椭圆离心率的解决方法

例1椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为21,F F ,若椭圆上存在一点P 使得2

21π=∠PF F ,求离心率e 的取值范围。 基于曲线方程蕴含的几何要素：

①请根据条件作出图形，并研究图形具有什么样的几何特征？ ②请问上述几何图形具有怎样的边角关系？

③你能寻找到曲线离心率与上述几何图形边角的关系吗？

④根据题意所蕴含的几何量，能否找出与a,b,c ，e 的关系呢？要求e 的范围，能否列出有关e 的不等式呢?

解法1

[]

1222,242

2,222222222222212121<≤≤≤∈=+==+=∠=+==∆e a b b a b mn b mn c b a c n m PF F a

n m n PF m PF PF F 所以，所以因为得又因为，所以因为由椭圆定义得中，设在π

解法2

1221

0,02

0.2

,22222222

2222222121<≤<<≤≤-=-==+==∠e e a x b a a x a

x b b y c y x P F P F PF F y x P 所以因为解得又椭圆方程得即，所以因为）

（设π

解法3

122)45sin(2122cos sin sin sin 90

sin 2,021*********<≤+==++====∠=∠∆e a c e PF PF PF PF c F PF F PF PF F 即所以由正弦定理得中，设在αααβαβ

α