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三、追及和相遇问题
例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆 以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边 通过． (1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时 间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？
(2)当v汽<v自时，两者距离如何变化？ 当v汽>v自时，两者距离如何变化？ 汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离 是多大？ (3)画出两车运动的v－t图象，并试着用图象法解上述两问题．
[要点提炼] 初速度为 0 的匀加速直线运动， 以 T 为时间单位下列比 例式成立： (1)T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末的瞬时速度之比为：
1∶2∶3∶…∶n v1∶v2∶v3∶…∶vn＝__________________
(2)1T 内、2T 内、3T 内、…、nT 内的位移之比为 x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
例3
一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，
解：
汽车:
v at 3 t 汽
1 2 32 x 汽 at t 2 2
例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆 以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边 通过．
(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时 间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？ (2)当v汽<v自时，两者距离如何变化？ 当v汽>v自时，两者距离如何变化？ 汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的 距离是多大？
(3)第一个 T 内、第二个 T 内、第三个 T 内、…、第 n 个 T 内 的 位 移 之 比 为 ： x1 ∶ x2 ∶ x3 ∶ … ∶ xn ＝ 1∶3∶5∶…∶(2n－1) _____________________________ ． (4)通过连续相同的位移所用时间之比为 t1∶t2∶t3∶…∶tn＝ 1∶( 2－1)∶( 3－ 2)∶…∶( n－ n－1) ． ________________________________________
解题思路
分析两物体 运动过程 画运动 示意图 找两物体 的关系式 列方程 求解
1.在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”， 即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关 系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。
2.分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关 键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚 好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临 界状态，满足相应的临界条件。
例1
一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，
已知小球在第 4 s 末的速度为 4 m/s.求： (1)第 6 s 末的速度；(2)前 6 s 内的位移；(3)第 6 s 内的 位移．
v1 4 m/s 解析 由 v1＝at1 得，a＝ ＝ ＝1 m/s2 t1 4s 1 所以第 1 s 内的位移 x1＝ a×12 m＝0.5 m 2 (1)由于第 4 s 末与第 6 s 末的速度之比 3 v1∶v2＝4∶6＝2∶3， 故第 6 s 末的速度 v2＝ v1＝6 m/s 2
解：
汽车:
v at 3 t 汽
v 6 m /s 自
乘客:
1 2 32 x 汽 at t 2 2 x vt 6 t 人
解析 (1)因为汽车做加速运动， 故汽车一定能追上自行车． 汽车 追上自行车时，两者位移相等，x 汽＝x 自， 1 2 即 at ＝v 自 t， 2 2v自 2× 6 得：t＝ a ＝ s＝ 4 s 3 v 汽＝at＝3× 4 m/s＝12 m/s
(2)第 1 s 内与前 6 s 内的位移之比 x1∶x6＝12∶62 故前 6 s 内小球的位移 x6＝36x1＝18 m
(3)第 1 s 内与第 6 s 内的位移之比 xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)，故第 6 s 内的位移 xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m
答案 (1)6 m/s
(2)18 m (3)5.5 m
(2)开始阶段，v 汽<v 自，两者距离逐渐变大．后来 v 汽>v 自，两者 距离又逐渐减小．所以当 v 汽＝v 自时，两者距离最大． 设经过时间 t1，汽车速度等于自行车速度 at1＝v 自， 代入得 t1＝2 s 此时 x 自＝v 自 t1＝6 m/s× 2 s＝12 m 1 2 1 x 汽＝ at1＝ × 3× 22 m＝6 m 2 2 最大距离 Δx＝x 自－x 汽＝6 m
3.图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画 出，然后利用图象求解。
4.相对运动法：巧妙地选取参照系，然后找两物体的 运动关系。
(1)速度小者追速度大者
类型 匀加速追 匀速 匀速追匀 减速 匀加速追 匀减速 图象 说明
①t=t0以前,后面物体与前面 物体间距离增大 ②t=t0即速度相等时,两物体 相距最远为x0+x ③t=t0以后，后面物体与前 面物体间距离减小 ④能追及且只能相遇一次
Байду номын сангаас
追及与相遇问题
1、追及与相遇问题的实质： 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的
空间位置的问题。 2、理清三大关系： 时间关系、速度关系、位移关系。 3、巧用一个条件： 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或 （两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析 判断的切入点。
解答追及、相遇问题常用的方法
1.物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位 置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中 建立起一幅物体运动关系的图景。 2.数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得 到关于t的方程（通常为一元二次方程），用判别式进行讨论， 若>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若=0，说明刚 好追上或相遇；若<0，说明追不上或不能相碰。
(3)画出两车运动的v－t图象，并试着用图象法解上述两问题．
(3) 两车运动的 v － t 图象如图所 示． ①由图知，若两车位移相等，即 v－ t 图线与时间轴所夹的 “面积 ” 相等． 由图中几何关系知， 相遇时间为 t′ ＝4 s，此时 v 汽＝2v 自＝12 m/s.