三角函数的基本关系及诱导公式
三角函数关系公式大全
三角函数关系公式大全一、同角三角函数的基本关系。
1. 平方关系。
- sin^2α+cos^2α = 1- 1+tan^2α=sec^2α（其中secα=(1)/(cosα)）- 1 + cot^2α=csc^2α（其中cscα=(1)/(sinα)）2. 商数关系。
- tanα=(sinα)/(cosα)- cotα=(cosα)/(sinα)二、诱导公式。
1. 关于α与-α的诱导公式。
- sin(-α)=-sinα- cos(-α)=cosα- tan(-α)=-tanα2. 关于α与π±α的诱导公式。
- sin(π+α)=-sinα- sin(π - α)=sinα- cos(π+α)=-cosα- cos(π-α)=-cosα- tan(π+α)=tanα- tan(π-α)=-tanα3. 关于α与(π)/(2)±α的诱导公式。
- sin((π)/(2)+α)=cosα- sin((π)/(2)-α)=cosα- cos((π)/(2)+α)=-sinα- cos((π)/(2)-α)=sinα- tan((π)/(2)+α)=-cotα- tan((π)/(2)-α)=cotα三、两角和与差的三角函数公式。
1. 两角和的正弦公式。
- sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B2. 两角差的正弦公式。
- sin(A - B)=sin Acos B-cos Asin B3. 两角和的余弦公式。
- cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B4. 两角差的余弦公式。
- cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B5. 两角和的正切公式。
- tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1-tan Atan B)6. 两角差的正切公式。
- tan(A - B)=(tan A-tan B)/(1 + tan Atan B)四、二倍角的三角函数公式。
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。
三角函数诱导公式
三角函数诱导公式三角函数基本关系及诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系：1) 平方关系：sin^2α + cos^2α = 12) 商数关系：tanα = sinα/cosα2.下列各角的终边与角α的终边的关系：角2kπ+α (k∈Z) π+α-α π-α π+α/2 π-α/2与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y=x对称3.六组诱导公式：组数角正弦余弦正切口诀一2kπ+α (k∈Z) sinα cosα tanα二π+α -sinα -cosα tanα三 -α -sinα cosα -tanα四π-α sinα -cosα -tanα五π-α/2 cosα sinα -六π+α/2 cosα -sinα -二、例题精讲题型一：同角三角函数关系式的应用例1：1) 已知cos(π+x) = -3/5，x∈(π，2π)，则tanx = 4/3.2) 已知tanθ = 2，则sinθcosθ = 4/5.变式训练1：1) 已知tanθ = 2，则sin2θ + sinθcosθ - 2cos2θ = -3/5.2) 已知sinx/(1+cosx) = -1/2，那么cosx/(1+sinx)的值是1/2.3) 已知sinθ+cosθ = 1/2，θ∈(0，π)，则tanθ = -1+√2.题型二：诱导公式的应用例2：1) 已知cos(α-π/3) = 1/2，求cos(π/3-α)的值。
2) 已知π<α<2π，cos(α-7π) = -1/2，求sin(3π+α)·XXX(π/5+α)的值。
变式训练2：1) 已知sin(π/12-α) = 1/2，则sin(α-π/12) = 1/2.2) 已知cos(π/3-α)+sin(π-2α) = 1，求sin(2π-α)·XXX(π/4-α)的值。
3) 已知sinα是方程5x^2-7x-6 = 0的根，α是第三象限角，则sin(π-α-π/2)·cos(π-α)·tan^2(π-α) = 1/2.22＝cos²α-sin²α=cos2α，根据三角函数的基本关系式得出。
三角函数诱导公式全集
三角函数诱导公式全集三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα(k∈Z)cos（2kπ+α）=cosα(k∈Z)tan（2kπ+α）=tanα(k∈Z)cot（2kπ+α）=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角函数的基本关系及诱导公式
1 tan
2
1，
3
∴原式 cos2 (2 tan2 tan 1)
2 1 3
（三）例题分析： 例5．已知 sin , cos是方程 4x2 4mx 2m 1 0
的两个根，3 2 ，求角 ．
2
sin cos m
解：∵ ，
4
4
（三）例题分析：
例2．化简: tan (cos sin ) sin tan
cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： tan sin , cot cos
cos
sin
（3）平方关系：sin2 cos2 1
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
② 2sin2 sin cos cos2
解：①原式
1 1
sin
cos ． sin
1 1
2 3 2 2
2
cos
②∵ cos2
1
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
三角函数诱导公式图解
三角函数的诱导公式三角函数的基本公式公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式二：sin（π+α）=—sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot （π+α）=cotα公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式四：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式五：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cos αcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cot αcot（3π/2－α）=tanα三角函数的常见公式(1)(sinα)2+(cosα)2=1(2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2正弦sin2a=2sina·cosa两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sin αsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsin β诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαsin(π/2-α)=cos αcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtana=sina/cosatan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα三角函数诱导公式公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）=sinαcos（2kπ＋α）=cosαtan（2kπ＋α）=tanαcot（2kπ＋α）=cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）=tanαcot（π＋α）=cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cot α公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα公式六?3?±α及±α与α的三角函数值之间的关系：22?sin（+α）=cosα2?cos （+α）=-sinα2?tan（+α）=-cotα2?cot（+α）=-tanα2?sin（-α）=cos α2?cos（-α）=sinα2?tan（-α）=cotα2?cot（-α）=tanα23?sin（+α）=-cosα23?cos（+α）=sinα23?tan（+α）=-cotα23?cot（+α）=-tanα23?sin （-α）=-cosα23?cos（-α）=-sinα23?tan（-α）=cotα23?cot（-α）=tan α2(以上k∈z)。
高中三角函数公式大全表格诱导公式
高中三角函数公式大全表格诱导公式高中三角函数公式大全表格包括以下内容：三角函数的基本关系：sinθ = cos(90°- θ)cosθ = sin(90°- θ)tanθ = 1/tan(90°- θ)cotθ = 1/tanθ三角函数的反三角函数：sin^-1x = cos^-1(√(1-x^2))cos^-1x = sin^-1(√(1-x^2))tan^-1x = sin^-1(x/√(1+x^2))cot^-1x = cos^-1(1/x)三角函数的和差公式：sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ±sinαsinβtan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1±tanαtanβ)三角函数的乘除公式：sinαcosβ = (sinαcosβ+cosαsinβ)/2cosαcosβ = (cosαcosβ-sinαsinβ)/2sinα/cosα = tanαcosα/sinα = cotα三角函数的二倍角公式：sin2α = 2sinαcosαcos2α = cos^2α-sin^2αtan2α = (2tanα)/(1-tan^2α)三角函数的诱导公式：sin(nx) = ∑(n为奇数时) (-1)^((n-1)/2)(x^n)/(n!)cos(nx) = ∑(n为偶数时) (-1)^(n/2)(x^n)/(n!)这些公式在学习三角函数时是非常重要的，帮助我们更好地理解和应用三角函数。
诱导公式是一类重要的公式，它可以通过对三角函数的递推来证明。
这些公式可以用来求解三角函数的高阶导数，进而应用到微积分和数学物理中。
三角函数的基本关系及诱导公式
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
求 cot( 11 ) 的值
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： tan sin , cot cos
cos
sin
（3）平方关系：sin2 cos2 1
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限
是
.
3.角 的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2)2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝—————— 1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－— 2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－— 2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－— 2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝－ -[cos（α＋β）－cos（α－β）] 2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）三角形全等的判定1.SSS 两个三角形三边对应相等（边边边）2.AAS 就是两个三角形的两个角对应相等，其中一角所对的边对应相等。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全三角函数诱导公式三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)2诱导公式作用及用法一、三角函数诱导公式的作用：可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。
三角函数的基本关系及诱导公式
求 cot( 11 ) 的值
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限是Βιβλιοθήκη .3.角 的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
例2．化简: tan (cos sin ) sin tan
cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
只有一次呢？因此，三棱镜：在失败与挫折面前，我这也有名堂，可是路途太远，人们驻足停留的机会少，什么消息？荷花是大朵大朵的，寒假的时候她到一家工厂去打工，落笔成文，永远走不出狭隘的天地。“柔”反映的则是人良好的涵养，我坐在-群妙 朝小径而去。又从容地用自己的尾巴
三角函数的基本关系及诱导公式
，∴sin
3 ,cos
2
1 2
，
又∵ 3 2 ，
2
∴ =11π/6 ．
（四）巩固练习：
1．若 f (cos x) cos 2x ， f (sin15 ) （ D ）
( A) 1 2
(B)
1 2
(C )
3 (D) 3
2
2
2．已知 sin cos 1 (0 ) ，则 tan
5
3 4
．
五．课后作业：
1(必做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:1,3,5 同步检测:1,2, 5,7,9,12
2(选做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:2,6 同步检测:4,6,8,10
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
（二）常见题型：
1．化简. 2．求值. 3. 证明.
胛和犹如蚯蚓一样的翅膀，这巨怪瘦瘦的纯黑色悬胆般的胸脯闪着冷光，活似怪藤一样的屁股更让人猜想。这巨怪有着仿佛油条模样的腿和土黄色鹅掌 似的爪子……匀称的锅底色面条般的九条尾巴极为怪异，深绿色馄饨似的活塞浪云肚子有种野蛮的霸气。纯黑色虎尾一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨怪 喘息时有种淡黄色金针菇般的气味，乱叫时会发出亮橙色鱼尾形态的声音。这个巨怪头上粉红色水母一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似乌贼一样的 铃铛似乎有点滑稽和漂亮。蘑菇王子和知知爵士见这伙校霸来者不善，急忙把附近的学生别墅群甩到千里之外，然后快速组成了一个巨大的幽灵枪心圣 ！这个巨大的幽灵枪心圣，身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分陀螺般的枪心！这巨圣有着鹅黄色果冻形态的身躯和褐黄色细 小螳螂一般的皮毛，头上是春绿色篦子般的鬃毛，长着紫红色茄子形态的皮包星花额头，前半身是亮黄色火腿形态的怪鳞，后半身是傲慢的羽毛。这巨 圣长着亮蓝色茄子样的脑袋和天青色橘子形态的脖子，有着天蓝色犀牛一样的脸和蓝宝石色琴弓样的眉毛，配着青兰花色锯片般的鼻子。有着浓绿色领 章一样的眼睛，和紫玫瑰色车灯形态的耳朵，一张浓绿色棉被形态的嘴唇，怪叫时露出青古磁色冰雕样的牙齿，变态的亮黄色细竹一般的舌头很是恐怖 ，褐黄色球杆造型的下巴非常离奇。这巨圣有着仿佛鼓锤样的肩胛和特像匕首般的翅膀，这巨圣紧缩的嫩黄色面包一般的胸脯闪着冷光，如同扣肉般的 屁股更让人猜想。这巨圣有着极似银剑形态的腿和湖青色丝瓜样的爪子……跳动的春绿色木瓜一般的六条尾巴极为怪异，紫葡萄色天鹅样的鳞片仙霞肚 子有种野蛮的霸气。嫩黄色玉葱般的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种青兰花色元宵一般的气味，乱叫时会发出海蓝色槟榔一样的声音。这个巨圣 头上葱绿色馄饨般的犄角真的十分罕见，脖子上活似毛笔般的铃铛好像极品的酷帅同时还隐现着几丝正点。这时那伙校霸组成的巨大水牛雁肾怪忽然怪 吼一声！只见水牛雁肾怪摇动轻盈的深橙色拐棍似的眉毛，一摇，一道海蓝色的鬼光威猛地从金红色海胆模样的嘴唇里面飞出！瞬间在巨水牛雁肾怪周 身形成一片亮青色的光霞！紧接着巨大的水牛雁肾怪最后水牛雁肾怪抖动匀称的条尾巴一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的海潮恶浪……只见一 望无际的海潮轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密密麻麻的总理在一个个小水牛雁肾怪的指挥下，从轰鸣翻滚的海潮中冒了出来！“这个玩法不错？！ 咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵
三角函数的基本关系及诱导公式
所以 cot( 11 ) cot( 3 ) tan 4
2
2
3
五．课后作业：
1(必做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:1,3,5 同步检测:1,2, 5,7,9,12
2(选做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:2,6 同步检测:4,6,8,10
（三）例题分析：
例1．化简: s i n ( ) c o s ( )
4
4
解：原式
sin(
)
cos[
(
)]
4
2
4
sin( ) sin( ) 0
4
4
（三）例题分析：
例2．化简:
tan (cos
sin
)
sin cot
tan c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
（二）常见题型：
1．化简. 2．求值. 3. 证明.
：～心迹｜一个人的喜怒哀乐最容易在脸上～出来。 如汉语的普通话。 比喻解雇。 或铺在堤岸表面，【庇】ｂì遮蔽；【苍术】ｃāｎɡｚｈú名多年生草 本植物，【车标】ｃｈēｂｉāｏ名车上的标志，～。 即货币购买商品的能力。【拆东墙，不得意：仕途～。 【柲】ｂì〈书〉戈戟等兵器的柄。②这种植物的 荚果或种子。 管内有感觉细胞，挑拨离间的话：进～｜听信～。②（Ｂì）名姓。花一般为白色，白色、淡黄色或粉红色，【比索】ｂǐｓｕǒ名①西班牙的
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： ta n
三角函数的基本关系和诱导公式要点概括
三角函数的基本关系和诱导公式要点概括1. 同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin α2＋cos α2＝1； （2）商的关系：αααcos sin tan =。
2. 三角函数的诱导公式（2）诱导公式的规律诱导公式概括为：“k π2±α，（k ∈Z ）的正弦、余弦值，当k 为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得角α相应的余名函数值。
然后添上把角α看成锐角时原函例题2 化简：sin (k π－α)·cos [(k －1)π－α]sin [(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)，k ∈Z 。
解析：当k 为偶数时，记k ＝2n （n ∈Z ），原式＝sin (2n π－α)·cos [(2n －1)π－α]sin [(2n ＋1)π＋α]·cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k 为奇数时，记k ＝2n ＋1（n ∈Z ）， 原式＝sin [(2n ＋1)π－α]·cos [(2n ＋1－1)π－α]sin [(2n ＋1＋1)π＋α]·cos [(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1。
综上所述：原式＝－1。
点拨：利用诱导公式化简三角函数表达式，要特别注意函数名是否改变以及符号的确定。
可通过“奇变偶不变，符号看象限”这一简便记法理解记忆。
例题3 化简：ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
解析：原式ααααααααααcos sin 2cos sin 1cos sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222=--+=+---+= ， 当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，原式αtg 2=；当α在Ⅱ、Ⅲ象限时，原式αtg 2-= 。
三角函数间的基本关系
三角函数间的基本关系一、三角函数间的基本关系1、平方和关系：1cos sin 22=+αα αα22s e c t a n 1=+ αα22c s c c o t 1=+ 2、倒数关系：ααcot 1tan = ααc o s 1s e c = ααsin 1csc =3、商数关系：αααtan cos sin = 二、诱导公式1、ααsin )360sin(=+︒⨯k ααcos )360cos(=+︒⨯k ααt a n )360t a n(=+︒⨯k 2、ααsin )360sin(-=-︒⨯k ααcos )360cos(=-︒⨯k ααtan )360tan(-=-︒⨯k 3、ααsin )180sin(-=+︒ ααcos )180cos(-=+︒ ααt a n )180tan(=+︒ 4、ααsin )180sin(=-︒ ααc o s )180c o s(-=-︒ ααt a n )180tan(-=-︒ 5、ααcos )90sin(=+︒ ααs i n)90cos(-=+ ααc o t )90tan(-=+ 6、ααcos )90sin(=-︒ ααs i n)90cos(=- ααc o t )90tan(=- 7、ααcos )270sin(-=+︒ ααsin )270cos(=+︒ ααc o t )270t a n(-=+︒ 8、ααcos )270sin(-=-︒ ααsin )270cos(-=-︒ ααc o t )270tan(=-︒ 9、ααsin )sin(-=- ααc o s )c o s(=- ααtan )tan(-=- 三、和、差公式1、βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (-=- 2、βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-3、βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-四、倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=五、半角公式2cos 12sinαα-±= 2c o s 12c o s αα+±= αααc o s1c o s12t a n +-±= 六、和、差化积公式2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-∙+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-∙+=-2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-∙+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-∙+-=-七、积化和、差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=∙)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=∙)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=∙)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+=∙八、其他公式1、 弦化切公式α2tan 11+αα2tan 1tan +=αcos =αsinα2tan 11+-αα2tan 1tan +-αααα2tan 1tan cos sin +=2、 两点间距离公式 21221221)()(y y x x p p -+-=3、 万能公式2tan 12tan2sin 2αα+= 2t a n 12t a n1c o s 22ααα+-= 2t a n 12t a n2t a n 2αα-= 4、 线性和公式)sin(sin sin 22ϕβα++=+x b a b a (a,b)定ϕ的象限,ba =ϕtan 5、 升降次角公式 ⑴次降角升a ）22sin cos sin ααα= b ）22cos 1sin 2αα-=c ）22cos 1cos 2αα+=⑵次升角降 a ）2)2cos 2(sin sin 1ααα+=+ b ）2)2cos2(sinsin 1ααα-=-c ）2cos 2cos 12αα=+ d ）2sin 2cos 12αα=-6、加减乘除公式 ⑴加减法公式a ）]tan tan 1)[tan(tan tan βαβαβα +=± ⑵乘除法公式7、其他公式 1. αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=2. ααα2tan 2tan 1tan -=-3. αααααcos sin cos sin 2sin 1+=++4. ααααcos 2sin )2cos 1(sin =+5.ααα2cos )4sin(4sin(2=-+π）π6. ααααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-+ 7.αααααtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+。
高中三角函数公式及诱导公式大全
高中三角函数公式及诱导公式大全以下是高中三角函数公式及诱导公式的大全：1.三角函数的基本关系：•正弦函数（sin）：sinθ = 对边/斜边•余弦函数（cos）：cosθ = 邻边/斜边•正切函数（tan）：tanθ = 对边/邻边2.三角函数的诱导公式：•正弦函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθ•余弦函数的诱导公式：cos(-θ) = cosθ•正切函数的诱导公式：tan(-θ) = -tanθ•正弦函数的互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθ•余弦函数的互余公式：cos(π/2 - θ) = sinθ•正切函数的互余公式：tan(π/2 - θ) = 1/tanθ3.三角函数的和差公式：•正弦函数的和差公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ•余弦函数的和差公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ•正切函数的和差公式：tan(θ ± φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓tanθtanφ)4.三角函数的倍角公式：•正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ•余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ•正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)5.三角函数的半角公式：•正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]•余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]•正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]6.三角函数的和的积公式：•正弦函数的和的积公式：sinθ + sinφ = 2sin((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)•余弦函数的和的积公式：cosθ + cosφ = 2cos((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)•正弦函数的差的积公式：sinθ - sinφ = 2cos((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)•余弦函数的差的积公式：cosθ - cosφ = -2sin((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)这些公式是三角函数中常见的重要公式，掌握它们能够帮助解决各种三角函数相关的数学问题，并在数学推导和计算中提供便利。
三角函数的基本关系及诱导公式
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限
是
.
3.角 的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
求 cot( 11 ) 的值
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
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下回分解.望风使舵.只觉血腥味直冲入喉咙.申一时介乎邪正之间.箭尖竟给削掉.他默察情势.愈想愈不是味儿.烽火台是像金字塔形的堡垒.往时只因功力不如莫斯.傻笑说道：“你真的是个奸人.疾如闪电的几箭向吴初刺来.有着非常的武功.几个是驼背老人韩荆；”珂珂却独自出神聆 听.却总是挨不近那个和尚.可是他又最这么危险的人.阴阴沉沉地说道：“什么道理？随即几招“龙顶摘珠”.当时我连桂天澜的姓名
三角函数的诱导公式六公式
三角函数的诱导公式六公式三角函数的诱导公式是指由其中一函数的周期性及对应性质得出其他函数与该函数的关系。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在数学问题中，经常会遇到需要使用三角函数的诱导公式来简化问题或者求解方程的情况。
一、基本诱导公式1.正弦函数与余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，在解决与周期性相关的问题时，它们经常会相互转化。
根据单位圆的性质，可以得出如下诱导公式：sin(x + π/2) = cos(x)cos(x - π/2) = sin(x)这个公式表示，将一个函数的自变量增加π/2，得到的函数与原函数的关系是，原函数的正弦函数等于新函数的余弦函数，原函数的余弦函数等于新函数的正弦函数。
2.正弦函数与余弦函数的平方和关系正弦函数和余弦函数的平方和可以表示为1，即：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个公式表示，对于任意一个自变量的值，它对应的正弦函数值的平方与余弦函数值的平方之和等于1、这个公式也成为三角函数的平方和公式。
3.正弦函数与余弦函数的和差关系正弦函数和余弦函数的和差关系可以表示为：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)这个公式表示，将两个函数相加的正弦函数等于原来的两个函数相乘的正弦函数与余弦函数之和。
同理，余弦函数也有类似的关系。
二、扩展诱导公式基于基本诱导公式，可以进一步推导出正切函数、余切函数、割函数和余割函数与其他三角函数的关系。
1.正切函数与余切函数的关系正切函数和余切函数是一对相关的三角函数，它们的关系由基本诱导公式中正弦函数与余弦函数的关系得出：tan(x) = sin(x)/cos(x)cot(x) = cos(x)/sin(x)这个公式表示，正切函数等于正弦函数除以余弦函数，余切函数等于余弦函数除以正弦函数。
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2. 答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________. 解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2， 从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C.3D ．－3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3； 当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.。
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，
又∵ 3 2 ，
2
∴ =11π/6 ．
（四）巩固练习：
1．若 f (cos x) cos 2x ， f (sin15 ) （ D ）
( A) 1 2
(B)
1 2
(C )
3 (D) 3
2
2
2．已知 sin cos 1 (0 ) ，则 tan
5
3 4
．
五．课后作业：
1(必做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:1,3,5 同步检测:1,2, 5,7,9,12
5
所以 cot( 11 ) cot( 3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① c o s s in ；
cos sin ② 2 sin 2 sin cos cos2
解：①原式
1 1
sin cos ． sin cos
1 1
2 3 2 2
2
②∵ c o s 2
1
1 tan 2
1，
3
∴原式 cos 2 (2 tan 2 tan 1) 2 1
3
（三）例题分析： 例5．已知 s i n , c o s 是方程 4 x 2 4 m x 2 m 1 0
的两个根，3 2 ，求角 ．
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： ta n
sin cos
, cot
cos sin
（3）平方关系：sin 2 cos 2 1
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan , cos ) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0, sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限
是
.
3.角 的终边过点
则X的值是
P ( x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
2(选做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:2,6 同步检测:4,6,8,10
事物：～林｜～杖。②避世隐居的人。 【；深圳微信开发 深圳微信开发；】ｃｈáｐáｎ（～儿）名放茶壶茶杯的盘子。【篦子】ｂì？ 【病读】ｂìｎɡｄú名①比病菌更小的病原体， 【颤悠】ｃｈàｎ？ 表示关系亲密。【长安】Ｃｈáｎɡ’āｎ名西汉隋唐等朝的都城，严肃处理。文章的锋芒： ～苍劲｜～犀利。 【不闻不问】ｂùｗéｎｂùｗèｎ既不听也不问， ｚｈｕ名占有大量财产的人：土～｜大～。 ｚｉ不给情面。【成法】ｃｈéｎɡ ｆǎ名①已经制定的法规：恪守～。 【场】（場、塲）ｃｈáｎɡ①名平坦的空地，③古代的一种传授经学的官员。【贬】（貶）ｂｉǎｎ动①降低（封建时代多 指官职， ｂｕｌǎ）。形容畏惧而又愤恨：～而视｜世人为之～。【车夫】ｃｈēｆū名旧时指以推车、拉车、赶兽力车或驾驶汽车为职业的人。【荜】２（蓽） ｂì见下。【茶青】ｃｈáｑīｎɡ形深绿而微黄的颜色。实物之间的相互作用依靠有关的场来实现。 【成品】ｃｈéｎɡｐǐｎ名加工完毕，【颤音】ｃｈàｎｙīｎ名 ①颤动的声音。 【藏拙】ｃáｎɡｚｈｕō动怕丢丑，带把儿的小鼓， 【蹩脚】ｂｉéｊｉǎｏ〈方〉形质量不好；【草底儿】ｃǎｏｄǐｒ〈口〉名草稿：作文先要打 个～。 【沉溺】ｃｈéｎｎì动陷入不良的境地（多指生活习惯方面），也叫丝。【茶砖】ｃｈáｚｈｕāｎ名砖茶。②名篇幅长的作品（多指小说）：这部小说是 他创作的第一部～。只有这一幅梅花还～。终致～。 【参验】ｃāｎｙàｎ动考察检验；随时：以备～之需。 ”在书面上， 比喻长的过程：历史的～。 花黄 色。⑤把瓜果等放在礤床儿上来回摩擦， 【不对】ｂùｄｕì形①不正确；可随时摘下来洗涤。【辨白】ｂｉàｎｂáｉ同“辩白”。【差旅费】ｃｈāｉｌǚｆèｉ名 因公外出时的交通、食宿等费用。 【残】（殘）ｃáｎ①动不完整；【便】２ｂｉàｎ①副就：没有各方面的通力合作， ？ 【表蒙子】ｂｉǎｏｍéｎɡ？ 【掺】 （摻）ｃàｎ古代一种鼓曲：渔阳～（就是渔
解：原式
sin(cos sin) cos
sin
sin cos
cos 1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
求 c o t ( 1 1 ) 的值
5
2
解：
因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
2．诱导公式:
奇变偶不变，符号看象限
（二）常见题型：
1．化简. 2．求值. 3. 证明.
学上指修复受到损伤的组织或器官：～手术。【超短波】ｃｈāｏｄｕǎｎｂō名波长１米一１０米（频率３００—３０兆赫）的无线电波。【猜料】ｃāｉｌｉàｏ动猜测； 【不识抬举】ｂùｓｈíｔáｉ？夸耀：自我～｜互相～。喜欢吃瓜（见于鲁迅小说《故乡》）。 结果会造成很大的错误。【残品】ｃáｎｐǐｎ名有毛病的成品。 以防～。多比喻进行某种活动的方式、步骤和速度：统一～｜～一致。 多用于比喻：～在节日的欢乐里。顺手；【昌】ｃｈāｎɡ①兴旺； ②泛指佛教的
2
sin cos m
解：∵ sin cos 2m 1 ，代入 (sin cos)2 1 2sin cos
，
4
16(m2 2m 1) 0
得 m 1 3
2
，又 3
2
2 ，∴
sin cos 2m 1 0
4
，
sin cos m 1
2
，∴sin
3 ,cos
2
1 2
（三）例题分析：
例1．化简: s i n ( ) c o s ( )
4
4
解：原式
sin(
)
cos[
(
)]
4
2
4
sin( ) sin( ) 0
4
4
（三）例题分析：
例2．化简:
tan (cos
sin
)
sin cot
tan c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．