数量积 向量积 混合积
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其中θ为F与 的夹角. 由上例可见，这是一个由两个向量确定一个数量的运算，
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．
设有三个向量a，b，c，先对其中两个向量作向量积，然 后再用其结果和第三个向量作数量积，最后结果是一个数，我 们称a·(b×c)为混合积，记作［abc］，即
［abc］=a·(b×c)． 混合积的几何意义：［abc］是一个数，它的绝对值等于 以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积的值．如果a,b,c符合 右手系法则，则混合积为正，否则为负．
二、向量的向量积
特别地，对坐标向量i，j，k，有 i×i=j×j=k×k=0，i×j=k，j×k=i，k×i=j，i×k=-j，k×j=-i，j×i=-k．
下面利用上述性质，给出向量积的坐标表达式． 设a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2},则
二、向量的向量积
为便于记忆a×b的坐标表示，可借用三阶行列式的记号 个非零向量的夹角余弦可用点积表示，即 （7-3）
设a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，则 a·b=x1x2+y1y2+z1z2．
事实上，对于坐标向量i，j，k，有i·i=j·j=k·k=1， i·j=j·k=k·i=0．于是 a·b=(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)
一、向量的数量积
于是，所求向量
二、向量的向量积
在研究物体的转动问题时，不但要考虑物体所受的力，而且 还要考虑这些力所产生的力矩．请看下面表达力矩的方法．
设有一杠杆，其支点为O，有一力F作用于杠杆点A处，力F 与 的夹角为θ（见图7-19）．由力学知识，我们知道力F对 支点O的力矩是一个向量M，它的模为
图 7-20
二、向量的向量积
由向量积的定义可知向量积满足以下规律和性质： （1） b×a=-a×b. （2）结合律：(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b). （3）分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，a×(b+c)=a×b+a×c. （4）两个非零向量a与b平行的充要条件是a×b=0. （5） a×a=0．
解
又因为
一、向量的数量积
所以
，即△ABC为直角三角形．又因为
所以
一、向量的数量积
【例4】
在xOy坐标面上求向量b，使之与向量a={1,－2,2}垂 直，且与a的模相等．
解 设b={x，y，z}，因b在xOy面上，故z=0，即 b={x，y，0}．
又因为|b|=|a|，而 所以|b|=3，即有x2+y2=32=9．又由b⊥a，故 a·b=1·x+(-2)y+2×0=x－2y=0．
数量积 向量积 混合积
第二节 数量积 向量积 混合积
关于向量与向量的乘法，根据实际问 题的需要，我们定义了向量的两种乘积，即 向量的数量积和向量积．
一、向量的数量积
设有一物体在常力F的作用下，沿直线由点A移动到点B， 求力F对物体所作的功W（见图7-18）．
图 7-18
一、向量的数量积
由物理学知识得
=(x1i＋y1j＋z1k)·x2i＋(x1i＋y1j＋z1k)·y2j＋(x1i＋y1j＋z1k)·z2k =x1x2(i·i)＋y1y2(j·j)＋z1z2(k·k)．
一、向量的数量积
即 a·b=x1x2＋y1y2＋z1z2．
从而a与b的夹角余弦还可表示为
(7-4) （7-5）
一、向量的数量积
二、向量的向量积
【例5】
设 解
二、向量的向量积
【例6】
求以A(1,1,1),B(2,3,2),C(3,3,2)为顶点的三角形的面积S．
解 △ABC的面积等于
为邻边的平行四边形面积的
一半，而
所以
二、向量的向量积
【例7】
求与向量 位向量n0．
解 不妨设
都垂直的单 计算得
所以
三、向量的混合积
定义3
a·b=|a|·|b|·cosθ.
(7-1)
由于|b|cosθ=Prjab，|a|cosθ=Prjba，所以两向量a与 b的数量积式(7-1)又可表示为
a·b=|a|·Prjab=|b|Prjba. (7-2)
一、向量的数量积
容易验证两向量a与b的数量积符合下列运算规律： （1）交换律：a·b=b·a. （2）分配律：(a＋b)·c=a·c＋b·c. （3）结合律：λ(a·b)=(λa)·b =a·(λb)． 此外，向量a与b的数量积还具有如下性质： （1） a·a=|a|2. （2）任意两个非零向量a，b互相垂直的充要条件是a·b=0.
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．
设有三个向量a，b，c，先对其中两个向量作向量积，然 后再用其结果和第三个向量作数量积，最后结果是一个数，我 们称a·(b×c)为混合积，记作［abc］，即
［abc］=a·(b×c)． 混合积的几何意义：［abc］是一个数，它的绝对值等于 以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积的值．如果a,b,c符合 右手系法则，则混合积为正，否则为负．
二、向量的向量积
特别地，对坐标向量i，j，k，有 i×i=j×j=k×k=0，i×j=k，j×k=i，k×i=j，i×k=-j，k×j=-i，j×i=-k．
下面利用上述性质，给出向量积的坐标表达式． 设a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2},则
二、向量的向量积
为便于记忆a×b的坐标表示，可借用三阶行列式的记号 个非零向量的夹角余弦可用点积表示，即 （7-3）
设a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，则 a·b=x1x2+y1y2+z1z2．
事实上，对于坐标向量i，j，k，有i·i=j·j=k·k=1， i·j=j·k=k·i=0．于是 a·b=(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)
一、向量的数量积
于是，所求向量
二、向量的向量积
在研究物体的转动问题时，不但要考虑物体所受的力，而且 还要考虑这些力所产生的力矩．请看下面表达力矩的方法．
设有一杠杆，其支点为O，有一力F作用于杠杆点A处，力F 与 的夹角为θ（见图7-19）．由力学知识，我们知道力F对 支点O的力矩是一个向量M，它的模为
图 7-20
二、向量的向量积
由向量积的定义可知向量积满足以下规律和性质： （1） b×a=-a×b. （2）结合律：(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b). （3）分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，a×(b+c)=a×b+a×c. （4）两个非零向量a与b平行的充要条件是a×b=0. （5） a×a=0．
解
又因为
一、向量的数量积
所以
，即△ABC为直角三角形．又因为
所以
一、向量的数量积
【例4】
在xOy坐标面上求向量b，使之与向量a={1,－2,2}垂 直，且与a的模相等．
解 设b={x，y，z}，因b在xOy面上，故z=0，即 b={x，y，0}．
又因为|b|=|a|，而 所以|b|=3，即有x2+y2=32=9．又由b⊥a，故 a·b=1·x+(-2)y+2×0=x－2y=0．
数量积 向量积 混合积
第二节 数量积 向量积 混合积
关于向量与向量的乘法，根据实际问 题的需要，我们定义了向量的两种乘积，即 向量的数量积和向量积．
一、向量的数量积
设有一物体在常力F的作用下，沿直线由点A移动到点B， 求力F对物体所作的功W（见图7-18）．
图 7-18
一、向量的数量积
由物理学知识得
=(x1i＋y1j＋z1k)·x2i＋(x1i＋y1j＋z1k)·y2j＋(x1i＋y1j＋z1k)·z2k =x1x2(i·i)＋y1y2(j·j)＋z1z2(k·k)．
一、向量的数量积
即 a·b=x1x2＋y1y2＋z1z2．
从而a与b的夹角余弦还可表示为
(7-4) （7-5）
一、向量的数量积
二、向量的向量积
【例5】
设 解
二、向量的向量积
【例6】
求以A(1,1,1),B(2,3,2),C(3,3,2)为顶点的三角形的面积S．
解 △ABC的面积等于
为邻边的平行四边形面积的
一半，而
所以
二、向量的向量积
【例7】
求与向量 位向量n0．
解 不妨设
都垂直的单 计算得
所以
三、向量的混合积
定义3
a·b=|a|·|b|·cosθ.
(7-1)
由于|b|cosθ=Prjab，|a|cosθ=Prjba，所以两向量a与 b的数量积式(7-1)又可表示为
a·b=|a|·Prjab=|b|Prjba. (7-2)
一、向量的数量积
容易验证两向量a与b的数量积符合下列运算规律： （1）交换律：a·b=b·a. （2）分配律：(a＋b)·c=a·c＋b·c. （3）结合律：λ(a·b)=(λa)·b =a·(λb)． 此外，向量a与b的数量积还具有如下性质： （1） a·a=|a|2. （2）任意两个非零向量a，b互相垂直的充要条件是a·b=0.