x 5＝1.解得x ＝54.点拨：因为x 2＝x －x 2，x 6＝x 2－x 3，x 12＝x 3－x 4，x 20＝x 4－x5，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便 .7．解：原方程可化为x 3＋x －25＝247＋x －25，即x 3＝247.所以x ＝727. 点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－6－3x 15＝x －25，两边消去这一项可避免去分母运算．8．解：方程两边分别通分后相加，得5（x ＋3）－7（x ＋2）35＝2（x ＋1）－3（x ＋4）12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012.解得x ＝－36211.点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便． 9．解：去括号，得x4－1－3－x ＝2.移项、合并同类项，得－34x ＝6.系数化为1，得x ＝－8.点拨：观察方程特点，由于32与23互为倒数，因此让32乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便．10．解：原方程可化为x －13x ＋19(x －9)－19(x －9)＝0.合并同类项，得23x ＝0.系数化为1，得x ＝0.11．解：移项，得13(x －5)＋23(x －5)＝3.合并同类项，得x －5＝3.解得x ＝8.点拨：本题将x －5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．12．解：原方程可化为12[(x －1)＋1－12(x －1)]＝23(x －1)．去中括号，得12(x －1)＋12－14(x －1)＝23(x －1)．移项、合并同类项，得－512(x －1)＝－12.解得x ＝115.13．解：去中括号，得112⎝⎛⎭⎫13x －1－2＋2＝0.[来源:学科网] 去小括号，得136x －112＝0.移项，得136x ＝112.系数化为1，得x ＝3.14．解：去小括号，得2[43x －23x ＋12]＝34x.去中括号，得43x ＋1＝34x.移项，合并同类项，得712x ＝－1.系数化为1，得x ＝－127.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ） A ．9 B ．8C ．5D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1， 可得：a -2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选：C ．【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（ ）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ． 例3、解方程：221123x x x ---=-【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解：221123x x x ---=-()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x 名工人生产螺钉，依题意列方程为（ ） A ．1200x ＝2000（22﹣x ） B ．1200x ＝2×2000（22﹣x ） C ．1200（22﹣x ）＝2000x D ．2×1200x ＝2000（22﹣x ）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母①可知螺母的个数是螺钉个数的2倍①从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000①22-x ），即2×1200x=2000①22-x①①故选D① 【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（ ）A ．180B ．170C ．160D ．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元， 由题意得：80%x ﹣120=20%×120， 解得：x =180．即该超市该品牌粽子的标价为180元． 故选：A ．【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（ ） A ．17道 B ．18道C ．19道D ．20道【答案】C【分析】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，根据题意列出方程进行求解. 【详解】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，依题意得4x -(25-x)=70，解得x=19 故选C.一元一次方程（达标训练）一、单选题1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①253-+=；①235=3x x x -+；①211x +=；①21=x；①23x +；①4x =．其中是一元一次方程的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可 【详解】解：①不含未知数，故错 ①未知数的最高次数为2，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 ①左边不是整式，故错 ①不是等式，故错①含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2．（2022·浙江温州·三模）解方程2233522x x x x x --+=--，以下去分母正确的是（ ）A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘()2x - 即可．【详解】A ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． B ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． C ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意． D ，()223352,x x x x +--=-故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（ ） A ．9- B ．9 C ．1- D ．1【答案】D【分析】把2x =代入方程计算即可求出a 的值． 【详解】解：把2x =代入方程得：45a +=， 解得1a =． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2022·河北石家庄·二模）1x =是下列哪个方程的解（ ） A ．65x =- B ．2233+=+x xC ．21133x x x x -=-- D ．2x x =【答案】D【分析】把x ＝1代入各选项进行验算即可得解． 【详解】解：A 、5−1＝4≠6，故本选项错误； B 、2124⨯+=，3136⨯+=，4≠6，故本选项错误； C 、当x =1时，x -1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D 、211=，故本选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解． 5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解． 【详解】解：设幻方正中间的数字为a ， 依题意得：124a m a ++=++， 解得：5m =． 故选A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川达州·二模）方程2x -3=5的解为________. 【答案】x =4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得． 【详解】解：2x -3=5， 移项得2x =8， 系数化为1得：x =4， 故答案为：x =4．【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．7．（2022·四川广元·二模）已知：A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且2(4)|12|0a b ++-=．若点C 点在数轴上且满足3AC BC =，则C 点对应的数为________． 【答案】8或20##20或8【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论，即可求解．【详解】解：①2(4)|12|0a b ++-= ①a ＋4＝0，b −12＝0 解得：a ＝−4，b ＝12①A 表示的数是−4，B 表示的数是12 设数轴上点C 表示的数为c ①AC ＝3BC ①|c ＋4|＝3|c −12| 当点C 在线段AB 上时 则c ＋4＝3（12−c ） 解得：c ＝8当点C 在AB 的延长线上时 则c ＋4＝3（c −12） 解得：c ＝20综上可知：C 对应的数为8或20．【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．三、解答题8．（2022·四川广元·一模）解方程：2(1)13x x x --=-． 【答案】12x =-【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案. 【详解】解：去括号，得2213x x x -+=-. 移项及合并同类项，得21x =-. 系数化为1，得12x =-.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键. 9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A ，B 两种不同款型，其中A 型口罩单价100元，B 型口罩单价80元．(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A ，B 两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A 型口罩和B 型口罩各多少盒？(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（328m-）盒．求该街道社区人口总数．【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意可得3286040m m-=，从而得到m=12，即可求解．(1)解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：100100809200x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：6040xy=⎧⎨=⎩．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．(2)解：依题意得：328 6040m m-=，解得：m=12，①m+3m−28=20．①该街道社区人口总数=200020×500=50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．一元一次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x ，则可列方程（ ） A ．54573x x +=+ B ．54573x x -=-C ．45357x x +=+D ．45357x x-=+【答案】A【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．【详解】解：设合伙人数为x ，则可列方程为 54573x x +=+；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 2．（2022·浙江温州·二模）若代数式()()2132x x +++的值为8，则代数式()()2231x x -+-的值为（ ） A ．0 B ．11 C ．7- D ．15-【答案】C【分析】由()()2132x x +++的值为8，求得x =0，再将x =0代入计算可得． 【详解】解：①()()2132x x +++的值为8， ①2x +2+3x +6=8， ①x =0，当x =0时，()()2231x x -+-=2×(-2)+3×(-1)=-7． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m n =，下列等式不成立的是（ ） A ．2m n m += B ．0-=m n C ．22m x n x -=- D ．235m n n -=【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断． 【详解】由m n =，得2m n m m m +=+=，故A 成立； 0m n m m -=-=，故B 成立；根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，22m x n x -=-，故C 成立；2323m n n n n -=-=-，故D 不成立；故选D ．【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．4．（2022·河北保定·一模）已知分式：341()()32a a a a -+---■的某一项被污染，但化简的结果等于2a +，被污染的项应为（ ） A ．0 B ．1 C ．23a a -- D ．32a a -- 【答案】B【分析】设被污染的部分为p ，然后根据等式的性质解关于p 的方程，求出p 的表达式即可． 【详解】解：设被污染的部分为p ， 则341()()232a a p a a a -+-=+--， ①241()232a p a a a --=+--， ①()()()132222a p a a a a --=+⨯--+， ①3122a p a a -=+--， ①22a p a -=-， ①1p =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则． 5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（ ） ①关于x 、y 的方程24107x y +=存在整数解．①若两个不等实数a 、b 满足()()244222a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．①若2()4()()0a c a b b c ---=-，则2b a c =+． ①若222x yz y xz z xy ---==，则x y z ==． A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【答案】B【分析】将24x y +提公因式2得2(2)x y +，由x 、y 为整数，则2(3)x y +为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将442222()()a b a b +=+，整理得222()0a b -=，即得出22a b =，由于实数a 、b 不相等，即得出a 、b 互为相反数，故可判断①；2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=，即得20a c b +-=，即2a c b +=，故可判断①；由222x yz y xz z xy ---==，得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，可以得出x y z ==或0x y z ++=，故可判断①． 【详解】解：①262(3)x y x y +=+， ①如果x 、y 为整数，那么2(3)x y +为偶数， ①107为奇数，①24107x y +=不存在整数解，故①错误； 442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=①22a b =，①实数a 、b 不相等，①a 、b 互为相反数，故①正确； 2()4()()0a c a b b c ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a c b a c b +-++=2(2)0a c b +-=①20a c b +-=，即2a c b +=，故①正确； ①222x yz y xz z xy ---==①2222x xz y yzy xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩， ①2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，①11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩，①x y z ==或0x y z ++=，故①不一定正确． 综上可知正确的有①①．故选B．【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm 的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm，拼成的大正方形的面积是______cm2．【答案】 4.581【分析】设小正方形的边长为x cm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】解：设小正方形的边长为x cm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意得：6+7.5-x=x+3+1.5，解得：x=4.5，则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm）,大正方形的面积为92=81(cm2),故答案为：4.5；81．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．7．（2022·上海静安·1=的解是________．【答案】x=1【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得【详解】解：方程两边同时平方，得3x-2=1，解得x=1，经检验，x=1是原方程的解，所以，原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．三、解答题8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a 、c 的值 ， ； ①求代数式222a c ac +-的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，求与点B 重合的点表示的数； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则D 表示的数是 ． 【答案】(1)①-2，6；①64 (2)3 (3)4或0【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c ，①把a 和c 的值代入222a c ac +-求值即可；（2）根据题意，求出b 的值，然后求出线段AC 的中点，即可求出结论；（3）设点D 表示的数为x ，然后根据点D 的位置分类讨论，分别根据2AD BD =列出方程即可分别求出结论． （1） 解：①①()2620c a -++=， ①20a +=，60c -=， 解得2a =-，6c =． 故答案为：-2，6．①把2a =-，6c =代入222a c ac +-，2224362464a c ac +-=++=；（2）解：①b 是最小的正整数，①1b =，①线段AC 的中点为()2622-+÷=，设与点B 重合的点表示的数为n ，则(1+n )÷2=2， 解得：n =3．①与点B 重合的点表示的数是3． 故答案为：3． （3）解：因为a =-2，b =1，c =6，设点D 表示的数为x ，若2AD BD =，分三种情况讨论： ①若点D 在点A 的左侧，则x <-2且()221x x --=-， 解得4x =(不符合题意，舍去)；①若点D 在点A 、B 之间，则-2<x <1且()()221x x --=-， 解得0x =；①若点D 在点B 右侧，则x >1且x -(-2)=2(x -1)， 解得：x =4．综上所述，点D 表示的数是0或4． 故答案为：0或4．【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系．。
冀教版数学七年级上册《解较复杂的一元一次方程》教学设计
冀教版数学七年级上册《解较复杂的一元一次方程》教学设计一. 教材分析《解较复杂的一元一次方程》是冀教版数学七年级上册的一部分，主要介绍了如何解一元一次方程。
这部分内容是学生在掌握了简单的一元一次方程解法的基础上进行学习的，对学生进一步学习更复杂的方程打下基础。
本节课的内容主要包括：一元一次方程的解法，方程的解与解集的概念，以及如何求解较复杂的一元一次方程。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的解法，能够解一些简单的一元一次方程。
但学生对如何解较复杂的一元一次方程，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解并掌握解较复杂的一元一次方程的方法，提高解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解较复杂的一元一次方程的方法，理解方程的解与解集的概念。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：解较复杂的一元一次方程的方法。
2.难点：理解方程的解与解集的概念，以及如何求解较复杂的一元一次方程。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设情境，引导学生自主探究，激发学生的学习兴趣。
2.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题，分析问题，解决问题，提高学生的思维能力。
六. 教学准备1.准备一些较复杂的一元一次方程，用于课堂练习和巩固。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设情境，引导学生复习一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一些较复杂的一元一次方程，让学生尝试解答。
学生在解答过程中，教师引导学生发现解题的关键。
3.操练（10分钟）学生独立解答一些较复杂的一元一次方程，教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享解题心得，互相学习，巩固所学知识。
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学科：数学
教学内容：解较复杂的一元一次方程
学习目标
1.灵活运作解方程的一般步骤，提高综合解题能力.
2.通过分母含有小数的方程的解法的探讨，培养学生利用分数的性质、将分母中的小数化为整数运算的能力即化繁为简的能力.
3.敢于面对解题过程中的困难，并获得克服困难和运用知识解决问题的成功体验，培养学好数学的自信心.
基础知识讲解
1.解方程的过程是通过“转化”将复杂的方程化为最简方程.
ax=b （a ≠0）然后求解，得x ＝b a
2.解一元一次方程的各个步骤中，各有一些注意点：
（1）去分母，在去分母的过程中，要将方程两边同乘以各分母的最小公倍数.这里要注意的是这个数（最小公倍数）必须乘到方程两边的每一项（没有分母的项不要漏乘）
（2）去括号，必须运用去括号法则，将括号前的数（包括符号）一同乘到括号里的每一项（这里遵循的是乘法对加法的分配律）
（3）移项，通常是将含有未知数的项移到方程的一边，没有未知数的项移到方程的另一边，以便合并同类项，这里要注意，凡被“移项”的项都必须改变符号后从方程的一边移到另一边.
（4）合并同类项，与整式的加减中合并同类项类似.
（5）未知数系数化为1，要注意这里是方程两边同除以未知数系数，做这个工作前要认清未知数的系数是多少.
重点难点
1.一般一元一次方程解法步骤的灵活运用.
2.化小数分母为整数分母的一般规律.
易混易错点拨
步骤较多易错，漏项、跳步等，注意学习时养成良好习惯.
典型例题
例1.解方程5.0x -06.03.024.0x
-=1
分析：此方程的分母是小数，如果能把各分母化为整数，那么就可以用前面学过的方法求解了.
5.0x =5.01x=2x
06.03.024.0x -＝06.01（0.24-0.3x ）=6100
（0.24-0.3x ） ＝350
（0.24-0.3x ）
所以原方程化为：2x-350
（0.24-0.3x ）＝1.
解：原方程化为2x-350（256-103
x ）=1
去分母，得2x-4+5x ＝1
合并同类项，得7x=5 x ＝75
例2.解方程 1.6x +21(3x
-3)=1 2.01.0)32(2x --3.5＝03.0303.0x
--8.5 3.03.03.003.0x --6.5=05.0)
25(3.0x --6.5
答案：1.x ＝215 2.x ＝125101 3.x=229
点评：通过独立探索解法，互相交流，从而得到较简捷的方法.
随堂演练
一、填空题 1.若x ＝2是关于x 的方程2x+31
-k =0的解，则k 的值是 .
2.当x= 时，代数式45-x 比3x +41的值小41
二、选择题 对方程51[43-31（2x-3）]=32
x 变形.
第一步较好的方法是（ ）
A.去分母
B.去括号
C.移项
D.合并同类项
三、解下列方程 1.35[53(61x+1)]-321=21
x
2.7x -21(x-41
)=3
3.23(x+1)-31(3-49
x)=x
4.32x --53
5-x =1
四、判断下面解方程的过程是否正确？如果不正确，请你指数错误原因，并改正.
解方程：31x --5.02
.0-x =1
解：31x --52
-x =1 去分母：5-5x-3x-6＝1
-2x ＝0
x ＝0
参考答案
一、填空题 1.-11 2.-15
二、选择题 （B ）
三、解方程
1.解：去分母得5[53（61x+1）]-221=23
x
去括号得：3（61x+1）+5-221=23x
移项合并：21x-25=23x -25=x 即：x=-25
2.7x -2x +81=3 8x-28x+7=168 -20x=161 x=-20161=-8201
3.23x +23-1+43x =x 6x+6-4+3x=4x 5x=-2 x=-52
4.10-5x-15x+9=15 -20x=-4 x=51
四、第一步分式变形错：31x --52
10-x =1
去分母5（1-x ）-3（10x-2）＝15 5-5x-30x+6＝15 -35x ＝4 x=-354。