高考适应性考试数学(理科)

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高考适应性考试高中数学理科

高考适应性考试高中数学理科

高考适应性考试高中数学理科说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题和第Ⅱ卷(非选择题两部分,共150分.考试时间120分钟.选择题部分(共50分一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设{}3,2,1=A,{}A x xB⊆=,则下列关系表述正确的是((A B A∈(B B A∉(C B A⊇(D B A⊆2.若复数(12R a iai∈-+是纯虚数(i是虚数单位,则a的值为((A 2-(B 2(C 1(D 1-3.已知R b a∈,,则“b a>”是“ab ba>+2”成立的((A充分不必要条件(B必要不充分条件(C充要条件(D既不充分也不必要条件4.设b a,是不同的直线,βα,是不同的平面,则下列结论错误.. 的是((A若,//,ααb a⊥则b a⊥(B若βαβα//,,⊥⊥b a,则b a//(C若βαα⊂⊥b b a,//,,则β⊥a(D若βα⊥⊥a a,,则βα//5.阅读右侧程序框图,输出结果s的值为((5题图(A21(B23(C 3-(D 36.平面内区域M=((⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101,y kx k y x y x y x的面积可用函数(k f表示,若8(=k f,则k等于((A21(B31(C23(D22 7.设5544332210452(12(x a x a x a x a x a a x x+++++=++-,则=+++5210a a a a((A 242(B 110(C 105(D 828.将一颗质地均匀的骰子连续抛掷三次,依次得到的三个点数成等差数列的概率为((A121(B61(C41(D81 9.设m 3-=,且51=∆∆ABC PAB S S,则实数m的值为((A 3或3-(B 6或6-(C 4或4-(D 5或5-10.已知1cos 1sin 22++++=θθa a a a M 0,,(≠∈a R aθ,则M的最大值与最小值分别为((A 371+,371-(B374+,374-(C7249+,7249-(D7248+,7248-非选择题部分(共100分二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。

高考适应性测试(一)——数学(理)

高考适应性测试(一)——数学(理)

C.( 1 , 2 ] 33
D. [ 2 , 2] 3
9.已知平行四边形 ABCD 中, AB =AD = 2,∠DAB =60°, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O,
uuuur uuuur 点 M 是线段 BC 上一点,则 OM · CM 的最小值为
9
A .-
16
9
B.
16
1
C .-
2
1
D.
2
( 1)逐份
检验,则需要检验 n 次;( 2)混合检验,将其中 k( k∈ N ,2≤ k≤n)份血液样本分别
取样混合在一起检验,若结果为阴性,则这
k 份的血液全为阴性,因而这 k 份血液样本
只需检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这
k 份血液究竟哪份为阳性,就需
要对这 k 份再逐份检验,此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+ 1 次.假设在接受检验
4
4
19.( 12 分)
uuuur
uuuur uuur
已知 O 为坐标原点, 点 F( 0,1),M 为坐标平面内的动点, 且 2,| FM |,2OM ·OF
成等差数列.
( 1)求动点 M 的轨迹方程; ( 2)设点 M 的轨迹为曲线 T,过点 N ( 0, 2)作直线 l 交曲线 T 于 C, D 两点,试问在
11.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),对任意实数 x,恒有 f( x+ 3)=- f( x),且当 x∈( 0,
3 ] 时, f ( x)= x 2- 6x+ 8,则 f (0)+ f ( 1)+ f( 2)+…+ f ( 2020)= 2
A.6
B.3
C. 0
D.- 3
12.如图,在四棱锥 P— ABCD 中, PA=PB =PC=PD =2,底面 ABCD 是边长为 2 的正方

宁夏银川市第二中学2023-2024学年高三下学期级适应性考试二(理科)数学试题

宁夏银川市第二中学2023-2024学年高三下学期级适应性考试二(理科)数学试题

宁夏银川市第二中学2023-2024学年高三下学期级适应性考试二(理科)数学试题一、单选题1.2024年的高考数学将在6月7日下午进行,其中数学有12道单项选择题,如果每道选择题的答案是从A ,B ,C ,D 四个选项中随机生成,那么请你运用概率统计的知识,推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布( ) A .AAAAAAAAAAAA B .ABCDABCDABCD C .CDABACADCBDBD .DBCCCDCDBDBD2.在复数集中,我们把实部与实部相等,虚部与虚部互为相反数的一对具有孪生关系的复数记为z 和z ,他们也是实系数一元二次方程(0a ≠)在判别式小于0时的两个复数根,我们将这种关系定义为共( ) A .额B .呃C .扼D .轭3.已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥,则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .()p q ⌝∨4.设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ l ⊥于Q ,则线段FQ 的垂直平分线( ). A .经过点O B .经过点P C .平行于直线OPD .垂直于直线OP5.“实数a ,b ,c 成等比数列”是“2b ac =”的( ) A .充分不必要条件 B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件6.已知,x y R ∈,且0x y >>,则A .110x y ->B .sin sin 0x y ->C .11()()022x y -<D .ln ln 0x y +>7.今年两会期间,“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首.某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解,利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座.已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习,则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有( ) A .48种B . 84种C .24种D .12种8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 (参考数据:lg3≈0.48) A .1033 B .1053 C .1073D .10939.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A .4n mB .2n mC .4mnD .2mn10.如图,已知12,F F 为双曲线22221x y a b-=的焦点,过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ,且1230PF F ∠=︒,则双曲线得渐近线方程为( )A .y x =±B .y =C .y =D .2y x =±11.已知数列{}n a 满足1214a a ==,,n 2134n n a a a +++=,则下列是等比数列的是( )A .{3}n a +B .{3}n a -C .{}n 1n a a ++D .{}n 1n a a +-12.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则A .乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B .乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C .乙盒中红球不多于丙盒中红球D .乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题13.设,a b r r 为单位向量,且||1a b +=r r ,则||a b -=rr .14.tan20tan40tan40︒+︒︒︒= 15.若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数,则b =. 16.函数()log (1)x a f x a x a =->有两个零点,求a 的范围三、解答题17.如图,在山脚A 测得山顶P 的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ,在B 出测得山顶P 得仰角为γ,(1)若15β︒=,求坡面的坡比.(坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值) (2)求证;山高sin sin()sin()a h αγβγα-=-18.一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果n =3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n =4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列.19.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点,5,6O AB AC ==,点,E F 分别在,AD CD 上,5,4AE CF EF ==交BD 于点H ,将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置,OD '(1)证明:D H '⊥平面ABCD ; (2)求二面角B D A C '--的正弦值.20.已知函数2()12f x x =-.(Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程;(Ⅱ)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求()S t 的最小值.21.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --,且2a b =.(Ⅰ)求椭圆C 的方程:(Ⅱ)过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q .求||||PB BQ 的值. 22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩(t 为参数且t ≠1),C 与坐标轴交于A ,B 两点. (1)求|AB |:(2)以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求分别以OA ,OB 为直径的圆的极坐标方程.23.已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明:(1)222111a b c a b c++≤++;(2)333()()()24a b b c c a +++≥++.。

四川省成都市2024届高三下学期5月高考适应性考试(一)理科数学试题含答案

四川省成都市2024届高三下学期5月高考适应性考试(一)理科数学试题含答案

成都高2024届高考适应性考试(一)理科数学(答案在最后)(全卷满分150分,考试时间120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,20A B xax =-=+=∣,若B A ⊆,则实数a 的所有可能取值的集合为()A.{}2-B.{}2 C.{}2,2- D.{}2,0,2-2.复数2i1ia z -+=-在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为()A.1B.2C.-1D.-23.已知,a b 为实数,则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为()A.11a b> B.()()ln 1ln 1a b +>+C.330a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法,我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000艮0011坎0102巽0113依次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号为“”,其表示的十进制数是()A.33B.34C.35D.365.函数()()1ln 1f x x x =+-的大致图象是()A. B.C. D.6.在区间[]2,4-上随机地取一个数x ,使2sin x x 恒成立的概率是()A.13B.12C.23D.347.设抛物线24y x =的焦点为F ,过抛物线上一点P 作其准线的垂线,设垂足为Q ,若30PQF ∠= ,则PQ =()A.23B.233C.438.变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩则目标函数3z x y =+-的取值范围是()A.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体,在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面,其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高,过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为()0146V h S S S =+'+,其中,S S '分别是上、下底面的面积,0S 是中截面的面积,h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料,其两底面是矩形且对应边平行(如图),下底面长20米、宽10米,堆高1米,上底面的长、宽比下底面的长、宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料,若用最大装载量为5吨的卡车装运,则至少需要运()(注:1立方米该建筑材料约重1.5吨)A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2,2c B C ==,则a b +的取值范围为()A.()2,10 B.()2+ C.(24++ D.()4+11.已知菱形ABCD 中,π3A =,现将菱形ABCD 沿对角线BD 折起,当AC =时,三棱锥A BCD -的体积为92,则此时三棱锥A BCD -外接球的表面积为()A.28πB.7πC.3D.40π12.在同一平面直角坐标系中,,M N 分别是函数()f x =()()e ln xg x ax ax =-图象上的动点,对任意0,a MN >的最小值为()A.2B.12-1 D.1+第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为__________.14.若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线π6x =-对称,则a =__________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为左支上一点,12122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为I ,直线PI 与x 轴交于点Q ,若双曲线的离心率为54,则PI IQ=__________.16.已知数列{}n a 满足1ln 1n n a a +=+,函数()ln 1xf x x =+在0x x =处取得最大值,若()420ln 1a a x =+,则12a a +=__________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)如图,在三棱锥P ABC -中,4,5,3PA BC AC PB AB =====,异面直线PA 与BC 所成角为60 ,点,M N 分别是线段,PA BC 的中点.(1)求线段PC 的长度;(2)求直线PC 与平面BMN 所成角的余弦值.18.(本小题满分12分)《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康,保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队,带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲、乙两人进行比赛,比赛规则是:准备了5个问题让选手回答,选手若答对问题,则自己得1分,该选手继续作答;若答错问题,则对方得1分,换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜,甲、乙能确定胜负时比赛就结束,或5个问题回答完比赛也结束.已知甲、乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签,甲获得第一个问题的答题权.(1)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率;(2)已知5个问题回答完后乙获胜,设在前三个问题中乙回答问题的个数为X ,求X 的分布列和期望.19.(本题满分12分)已知数列{}n a 满足121,1a a ==,当3n 时,122,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)求4a 和6a ,并证明当n 为偶数时{}1n a +是等比数列;(2)求13529a a a a ++++ .20.(本小题满分12分)已知抛物线2:2(1)E x py p =>的焦点为F ,过点()1,1P -作抛物线E 的两条切线,切点分别为,,5M N FM FN +=.(1)求抛物线E 的方程;(2)过点P 作两条倾斜角互补的直线12,l l ,直线1l 交抛物线E 于,A B 两点,直线2l 交抛物线E 于,C D 两点,连接,,,AD BC AC BD .①设,,AC AB BD 的斜率分别为,,AC AB BD k k k ,问:AC AB BD AB k k k k +是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由;②设DBC DAC ∠λ∠=,求λ的值.21.(本小题满分12分)设()()21e sin 3xf x a x =-+-.(1)当a =时,求函数()f x 的零点个数;(2)函数()()2sin 22h x f x x x ax =--++,若对任意0x ,恒有()0h x >,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中,曲线22:1C mx ny +=的渐近线方程为(),3,0y x D =±-,直线l 过点()1,0B ,且倾斜角为60 .以点D 为极点,以从点D 出发与x 轴正方向同方向的射线为极轴,建立极坐标系,点5π6,3A ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线C 上.(1)写出曲线C 在第二象限的一个参数方程和直线l 的极坐标方程;(2)曲线C 与直线l 相交于点,M N ,线段MN 的中点为Q ,求DBQ 的面积.23.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设()22123f x x x =---.(1)解不等式:()4f x >-;(2)设()f x 的最大值为M ,已知正数a 和b 满足a b M +=,令2222a bZ a b b a=+++,求Z 的最小值.答案及解析1.【答案】D 【解析】当B =∅时,0a =;当B ≠∅时,2a =±.故选D.2.【答案】D【解析】因为()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+在复平面上对应的点位于虚轴上,所以20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩即2a =-.故选D.3.【答案】B【解析】对于A ,若11a b >,则不能推出0a b >>;若0a b >>,则必定有11a b<,所以既不是充分条件也不是必要条件,故A 错误.对于B ,若()()ln 1ln 1a b +>+,则根据对数函数的单调性可知1101a b a b +>+>⇒>>-,但不能推出0a b >>,但是01a b a b >>⇒>>-,故B 正确.对于C ,因为330a b >>等价于0a b >>,所以是充分必要条件,故C 错误.对于D>,则必有10a b >> ,所以是充分不必要条件,故D 错误.故选B.4.【答案】B【解析】据条件可得,符号为“”表示的二进制数为100010,则其表示的十进制数是01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选B.5.【答案】B 【解析】因为()()1ln 1f x x x =+-,所以113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭,故排除C ,D ;当2x >时,()()()1ln 10f x x x =+->恒成立,排除A.故选B.6.【答案】A 【解析】设函数()2sin f x x x =-,则()2cos 0f x x =->',所以()f x 为递增函数,且()0f =0,所以当0x >时,()()00f x f >=;当0x 时,()()00f x f = ,所以不等式2sin x x 的解集为(],0∞-.又因为[]2,4x ∈-,所以不等式2sin x x 的解集为[]2,0-.由长度比的几何概型的概率计算可得,使2sin x x 恒成立的概率是()()021423P --==--.故选A.7.【答案】C 【解析】由题易知,PF 的倾斜角为120 ,从而2411cos120312p PQ PF ====-+ .故选C.8.【答案】B 【解析】不等式组22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示,三个交点的坐标分别为()()10,1,,3,2,02⎛⎫⎪⎝⎭,目标函数33z x y x y =+-=-+,即3y x z =+-,当目标函数过点()2,0时z 取得最大值为5,过点1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭时z 取得最小值为12,所以目标函数3z x y =+-的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.9.【答案】B 【解析】由条件可知,上底面长18米、宽8米,中截面长19米、宽9米,则上底面面积188144S =⨯=(平方米),中截面面积0199171S =⨯=(平方米),下底面面积2010200S =⨯='(平方米),所以这堆建筑材料的体积()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=(立方米),所以这堆建筑材料约重5141.52573⨯=(吨),需要的卡车次为257551.4÷=,所以至少需要运52车.故选B.10.【答案】C【解析】在ABC 中,由2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=及正弦定理,得()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-.又ABC 为锐角三角形,所以ππ0,022B A <<<<,即ππ02,0π322C C <<<-<,所以ππ64C <<,则(24a b +∈++.故选C.11.【答案】A 【解析】如图1,连接AC 交BD 于点E ,不妨设菱形ABCD 的边长为a ,则32AE CE a ==.将菱形ABCD 沿对角线BD 折起,如图2所示,12,O O 分别为正,ABD CBD 的中心,过点12,O O 分别作平面ABD 和平面CBD 的垂线交于点O ,则121233,63O E O E a AO CO ====.在等腰AEC 中,,2AE CE a AC ===BD ⊥平面AEC ,则11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯= ,所以429360a a --=,即212a =(23a =-舍去),得a =.在AEC 中,由余弦定理,得2π3AEC ∠=,则在直角1OO E 中,1π6O OE ∠=,所以11OO E ==设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ,则222117R OO AO =+=,故外接球的表面积为24π28πR =.故选A.12.【答案】B【解析】令()y f x ==,整理得()22(2)10x y y -+= ,即点M 在圆心为()2,0,半径为1的半圆上.()()()ln e1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦ ,当且仅当()ln 0x ax +=时等号成立,所以曲线()g x 的一条切线为1y x =+.通过数形结合可知,当,M N 分别为对应切点,且.MN 与两切线垂直时,MN 取得最小值,即MN 的最小值为圆心()2,0到直线1y x =+的距离减去半径,即MN112=-.过圆心()2,0与1y x =+垂直的直线方程为2y x =-+,与直线1y x =+平行的函数()f x的切线方程为2y x =-+.设()(),,,M M N N M x y N x y,所以当且仅当()2,2ln 021,M M M MN N N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩即121,22,32,,2,22eN M N M x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩时,MN 取到最小值.综上所述,12MN - .故选B.13.【答案】-160【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621661C (2)2C (1)(06kk k k kk k k T x x k x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭且)k ∈N .令620k -=,解得3k =,故常数项为333462C (1)T =⨯⨯-=-160.14.【答案】3-【解析】因为()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+的周期2πT =且直线π6x =-为对称轴,所以点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的对称中心,所以π310322f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,解得3a =-.15.【答案】2【解析】设PI IQλ=,则1212PF PF F QF Q λ==,所以1122PF F Q PF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩,又因为21122,2,PF PF a F Q F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩所以12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在12PF F 中,由余弦定理,得2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅,即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅-⎪⎝⎭,所以()()24242e e λλ+=+,即()212e λλ+=+.又因为54e =,所以2λ=.16.【答案】-2【解析】因为()21ln (1)x x x f x x '+-=+,所以令()11ln 1ln x u x x x x x +=-=+-,则()u x 在()0,∞+上单调递减,且()()22312ln20,e 102eu u =->=-<.由零点存在定理可知,存在唯一的()202,e x ∈,使得()00u x =,即0001ln x x x +=,即()0000ln 11x f x x x ==+①,所以()f x 在()00,x 上单调递增,在()0,x ∞+上单调递减.由1ln 1n n a a +=+,得433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+.又()420ln 1a a x =+,得()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+②.由①②可知,()()0301f x f a x ==,则30a x =,所以2301ln ln a a x +==,即2001ln 1a x x =-=,所以1201ln ln a a x +==-,所以()()2111a a +++=0,即122a a +=-.17.解:(1)如图1,过点A 作AD BC ∥,连接,PD CD .因为AD ∥BC ,异面直线PA 与BC 所成角为60 ,所以60PAD ∠= .又因为4AD BC PA ===,所以PAD 为正三角形,所以4PD =.因为在ABC 中,222AB BC AC +=,所以AB BC ⊥,所以AB AD ⊥.因为在ABP 中,222AB AP BP +=,所以AB AP ⊥.又因为,,AD AP A AD AP ⋂=⊂平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD .因为AD BC ∥,所以四边形ABCD 为平行四边形,所以3,CD AB AB ==∥CD ,所以CD ⊥平面PAD ,所以CD PD ⊥,所以222222435PC PD CD =+=+=,所以5PC =.(2)如图2,将三棱锥P ABC -补形到长方体中,以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线为,x y 轴,以过点A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系A xyz -,则(()()(0,2,,3,0,0,3,4,0,P B C M ,所以(()(,0,4,0,3,2,BM BC PC =-==-.连接MC ,则平面BMN 即为平面BMC .设平面BMC 的法向量为(),,n x y z =,则0,0,n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30,40,x y y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩取z =1,0x y ==,所以(n =.设直线PC 与平面BMN 所成角为θ,易得θ为锐角,所以3sin cos ,10PC n PC n PC n θ⋅=== ,所以直线PC 与平面BMN所成角的余弦值为10=.18.解:(1)设“甲回答问题且得分”为事件A ,“甲回答问题但对方得分”为事件A ,“乙回答问题且得分”为事件B ,“乙回答问题但对方得分”为事件B .记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件C ,则()()()()11178163232P C P AAA P AAAB P AAABB =++=++=,即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为732.(2)X 的所有可能取值为0,1,2.已知5个问题回答完后乙获胜,则由(1)可知,这5个问题回答的情况有六种:,,,,,AAABB AABBA AABAB ABBAA ABAAB ABABA ,其中()()()111,,323232P AAABB P AABBA P AABAB ===,()()()111,,323232P ABBAA P ABAAB P ABABA ===,所以()()()11646212163260,1,2661636323232P X P X P X =========,所以X 的分布列为:X012P 162316则()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=.19.解:(1)由已知,得4264213,217a a a a =+==+=.当3n 且n 为偶数时,221n n a a -=+,即()2121n n a a -+=+.又212a +=,所以当n 为偶数时,数列{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)可知,当n 为偶数时,12122n n a -+=⋅,即221nn a =-.当n 为奇数时,设()*21n k k =+∈N,则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+ ()121212kk a ⋅-=-+-121k k +=--所以当n 为奇数时,12122n n n a ++=-,所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解:(1)设切点221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则以M 为切点的切线方程为()21112x x y x x p p-=-.因为切线过点()1,1P -,所以211220x x p --=.同理,222220x x p --=,所以12122,2x x x x p +==-.又因为()2221212122522222x x x x x x p p FM FN p p p p +-+=+++=+=,所以2320p p -+=,即()()120p p --=.又因为1p >,所以2p =,所以抛物线E 的方程为24x y =.(2)①设直线1l 的方程为()11y k x +=-.联立直线1l 和抛物线E 的方程,得()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以()24410x kx k -++=.设()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ,则4A B x x k +=.同理,4C D x x k +=-,所以C A D B AC BD C A D By y y y k k x x x x --+=+--22224444C A D B C A D Bx x x x x x x x --=+--44C AD B x x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0=所以()0AC AB RD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=,所以AC AB BD AB k k k k +等于定值0.②由①可得,11A B PA PB x ⋅=-⋅-()1A B A B x x x =-++()141k k =+-+=同理,()141PC PD k k ⋅=-+++=,所以PA PB PC PD ⋅=⋅,所以点,,,A B C D 共圆,所以DBC DAC ∠∠=,所以1λ=.21.解:(1)当a =()()e sin 3,e cos x x f x x f x x =+-=+'.①当(),0x ∞∈-时,()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-,则()0f x <,所以()f x 在(),0∞-上无零点.②当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0f x '>,则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增.又因为()πln 22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭,所以()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎥⎣⎦,所以()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有一个零点.③当π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()πln42e 13e 40f x >-->-=,所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点.综上所述,当a =()f x 在(),∞∞-+上只有一个零点.(2)对任意0x ,恒有()0h x >,即()221e 210x a x ax --+->恒成立,即22211ex x ax a -+<-恒成立,即()222110e x x ax a -+--<恒成立.设()()[)22211,0,e x x ax g x a x ∞-+=--∈+,则()()()()21212221e e x x x x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==.①当12a - 时,()g x 在()0,1上单调递增,在()1,∞+上单调递减,所以只需()()2max 22()110e a g x g a -==--<,即()()e e 210,a a ++->解得()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭.又因为12a - ,所以e 2,e a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.②当102a -<<时,()g x 在()0,21a +上单调递减,在()21,1a +上单调递增,在()1,∞+上单调递减,所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由()()()2222110,020e a g a g a -=--<=-<,解得)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭,这与102a -<<矛盾,舍去.③当0a =时,()g x 在()0,∞+上单调递减,所以只需()00g <,得22a >,这与0a =矛盾,舍去.④当0a >时,()g x 在()0,1上单调递减,在()1,21a +上单调递增,在()21,a ∞++上单调递减,所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=--<,且10a +>,所以2121e a a +->.又()2020,0g a a <=->,所以a >所以212110.4e a a +->->>,所以)a ∞∈+满足条件.综上所述,实数a的取值范围是)e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.22.解:(1)设曲线C 的方程为221x y λλ-=.点5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(0,-.将点A 的直角坐标代入曲线C的方程,得2201λλ-=,所以27λ=-,所以曲线C 的普通方程为2212727y x -=,所以曲线C在第二象限的一个参数方程为,33,cos x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩参数π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(参数方程不唯一)设在x 轴上方直线l 上任意一点E 的极坐标为(),ρθ,连接ED .在BED 中,4DB =,由正弦定理,得sin sin DB ED BED EBD∠∠=,即()()4sin 60sin 18060ρθ=-- ,所以()4sin60sin 60ρθ=-,所以()sin 60ρθ-= 经验证,在x 轴上及x 轴下方直线l 上的点也满足上式,所以直线l 的极坐标方程为()sin 60ρθ-=(2)设直线l的参数方程为11,22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程,得22560t t --=.设,BM BN 对应的参数为12,t t ,则1212t t +=.,所以1BQ =.在DBQ中,11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= .23.解:(1)因为()f x 是偶函数,所以只需针对0x 时()f x 的情况展开讨论.当[)0,1x ∈时,()()2221235f x x x x=---=-,此时不等式化为254x ->-,得21x >,舍去;当x ⎡∈⎣时,()()22212337f x x x x =---=-,此时不等式化为2374x ->-,,所以(;x ∈当)x ∞∈+时,()()2221235f x x x x =---=-+,此时不等式化为254x -+>-,得29x <,所以)x ∈.综上所述,所求不等式的解集为()()1,33,1⋃--.(2)由(1)可知,当[)0,1x ∈时,()f x 的值域为[)5,4--;当(),x f x ⎡∈⎣的值域为[)4,2-;当)(),x f x ∞∈+的值域为(],2∞-.因此,当x ∈R 时,()f x 的值域为(],2∞-,所以()f x 的最大值为2,则2a b +=,所以()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,即22211()4222a b a b b a ++=⨯= ①,当且仅当1a b ==时等号成立.因为2a b =+ 1ab ,所以222()2422a b a b ab ab +=+-=- ,即222a b + ②,当且仅当1a b ==时等号成立.由①+②,得22224a b a b b a+++ ,当且仅当1a b ==时等号成立,所以Z 的最小值为4.。

四川省绵阳中学2024届高三高考适应性考试(一)数学(理科)试题(含答案与解析)_4574

四川省绵阳中学2024届高三高考适应性考试(一)数学(理科)试题(含答案与解析)_4574

绵阳中学2024届高三高考适应性考试(一)数学(理科)时间:120分钟 满分:150分注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,则( ) A. A B ⊆B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅2. 已知i 为虚数单位,则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数;命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--,则双曲线的焦距为( )A.B.C.D.5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-,则n a 的最大值与最小值之和为( ) A. 13-B.57 C. 2D.736. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度,得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,则正数ϕ的最小值为( ) A.π12B.π6 C.π3D.π28. 三棱柱111ABC A B C -,底面边长和侧棱长都相等.1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )A.B.12C.D.9. 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中,取出4张排成一行,如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有( )种. A. 72B. 144C. 384D. 43210. 已知向量是单位向量a ,b ,若0a b ⋅= ,且2c a c b -+-=r r r r ,则2c a +r r的取值范围是( )A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C. D. ⎤⎥⎦11. 十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间[]0,1均分为三段,去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭,记为第一次操作;再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910,则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据:lg 20.3010=,lg 30.4771=)( ) A 4B. 5C. 6D. 712. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数,满足①()()2f x f x x =--,②当0x ≥时,()210f x x +'+>,若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解,则其解集为( )A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.13.若6的展开式中有理项的系数和为2,则展开式中3x -的系数为__________.14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同,且满足463a a +=,372a a ⋅=.若[]0,πx ∈,则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________15.ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==,则ABC 的周长为__________. 16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点,不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交..于,A B 两点,连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点,若对任意直线l ,总存在λ,使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立,则该抛物线方程为______.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >,且25214a a a =,设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c .(1)求数列{}n a 前n 项和为n S ;(2)若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-=,求数列{}n b 的通项公式. 18. 如图(1)在三角形PCD 中,AB 为其中位线,且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起,使120PAD ∠=︒,构成四棱锥P ABCD -,如图(2)E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点.(1)求证:平面BEF ⊥平面PCD ;(2)求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值.19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观,激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛,比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分,各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图(1)如下:已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分(满分10分)如茎叶图(2)(茎上的数字为整数部分,叶上的数字为小数部分).的(1)根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平?(计算数据精确到小数点后三位数)(2)已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛,问答题部分为5组题,选手对其依次回答.累计答对3题或答错3题即结束比赛,答对3题者直接获奖,已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率,且各题对错互不影响,设甲答题的个数为X ,求X 的分布列及X 的数学期望.20. 在直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ,过点F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,AB的最小值为.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若与A ,B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-,求PAB 面积的取值范围.21. 现定义:()()213321f x f x x x --为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =,()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)若存在区间()12,x x ,使得()f x 的值域为()122,2x x ,且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0,求实数a 的取值范围;(2)若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做.则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 选修4-4:坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中,点P 的坐标是()0,1,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩(t 为参数),0πθ<<,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-,1C 与2C 交于A ,B 两点.(1)将曲线2C 极坐标方程化为直角坐标方程,并指出它是什么曲线? (2)过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ,D 两点,求11PA PB PC PD+的值.选修4-5:不等式选讲23 设函数1()|(0)f x x x a a a=++- (1)证明:()2f x ≥;(2)若(3)5f <,求a 的取值范围.参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,则( ) A. A B ⊆ B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅【答案】A 【解析】【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断. 【详解】当2,Z k n n =∈时,ππ2π2π,Z 42B n n k A αα⎧⎫=+≤≤+∈=⎨⎬⎩⎭, 的.当21,Z k n n =+∈时,ππ2ππ2ππ,Z 42B n n k αα⎧⎫=++≤≤++∈⎨⎬⎩⎭, 所以A B ⊆. 故选:A2. 已知i 为虚数单位,则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据题意,利用复数的运算法则,求得2(1i)2i 24i 2i 2i 55--==--++,得到共轭复数为24i 55-+,结合复数的几何意义,即可求解.【详解】由复数()22i 2i (1i)2i 24i 2i 2i 555----===--++,可得共轭复数为24i 55-+,其在复平面内对应点为24,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,位于第二象限.故选:B .3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数;命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题【答案】B 【解析】【分析】先判断命题,p q 都是真命题,故可得正确选项. 【详解】对于p ,()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞,()1112221212--=+=+--xx xf x ,进一步化简得到()()121111212221x x x f x f x -+-=+=--=---,故()f x 为奇函数,故p 为真命题.对于q ,考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系,如图所示,,sin ,DOB x CE x BCx ∠===,tan BD x =,因为OBC OBD OBC S S S ∆∆<<扇形, 故1111sin 1tan 222x x x x ⨯⨯<⨯⨯<⨯⨯,即sin tan <<x x x .故q 真命题, 综上,p q ⌝∨为真命题,选B .【点睛】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真,全假才假”,p q ∧的真假判断为“全真才真,一假必假”,p ⌝的真假判断是“真假相反”.4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--,则双曲线的焦距为( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据点()2,1--在抛物线的准线上则可得4p =,进而可得抛物线的焦点坐标,再求出a 的值,由点()2,1--在双曲线的渐近线上,可得渐近线方程,进而可得b 的值,则可得c 的值,进而可得答案. 【详解】根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--, 即点()2,1--在抛物线的准线上,又由抛物线()220y px p =>的准线方程为22px =-=-,则4p =,则抛物线的焦点为()2,0,为则双曲线的左顶点为()2,0,即2a =点()2,1--在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为12y x =±,由双曲线的性质,可得1b =,则c =,则焦距为2c =,故选:B5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-,则n a 的最大值与最小值之和为( ) A. 13-B.57 C. 2D.73【答案】C 【解析】【分析】由题可得2129n a n +-=,利用数列的增减性可得最值,即求.【详解】∵数列{}n a 的前n 项积217n b n =-,当1n =时,157a =,当2n ≥时,()12117n b n -=--,()1212727122929117n nn nb n a b n n n ---===+----=, 1n =时也适合上式,∴2129n a n +-=,∴当4n ≤时,数列{}n a 单调递减,且n a 1<,当5n ≥时,数列{}n a 单调递减,且n a 1>, 故n a 的最大值为53a =,最小值为41a =-, ∴n a 的最大值与最小值之和为2. 故选:C.6. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==,利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程,解方程即可得到答案.【详解】如图,设,CD a PE b ==,则PO ==,由题意212PO ab =,即22142a b ab -=,化简得24()210b b a a -⋅-=,解得b a =. 故选:C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算,考查学生的数学计算能力,是一道容易题.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度,得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,则正数ϕ的最小值为( ) A.π12B.π6 C.π3D.π2【答案】C【解析】【分析】由函数的最大值求出ω的表达式,根据图像变换结合对称性求出ϕ的表达式,根据ϕ为正数求出最小值【详解】依题意,()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,11πππsin 2π122663k k ωωω⎛⎫∴=⇒=+⇒=+⎪⎝⎭,1k Z ∈时,把()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度,得到函数()()sin 2g x x ωϕ=-, 又77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得7π12x =是()g x 的一条对称轴, ()2222π7πππ7π2π,Z Z 1222424k k k k ωϕϕω∴⨯-=+∈⇒=--+∈ 即()()1222ππ7,Z 23k k k k ϕ=-+∈,当120k k ==时,正数ϕ取最小值π3故选:C .8. 三棱柱111ABC A B C -,底面边长和侧棱长都相等.1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )A.B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======,11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++,由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.【详解】设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======,由题意11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++,1AB === ,1BC == ,又()()22111111122AB BC a c a b c b a b c c a ⋅=+⋅-++=⋅+⋅+-=++-=,设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ,则1cos cos ,AB θ= . 故选:D .9. 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中,取出4张排成一行,如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有( )种. A. 72 B. 144 C. 384 D. 432【答案】D 【解析】【分析】根据所取数字之和为10,分3类,再由分类加法计数原理求解即可. 【详解】分3类:①红1蓝1,红4蓝4,排成一排44A 24=; ②红2蓝2,红3蓝3,排成一排44A 24=;③2个1选1张,2个2选1张,2个3选1张,2个4选1张,排成一排1111422224C C C C A 384⋅=, 由分类加法计数原理,共2424384432++=种, 故选:D .10. 已知向量是单位向量a ,b ,若0a b ⋅=,且2c a c b -+-=r r r r ,则2c a +r r的取值范围是( )A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C.D. ⎤⎥⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示,借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题.详解】由题设单位向量()()()1,0,0,1,,a b c x y ===,【()()1,2,2c a x y c b x y ∴-=--=-,,+=即(),x y 到()1,0A 和()0,2B ,而AB =故动点(),P x y 表示线段AB 上的动点.又2c a +=,该式表示()2,0-到线段AB 上点的距离,其最小值为点()2,0-到线段:220(01)AB x y x +-=≤≤的距离,而d =,故|2|min c a +==.最大值为()2,0-到()1,0A 的距离是3,所以2c a +r r的取值范围是⎤⎥⎦. 故选:D .【点睛】关键点点睛:根据向量关系可得动点的轨迹,再根据点到直线的距离可得点点距的最小值.2c a +=表示点到线段上的连线的范围,结合其几何关系不难解决问题.11. 十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间[]0,1均分为三段,去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭,记为第一次操作;再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910,则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据:lg 20.3010=,lg 30.4771=)( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】【分析】根据规律可总结出第n 次操作去掉区间的长度和为123n n -,利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和,由此构造不等式求得结果.【详解】第一次操作去掉的区间长度为13; 第二次操作去掉两个长度为19的区间,长度和为29;第三次操作去掉四个长度为127的区间,长度和为427;以此类推,第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间,长度和为123n n -,∴进行了第n 次操作后,去掉区间长度和112133122212393313nn n nnS -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-,由902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,即21310n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,22331lg101log log 10 5.68210lg 2lg 3lg 3n ∴≥=-=-=-≈-, 又n N *∈,n ∴的最小值为6. 故选:C.【点睛】关键点点睛:本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列,并能得到等比数列通项公式.12. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数,满足①()()2f x f x x =--,②当0x ≥时,()210f x x +'+>,若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解,则其解集为( )A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()2()=++F x f x x x ,由()210f x x +'+>得到其单调性,再由()()2f x f x x =--,得到其奇偶性求解.【详解】解:令()2()=++F x f x x x ,则()()210'=++>'F x f x x ,.所以()F x 在[0,)+∞上递增, 因为()()2f x f x x =--,所以()22()()-+--=++f x x x f x x x ,即()()F x F x -=,所以()F x 是偶函数,不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+等价于:()()()()22(21)2121(1)11+++++>+++++f x x x f x x x ,即()()211F x F x +>+,即()()211+>+F x F x , 所以211x x +>+, 解得23x <或0x >, 故选:D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.13. 若6的展开式中有理项的系数和为2,则展开式中3x -的系数为__________.【答案】1 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】()()12566166C C 10,16rrrr rr r r T a xr --+⎛==-⋅= ⎝0,6r =时为有理项,06621a a a ∴+=⇒=,由3125366r r x --=-⇒=∴系数:()6666C 11a -=, 故答案为:1.14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同,且满足463a a +=,372a a ⋅=.若[]0,πx ∈,则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________【答案】14##0.25 【解析】【分析】由等比数列性质可列关于46,a a 的方程组,结合{}n a 为单增等比数列,即可求得q ,进一步利用三角恒等变换化简表达式22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭得到πsin 24x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,结合[]0,πx ∈解三角不等式即可得解.【详解】37462a a a a == ,又46463,,a a a a +=∴是方程2320x x -+=的两根, 又{}n a 为单增等比数列,2461,22a a q ∴==⇒=又2ππcos 22cos sin2cos212124x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,ππ212sin 244x x ⎛⎫⎛⎫++≥⇒+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, []ππ9πππ3ππ0,π,2,,204444444x x x x ⎡⎤∈∴+∈∴≤+≤⇒≤≤⎢⎥⎣⎦ , ∴所求概率π014π04P -==-. 故答案为:14.15.ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==,则ABC 的周长为__________. 【答案】14 【解析】【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出:2222a b c =+;再结合255,cos 31a A ==和余弦定理得出b c +的值即可求解. 【详解】因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-,所以sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin C A B C A B B C A B C A -=-, 即sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A +=,.由正弦定理可得:cos cos 2cos ac B ab C bc A +=,由余弦定理可得:22222222222a cb a bc c b a +-+-+=+-,整理得:2222a b c =+.因为255,cos 31a A ==, 所以222225025cos 231b c b c a A bc ⎧+=⎪⎨+-==⎪⎩,整理得:2250231b c bc ⎧+=⎨=⎩,则9b c +===, 所以14a b c ++=, 故答案为:14.16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点,不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交于,A B 两点,连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点,若对任意直线l ,总存在λ,使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立,则该抛物线方程为______.【答案】24y x = 【解析】【分析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,根据,AP PC BP PD λλ==推出()()123421y y y y λλ+++=+,结合点在抛物线上可得12y y p +=,34y y p +=,即可求得p ,即得答案.【详解】由题意设()()()()112212334434,,,,(),,,,,()A x y B x y x x C x y D x y x x ≠≠,由AP PC λ=可得:()()11332,12,1x y x y λ--=--,可得:1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩,同理可得:2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩,则:()()()()123412344121x x x x y y y y λλλλ⎧+++=+⎪⎨+++=+⎪⎩(*)将,A B 两点代入抛物线方程得2211222,2y px y px ==,作差可得:()1212122y y y y p x x -+=-,而12122y y x x --=,即12y y p +=, 同理可得,34y y p +=,代入(*),可得2p =, 此时抛物线方程为24y x =, 故答案为:24y x =三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >,且25214a a a =,设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c .(1)求数列{}n a 的前n 项和为n S ;(2)若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-= ,求数列{}n b 的通项公式. 【答案】(1)2n S n =(2)112n b n=+ 【解析】【分析】(1)根据题意,列出方程,求得2d =,得到21n a n =-,结合等差数列的求和公式,求得n S 的值,得到答案;(2)根据题意,结合一元二次不等式的解法,求得21n x n <<+,得到n c n =,进而得到()212222n b b nb n n +++-= ,当2n ≥时,()21212211n b b n b n -⎡⎤+++-=-⎣⎦ ,两式相减得112n b n=+,进而得到数列{}n b 的通项公式.【小问1详解】由等差数列{}n a 的首项11a =,且25214a a a =,可得()()()2111134a d a d a d ++=+,整理得212a d d =,即22d d =,因为0d >,所以2d =,所以()21N n a n n *=-∈,可得()()2121135212n n n S n n +-=++++-== .【小问2详解】由不等式2223x n x nx n n +-<--,即22(31)20x n x n n +++-<, 解得21n x n <<+,因为()2223Nx n x nx n n n *+-<--∈解集中整数的个数为nc,所以n c n =,又因为2112233122n n n n S c b c b c b c b c n ++++-== 可得()21232232n b b b nb n n ++++-= , 即()21232232n b b b nb n n ++++=+ ,当2n ≥时,()()22121221(1)211n b b n b n n n -⎡⎤+++-=-+-=-⎣⎦ ,两式相减得()2212n nb n n =+≥,则()1122n b n n=+≥, 当1n =时,1221b -=,解得132b =,满足上式,所以112n b n =+, 所以数列{}n b 的通项公式为112n b n=+. 18. 如图(1)在三角形PCD 中,AB 为其中位线,且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起,使120PAD ∠=︒,构成四棱锥P ABCD -,如图(2)E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点.(1)求证:平面BEF ⊥平面PCD;的(2)求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2 【解析】【分析】(1)先利用几何关系证明和线面垂直的判定定理BA ⊥平面PAD ,再利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ,最后可得平面BEF ⊥平面PCD ;(2)建系,然后分别求出平面PBC 和平面PAD 的法向量,代入二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】因为2BD PC =,所以90PDC ∠=︒,因为//,AB CD E 为CD 中点,2CD AB =,所以//AB BE 且AB DE =, 所以四边形ABED 为平行四边形, 所以//,BE AD BE AD =.而,BA PA BA AD ⊥⊥,又PA AD A ⋂=,PA ⊂平面PAD ,AD ⊂平面PAD , 所以BA ⊥平面PAD .因为//AB CD ,所以CD ⊥平面PAD , 又因为PD ⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD , 所以CD PD ⊥且CD AD ⊥, 又因为在平面PCD 中,//EF PD ,于是CD FE ⊥.因为在平面ABCD 中,//BE AD ,于是CD BE ⊥. 因为,FE BE E EF =⊂ 平面,BEF BE ⊂平面BEF , 所以CD ⊥平面BEF ,又因为CD ⊂平面PCD , 所以平面BEF ⊥平面PCD . 【小问2详解】以A 点为原点,以AB 为x 轴,AD 为y 轴,面ABD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系,由(1)知BA ⊥平面PAD ,所以z 轴位于平面PAD 内,所以30,PAz P ∠︒=到z 轴的距离为(1,0,P ∴-,同时知())()0,0,0,,2,0A BC ,),2,0PB BC ==,设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z,所以()()),,000,020,,2,00x y z n PB y n BC y x y z ⎧⋅=⎧⋅=+=⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅=+=⎪⋅=⎪⎩⎩, 令1y =,则n ⎛= ⎝;又)AB =为平面PAD 的一个法向量,所以cos ,n AB n AB n AB⋅===⋅,又因为平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的平面角为锐角, 所以平面PBC 与平面PAD19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观,激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛,比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分,各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图(1)如下:已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分(满分10分)如茎叶图(2)(茎上的数字为整数部分,叶上的数字为小数部分).(1)根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平?(计算数据精确到小数点后三位数)(2)已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛,问答题部分为5组题,选手对其依次回答.累计答对3题或答错3题即结束比赛,答对3题者直接获奖,已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率,且各题对错互不影响,设甲答题的个数为X ,求X 的分布列及X 的数学期望. 【答案】(1)高于 (2)分布列见解析,()2541625E X =【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出a ,再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数,比较即可;(2)先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率,再利用二项分布求出X 所有可能取值的概率,得到分布列,根据分布列求数学期望即可. 【小问1详解】根据频率分布直方图各矩形面积和为1得()20.2500.3750.5000.6250.51a ++++⨯=,解得0.125a =,所以全部参赛人员的整体水平为7.07.57.58.08.08.58.59.09.09.59.510.00.50.1250.2500.6250.5000.3750.1258.531222222++++++⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈ ⎪⎝⎭, 根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为7.58.68.79.09.29.68.7676+++++≈,所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平. 【小问2详解】从这6位抽取2位的基本事件总数为26C ,分差大于0.5的基本事件为除数据()8.6,8.7,()()()()()8.6,9.0,9.2,9.6,9.2,9.0,8.7,9.0,9.2,8.7外的9个基本事件,故概率为26993C 155P === 依题意X 的取值为3,4,5,则()333235355125P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()222222443232322165C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列为X 34 5P35125 234625 216625所以()352342162541345125625625625E X =⨯+⨯+⨯=. 20. 在直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C ab a b+=>>的右焦点为()1,0F ,过点F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,AB 的最小值为.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若与A ,B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-,求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)2212x y +=;(2)⎛ ⎝.【解析】【分析】(1)根据通径的性质即可求解;(2)取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,则点M 在直线AB 上,且点M 为线段OP 的中点.得PABOAB S S = ,设AB 方程,与椭圆方程联立,表示出OAB S 并求其范围即可.【小问1详解】由右焦点()1,0F 知,1c =,当AB 垂直于x 轴时,AB最小,其最小值为22b a=.又∵222a b c =+,解得a =1b =,∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】解法一:取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,则点M 在直线AB 上,且点M 为线段OP 的中点. ∴PAB OAB S S = .当AB 垂直于x 轴时,A ,B的坐标分别为⎛ ⎝,1,⎛ ⎝,OAB S =△; 当AB 不垂直于x 轴时,设其斜率为k ,则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠. 则点O 到直线AB的距离d =,联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=, 则2122412k x x k +=+,21222212k x x k-=+,()2810k ∆=+>,2AB x =-==,∴1122OABS AB d =⋅==△, 令212t k =+,则()2112t k t -=>,此时OABS ⎛= ⎝△. 综上可得,PAB面积的取值范围为⎛ ⎝. 解法二:当AB 垂直于x 轴时,A ,B的坐标分别为⎛ ⎝,1,⎛⎝, 由()2OP OA OB λλ=+-,得点P的坐标为(-,则点P 到直线AB 的距离为1,又AB =PAB的面积为112=,当AB 不垂直于x 轴时,设其斜率为k , 则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠, 设P ,A ,B 的坐标分别为()00,x y ,()11,x y ,()22,x y ,则()111y k x =-,()221y k x =-,由()2OP OA OB λλ=+-,得()0122x x x λλ=+-,()()()()()0121212212122y y y k x k x k x x λλλλλλ=+-=-+--=+--⎡⎤⎣⎦,即()002y k x =-.故点P 在直线()2y k x =-上,且此直线平行于直线AB.则点P 到直线AB的距离d =,联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=, 则2122412k x x k +=+,21222212k x x k -=+,2AB x =-==,∴1122PABS AB d =⋅==△, 令212t k =+,则()2112t k t -=>,此时PABS ⎛= ⎝△. 综上可得,PAB面积的取值范围为⎛ ⎝. 解法三:取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,则点M 在直线AB 上,且点M 为线段OP 的中点. ∴PAB OAB S S = ,设直线AB 的方程为1x ty =+,则点O 到直线AB 的距离d =联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x 整理得()222210t y ty ++-=, 则12222t y y t +=-+,12212y y t =-+,()2810t ∆=+>,2AB y =-==,∴1122OABS AB d =⋅==△,∴OAB S ⎛=⎝△, 即PAB面积的取值范围为⎛ ⎝. 21. 现定义:()()213321f x f x x x--为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =,()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)若存在区间()12,x x ,使得()f x 的值域为()122,2x x ,且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0,求实数a 的取值范围;(2)若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)[)e,+∞ 【解析】【分析】(1)由题意得到()f x 单调递增,即0a >,故1212e 2,e 2ax axx x ==,分离参数后得到()ln 2x a x=有两不等实根,构造()()ln 2x h x x=,得到其单调性,结合函数图象得到实数a 的取值范围;(2)由题意得到()()()()212133332121f x f xg x g x x xx x-->--,转化为对任意21x x >,有()()()()2211f x g x f x g x ->-,构造()()()22e ln ax r x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求导得到()0r x '≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,解法一:考虑a<0与0a >两种情况,结合同构思想,得到()ln m x x x =+,求出其单调性,得到e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,变形为2e 0ax x a --≥,构造()2e axl x x a =--,求导后得到其单调性,求出e a ≥; 解法二:变形为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭,构造()()212e ,ln ax m x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,观察得到()m x 与()n x 互为反函数,从而证明出()m x x ≥恒成立即可,构造()2e ax l x x a=--,求导后得到其单调性,求出e a ≥;方法三:对()r x 二次求导,构造()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,求导后分0a >与a<0两种情况,分析出0a >时,在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ,使得()00x ϕ=,求出()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,转化为只需()00r x '≥即可,利用基本不等式证明出结论,且a<0时,不合题意,得到答案. 【小问1详解】()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为正,可得()f x 单调递增,即0a >.故若存在区间()12,x x ,使得()f x 的值域为()122,2x x , 即存在不同的12,x x ,使得1212e2,e 2ax ax x x ==,故方程e 2ax x =有两不等实根,化简得()ln 2x a x=有两不等实根.即y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点. 由()()21ln 2x h x x -'=,可知()h x 在e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增,在e ,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减, 且当0x →时,()h x →-∞,当x →+∞时,()0h x →, 故要使y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点,e 202ea h ⎛⎫<<=⎪⎝⎭, 故实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫⎪⎝⎭;【小问2详解】由对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率,可得()()()()212133332121f x f x g x g x x x x x -->--,由21x x >可得,()()()()2121f x f x g x g x ->-,即对任意21x x >,有()()()()2211f x g x f x g x ->-可得()()()22e ln axr x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 即()2ln 20axr x ae x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立, 解法一:①当0a <时,当x →+∞时,()t x →-∞,显然不成立. ②当0a >时,()()e ln 2ln 20axr x a ax a +'=-+-≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立, 即()e ln ln 22axa ax a ax ax ++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立, 令()()ln ,e ln ln 22axm x x x a ax a ax ax =+++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即()()e 2ax m a m ax ≥+.显然()m x 在()0,∞+上单调递增,得e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.即2e 0ax x a --≥恒成立令()()2e ,e 1axax l x x l x a a-='=--, 可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭,解得e a ≥ 解法二:①当0a <时,当x →+∞时,()t x →-∞,显然不成立. ②当0a >时,2e ln 20axa x a ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭可转化为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭,令()()212e ,ln axm x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,可得()m x 与()n x 互为反函数, 故()()m x n x ≥恒成立,只需()m x x ≥恒成立即可,即2e 0axx a--≥恒成立. 令()()2e ,e 1axax l x x l x a a -='=--,可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭,解得e a ≥. 解法三:令()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,可得()()2e 3axx a ax ϕ'=+ ①当0a >时,32a a -<-,此时()x ϕ在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,由210a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭,当x →+∞时,()x ϕ→+∞,故在2,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ,使得()00x ϕ=,即0202e 1ax a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即001e 2ax a a x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭,000221ln ln 2ln e ax x a ax a a ⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭, 令()()2e ln 2axt x r x a x a ⎛⎫==- ⎝'+-⎪⎭,则()21e 2axt x a x a'=-+, 当02,x x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0t x '<,当()0,x x ∈+∞时,()0t x '>, 此时()r x '在02,x a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在()0,x +∞上单调递增, 故()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,只需()00r x '≥即可. 而()000021e ln 22ln 22ax r x a x ax a a a x a ⎛⎫=-+-=++- ⎪⎛⎫⎝⎭+' ⎪⎝⎭ 00122ln 4242ln 02a x a a a a x a ⎛⎫=+++-≥-+≥ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭,解得e a ≥经检验,当e a =时等号成立,故e a ≥②当0a <时,当x →+∞时,()t x →-∞,显然不成立.故e a ≥.【点睛】隐零点的处理思路:第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,其中难点是通过合理赋值,敏锐捕捉零点存在的区间,有时还需结合函数单调性明确零点的个数;第二步:虚设零点并确定取范围,抓住零点方程实施代换,如指数与对数互换,超越函数与简单函数的替换,利用同构思想等解决,需要注意的是,代换可能不止一次.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做.则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.选修4-4:坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中,点P 的坐标是()0,1,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩(t 为参数),0πθ<<,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-,1C 与2C 交于A ,B 两点.(1)将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出它是什么曲线?(2)过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ,D 两点,求11PA PB PC PD +的值. 【答案】(1)244x y =+,抛物线;(2)18. 【解析】【分析】(1)根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=,对2C 的极坐标方程进行化简即可求得其直角坐标方程,再根据方程判断曲线类型即可;(2)联立直线l 的参数方程与曲线2C 的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数的几何意义求得1PA PB=,再将θ替换为π2θ+,即可求得1PC PD ,相加即可求得最后结果.。

高考适应性测试数学试题(理)含答案编

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河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}(){}2|230|lg 20A x x x B x x =-->=-≤,则()R C A B =A. ()1,12-B. ()2,3C. (]2,3D.[]1,12-2.欧拉(Leonhard Euler,国籍瑞士)是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他发明的公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知,表示的复数i e π-在复平面内位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.下列命题中,正确的是 A. 0003,sin cos 2x R x x ∃∈+=B. 0x ∀≥且x R ∈,22x x >C. 已知,a b 为实数,则2,2a b >>是4ab >的充分条件D. 已知,a b 为实数,则0a b +=的充要条件是1ab=- 4.已知圆22:4O x y +=(O 为坐标原点)经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴端点和两个焦点,则椭圆C 的标准方程为A. 22142x y +=B. 22184x y +=C.221164x y +=D. 2213216x y +=5.已知等差数列{}n a 满足121,6n n a a a +=-=,则11a 等于 A. 31 B. 32 C. 61 D.626.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 33 B.3 C.43 D. 537.已知函数()132221x xx f x +++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M m +等于A. 0B. 2C. 4D. 88.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入,a b 的值分别为21,28,则输出a 的值为A. 14B. 7C. 1D. 09.已知函数1ln y x x =++在点()1,2A 处的切线为l ,若l 与二次函数()221y ax a x =+++的图象也相切,则实数a 的取值范围为A. 12B. 8C. 0D.410.已知ABC ∆的三个顶点坐标为()()()0,1,1,0,0,2,A B C O -为坐标原点,动点M 满足1CM =,则OA OB OM ++的最大值是A. 21+B. 71+C. 21-D.71-11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点,点P 是双曲线在第一象限内的点,直线2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M,N ,若122PF PF =,且2120MF N ∠=,则双曲线的离心率为A.22B. 7C. 3D.212.定义在R 上的函数()f x ,当[]0,2x ∈时,()()411f x x =--,且对任意实数()122,22,2n n x n N n +*⎡⎤∈--∈≥⎣⎦,都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点,则a 的取值范围是A. []2,10B. C. ()2,10 D.[)2,10第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知实数,x y 满足条件2420x x y x y m ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩,若目标函数2z x y =+的最小值为3,则其最大值为 .14.设二项式6x ⎛ ⎝展开式中的常数项为a ,则20cos 5ax dx π⎰的值为 .15.已知A,B,C 是球O的球面上三点,且3,AB AC BC D ===为该球面上的动点,球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半,则三棱锥D ABC -体积的最大值为 .16.已知函数()212n n n f x a x a x a x =+++,且()()11,.nn f n n N *-=-∈设函数(),,2n a n g n n g n ⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数,若()24,n n b g n N *=+∈,则数列{}n b 的前()2n n ≥项和n S = .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分12分)已知向量()()2cos ,sin ,cos ,23cos a x x b x x ==,函数() 1.f x a b =⋅-(1)求函数()f x 的单调递减区间;(2)在锐角ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,tan B =对任意满足条件的A,求()f A 的取值范围.18.(本题满分12分)某品牌汽车的4S 店,对最近100份分期付款购车情况进行统计,统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4,;该店经销一辆该品牌汽车,若顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为2万元;分12期付款,其利润为3万元.(1)若以上表计算出的频率近似替代概率,从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3为顾客,求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率();P A (2)按分层抽样的方式从这100为顾客中抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取3人,记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η,求η的分布列和数学期望()E η.19.(本题满分12分)如图所示,已知长方体ABCD 中,2AB AD M ==为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起,使得.AD BM ⊥ (1)求证:平面ADM ⊥平面ABCM ;(2)是否存在满足()01BE tBD t =<<的点E ,使得二面角E AM D --为大小为4π,?若存在,求出相应的实数t ;若不存在,请说明理由.20.(本题满分12分)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F 在y 轴上,过点F 的直线交抛物线于A,B 两点,线段AB 的长度为8,AB 的中点到x 轴的距离为3. (1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m 在y 轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q 两点,连结QF 并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR 恰与抛物线相切时,求直线m 的方程.21.(本题满分12分)已知函数()()()ln 1.1axf x x a R x=+-∈- (1)当1a =时,求函数()f x 的单调区间;(2)若11x -<<时,均有()0f x ≤成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

高考适应性考试数学(理)试卷(三)

高考适应性考试数学(理)试卷(三)

高考适应性考试(三) 数学(理)试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时间120分钟,满分150分钟。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位,若{|,},{|cos ,},n M x x i n N N x x k k R M N π==∈==∈则A .[-1,1]B .{-1,0,1}C .{-1,1}D .{1}2.“4a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[-1,1]上存在零点”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.设a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若,,,//a b a b b ααα⊥⊥⊄则; ②若//,,a a αβαβ⊥⊥则;③若,,//a a αβαβαα⊥⊥⊂则或;④若,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则其中正确命题的个数为A .1B .2C .3D .44.阅读右边的程序框图,输出的结果s 的值为A .0BC D .5.在△ABC 中,P 是BC 边的中点,角A 、B 、C 、对边分别是a 、b 、c ,若0cAC aP A b P B ++=,则△ABC 的形状为A .直角三角形B .钝角三角形C .等边三角形D .等腰三角形但不是等边三角形6.设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,斜率为k 的直线l 过右焦点F ,则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件为A .221e k ->B .221k e -<C .221k e ->D .221e k -<7.已知正项等比数列765114{}2,,4,n m n a a a a a a a m n=+=+满足若存在两项则的最小值为A.2B .1 C.2D .328.已知函数()32,f x x x =-∈R 。

2023年贵州省高考数学适应性试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年贵州省高考数学适应性试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年贵州省高考数学适应性试卷(理科)1. 复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设,,则( )A. B. C. D.3. 实数x,y满足约束条件则的最大值等于( )A. 0B. 2C. 3D. 44. 某校为了解高一学生一周课外阅读情况,随机抽取甲,乙两个班的学生,收集并整理他们一周阅读时间单位:,绘制了下面频率分布直方图.根据直方图,得到甲,乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为,标准差分别为,,则于( )A. ,B. ,C. ,D. ,5. 已知函数,下列结论正确的是( )A. 是偶函数B. 在上单调递增C. 的图象关于直线对称D. 的图象与x轴围成的三角形面积为26. 在直角坐标系xOy中,锐角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点若,则( )A. B. C. D.7. 直角三角形ABC中,,,若点P满足,则( )A. 0B.C.D.8. 如图,圆柱的底面直径AB与母线AD相等,E是弧AB的中点,则AE与BD所成的角为( )A.B.C.D.9. 某工厂产生的废气经过过滤后排放,已知在过滤过程中的污染物的残留含量单位:与过滤时间单位:之间的函数关系为,其中e是自然对数的底数,k 为常数,为原污染物总量.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了,则污染物被过滤掉了所需时间约为( )A. 73hB. 75hC. 77hD. 79h10. 椭圆的上顶点为A,F是C的一个焦点,点B在C上,若,则C的离心率为( )A. B. C. D.11. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若的图象关于点对称,且在上单调递减,则( )A. B. C. 1 D. 212. 设,则( )A. B. C. D.13. 的展开式中的常数项为______ .14. 已知圆M:,双曲线倾斜角为锐角的直线l过M的圆心,且与N的一条渐近线平行,则l的方程为______ .15. 在中,点D在BC边上,若,,则______ .16. 如图,某环保组织设计一款苗木培植箱,其外形由棱长为单位:的正方体截去四个相同的三棱锥截面为等腰三角形后得到.若将该培植箱置于一球形环境中,则该球表面积的最小值为______17. 公比为q的等比数列的前n项和求a与q的值;若,记数列的前n项和为,求18.矩形ABCD中,,如图,将沿AC折起到的位置.点在平面ABC上的射影E在AB边上,连结如图证明:;过直线的平面与BC平行,求与所成角的正弦值.19. 为普及航空航天科技相关知识、发展青少年航空航天科学素养,贵州省某中学组织开展“筑梦空天”航空航天知识竞赛,竞赛试题有甲、乙、丙三类每类题有若干道,各类试题的每题下表所示,各小题回答正确得到相应分值,否则得0分,竞赛分三轮分之和即为选手总分.题型每小题分值每小题答对概率项目甲类题10乙类题20丙类题30其竞赛规则为:第一轮,先回答一道甲类题,若正确,进入第二轮答题:若错误,继续回答另一道甲类题,该题回答正确,否则退出比赛.第二轮,在乙类题中选择一道作答,若正确,进入第三轮答题;否则,退出比赛.第三轮,在前两轮位作答的那一类试题中选择一道作答.小明参加竞赛,有两种方案选择,方案一:先答甲类题,再答乙类题,最后答丙类题;方案二:先答甲类题,再答丙类题,最后答乙类题.各题答对与否互不影响.请完成以下解答:若小明选择方案一,求答题次数恰好为3次的概率;经计算小明选择方案一所得总分的数学期望为,为使所得总分的数学期望最大,小明该选择哪一种方案?并说明理由.20. 过点的直线l与抛物线C:交于A,B两点,O为坐标原点,求C的方程;在x轴上是否存在点T,使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值若存在,求出点T的坐标和定值k;若不存在,请说明理由.21. 已知函数,当时,讨论函数的单调性;当时,求曲线与的公切线方程.22. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数,常数,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的方程为写出C的极坐标方程和l的直角坐标方程;若直线和C相交于A,B两点,以AB为直径的圆与直线l相切,求的值.23. 设,,已知函数的最小值为求证:;,求证:答案和解析1.【答案】D【解析】解:因为,所以,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限.故选:根据复数代数形式的除法运算化简复数z,再根据复数的几何意义判断即可.本题主要考查复数的几何意义,以及复数的四则运算,属于基础题.2.【答案】B【解析】解:,解得或,故或,故故选:解不等式得到集合B,从而求出交集.本题主要考查了集合交集运算,属于基础题.3.【答案】C【解析】解:根据题意,画出可行域阴影部分及目标函数,因为中斜率为,z的几何意义为与y轴交点的纵坐标,故当经过点A时,取得最大值,联立,得,故,将其代入解析式,得到的最大值为故选:画出可行域及目标函数,利用几何意义得到最大值.本题考查简单线性规划相关知识,属于中档题.4.【答案】D【解析】解:根据频率分布直方图可知,,所以,,,所以故选:根据频率分布直方图求出平均数与方差,即可判断.本题主要考查频率分布直方图,平均数与方差的求法,考查运算求解能力,属于基础题.5.【答案】C【解析】解:A选项,,画出其函数图象,如下:故不是偶函数,A错误;B选项,在上单调递减,故B错误;C选项,的图象关于直线对称,C正确;D选项,的图象与x轴围成的三角形面积为,D错误.故选:去掉绝对值,得到,画出其图象,进而判断出四个选项.本题主要考查了分段函数的图象和性质,属于基础题.6.【答案】B【解析】解:因为,所以,所以,所以,又,,所以,因为点为的终边与单位圆的交点,所以,所以故选:由两角和正切公式求,结合同角关系求,根据三角函数定义求本题主要考查了两角和的正切公式,同角基本关系及三角函数定义的应用,属于基础题.7.【答案】B【解析】解:由题意得,,,,,,故选:利用表示,结合数量积的性质和数量积的定义,即可得出答案.本题考查平面向量数量积的性质,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.8.【答案】C【解析】解:取的中点F,连接EF,BF,DF,则,且,故四边形ADFE为平行四边形,所以,所以或其补角为AE与BD所成角,设,则,由勾股定理得:,,,由余弦定理得,故,所以AE与BD所成角为故选:作出辅助线,找到异面直线形成的夹角,求出各边长,利用余弦定理求出夹角.本题考查异面直线所成角问题,余弦定理的应用,化归转化思想,属中档题.9.【答案】C【解析】解:由题意得,化简得,两边取对数,,故,故设污染物被过滤掉了所需时间约为,则,化简得,即,解得,故污染物被过滤掉了所需时间约为故选:根据题意列出方程,求出,得到函数解析式,再设出未知数,解方程,求出答案.本题主要考查函数在实际问题中的应用,考查运算求解能力,属于中档题.10.【答案】A【解析】解:因为,所以A,B,F三点共线,其中,不妨设,,则,由,得,,解得,,故,将其代入中得:,解得,故离心率为故选:根据向量关系得到A,B,F三点共线,表达出B点坐标,代入椭圆方程,求出离心率.本题考查椭圆的几何性质,向量的坐标运算,方程思想,属中档题.11.【答案】B【解析】解:由题意得,的图象关于点对称,故,故,,解得,,又在上单调递减,故,又,解得,则,,解得或1,故当时,满足要求,经检验,满足在上单调递减,当时,,当时,,因为在上不单调递减,不合要求,舍去,其他均不合要求.故选:先根据左加右减得到的解析式,进而根据函数关于对称,求出,,又函数的单调性得到,从而求出答案.本题考查三角函数的图象与性质,属于中档题.12.【答案】A【解析】解:设,,则,,且,,,,单调递减,,即,,即,设,,则,设,则,设,则,在时单调递增,,即,在时单调递增,,即,在时单调递增,,,,,,,,即,故选:构造函数,,并判断单调性,得到,再构造函数,并判断单调性,得到即可.本题考查利用构造函数的单调性比较大小,属于中档题.13.【答案】【解析】解:的展开式通项公式为,令,解得,故,所以展开式中常数项为故答案为:利用二项式定理得到展开式的通项公式,求出常数项.本题主要考查二项式定理的应用,属于基础题.14.【答案】【解析】解:圆M:,即圆M的标准方程为,圆M:的圆心,半径,又双曲线的渐近线方程为或,直线l过圆M的圆心,且与N的一条渐近线平行,其倾斜角为锐角,直线l的方程为,即故答案为:由圆的方程求圆心,由双曲线方程求双曲线的渐近线方程,由此确定直线l的方程.本题考查双曲线的性质,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.15.【答案】3【解析】解:在中,由正弦定理,得,①在中,由正弦定理,得,②两式相除,得,因为,,,且,所以,故,解得故答案为:在两个三角形中,分别使用正弦定理,结合,求出答案.本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用,属于中档题.16.【答案】【解析】解:如图将正方体补全,依题意可得A、B、、D为正方体底面边上的中点,要使球的表面积最小,即为求的外接球的表面积,如图建立空间直角坐标系,则,,则几何体外接球的球心必在上、下底面中心的连线上,设球心为,球的半径为R,则,即,解得,所以,所以外接球的表面积,即该球表面积的最小值为故答案为:将正方体补全,依题意可得A、B、、D为正方体底面边上的中点,要使球的表面积最小,即为求的外接球的表面积,建立空间直角坐标系,几何体外接球的球心必在上、下底面中心的连线上,设球心为,球的半径为R,由距离公式得到方程,求出m,即可求出,从而得解.本题考查球的表面积计算,考查空间向量在立体几何中的运用,考查运算求解能力,属于中档题.17.【答案】解:,当时,;当时,,,,又数列为等比数列,则,又,,解得;,,当时,,【解析】根据,的关系由条件求,再结合等比数列定义,即可得出答案;先求,利用等差数列求和公式求,利用裂项相消法求和,即可得出答案.本题考查数列的求和,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.18.【答案】证明:由题意知:平面ABC,平面ABC,所以又,平面,平面,且,所以平面又平面,所以;解:过E 作交AC 于F ,连结,由于,平面,平面,所以平面故平面即为平面建立如图所示空间直角坐标系:由于,,故,又,,,,因此,故是的一个法向量,由,又,,BC ,平面,所以平面,平面,所以,则在中可得,,,,则,,设与所成角为,则,即与平面所成角的正弦值为【解析】先证明,,由线面垂直判定定理证明平面,再证明;过E 作交AC 于F ,连结,证明平面与平面重合,建立空间直角坐标系,求直线的方向向量和平面的法向量,结合向量夹角公式求与所成角的正弦值.本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了利用空间向量求直线与平面所成的角,属于中档题.19.【答案】解:记事件“小明先答对甲类一道试题”,“小明继续答对另一道甲类试题”,“小明答对乙类试题”,“小明答对丙类试题”,则,记事件“小明答题次数恰好为3次”,则,,即小明答题次数恰好为3次的概率为;解:设小明竞赛得分为X ,由方案二知X 的可能值为0、10、40、60,,,,,所以,,因为,所以选择方案一.【解析】记事件“小明先答对甲类一道试题”,“小明继续答对另一道甲类试题”,“小明答对乙类试题”,“小明答题次数恰好为3次”,可知,利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得事件E 的概率;设小明竞赛得分为X ,由方案二知X 的可能值为0、10、40、60,计算出X 在不同取值下的概率,可求得的值,与方案一的期望进行大小比较,可得出结论.本题考查了离散型随机变量的分布列与期望,属于中档题.20.【答案】解:当直线l的斜率为0时,与抛物线交点为1个,不合要求,舍去,故设直线l的方程为,代入并整理得设,,则,由得,即,所以,即,故抛物线的方程为;假设存在满足条件的点,使,由知,,所以,化简可得:,因为上式对恒成立,所以,解得,,所以在x轴上存在点,使得直线TA与直线TB的斜率之和为【解析】先得到直线l的斜率不为0,设出直线方程,联立抛物线方程,得到两根之积,进而由垂直得到向量数量积为0,列出方程,求出及抛物线方程;假设点,使,结合第一问得到,得到方程组,求出,本题主要考查了圆锥曲线定值问题,设出直线方程,与圆锥曲线方程联立,得到两根之和,两根之积,应用设而不求的思想,进行求解,属于中档题.21.【答案】解:当时,,令,有,当时,,函数在上单调递减,,,函数在上单调递增,故,即,所以在R上单调递增;因为,,所以,,设曲线在点与曲线在的切线相同,则切线方程为,即,整理得,又切线方程也可表示为,即整理得,所以,消整理得令,,令,因为,所以函数在R上单调递增,又函数在R上单调递增,所以在R上单调递增,又,当,,,,又得,所以,,,,所以在单调递减,在单调递增,所以,因此函数只有一个零点,即只有一个解,此时切线方程为,所以曲线与的公切线方程为【解析】讨论的导函数的单调性,确定的单调性;把公切线设出来,通过待定系数法,比较系数可得切点横坐标,从而确定公切线方程.本题考查公切线,属于难题.22.【答案】解:将曲线C的参数方程为参数,常数,消去t,得C的普通方程为,且因为,所以,将,,,代入,得,即,,即为C的极坐标方程,由直线l的方程化简得,化简得,即为l的直角坐标方程.将直线代入,得,即故以AB为直径的圆圆心为O,半径圆心O到直线l的距离,由已知得,解得【解析】消去参数得到C的普通方程,再利用公式得到极坐标方程,注意定义域,再求出l的直角坐标方程;将代入C的极坐标方程,求出A,B的坐标,得到AB为直径的圆的圆心和半径,根据相切关系得到方程,求出答案.本题主要考查简单曲线的极坐标方程,考查转化能力,属于中档题.23.【答案】证明:因为,,,由题意得,于是,当且仅当时取等号,即由柯西不等式得,当且仅当,即,即时取等号.故【解析】由绝对值三角不等式求出,再利用基本不等式证明不等式;由柯西不等式进行证明.本题主要考查不等式的证明,考查转化能力,属于中档题.。

2024年高考八省联考数学适应性试卷附答案解析全文

2024年高考八省联考数学适应性试卷附答案解析全文

2024年高考八省联考数学适应性试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣8≤0},B={x|log2x>1},则A⋂B=()A.{2,4}B.{1,4}C.{3,4}D.{2,3,4} 2.(5分)若(1+2i)=4+3i,则z=()A.2﹣i B.2+i C.﹣2﹣i D.﹣2+i3.(5分)2023年10月12日,环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛,本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行,线路总长度达958.8公里,共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援,每个志愿者去一个路口,每个路口至少有一位志愿者,则不同的安排方案总数为()A.15B.30C.25D.164.(5分)已知函数f(x)=log a(3﹣x)+log a(x+1)(0<a<1),若f(x)的最小值为﹣2,则a=()A.B.C.D.5.(5分)已知椭圆C:,F1,F2分别为椭圆的左右焦点,直线与椭圆交于A、B两点,若F1、A、F2、B四点共圆,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.6.(5分)已知直线l:x+y+m=0和圆C:x2+y2+4y=0相交于M,N两点,当△CMN的面积最大时,m=()A.m=0或m=2B.m=﹣4或m=4C.m=0或m=4D.m=0或m=﹣4 7.(5分)在数列{a n}中,a1=1.若命题,命题是等比数列,则p是q的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要8.(5分)设,若,则tanθ=()A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(多选)9.(5分)已知一组样本数据x i=2i(1≤i≤10,i∈N+),由这组数据得到另一组新的样本数据y1,y2,…,y10,其中y i=x i﹣20,则()A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的方差相同C.样本数据y1,y2,…,y10的第30百分位数为﹣13D.将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据,该样本数据的平均数为10(多选)10.(5分)已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线对称B.函数f(x)的图象关于点对称C.函数f(x)在的值域为[﹣,2]D.将函数f(x)的图象向右平移个单位,所得函数为g(x)=2sin2x(多选)11.(5分)已知定义域为R的函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)+f(x﹣y)=2f(x)f(y),且,f(0)≠0,则以下结论一定正确的有()A.f(0)=1B.f(x)是奇函数C.f(x)关于中心对称D.f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=0(多选)12.(5分)如图,透明塑料制成的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1内灌进一些水,,AC=AA1=4,若水的体积恰好是该容器体积的一半,容器厚度忽略不计,则()A.当底面AA1C1C水平放置后,固定容器底面一边CC1于水平地面上,将容器绕着CC1转动,则没有水的部分一定是棱柱B.转动容器,当平面AA1C1C水平放置时,容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点C.在翻滚、转动容器的过程中,有水的部分可能是三棱锥D.容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知函数f(x)=a•e x﹣e﹣x是奇函数,则a=.14.(5分)已知向量,满足,,,则=.15.(5分)已知圆台轴截面的面积为6,轴截面有一个角为120°,则该圆台的侧面积为.16.(5分)已知直线与抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,抛物线的焦点为F,且,OD⊥AB于点D,点D的坐标为(﹣2,1),则|AF|+|BF|=.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC中,a=3,b﹣c=2,cos B=﹣.(Ⅰ)求b,c的值;(Ⅱ)求sin(B+C)的值.18.(12分)第三次人工智能浪潮滚滚而来,以ChatGPT发布为里程碑,开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究:甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球,其中甲箱中有3个红球、2个白球,乙箱中有4个红球、1个白球.(1)从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到红球的条件下,求2个球都是红球的概率;(2)掷一枚质地均匀的骰子,如果点数小于等于4,从甲箱子随机抽出1个球;如果点数大于等于5,从乙箱子中随机抽出1个球.若抽到的是红球,求它是来自乙箱的概率.19.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点,其渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程;(2)过点P(1,1)的直线l与双曲线C相交于A,B两点,P能否是线段AB的中点?请说明理由.20.(12分)如图,三棱台ABC﹣DEF,H在AC边上,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACD=60°,CH=2,CD=4,BC=,BH⊥BC.(1)证明:EF⊥BD;(2)若,△DEF面积为,求CF与平面ABD所成角的正弦值.21.(12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)在a n与a n+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列,在数列{d n}中是否存在3项d m,d k,d p(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项;若不存在,请说明理由.22.(12分)已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,求证:.2024年高考八省联考数学适应性试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣8≤0},B={x|log2x>1},则A⋂B=()A.{2,4}B.{1,4}C.{3,4}D.{2,3,4}【解答】解:由x2﹣2x﹣8≤0,解得﹣2≤x≤4,又因为x∈Z,所以A={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4},又由log2x>1,解得x>2,所以B={x|x>2},所以A⋂B={3,4}.故选:C.2.(5分)若(1+2i)=4+3i,则z=()A.2﹣i B.2+i C.﹣2﹣i D.﹣2+i【解答】解:(1+2i)=4+3i,则==2﹣i,所以z=2+i.故选:B.3.(5分)2023年10月12日,环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛,本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行,线路总长度达958.8公里,共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援,每个志愿者去一个路口,每个路口至少有一位志愿者,则不同的安排方案总数为()A.15B.30C.25D.16【解答】解:5名志愿者分为两组,当两组人数分别为1和4时,此时有种情况,当两组人数分别为2和3时,此时有种情况,综上,不同的安排方案总数为10+20=30.故选:B.4.(5分)已知函数f(x)=log a(3﹣x)+log a(x+1)(0<a<1),若f(x)的最小值为﹣2,则a=()A.B.C.D.【解答】解:由,得﹣1<x<3,所以函数f(x)=log a(3﹣x)+log a(x+1)(0<a<1)定义域为(﹣1,3),因为y=log a(3﹣x)+log a(x+1)=log a[(3﹣x)(x+1)]由外层函数y=log a t(0<a<1)和内层函数t=(3﹣x)(x+1)复合而成,当﹣1<x<1时,内层函数单调递增,外层函数单调递减,所以f(x)单调递减,当1<x<3时,内层函数单调递减,外层函数单调递减,所以f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=log a4=﹣2,所以,又因为0<a<1,所以.故选:C.5.(5分)已知椭圆C:,F1,F2分别为椭圆的左右焦点,直线与椭圆交于A、B两点,若F1、A、F2、B四点共圆,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解答】解:如图,由对称性可知,四边形F1AF2B为平行四边形,又F1、A、F2、B四点共圆,可得四边形F1AF2B为矩形,∵直线与椭圆交于A、B两点,∴,∴|BF2|=c,可得|BF1|=2a﹣c,在Rt△F1BF2中,由勾股定理可得:(2a﹣c)2+c2=4c2,整理得:e2+2e﹣2=0,解得e=(负值舍去).故选:C.6.(5分)已知直线l:x+y+m=0和圆C:x2+y2+4y=0相交于M,N两点,当△CMN的面积最大时,m=()A.m=0或m=2B.m=﹣4或m=4C.m=0或m=4D.m=0或m=﹣4【解答】解:圆C:x2+y2+4y=0,圆心为(0,﹣2),半径为r=2,则圆心到直线l:x+y+m=0的距离为,则弦长为,则△CMN的面积为=,令(m﹣2)2=t,t≥0,则,取得最大值,则当t=4时,S△CMN此时(m﹣2)2=4,解得m=0或m=4.故选:C.7.(5分)在数列{a n}中,a1=1.若命题,命题是等比数列,则p是q的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解答】解:充分性:若,得,则数列是以为首项,﹣1为公比的等比数列,则p能推出q;必要性:若是等比数列,则,则,则t为不为0的常数,故q不能推出p,必要性不成立,所以p是q的充分不必要条件.8.(5分)设,若,则tanθ=()A.B.C.D.【解答】解:由题意可得,所以,即,又因为,所以,则,所以.故选:C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(多选)9.(5分)已知一组样本数据x i=2i(1≤i≤10,i∈N+),由这组数据得到另一组新的样本数据y1,y2,…,y10,其中y i=x i﹣20,则()A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的方差相同C.样本数据y1,y2,…,y10的第30百分位数为﹣13D.将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据,该样本数据的平均数为10【解答】解:由题意可得:,∵y i=x i﹣20,则,,故A错误,B正确;由于求y i第30百分位数:10×0.3=3,故为第3个数和第4个数的平均数,y i的排列为:﹣18,﹣16,﹣14,﹣12,﹣10,⋯,0,因此,第30百分位数为,C正确;将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据,新样本的平均数为,D错误.(多选)10.(5分)已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线对称B.函数f(x)的图象关于点对称C.函数f(x)在的值域为[﹣,2]D.将函数f(x)的图象向右平移个单位,所得函数为g(x)=2sin2x【解答】解:由图可知,A=2,周期T=4×(﹣)=π,所以ω==2,所以f(x)=2cos(2x+φ),因为函数f(x)的图象过点(,﹣2),所以f()=2cos(2•+φ)=﹣2,即cos(+φ)=﹣1,所以+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=﹣+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=﹣,所以f(x)=2cos(2x﹣),选项A,f()=2cos(2•﹣)=2,所以函数f(x)的图象关于直线对称,即选项A正确;选项B,f()=2cos(2•﹣)=﹣1≠0,所以函数f(x)的图象不关于点对称,即选项B错误;选项C,当x∈时,2x﹣∈[﹣,],所以cos(2x﹣)∈[﹣,1],2cos(2x﹣)∈[﹣,2],所以函数f(x)在的值域为[﹣,2],即选项C正确;选项D,将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到y=2cos[2(x﹣)﹣]=2sin2x =g(x),即选项D正确.故选:ACD.(多选)11.(5分)已知定义域为R的函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)+f(x﹣y)=2f(x)f(y),且,f(0)≠0,则以下结论一定正确的有()A.f(0)=1B.f(x)是奇函数C.f(x)关于中心对称D.f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=0【解答】解:对A,令x=y=0可得,f(0)+f(0)=2f(0)f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1,A正确;对B,因为f(0)≠0,所以f(x)不是奇函数,B错误;对C,令,则有,所以,所以f(x)关于中心对称,C正确;对D,令x=0可得,f(y)+f(﹣y)=2f(0)f(y),即f(﹣y)=f(y),所以函数f(x)是偶函数,由f(x)关于中心对称,可得f(x)=﹣f(1﹣x),结合函数为偶函数,可得f(x)=﹣f(1﹣x)=﹣f(x﹣1)=﹣[﹣f(2﹣x)]=﹣[﹣f (x﹣2)]=f(x﹣2),所以函数f(x)的周期为2,令,可得,所以f(0)+f(1)=0,所以f(1)=﹣1,所以f(1)+f(2)=0,所以f(1)+f(2)+⋯+f(2023)=1011×[f(1)+f(2)]+f(2023)=f(2023)=f(1)=﹣1,D错误.故选:AC.(多选)12.(5分)如图,透明塑料制成的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1内灌进一些水,,AC=AA1=4,若水的体积恰好是该容器体积的一半,容器厚度忽略不计,则()A.当底面AA1C1C水平放置后,固定容器底面一边CC1于水平地面上,将容器绕着CC1转动,则没有水的部分一定是棱柱B.转动容器,当平面AA1C1C水平放置时,容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点C.在翻滚、转动容器的过程中,有水的部分可能是三棱锥D.容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为【解答】解A:当平面AA1C1C水平放置时(CC1始终保持水平),则平面ABC∥平面A1B1C1,所以有水的部分是棱柱,由图可知,没有水的部分也是棱柱,故A正确;B:当平面AA1C1C水平放置时,假设D,E,F,G都为所在棱的中点,设水面到底面的的距离为h,AB=a,BC=b,所以水的体积为=2ab﹣=ab,又转动前水的体积为,所以D,E,F,G不为所在棱的中点,故B错误;C:在翻滚、转动容器的过程中,当平面ABC水平放置时,三棱锥A1﹣ABC的体积取到最大值,如图,此时,而水的体积为,所以有水的部分不可能是三棱锥,故C错误;D:取AC,A1C的中点D,D1,连接DD1,取DD1的中点O,连接OA,则D为Rt△ABC的外接圆圆心,O为三棱柱ABC﹣A1B1C外接球的球心,所以OA为外接球的半径,且,所以直三棱柱外接球体积,由选项B可知,容器中水的体积为V=ab,又a2+b2=42=16,所以16=a2+b2≥2ab⇒ab水=ab≤8,≤8,当且仅当时等号成立,所以V水则水的体积与直三接柱外接球体积之比为≤=,即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为,故D正确.故选:AD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知函数f(x)=a•e x﹣e﹣x是奇函数,则a=1.【解答】解:∵f(x)=a•e x﹣e﹣x,∴f(﹣x)=a•e﹣x﹣e x,又f(x)为奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),即a•e x﹣e﹣x=﹣(a•e﹣x﹣e x),∴(a﹣1)(e x﹣e﹣x)=0,解得a=1.故答案为:1.14.(5分)已知向量,满足,,,则=.【解答】解:因为,所以,又因为,,所以,即,所以,所以.故答案为:.15.(5分)已知圆台轴截面的面积为6,轴截面有一个角为120°,则该圆台的侧面积为4π.【解答】解:设圆台的上、下底面圆的半径分别为r,R,高为h,母线长为l,则h=(R﹣r)•tan60°=(R﹣r),所以圆台的轴截面面积为×(2R+2r)×h=(R+r)×(R﹣r)=(R2﹣r2)=6,所以R2﹣r2=2;所以圆台的侧面积为π(R+r)l=π(R+r)×2(R﹣r)=2π(R2﹣r2)=4π.故答案为:4π.16.(5分)已知直线与抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,抛物线的焦点为F,且,OD⊥AB于点D,点D的坐标为(﹣2,1),则|AF|+|BF|=.【解答】解:∵OD⊥AB于点D,点D的坐标为(﹣2,1),∴,∴k AB=2,∴AB直线方程为y﹣1=2(x+2),即y=2x+5,联立,可得x2﹣4px﹣10p=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,∵,∴x1x2+y1y2==﹣10p+=﹣10p+25=20,∴p=,∴抛物线方程为x2=y,∴|AF|+|BF|=p+y1+y2=p+2x1+5+2x2+5=2(x1+x2)+5+p=9p+5=.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC中,a=3,b﹣c=2,cos B=﹣.(Ⅰ)求b,c的值;(Ⅱ)求sin(B+C)的值.【解答】解:(1)∵a=3,b﹣c=2,cos B=﹣.∴由余弦定理,得b2=a2+c2﹣2ac cos B=,∴b=7,∴c=b﹣2=5;(2)在△ABC中,∵cos B=﹣,∴sin B=,由正弦定理有:,∴sin A==,∴sin(B+C)=sin(π﹣A)=sin A=.18.(12分)第三次人工智能浪潮滚滚而来,以ChatGPT发布为里程碑,开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究:甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球,其中甲箱中有3个红球、2个白球,乙箱中有4个红球、1个白球.(1)从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到红球的条件下,求2个球都是红球的概率;(2)掷一枚质地均匀的骰子,如果点数小于等于4,从甲箱子随机抽出1个球;如果点数大于等于5,从乙箱子中随机抽出1个球.若抽到的是红球,求它是来自乙箱的概率.【解答】解:(1)记事件A表示“抽出的2个球中有红球”,事件B表示“两个球都是红球”,则,,故.(2)设事件C表示“从乙箱中抽球”,则事件表示“从甲箱中抽球”,事件D表示“抽到红球”,,,,,==,故.19.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点,其渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程;(2)过点P(1,1)的直线l与双曲线C相交于A,B两点,P能否是线段AB的中点?请说明理由.【解答】解:(1)因为双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点,其渐近线方程为y=±x,所以,解得a2=1,b2=2,c2=3,所以双曲线C的方程为x2﹣=1.(2)当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=1,此时与双曲线只有一个交点,不成立,当直线AB的斜率存在时,直线AB的方程为y=k(x﹣1)+1,联立,得(2﹣k2)x2+(2k2﹣2k)x﹣k2+2k﹣3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以Δ=(2k2﹣2k)2﹣4(2﹣k2)(﹣k2+2k﹣3)=﹣16k+24>0,即k<,所以x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)﹣2k+2=k•﹣2k+2=,所以=,=,所以AB的中点坐标为(,),若P时AB的中点,则,解得k=2,不符合k<,所以k无解,所以P不能为AB的中点.20.(12分)如图,三棱台ABC﹣DEF,H在AC边上,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACD=60°,CH=2,CD=4,BC=,BH⊥BC.(1)证明:EF⊥BD;(2)若,△DEF面积为,求CF与平面ABD所成角的正弦值.【解答】证明:(1)在△ADH中,∠ACD=60°,CH=2,CD=4,由余弦定理得,解得,所以CD2=CH2+DH2,所以DH⊥AC,又因为平面ACFD⊥平面ABC,平面ACFD∩平面ABC=AC,DH⊂平面ACFD,所以DH⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所以DH⊥BC,又因为BH⊥BC,BH∩DH=H,BH⊂平面BDH,DH⊂平面BDH,所以BC⊥平面BDH,因为DB⊂平面BDH,所以BC⊥DB,又因为BC∥EF,所以EF⊥DB;解:(2)在Rt△BCH中,BH⊥BC,CH=2,,所以,所以∠ACB=30°,因为,ADEF面积为,所以,所以,又因为,解得AC=3,则AC=3=AH+HC,所以AH=1,由(1)知DH⊥平面ABC,则以H为原点,,的方向分别为y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,﹣1,0),,,C(0,2,0),,所以,,,设平面ABD法向量为,则,令,得平面ABD的一个法向量为,设CF与平面ABD所成角为θ,则sinθ====,所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.21.(12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)在a n与a n+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列,在数列{d n}中是否存在3项d m,d k,d p(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)由a n+1=2S n+2,可得a n=2S n﹣1+2(n≥2),两式相减可得a n+1=3a n (n≥2),由于{a n}为等比数列,可得a2=3a1=2S1+2=2a1+2,解得a1=2,所以a n=2×3n﹣1;(2)由(1)可知a n=2×3n﹣1,a n+1=2×3n.因为a n+1=a n+(n+2﹣1)d n,所以d n=,假设在数列{d n}中存在三项d m,d k,d p(其中m,k,p成等差数列)成等比数列,则(d k)2=d m d p,即()2=•,化简得=(*)因为m,k,p成等差数列,所以m+p=2k,从而(*)可以化简为k2=mp.联立,可得k=m=p,这与题设矛盾.所以数列{d n}中不存在三项d m,d k,d p(其中m,k,p成等差数列)成等比数列.22.(12分)已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,求证:.【解答】解:(1)由已知条件得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x﹣+1﹣a==,因为x>0,x+1>0,①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上为单调递增.②当a>0时,当x>a时,f′(x)>0,当x∈(0,a)时,f′(x)<0故f(x)在(0,a)上为单调递减,在(a,+∞)上为单调递增;综上所述:当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上为单调递增,当a>0时,f(x)在(0,a)上为单调递减,在(a,+∞)上为单调递增;(2)证明:当a=1时,f(x )=x2﹣lnx+1,要证原式成立,需证lnx+1≤x(e x﹣1)成立,即需证xe x﹣lnx﹣x﹣1≥0成立,令g(x)=xe x﹣lnx﹣x﹣1(x>0),则g′(x)=e x+xe x ﹣﹣1=(x+1)(e x ﹣),令u(x)=e x﹣,则u′(x)=e x +>0,故u(x)在(0,+∞)上单调递增,u ()=﹣2<0,u(1)=e﹣1>0,由零点存在性定理可知,存在x0使u(x0)=0,则在(0,x0)上u(x)<0,在(x0,+∞)上u(x)>0,即在(0,x0)上g′(x)<0,在(x0,+∞)上g′(x)>0,则g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)单调递增,在x=x0处取得最小值,由u(x0)=0可得u(x0)=﹣=0,即x0=1,两边同取对数ln (x0)=ln1,即x0+lnx0=0,g(x)的最小值为g(x0)=x0﹣lnx0﹣x0﹣1=0,即xe x﹣lnx﹣x﹣1≥0成立,故当a=0时,成立.第21页(共21页)。

高考适应性考试数学理科试题

高考适应性考试数学理科试题

2022年厦门市高中毕业班适应性测试数学〔理科〕试题本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.总分值为150分,测试时间120分钟.考前须知:1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在做题卡上;2. 做题要求,见做题卡上的“填涂样例〞和考前须知.参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕如果事件A 、B 相互独立,那么P 〔A ·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C P P -=-球的外表积公式:24S R π=,球的体积公式:3V R π=,其中R 表示球的半径. 第I 卷〔选择题 共140分〕一、选择题:本大题共12个小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合{}1|(1)0,|01P x x x Q x x ⎧⎫=-≥=>⎨⎬-⎩⎭,那么P Q ⋂等于 A .∅ B .{}|1x x ≥ C .{}|1x x > D .{}|10x x x ≥<或2.如果a <0, b >0, c ∈R , 那么,以下不等式中正确的选项是A .||||a b >B .{|1}x x ≥C . {|1}x x >D .{|10}x x x ≥<或3.i 、j 是单位正交向量,(1),2a i j b i j λλ=+-=+.那么“1λ=-〞是“a //b 〞的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件4.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,552833(),a S a a a =+则的值为A .16B .13C .35D .565.函数sin sin y x x =+图象的一条对称轴是A .4x π=- B .4x π=C .2x π=D .34x π= 6.点〔–3,1〕是曲线2240x x y ++=的弦AB 的中点,那么弦AB 所在的直线方程是A .x –y –4=0B .x +y +2=0C .x +2y +1=0D .x –y +4=07.如果函数(0,1)x y a a a -=>≠是增函数,那么函数1()log 1a f x x =+的图像大致是8.五名同学进行百米赛跑比赛,先后到达终点,那么甲比乙先到达的情况有A .240种B .120种C .60种D .30种9.假设22165lim 1x x x a x →-++=-,那么数列的极限1lim 1n n n a a→∞-+为 A .3 B .1 C .12- D .1210.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长均为4,那么A 1到直线BC 1的距离为A .3B 10C 14D .411.点P 是椭圆22122:11x y C a a +=+与双曲线22222:11x y C a a-=-的交点,F 1与F 2是椭圆C 1的焦点,那么12F PF ∠等于A .3πB .2π C .23π D .与a 的取值有关 12.国际上常用恩格尔系数〔恩格尔系数=食物支出金额总支出金额〕来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织提出的标准,恩格尔系数在60%以上为贫困,50%~60%为温饱,40%~50%为小康,30%~40%为富裕,低于30%为最富裕.一个地区今年刚好脱贫,以后每年食物支出金额和总支出金额分别以5%和10%的年增长率递增,如果该地区的生活水平要到达富裕,那么至少需要〔可参考(1)n x +的二项展开式进行估算〕A .5年B .7年C .9年D .11年第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题:本大题共4小题,每题4分,共16分.在做题卡上相应题目的做题区域内作答.13.复数21i i++的虚部是__________________________. 14.5(21)(1)x x -+的展开式中,含x 3项的系数为_____________________.15.空间三条直线中,任何两条不共面,且两两互相垂直,直线l 与这三条直线所成的角都为α,那么tan α=__________________________.16.函数y=f 〔x 〕在R 上处处可导,f 〔0〕=0,当x ≠0时,xf ’〔x 〕>0.给出以下四个判断:① f 〔–2〕< f 〔–1〕; ② y = f 〔x 〕不可能是奇函数;③存在区间[–a ,a ],使得当1x 、12122()()[,]()22x x f x f x x a a f ++∈-≤时,成立; ④ y = x f 〔x 〕在R 上单调递增.判断正确的序号是____________________.〔请填上所有判断正确的序号〕三、解做题:本大题共6小题,共74分,解做题应写出文字说明、证实过程或演算步骤,在做题卡上相应题目的做题区域内作答.17.〔本小题总分值12分〕在∆ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,且2sin.22A c b c -= (1) 判断∆ABC 的形状,并加以证实;(2) 当c =1时,求∆ABC 面积的最大值.18.〔本小题总分值12分〕甲、乙两人玩投篮游戏,规那么如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,假设有人投中即停止投篮,结束游戏.甲每次投中的概率为14,乙每次投中的概率为13.求: 〔1〕乙投篮次数不超过1次的概率;〔2〕记甲、乙两人投篮次数和为ξ,求ξ的分布列和数学期望.19.〔本小题总分值12分〕在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD =2,侧面P AD 是正三角形且与底面ABCD 垂直,E 是AB 中点,PC 与平面ABCD 所成角为30︒.(1) 证实:CD ⊥平面P AD ;(2) 求二面角P —CE —D 的大小;(3) 求点D 到平面PCE 的距离.20.〔本小题总分值12分〕数列{a n }满足111,(1)(1)!.n n a a n a n +==+++(1) 求证:数列!n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求{a n }的通项公式; (2) 121!2!2!3!!(1)!n n a a a T m n n =⋅<++++对任何*n N ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 〔注:!123n n =⨯⨯⨯⨯〕21.〔本小题总分值12分〕 抛物线的方程为24y x =,过点P 〔2,0〕的直线l 与抛物线交于A 、B 两点,点Q 满足()OQ OA OB R λλ=+∈.(1) 当1λ=时,求点Q 的轨迹方程;(2) 假设点Q 在x 轴上,且13λ<<,求直线l 的斜率k 的取值范围.22.〔本小题总分值14分〕函数21()ln ,()(1)(1),()()()2f x x a x g x a x a H x f x g x =+=+≠-=-. (1) 假设函数f 〔x 〕、g 〔x 〕在区间[1,2]上都为单调函数且它们的单调性相同,求实数a 的取值范围;(2) α、β是函数H 〔x 〕的两个极值点,α<β,(1,]( 2.71828)e e β∈=.求证:对任意的x 1、x 2[,]αβ∈,不等式12|()()|1H x H x -<成立.。

2025届陕西省高考适应性检测(一)数学试题

2025届陕西省高考适应性检测(一)数学试题

2025届陕西省高考适应性检测(一)数学试题一、单选题1.已知集合{}1,0,1A =-,{}03,B x x x =≤<∈N ,则A B = ().A .{}0,1B .{}1,0,1-C .{}1,0,1,2-D .{}22.已知(12z -=(其中i 为虚数单位),则复数z =()A .12-B .1i 22-C .1i22-+D .123.已知平面向量,a b满足2,4a b == ,且()2a b a -⊥ ,则a b -= ()A .5B .4C .3D .24.已知π3sin cos 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A .725-B .725C .2425-D .24255.已知等腰直角三角形ABC 的斜边AC 长为4,将该三角形绕AC 所在直线旋转一周形成一个几何体,则这个几何体的体积为()A .16πB .4πC .16π3D .4π36.某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在[]40,100内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示观察图形,则下列说法错误的是()A .频率分布直方图中第三组的频数为15人B .根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C .根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D .根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分7.已知函数2()sin cos sin (0)f x x x x ωωωω=->,若函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则实数ω的取值范围是()A .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C .15,48⎡⎤⎢⎣⎦D .15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()e e f x f x +=-,当()0,e x ∈时,()ln f x x =,则()f x 在区间()e,2e -内的所有零点之和为()A .3e 1-B .2eC .2e 1-D .0二、多选题9.下列结论正确的有()A .若随机变量()2~1,N ξσ,()40.79P ξ≤=,则()20.21P ξ≤-=B .若1~10,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭,则()3222D X +=C .已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+,且4x =,50y =,则ˆ9.8b =D .已知一组数据丢失了其中一个,剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列,则丢失数据的所有可能值的和为2210.已知函数()2ln x nf x m x x+=+在1x =处取得极大值1-,则下列结论正确的是()参考数据:ln20.7=.A .2n =B .3m =-C .()f x 在2x =处取得极小值D .()f x 在区间1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为73ln22-11.2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系xoy 中,把到定点1(,0)F a -,2(,0)F a 距离之积等于2a (0)a >的点的轨迹成为双纽线C ,已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点,下列说法正确的有().A .双纽线C 关于原点O 中心对称;B .022a a y -≤≤;C .双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个;D .||PO.三、填空题12.设P 为双曲线2214y x -=上一点,,A B 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、四象限.若AP PB =uu u r uu r,则AOB V 的面积为.13.若直线223y x =-+与曲线313y x ax =-相切,则a =.14.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种;其中学生甲被单独安排去杭州的概率是.四、解答题15.在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为a 、b 、c ,若3π4C =,且sin()2sin cos()A C A A B +=+.(1)求证:,,2a b a 成等比数列;(2)若ABC V 的面积是1,求c 边的长.16.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>2P ⎭.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)已知直线:l y kx m =+满足2m k ≠-且与椭圆E 相交于不同的两点A ,B ,若以线段AB 为直径的圆始终过点(2,0)Q ,试判断直线l 是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.17.如图1,在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,AB BC ⊥,BD DC ⊥,点E 是BC 边的中点,将ABD △沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,连接AE ,AC ,DE 得到如图2所示的几何体.(1)求证:AB ⊥平面ADC ;(2)若1AD =,二面角C AB D --求二面角B AD E --的余弦值.18.已知函数2()1x f x e x ax =---.(1)当0a =时,求()f x 的单调区间;(2)当0x ≥时,若不等式()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若0x >,证明:()()21ln 1x e x x -+>.19.若数列{}n a 的相邻两项或几项之间的关系由函数()f x 确定,则称()f x 为{}n a 的递归函数.设{}n a 的递归函数为()2f x x x =-+.(1)若101a <<,()1n n a f a +=(*N n ∈),证明:{}n a 为递减数列;(2)若()215n n n n a f a a a +=++,且153a =,{}n a 的前n 项和记为n S .①求n S ;②我们称()[]g x x =为取整函数,亦称高斯函数,它表示不超过x 的最大整数,例如[]1.21=,[]1.32-=-.若11131nn i i a T S a ==-+∑,求()20241i i g T =∑.。

四川省南充市高三高考适应性考试(一诊)考试数学(理)答案

四川省南充市高三高考适应性考试(一诊)考试数学(理)答案

2024届南充一诊理科数学参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.题号123456789101112选项CDCABABDBDCD二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.1 14.3 -15.87 π16.21 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17―21题必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考试根据要求作答.(一)必考题17.解:(1) 数列{}n a 是等比数列且4a 是26a 和3a 的等差中项21131 3246262q a q a q a a a a +=+=∴即0622=--q q 整理得:解得:2=q 或23-=q .2211n n n q a a q =⋅==-时,当.)23(2231-11n n n q a a q -⋅=⋅=-=-时,当*).( 23(221-N n a a n n n n ∈-⋅==∴或(2):由(1)得,若0>q ,nn a 2=111)1(12log 2log 1log log 1122122+-=+=⋅=⋅=++n n n n a a b n n n n n .20242023202411 2024120231()2023120221()3121()211( 20232022212023=-=-+-++-+-=++++= b b b b T 18解:(1).由题意得60140100100)40802060(200))()()(()(222⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 879.7524.921200>≈=分4 分6 分8 分12 分4故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人,则6人中有慢性疾病4人,无有慢性疾病2人.再从6人中随机抽出4人,则抽出的4人中可能有以下3种组合:①有慢性疾病4人;此时8=ξ万元②有慢性疾病3人,无有慢性疾病1人;此时7=ξ万元③有慢性疾病2人,无有慢性疾病2人;此时6=ξ万元所以ξ的可能取值为6 7 8,,故151)8(4644===C C P ξ;158)7(461234===C C C P ξ;156)6(462224===C C C P ξ故ξ的分布列为:ξ876P15115852则ξ的数学期望32052615871518)(=⨯+⨯+⨯=ξE (万元)19(1).方法一:证明:取BD 的中点F ,连结AF22 232 422=-==∴==⊥∴=DF AD AF DF AD BD BDAF AB AD DEAF DE AF DE BD DE BCD DE =∴=⊥∴⊥,平面//22 FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ 分5 分6 分8 分11 分12 分6 分2 分4方法二:证明:取BD 的中点F ,连结AF22 4 3222=-=∴⊥∴===DF AD AF BD AF BD AB AD , BCD AF BDBCD ABDE ABDE AF BCDABDE ABDE DE BCD DE 平面平面平面,平面平面平面平面,平面⊥∴=⊂⊥∴⊂⊥ DEAF DE AF =∴,//FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ (2)取BC 的中点M ,连结FM AM ,.90=∠BCD 2==∴FB CF ,BCD DE DE AF 平面,⊥// BCD AF 平面⊥∴CFAF ⊥∴222==AF CF ,又3222=+=∴CF AF AC AB AC =∴的平面角为二面角的中点为D BC A AMF AMBC MF BC BC M --∠∴⊥⊥∴, 22tan ==∠∆∴MFAFAMF AFM Rt 中,3221==∴=∴BC CD FM ,分2 分5 分6 分4 分8方法一:以轴,为轴,为为坐标原点,y CB x CD C 建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -,()() 0,0,2 0,0,0,,D C ∴ )22,3,1( )22,0,2(,,A E ).0,32,0(B )0,32,0( )22,3,1( )22,0,2(===∴CB CA CE ,,设平面ABC 的法向量),,( z y x n =, 0 0⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅CB n CA n 由 0320223⎩⎨⎧==++y z y x 得1-=z 取得:)1,0,22( -=n 设直线CE 与平面ABC 所成角为θ,9633222222 , cos sin =⨯-⨯=⋅⋅=><=CEn CE n CE n θ则∴直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96.方法二:过C 作BD 的垂线交BD 于HBDCH ⊥∴BCD CH BCD DE 平面,平面⊂⊥ CH DE ⊥∴D DE BD = 又ABDECH 平面⊥∴在BCD ∆中,3 , 2121=⨯=⨯=∆CH CH BD CD BC S BCD 得由又2221=⨯==∆∆DE AE S S DAE BAE 3623223131=⨯⨯=⨯=∴∆-CH S V BAE BAE C 32===CA BC AB 又ABC ∆∴为等边三角形,33=∆ABC S 设点E 到平面ABC 的距离为h ,由BAE C ABC E V V --=得:322=h .故点E 到平面ABC 的距离为322.222==∆CD DE CDE Rt ,中,又分12 分10 分10 分11分12 分2 分6 分1 分4 32=∴CE 所以直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96=CE h 注:以下方法酌情给分的距离相等到平面、知,平面由ABC F E ABC EF //,如右图,取,中点M BC .,FN ABC E ABC FN N AM FN F 的距离等于到平面,即平面则可证于作过⊥⊥20题:(1).由2sin )( 2)(≥≥x x mf x h 得:恒成立时xexm x sin 2 ),0(≥∈∴π)0( sin 2)(πϕ<<=x exx x令xe x x x )sin (cos 2)(-='∴ϕππϕπϕ<<<'<<>'x x x x 4:0)(40:0)(得;由得由上单调递减,上单调递增;在,在)4()4 0()(πππϕx 4 max )4()(ππϕϕ-==∴e x 所以),[ 4+∞-πem 的取值范围为(2).由已知)(x f 与)(x g 的图像关于直线x y =对称x x g ln )(=∴设公切线与),()(s x e s e x f 相切于点=,)ln ,(ln )(t t x x g 相切于点与=:知公切线可分别表示为,由xx g e x f x 1)()(='=')1()(s e x e y s x e e y ssss-+=-=-,即或1ln 1)(1ln -+=-=-t x ty t x t t y ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴②①1ln )1( 1t s e te s s 1)1(s s e t s --=-得:由①②消去01)1( =---s s e s 即则令 ,1)1()(---=x e x x F x1)(,-='x xe x F 显然0)(0<'≤x F x 时,时,当0>x ,令1)()(-='=x xe x F x μ上单调递增,在故)0()(,0)1()(∞+>+='∴x e x x x μμ分5 (*)8 分分11 分10 分5 分12 分1 分6 又01)1(01)0(>-='<-='e F F ,01)( )1 0(0000=-='∈∃∴x e x x F x 使得,单调递减,时,当)(0)(0x F x F x x <'<∴;单调递增,时,当)(0)(0x F x F x x >'>02)1(013)2(2<-=->+-=-eF e F ,又;03)2(02)1(2>-=<-=e F F ,所以)(x F 有且仅有两个零点 ,21x x ,且).2,1( ),1,2(21∈--∈x x 知:由01)1()(1111=---=x e x x F x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x ex x F 111)1,2(x x x -≠--∈知由02121=+=-∴x x x x 即)(x f ∴与)(x g 有且仅有两条公切线,且)(x f 图像上两切点横坐标互为相反数.处理的解法,评分标准酌情题过程可参照文科再构造函数证明,具体或得:或由①②消去或得:处由①②消去注:)2(20 011ln 01ln )1( 11011 (*) =-+-=----+==-+-t t t t t t s s s e s s e t s s 21解:(1).显然四边形ABCD 为菱形,故其内切圆以O 为圆心,半径为r 的距离到直线AD O )1,0()05(D A ,又由-055=+-y x AD 的方程为:得直线r d AD ==+=65515的距离故原点到直线6522=+y x ABCD 内切圆的标准方程为:故四边形(2).方法一:由题意可知,, )0 2(1-F 故MN 方程为:)2(+=x k y ),(),(2211y x N y x M ,设则直线MP 的方程为:)1(111--=x x y y )(05105510])1(5[ )1(1 151212121221211122*=-+-+--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+ x x y x y x x y x x yy y x 得:联立分4 分3分7 分8 分6 又上,故在椭圆E y x M ),(11152121=+y x ,即212155x y -=代入)(*式整理得:0355)3(2112121=-+--x x x y x x 0031>∆≠-,显然x33512111x x x x x P --=⋅∴3)2(232)1(1 35311111111-+=-=--=--=∴x x k x y x x y y x x x P P P ,3)2(2,3531111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x P 故同理: 3)2(2,3532222;⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x Q 2544)55(2 )3)(53()3)(53()]3)(2()3)(2[(23533533)2(23)2(212121221122122112211kx x x x k x x x x x x x x k x x x x x x k x x k k =--=------+--+=------+--+='∴故25k k =',即k k '=52所以:存在常数52=λ满足题意.方法二:由题意可知,, )0 2(1-F 故MN 方程为:)2(+=x k y ),( ),( ),( ),(44332211y x Q y x P y x N y x M ,,,设),1( ),1(3311y x t y x RPt MR -=--∴=设)( 01 )1(131313131*⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=--=- ty y t tx x ty y x t x 得:23131313122322123*********1211))((5))((151515t ty y ty y tx x tx x t y t y x t x t y x y x -=-++-+∴-=-+-⨯-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+得:②由①②① 分9 分12 分11分9 分10 分11 分12 分5 分7 分8 分9 分10 ttx x t tx x t 55 105))(1()(31231-=--=+-+*即:带入上式得:将tx t x t tx x 23 2313131-=-=∴+=+,又 )52()2(11113t k x k t y t y -=+-=-=∴)52( 23 44μμμ-=-==k y x RQ NR ,,同理可得:设kt t k t k t k x x y y k 25)11(211(5)23()23()52(52(4343=--=------=--='∴μμμμ故25k k =',即k k '=52所以:存在常数52=λ满足题意.22.解:(1).显然1C 是过原点且倾斜角为α的直线∴1C 的极坐标方程为αθ=)20(R ∈<<ρπα2C 的极坐标方程为2παθ+=)20(R ∈<<ρπα.(2).由⎩⎨⎧== sin 8αθθρ得A 的极坐标为()αα,sin 8由⎪⎩⎪⎨⎧+==2sin 8παθθρ得B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 cos 82 )2sin(8πααπαπα,,即,.ααcos 8 sin 8==∴OB OA ,AOB ∆∴的面积为:ααα2sin 16cos sin 3221==⋅=OB OA S 又20(πα,∈AOB ∆=∴ 4时,πα面积的最大值为16.分3 分1分2 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分8 分9 分10 23.解:(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-+--<=+--=4 642 222 624)(x x x x x x x f 6)(4min -=≥∴x f x 时,当05)(2≥+-a a x f 恒成立0562≥+--∴a a 即0652≤+-a a 32≤≤∴a 故a 的取值范围为[]32,.(2)由(1)知:6 .6=++=c b a M 即法1:3618)(3)3()2()3()1()2()1(6 )3)(2(2)3)(1(2)2)(1(23213212=+++=+++++++++++++++≤++++++++++++++=+++++∴c b a c b c a b a c b a c b c a b a c b a c b a (当且仅当⎩⎨⎧=+++=+=+ 6321c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.法2:(柯西不等式)[]363)6()111()3()2()1()131211(00 02222222=⨯+++=++⋅+++++≤⋅++⋅++⋅+∴>>>c b a c b a c b a c b a 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+6131211c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.。

2024年11月温州市高三第一次高考适应性考试数学试卷(含答案)

2024年11月温州市高三第一次高考适应性考试数学试卷(含答案)

温州市普通高中2025届高三第一次适应性考试数学试题卷2024.11一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{14}A x x =∈−≤<N ∣,{}B x y x ==,则A B =( )A.{}1,2,3B.{}1,1,2,3−C.{}0,1,2,3D.{}1,0,1,2,3−2.若2025i 1i z =+,则复数z 对应的点位于第( )象限A.一B.二C.三D.四3.已知平面向量a ,b 满足1a b ==,,60a b =,则2a b +=( ) A.13 C.274.若方向向量为(1,2)−的直线l 与圆()2215x y −+=相切,则直线l 的方程可以是( )A.270x y ++=B.230x y ++=C.260x y +−=D.260x y +−=5.已知()()11sin ,sin 23αβαβ+=−=,则tan tan αβ=( ) A.15B.15−C.5D.-56.已知函数()3,03,0x e x f x x x a x ⎧>=⎨−+≤⎩的值域为R ,则实数a 的取值范围为( )A.[)1,−+∞B.[)3,+∞C.(],1−∞−D.(],3−∞7.已知数列{}n a 的通项公式21nn a =−,在其相邻两项k a ,1k a +之间插入2k个()*3k ∈N ,得到新的数列{}n b ,记{}n b 的前n 项和为n S ,则使100n S ≥成立的n 的最小值为( ) A.28B.29C.30D.318.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏,玩家根据骰子(骰子为均匀的正六面体)正面朝上的点数确定飞机往前走的步数,刚好走到终点处算“到达”,如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数,则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中,飞机距终点只剩3步(如图所示),设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X ,则()E X =( )A.3B.4C.5D.6二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,微信公众号:浙江省高中数学部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.观察下列散点图的分布规律和特点,其中两个变量存在相关关系的有( )ABCD10.已知(),0A a −,(),0B a ,1:0l ax y −=,2:0l ax y +=,其中1a >,点P 为平面内一点,记点P 到1l ,2l 的距离分别为1d ,2d ,则下列条件中能使点P 的轨迹为椭圆的是( ) A.4PA PB a += B.2224PA PB a +=C.124d d a +=D.222124d d a +=11.已知函数()sin22sin f x x x =−,则( ) A.()()240f f +< B.当06x <<时,()52f x ≤C.当34x <<时,()23x f x f ⎛⎫>+⎪⎝⎭D.当02x <<时,()174f x f x ⎛⎫<−⎪⎝⎭三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试(理科)数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试(理科)数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试(理科)数学模拟试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-,则z =()A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【正确答案】A【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-,所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++,所以1i z =+.故选:A2.若集合{}2560A x x x =--≤,{}7B x x =>,则()R A B ⋂=ð()A.(]1,7- B.(]1,6- C.()7,+∞ D.()6,+∞【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ,再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2560x x --≤,即()()610x x -+≤,解得16x -≤≤,所以{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤,()()R ,16,A ∴=-∞-+∞ ð,又{}7B x x =>,()()R 7,A B +∞∴= ð.故选:C .3.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学积极响应党的号召,开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高,说明该项教育越好).下列说法正确的是()A.高三(2)班五项评价得分的极差为1.5B.除体育外,高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分C.高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高D.各项评价得分中,这两班的体育得分相差最大【正确答案】C【分析】利用极差的概念,平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.【详解】对于A,高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5,所以极差为9.58.51-=,A错误;对于B,两班的德育分相等,B错误;对于C,高三(1)班的平均数为9.59.259.599.59.355++++=,(2)班的平均数为9.58.599.599.15++++=,故C正确;对于D,两班的体育分相差9.590.5-=,而两班的劳育得分相差9.258.50.75-=,D错误,故选:C.4.某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成,则该四面体六条棱长最长的为()A.B. C.5 D.4【正确答案】A【分析】根据三视图还原四面体,该四面体的四个面都是直角三角形,确定最长的棱,利用勾股定理可以计算其长度.【详解】:四面体如图所示,其中SB ⊥平面ABC ,且ABC 中,90ACB ∠=︒.由SB ⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC 得到SB AB ⊥,同理SB BC ⊥,所以棱长最大为SA ,则SA ===故选:A5.设π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于()A.-2B.2C.-4D.4【正确答案】C【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值,再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,所以5tan 3α=,故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭,故选:C .6.函数22sin 3()cos x xf x x x+=+在[,]-ππ的图像大致为()A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先利用定义判断出函数是奇函数,可排除A ,再求出()f π判断正负,可排除BD.【详解】()()()()()222sin 32sin 3()cos cos x x x xf x f x x xx x -+-+-==-=-+-+- ,()f x \是奇函数,故A 错误;222sin 33()0cos 1f πππππππ+==>+- ,故BD 错误.故选:C.思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.7.从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ,从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ,则向量(,)m a b = 与向量(2,1)n =-垂直的概率为()A.19B.29C.13D.23【正确答案】B【分析】求出组成向量(,)m a b = 的个数和与向量(2,1)n =-垂直的向量个数,计算所求的概率值.【详解】解:从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ,从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ,可以组成向量(,)m a b =的个数是339⨯=(个);其中与向量(2,1)n =- 垂直的向量是(1,2)m = 和(2,4)m = ,共2个;故所求的概率为29P =.故选:B .8.“环境就是民生,青山就是美丽,蓝天也是幸福”,随着经济的发展和社会的进步,人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ,排放前每过滤一次,该污染物的含量都会减少20%,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ,若要使该工厂的废气达标排放,那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据:lg 20.3≈,lg 30.477)≈()A.8B.9C.10D.11【正确答案】A【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为 1.2(10.2)n y =-,在根据题意列出不等式解出即可.【详解】过滤第一次污染物的含量减少20%,则为1.2(10.2)-;过滤第两次污染物的含量减少20%,则为21.2(10.2)-;过滤第三次污染物的含量减少20%,则为31.2(10.2)-;过滤第n 次污染物的含量减少20%,则为1.2(10.2)-n ;要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ,则1.2(10.2)0.2-≤n ,即5(64≥n,两边取以10为底的对数可得5lg(lg 64≥n,即52lg()lg 2lg 38⨯≥+n ,所以lg 2lg 313lg 2n +≥-,因为lg 20.3,lg 30.477≈≈,所以lg 2lg30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯,所以7.77n ≥,又*n ∈N ,所以min 8n =,故排放前需要过滤的次数至少为8次.故选:A .9.如图,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为()A.y 2=9xB.y 2=6xC.y 2=3x D.y 2【正确答案】C【分析】过点A ,B 分别作准线的垂线,交准线于点E ,D ,设|BF |=a ,利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解.【详解】如图,过点A ,B 分别作准线的垂线,交准线于点E ,D ,设|BF |=a ,则由已知得|BC |=2a ,由抛物线定义得|BD |=a ,故∠BCD =30°,在直角三角形ACE 中,因为|AE |=|AF |=3,|AC |=3+3a ,2|AE |=|AC |,所以3+3a =6,从而得a =1,|FC |=3a =3,所以p =|FG |=12|FC |=32,因此抛物线的方程为y 2=3x ,故选:C.10.已知5log 2a =,0.7log 0.1b =,0.40.7c =,则,,a b c 的大小关系是()A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b<<【正确答案】A【分析】由55log 1log 2log <<,0.70.7log 0.1log 0.71>=,10.400.70.70.7<<即可判断出大小.【详解】55log 1log 2log <<,即102a <<,0.70.7log 0.1log 0.7>,即1b >,10.400.70.70.7<<,即0.71c <<,所以a c b <<,故选:A .11.当π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是31,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则m 的取值范围是()A.π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】解法一:画出函数的图象,由x 的范围求出π33x +的范围,根据()f x 的值域可得答案;解法二:由x 的范围求出π33x +的范围,根据cos y x =的图象性质和()f x 的值域可得答案.【详解】解法一:由题意,画出函数的图象,由π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可知5πππ33633x m ≤+≤+,因为π5πcos 662f ⎛⎫==-⎪⎝⎭且2π19f cos π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,只要2π5π918m ≤≤,即2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;解法二:由题π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可知5πππ33633x m ≤+≤+,由cos y x =的图象性质知,要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则π7ππ336m ≤+≤,解之得2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选:D .12.如图,圆台12O O 的上、下底面圆半径分别为1、2,高12O O =S 、A 分别为其上、下底面圆周上一点,则下列说法中错误的是()A.该圆台的体积为1423B.直线SA 与直线12O O 所成角最大值为π3C.该圆台有内切球,且半径为D.直线1AO 与平面12SO O 所成角正切值的最大值为2【正确答案】B【分析】对于A ,根据圆台的体积公式,可得答案;对于B ,根据异面直线夹角的定义,作图,利用三角函数的定义,可得答案;对于C ,研究圆台的轴截面,结合等腰体形存在内切圆的判定,可得答案;对于D ,根据线面角的定义,作图,利用线面垂直判定定理,结合函数的单调性,可得答案.【详解】对于A 选项,()π124π33V =++⋅=,则A 选项正确.对于B 选项,如图(1),过S 作SD 垂直于下底面于点D ,则12//O O SD ,所以直线SA 与直线12O O 所成角即为直线SA 与直线SD 所成角,即ASD ∠为所求,而tanAD ASD SD ∠==,由圆的性质得,13AD ≤≤,所以232tan ,44AD ASD SD ∠==⎣⎦,因为πtan 43<=,则B 选项错误.对于C 选,设上底面半径为1R ,下底面半径为2R ,若圆台存在内切球,则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆,如图(2)所示,梯形的上底和下底分别为2,4,高为22221(22)3+=,假设等腰梯形有内切圆,由内切圆的性质以及切线长定理,可得腰长为123R R +=,所以圆台存在内切球,2,则C选项正确;对于D 选项,如图(3),平面12SO O 即平面12SO O C ,过点A 做AH BC ⊥交BC 于点H ,因为SD 垂直于下底面,而AH 含于下底面,所以SD AH ⊥,又SD BC D = ,且,BC SD ⊂平面12SO O C ,所以AH ⊥平面12SO O C ,所以直线1AO 与平面12SO O C 所成角即为1AO H ∠,且11tan AH AO H O H∠=.设AH x =,则222224O H R AH x =-=-,所以222211228412O H O O O H x x =+=+-=-,其中[]0,2AH x =∈,所以121tan 12AH xAO H O H x∠==-当0x =时,1tan 0AO H ∠=,当(]0,2x ∈时,21221tan 12121x AO H x x ∠==--可知函数y =(]0,2上单调递增,所以当2x =时,1tan AO H ∠有最大值,最大值为2,所以D选项正确.故选:B .本题考查立体几何的内切球问题,线面角的最值求解,异面直线所成角的求解,圆台的体积的求解.对于D 选项这样的动点问题求最值,如果不能从图形中找到最值对应的点的位置,那么可以通过求函数最值的方法求解.第Ⅱ卷(非选择题90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某高中在校学生有2000人.为了响应“光体育运动”号召,学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:高一年级高二年级高三年级跑步a b c 登山xyz其中a ∶b ∶c =2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________.【正确答案】36人【详解】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×3235++=36.14.二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为______.【正确答案】7【分析】利用二项式定理直接求解.【详解】因为4(1)x -的二项展开式的通项公式为()14C rr r T x +=-,所以二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的项为()()424224441C C 7x x x x ⨯-+⨯-=,故二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为7.故7.15.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且3b =,2a c -=,23A π=.则ABC 的面积为______.【正确答案】4【分析】由余弦定理结合已知条件可求出5c =,即可由面积公式求出面积.【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-, 3b =,2a c -=,23A π=,()222123232c c c ⎛⎫∴+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得5c =,则ABC 的面积为11sin 352224S bc A ==⨯⨯⨯=.故答案为.153416.已知点()4,0F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线垂足为A ,交另一条渐近线于点B .若2AF FB =,则双曲线C 的方程为______.【正确答案】221124x y -=【分析】根据给定条件,利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为:0bx ay ±=,不妨令点A 在直线0bx ay -=上,2216a b +=,如图,因为AF OA ⊥,则4||4bAF b ===,而2AF FB =,即有||2||2,||3FB AF b AB b ===,||OA a ===,sin 4bAOF ∠=,由2AF FB =知,点,A B 在y 轴同侧,于是π2(0,2AOB AOF ∠=∠∈,22cos 12sin 108b AOB AOF ∠=-∠=->,28b <,在Rt AOB △中,||OB ===由cos OA OB AOB =∠得:2(18ba =-,整理得:22228(16)(2)(8)b b b -=+-,化简得4214400b b -+=,解得24b =或210b =(舍去),所以24b =,212a =,所以双曲线方程为221124x y -=.故答案为.221124x y -=三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知等差数列{}n a 的公差为正数,且11a =,若26114,2,a a a a -分别是等比数列{}n b 的前三项.(1)分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)求数列11{}n n a a +的前n 项之和n S .【正确答案】(1)21,3nn n a n b =-=(2)21n n S n =+【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d >,然后由已知可得()()()2111513d a a d a d -=++,解方程组可求出d 的值,从而可求得数列{}n a 的通项公式,进而根据题意可求出{}n b 的通项公式;(2)由(1)可得11111()22121n n a a n n +=--+,再利用裂项相消法求出n S .【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >,因为2a ,612a a -,14a 是等比数列{}n b 的前三项,所以()2612142a a a a -=,即()()()2111513d a a d a d -=++,化简得12d a =,又11a =,所以2d =.得()12121n a n n =+-=-.由(1),可得数列{}n b 的前三项分别为13b =,29b =,327b =,显然该等比数列{}n b 的公比为3,首项为3.所以3nn b =.综上,两数列的通项公式分别为21,3nn n a n b =-=.【小问2详解】111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+.则11111111(1...)(1)2335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++18.随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷.现从使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图,如图所示.(1)试估计使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)根据以上抽样调查数据,将频率视为概率,回答下列问题:①能否认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?说明理由.【正确答案】(1)40(分钟)(2)①可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%;②选B 款订餐软件,理由见解析【分析】(1)利用平均数的计算公式直接计算即可求得平均数;(2)①计算出使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的频率,比较即可得解;②计算出使用B 款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数,与使用A 款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数进行比较即可得解.【小问1详解】依题意可得:使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为:15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40(分钟).【小问2详解】①使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%.故可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35<40.所以选B 款订餐软件.19.如图所示,在四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是边长为2的菱形,120ABC ∠=︒,1PB =,PB AB ⊥.(1)求证:平面PBD ⊥平面PAC ;(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小.【正确答案】(1)证明见解析(2)60︒【分析】(1)根据面面垂直的性质定理可证AC PB ⊥,再根据题意,结合面面垂直的判定定理,即可证明结果;(2)根据题意可建立以点B 为原点,以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴的空间直角坐标系,再利用空间向量法,即可求出二面角的大小.【小问1详解】证明:∵平面PAB ⊥平面ABCD ,面PAB ⋂面ABCD AB =,且PB AB ⊥,PB ⊂面PAB ,∴PB ⊥平面ABCD ,∵AC ⊂面ABCD ,∴AC PB ⊥,由菱形性质知AC BD ⊥,∵PB BD B ⋂=,∴AC ⊥平面PBD ,又AC ⊂平面PAC ,∴平面PBD ⊥平面PAC .【小问2详解】解:如图,设CD 的中点为E ,∵112CE CD ==,60BCE ∠=︒,2BC =,BE CE ∴⊥∴BE AB ⊥,∵平面PAB ⊥平面ABCD ,面PAB ⋂面ABCD AB =,且BE AB ⊥,BE ⊂平面ABCD ∴BE ⊥面PAB ,又PB AB ⊥,所以,,BE PB AB 两两互相垂直,所以以点B 为原点,以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴,如图所示建立空间直角坐标系,可得()0,0,0B ,()2,0,0A ,()0,1,0P,(C -,(D ,设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =,而(AD =- ,()2,1,0AP =-,由00m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得020x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,取x =得)=m ,设平面PBC 的一个法向量为(),,n a b c = ,且()0,1,0BP =,(BC =- ,由0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得00b a =⎧⎪⎨-=⎪⎩,取a =)n = ,设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则1cos cos ,2m n m n m nθ⋅===⋅,所以60θ=︒,故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为60︒.20.如图.已知圆22:(2)81M x y -+=,圆22:(2)1N x y ++=.动圆S 与这两个圆均内切.(1)求圆心S 的轨迹C 的方程;(2)若()2,3P 、()2,3Q -是曲线C 上的两点,A B 、是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点.若直线AB 的斜率为12,求四边形APBQ 面积的最大值.【正确答案】(1)2211612x y +=(2)123【分析】(1)设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ,根据椭圆的定义可得点S 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,求出,a b 可得答案;(2)设()11,A x y ,()22,B x y ,直线AB 的方程为12yx t =+,代入椭圆方程,由0∆>得t 的范围,利用韦达定理得四边形APBQ 的面积()2121234S x x x x =+-【小问1详解】如图,设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ,由12ST ST =,91,8224SM SN SM SN ∴-=+∴+=>+=,所以点S 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,所以22228,4,24,2,16412a a c c b a c =====-=-=,所以点S 的轨迹方程为:2211612x y +=;【小问2详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,直线AB 的方程为12y x t =+,代入2211612x y+=中,整理得22120x tx t ++-=,()224120t t ∆=-->,解得44t -<<,12x x t +=-,21212x x t =-,四边形APBQ 的面积121632S x x =⨯⨯-==当0=t 时,max S =APBQ面积的最大值为关键点点睛:第二问关键点是利用韦达定理表示四边形APBQ 的面积再求最值,能较好的考查学生思维能力、分析问题及解决问题的能力.21.若函数()()211ln 022f x a x x a x =-++>有两个零点12,x x ,且12x x <.(1)求a 的取值范围;(2)若()f x 在()1,0x 和()2,0x 处的切线交于点()33,x y ,求证.()312221x x x a <+<+【正确答案】(1)()0,∞+(2)证明见解析【分析】(1)求出函数的导数,利用导数求函数单调性,根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解;(2)构造函数()()ln 1g x x x =--,利用单调性证明ln 1≤-x x 证明右边,再利用导数求切线方程得出()22121212ln ln x x a x x -=-,左边可转化为()11ln 12t t t t ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭,利用导数证明即可.【小问1详解】()2a x af x x x x-+'=-=当0a ≤,()0f x '<,()f x 在()0,∞+上单调递减,不可能两个零点;当0a >时,令()0f x '=得x =(0,x ∈,()0f x ¢>,()fx 单调递增,)x ∈+∞,()0f x '<,()f x 单调递减,∵0x →,()f x →-∞;()10f f a ≥=>;x →+∞,()f x →-∞∴(x ∈有唯一零点且)x ∈+∞有唯一零点,满足题意,综上:()0,a ∈+∞;【小问2详解】先证右边:令()()ln 1g x x x =--则()1xg x x-'=,∴()0,1x ∈,()0g x '>,()g x 单调递增,()1,x ∈+∞,()0g x '<,()g x 单调递减,∴()g x 的最大值为()10f =,∴()0g x ≤,即ln 1≤-x x ,∴()()()()22111121ln 212122102222f a a a a a a a a a a +=+-+++≤⋅-+++=-<且21a +>∴221x a <+,又∵()10f >,∴11<x ,∴()1221121x x a a +<++=+;再证左边:曲线()y f x =在()1,0x 和()2,0x 处的切线分别是()1111:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2222:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭联立两条切线得123121x x x ax x +=+,∴123121x x ax x x +=+,由题意得()222111221222111ln 022211ln ln ln 022a x x a x x a x x a x x a ⎧-++=-⎪⎪⇒=⎨-⎪-++=⎪⎩,要证3122x x x <+,即证1232x x x +>,即证121a x x >,即证122112121ln x x x x xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭>,令121x t x =<,即证()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭,令()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()()22102t h t t -'=-<,∴()h t 在()0,1单调递减,∴()()10h t h >=,∴()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭得证.综上.()312221x x x a <+<+关键点点睛:导数题目中的证明题,主要观察所证不等式,直接构造函数,或者将不等式转化变形后,利用导数判断函数的单调性及最值,利用函数的单调性或有界性求证,对观察、运算能力要求较高,属于难题.(二)选考题[选修4—4:坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数),曲线C 是以点(0,2)C 为圆心,且过坐标原点的圆.以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)若M ,直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ,B ,求||||||||MB MA MA MB +的值.【正确答案】(1):4sin C ρθ=,()π:R 3l θρ=∈(2)3312-【分析】(1)根据直角坐标方程,利用cos ,sin x y ρθρθ==即可化成极坐标方程,由参数方程消参即可得普通方程,再由普通方程化为极坐标.(2)联立直线与曲线的方程,由韦达定理,结合直线的参数方程中参数的几何意义即可求解,或者由两点坐标公式求解.【小问1详解】由曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=,由cos ,sin x y ρθρθ==得其极坐标方程为4sin ρθ=.又由直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线y =,所以直线l 的极坐标方程为()πR 3θρ=∈.【小问2详解】解法一:将直线l的参数方程代入曲线可得,22133140222t t ⎫⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭,整理可得,()2440t +--=.设点,A B 对应的参数分别为12,t t ,则12,t t 是方程的两个根.由韦达定理可得,121244t t t t ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩.所以,1221||||||||t t MB MA MA MB t t +=+()22212121212122t t t t t t t t t t +-+==242412----=解法二:联立直线l 与曲线C 的方程2240y x y y⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可得,20x -=,解得10x =,2x =.代入y =可得,10y =,23y =.不妨设()0,0A ,)B,则2MA ==,)21MB ==.所以,)21||||331||||22MB MA MA MB -+==.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时,求不等式()0f x 的解集;(2)当1a - 时,若函数()12g x xb =+的图象恒在()f x 图象的上方,证明.232b a ->【正确答案】(1){2xx -∣ 或0}x(2)证明见解析【分析】(1)分类讨论x 的范围得到()f x 的解析式,然后列不等式求解即可;(2)根据()f x 的单调性得到max ()1f x a =+,然后根据函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方得到()112g a a b a -=-+>+,即可证明232b a ->.【小问1详解】当12a =时,()12,211123,1222,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩,所以当12x <-时,20x +≤,解得2x ≤-;当112x -≤≤时,30x -≤,解得01x ≤≤;当1x >时,20x --≤,解得1x >.综上,不等式()0f x ≤的解集为{2xx ≤-∣或0}x ≥.【小问2详解】证明:当1a ≥-时,()21,12321,121,1x a x a f x x x a x a a x x a x ++<-⎧⎪=--+=--+-≤≤⎨⎪--->⎩,所以当x a =-时,()f x 取得最大值,且max ()1f x a =+.要使函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方,由数形结合可知,必须满足()112g a a b a -=-+>+,即232b a ->,原不等式得证.。

2025届陕西省高考适应性检测(一)数学试题及解析

2025届陕西省高考适应性检测(一)数学试题及解析

2025年陕西省高考适应性检测(一)数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.3.作答非选择题时,将答案书写在答题卡上,书写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1A =-,{}03,B x x x =≤<∈N ,则A B = ().A.{}0,1 B.{}1,0,1- C.{}1,0,1,2- D.{}2【答案】C 【解析】【分析】先求出B 集合的元素,再根据并集的定义求解.【详解】由题意,{}{}0,1,2,1,0,1,2B A B =∴=- ;故选:C.2.已知(12z -=(其中i 为虚数单位),则复数z =()A.122-- B.1i 22- C.1i 22-+ D.1i 22+【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法公式,即可求解.【详解】又条件可知2121i422z ----===--.故选:A3.已知平面向量,a b满足2,4a b == ,且()2a b a -⊥ ,则a b -= ()A.5 B.4 C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】先求出a b ⋅ ,再求()2a b - 后可求a b - .【详解】因为()2a b a -⊥ ,故220a a b -⋅= ,故2a b ⋅= ,故()222204162b a ba b a -=+-⋅=-=,故4a b -= ,故选:B.4.已知π3sin cos 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.725-B.725C.2425-D.2425【答案】B 【解析】【分析】根据三角恒等变换公式求解.【详解】π13sin cos cos cos ,6225ααααα⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭所以13sin cos 225αα+=,所以π3sin ,65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππ97cos 2cos212sin 12,3662525ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选:B.5.已知等腰直角三角形ABC 的斜边AC 长为4,将该三角形绕AC 所在直线旋转一周形成一个几何体,则这个几何体的体积为()A.16π B.4πC.16π3D.4π3【答案】C 【解析】【分析】分析可知,该几何体是由两个底面半径为2,高均为2的圆锥拼接而成,结合圆锥的体积公式可求得该几何体的体积.【详解】如下图所示:因为等腰直角三角形ABC 的斜边AC 长为4,将该三角形绕AC 所在直线旋转一周形成一个几何体,则这个几何体是由两个底面半径为122r AC ==,高均为122AC =的圆锥拼接而成,故该几何体的体积为21162π22π33V =⨯⨯⨯=.故选:C.6.某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在[]40,100内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示观察图形,则下列说法错误的是()A.频率分布直方图中第三组的频数为15人B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分【答案】D 【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解.【详解】分数在[)60,70内的频率为1100.0050.0150.0300.0250.0100.15()-⨯++++=,所以第三组[)60,70的频数为1000.1515⨯=(人),故A 正确;因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点,从图中可看出众数的估计值为75分,故B 正确;因为(0.0050.0200.010)100.350.5++⨯=<,(0.0050.0200.0100.03)100.650.5+++⨯=>,所以中位数位为:0.50.357010750.03-+⨯=,故C 正确;样本平均数的估计值为:()()()()()()45100.00555100.01565100.01575100.0385100.02595100.01⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯73.5=(分),故D 错误.故选:D.7.已知函数2()sin cos sin (0)f x x x x ωωωω=->,若函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则实数ω的取值范围是()A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.15,48⎡⎤⎢⎣⎦D.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】先用二倍角公式与辅助角公式化简,结合函数单调性,列出不等式组,解出实数ω的取值范围,进而求出答案.【详解】21111()sin cos sin sin 22sin 2222242πωωωωωω⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭f x x x x x x x ,由函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.且2,2ππππ4π44x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭,πππ2π,42π3π2π2π,42k k ωω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩,解得:152,48k k k ω+≤≤+∈Z ,因为0ω>,当且仅当0k =时,有满足要求的取值,即1548ω≤≤.故选:C.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()e e f x f x +=-,当()0,e x ∈时,()ln f x x =,则()f x 在区间()e,2e -内的所有零点之和为()A.3e 1-B.2eC.2e 1- D.0【答案】C 【解析】【分析】由题意可知()00f =,且()f x 的周期为2e ,因为()0,e x ∈时,=ln ,所以1=0,故()10f -=,()12e 0f -+=,进而可知函数()f x 在区间()e,2e -内的所有零点之和.【详解】因为()f x 是定义在上的奇函数,所以()00f =;因为()()e e f x f x +=-,所以()f x 的周期2e T =;因为当()0,e x ∈时,=ln ,所以1=0,所以()1(1)0f f -=-=,所以()12e (1)0f f -+=-=,故()f x 在区间()e,2e -内的零点为10112e --+、、、,其零点之和为2e 1-,故选:C.二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.下列结论正确的有()A.若随机变量()2~1,N ξσ,()40.79P ξ≤=,则()20.21P ξ≤-=B.若1~10,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()3222D X +=C.已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+,且4x =,50y =,则ˆ9.8b =D.已知一组数据丢失了其中一个,剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列,则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC 【解析】【分析】根据正态分布对称性知A 正确,计算()()32920D X D X +==,B 错误,将()x y 代入回归直线,计算得到C 正确,讨论三种情况得到可能数据的和为12,D 错误,得到答案.【详解】随机变量()2~1,N ξσ,()40.79P ξ≤=,则()()2140.21P P ξξ≤-=-≤=,A 正确;1~10,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭,则()122010339D X =⨯⨯=,故()()32920D X D X +==,B 错误;将()x y 代入回归直线,计算得到ˆ9.8b=,C 正确;设丢失的数据为x ,则平均数为317x+,众数为3,当3x ≤时,中位数为3,故313237x+⨯=+,10x =-;当35x <<时,中位数为x ,则31237xx +=+,4x =;当5x ≥时,中位数为5,故312537x+⨯=+,18x =;故可能数据的和为12,D 错误;故选:AC .【点睛】本题考查了正态分布,二项分布,回归方程,中位数,平均数,众数,意在考查学生的综合应用能力.10.已知函数()2ln x nf x m x x+=+在1x =处取得极大值1-,则下列结论正确的是()参考数据:ln20.7=.A.2n =B.3m =-C.()f x 在2x =处取得极小值D.()f x 在区间1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为73ln22-【答案】BCD 【解析】【分析】根据极值的性质可得,m n ,再求导分析函数的单调性与最值逐个选项判断即可.【详解】对A,B ,()ln f x m x x n x =++,故()2221m x mx nf x x n x x+-'=+-=,由题意()111f n =+=-,()2110f m n '=+-=,解得2n =-,3m =-,故A 错误,B 正确;对C ,故()n 23l f x x x x =-+-,()()()()2223,0121x x f x x x x x'--=-++=>.令()0f x '>可得01x <<或2x >,令()0f x '<可得12x <<,故()f x 在()0,1与()2,+∞上单调递增,在()1,2上单调递减,故()f x 在2x =处取得极小值,故C 正确;对D ,由C ,()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()1,2上单调递减,在()2,4上单调递增.又11173ln 43ln 22222f ⎛⎫=-+-=-⎪⎝⎭,()723ln223ln 213l 222n 2f =-+-=-+>-,故D 正确.故选:BCD11.2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系xoy 中,把到定点1(,0)F a -,2(,0)F a 距离之积等于2a (0)a >的点的轨迹成为双纽线C ,已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点,下列说法正确的有().A.双纽线C 关于原点O 中心对称;B.022a a y -≤≤;C.双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个;D.||PO 的最大值为.【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ,根据双纽线的定义求出曲线方程,然后将(,)x y --替换方程中的(,)x y 进行判断,对于B ,根据三角形的等面积法分析判断,对于C ,由题意得12PF PF =,从而可得点P 在y 轴上,进行可判断,对于D ,由向量的性质结合余弦定理分析判断.【详解】对于A ,因为定义在平面直角坐标系xOy 中,把到定点12(,0),(,0)-F a F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ,2a =,用(,)x y --替换方程中的(,)x y ,原方程不变,所以双纽线C 关于原点O 中心对称,所以A 正确,对于B ,设12F PF α∠=∵1221211sin sin 22PF F S PF PF a αα=⋅= ,12120012PF F S F F y a y == ,∴201sin 2a y a α=,∴01sin 22ay a α=≤,∴022a a y -≤≤,故B 正确;对于C ,由12PF PF =知P 在12F F 的垂直平分线(方程为0x =)上将0x =2a =2a =即222a y a +=,解得0y =,∴这样的点只有一个,故C 错误;对于D ,因为121()2PO PF PF =+,所以()()2222211221*********cos 44PO PF PF PF PF PF PF PF F PF PF =+⋅+=+⋅∠+ ,由余弦定理得22211212242cos a PF PF PF F PF PF =-⋅∠+ ,所以22222121212cos cos 2PO a PF PF PF a a F PF a =+⋅=+∠≤ ,所以||PO ,故D 正确;故选:ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设P 为双曲线2214y x -=上一点,,A B 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、四象限.若AP PB =uu u r uu r ,则AOB V 的面积为__________.【答案】2【解析】【分析】设()()(),2,,20,0A m m B n n m n ->>,根据中点在双曲线上可求1mn =,再根据,AOP BOP 的面积可求AOB V 的面积.【详解】双曲线的渐近线为2y x =±,由题设可设()()(),2,,20,0A m m B n n m n ->>,而AP PB =uu u r uu r ,故P 为AB 的中点,故,2m n P m n +⎛⎫-⎪⎝⎭,而P 在双曲线上,故()()22144m n m n +--=即1mn =,又P 到渐近线2y x =的距离为1d ==,P 到渐近线2y x =-的距离为2d ==,故AOB V的面积为1211112222OA d OB d ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯22mn ==,故答案为:213.若直线223y x =-+与曲线313y x ax =-相切,则a =_________.【答案】3【解析】【分析】设切点为30001,3x x ax ⎛- ⎝⎭,根据导数的几何意义可推导得到202a x =+,根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得0x ,代入可得结果.【详解】设直线223y x =-+与曲线313y x ax =-相切于点30001,3x x ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由313y x ax =-得:2y x a '=-,202x a ∴-=-,202a x ∴=+,又300012233x ax x -=-+,()320000122233x x x x ∴-+=-+,解得:01x =-,123a ∴=+=.故答案为:3.14.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行毕业生实践,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有_______种;其中学生甲被单独安排去杭州的概率是_________.【答案】①.150②.775【解析】【分析】根据题意,先将5人分为三组,每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2,对应的可能情况分别为10种和15种,再将其分配到三个城市,进而根据乘法原理求解即可得不同的安排方式,再讨论学生甲被单独安排去杭州的有14种,最后结合古典概型求解即可.【详解】解:先把5人分为三组,每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2,当每组的人数为1,1,3时,共有1135432210C C C A =种情况,当每组的人数为1,2,2时,共有1225422215C C C A =种情况,所以把5人分为三组共有101525+=种情况,再将三组人员分配到三个城市,有3325150A =种,其中男生学生甲被单独安排去杭州的情况为22122424222214C C C A A A +=种,所以学生甲被单独安排去杭州的概率是14715075=.故答案为:150;775.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为a 、b 、c ,若3π4C =,且sin()2sin cos()A C A A B +=+.(1)求证:,,2a b a 成等比数列;(2)若ABC V 的面积是1,求c 边的长.【答案】(1)证明见解析;(2)c =.【解析】【分析】(1)将sin()2sin cos()A C A A B +=+转化为sin 2sin cos B A C =-,角化边,3π4C =代入后得到b =,2222b a a a ==⋅,即证;(2)1sin 2S ab C ab =⇒=,再结合(1)的结果求得2a b ==,最后结合余弦定理求得c .【小问1详解】证明:()()π,sin 2sin cos A B C A C A A B ++=+=+ ,∴sin 2sin cos B A C=-在ABC V 中,由正弦定理得,2cos b a C =-,∵3π4C =,∴b =,则2·2b a a =,∴,,2a b a 成等比数列;【小问2详解】1sin 124ABC S ab C === ,则ab =,由(1)知,b =,联立两式解得2a b ==,由余弦定理得,2222cos 24102c a b ab C ⎛⎫=+-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭,∴c =.16.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2,且过点2P ⎫⎪⎪⎭.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)已知直线:l y kx m =+满足2m k ≠-且与椭圆E 相交于不同的两点A ,B ,若以线段AB 为直径的圆始终过点(2,0)Q ,试判断直线l 是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.【答案】(1)2214x y +=;(2)过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】(1)根据题意列方程,再结合222a b c =+,解方程得到a ,b ,c ,即可得到椭圆方程;(2)联立直线方程和椭圆方程得到122814km x x k -+=+,21224414m x x k -=+,根据以线段AB 为直径的圆经过点Q ,得到0QB QA ⋅= ,然后列方程得到()()2652014k m k m k ++=+,解得65m k =-,即可得到直线l 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭.【小问1详解】由题意得2c a =,222112a b +=,又222a b c =+,解得2a =,1b =,c =,所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.【小问2详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=,()2216410k m ∆=-+>,则122814km x x k -+=+,21224414m x x k -=+,()()()2222121212112414m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+,因为以线段AB 为直径的圆经过点Q ,所以0QB QA ⋅=,()222,QB x y =- ,()122,QA x y =-,()121212240QB QA x x x x y y ⋅=-+++= ,即()()2652014k m k m k ++=+,解得65m k =-或2m k =-,满足0∆>,因为2m k ≠-,所以65m k =-,直线l 方程为6655y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,恒过点6,05⎛⎫⎪⎝⎭,所以直线l 过定点,定点为6,05⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x (或y )建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.17.如图1,在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,AB BC ⊥,BD DC ⊥,点E 是BC 边的中点,将ABD △沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,连接AE ,AC ,DE 得到如图2所示的几何体.(1)求证:AB ⊥平面ADC ;(2)若1AD =,二面角C AB D --,求二面角B AD E --的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)12【解析】【分析】(1)先由已知条件得到DC ⊥平面ABD ,所以有DC AB ⊥,又因为AD AB ⊥即可证明AB ⊥平面ADC ;(2)由(1)可知二面角C AB D --的平面角为CAD ∠,且DC AD ⊥,所以有CDAD=,从而求出CD ,因为ABD DCB ,所以由AB CDAD BD=可以解出AB 的值,然后建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,求出面ABD 和面ADE 的法向量,则两平面法向量的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值.【详解】(1)因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ⋂平面BCD BD =,又BD DC ⊥,所以DC ⊥平面ABD ,因为AB ⊂平面ABD ,所以DC AB ⊥,又因为折叠前后均有AD AB ⊥,DC AD D ⋂=,所以AB ⊥平面ADC ;(2)由(1)可知AB ⊥平面ADC ,所以二面角C AB D --的平面角为CAD ∠,又DC ⊥平面ABD ,AD ⊂平面ABD ,所以DC AD ⊥,依题意tan CAD ∠=,因为1AD =,所以CD =AB x =()0x >,则BD =,由题意知ABD DCB ,所以AB CDAD BD =,即1x =解得x =AB =,BD =,3BC ==,如图所示,建立空间直角坐标系D xyz -,则()0,0,0D,)B,()C,22E ⎫⎪ ⎪⎝⎭,,0,33A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,所以,022DE ⎫=⎪⎪⎝⎭,,033DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ,由(1)知平面ABD 的法向量()0,1,0n = ,设平面ADE 的法向量(),,m x y z =,由00m DE m DA ⎧⋅=⎨⋅=⎩得022033x y x z +=⎪⎪⎪+=⎪⎩,令x =,得y =,z =,所以m =,所以1cos ,2n m n m n m ⋅===-,由图知二面角B AD E --的平面角为锐角,所以二面角B AD E --的余弦值为12.【点睛】本题主要考查了证明线面垂直,考查了利用空间向量求二面角的平面角,属于中档题.18.已知函数2()1x f x e x =---.(1)当0a =时,求()f x 的单调区间;(2)当0x ≥时,若不等式()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若0x >,证明:()()21ln 1xe x x -+>.【答案】(1)在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增;(2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出导函数()f x ',由()0f x '>确定增区间,由()0f x '<确定减区间;(2)求出导函数,由导函数正负确定函数的单调性与最值,由最小值不小于0得参数范围,在确定导函数零点时,需要对导函数进一步求导得出结论;(3)由(2)得,12a =且0x >时,212x x x e >++,即2212x x x e +->,要证不等式可变形为只需证ln(1)22x x x+>+,设2()ln(1)(0)2xF x x x x =+->+,由导数得函数的最小值可得结论.【详解】(1)由题意可知,当0a =时,()1xf x e x =--,x R ∈,则()1xf x e '=-,令()0f x '=,则0x =,当0x >时,()0f x '>;当0x <时,()0f x '<,所以()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增.(2)由条件得()12xf x e ax =--',令()12xh x e ax =--,则()2xh x e a '=-,①当21a ≤,即12a ≤时,在[]0,+∞上,()0h x '≥,即()h x 单调递增,所以()()0h x h ≥,即()()00f x f ''≥=,()f x \在[]0,+∞上为增函数,()()00f x f ∴≥=,12a ∴≤时满足条件.②当21a ≥时,令()0h x '=,解得ln 2x a =,在[]0,ln 2a 上,()0h x '<,()h x 单调递减,∴当()0,ln 2x a ∈时,有()()00h x h <=,即()()00f x f ''<=,则()f x 在()0,ln 2a 上为减函数,()()00f x f ∴<=,不合题意.综上,实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(3)由(2)得,当12a =且0x >时,212x x x e >++,即222212xx e x x x +>+=-,要证不等式()21ln(1)xe x x -+>,只需证明21ln(1)xe x x ->+,只需证明2222ln(1)x x x x >++,只需证ln(1)22x x x+>+,设2()ln(1)(0)2xF x x x x =+->+,则22214()(0)1(2)(1)(2)x F x x x x x x '=-=>++++,所以当0x >时,()0F x '>恒成立,故()F x 在0,+∞上单调递增,又()00F =.()0F x ∴>恒成立,∴原不等式成立.【点睛】本题考查用导数确定函数的单调性,研究不等式恒成立问题,证明不等式.解题关键是问题的转化,不等式恒成立问题转化为求出函数的最值,由最值满足的关系得出参数范围.不等式证明问题的关系是利用上一小题的结论把不等式进行放缩化简,再引入新函数转化为求函数的最值.19.若数列{}n a 的相邻两项或几项之间的关系由函数()f x 确定,则称()f x 为{}n a 的递归函数.设{}n a 的递归函数为()2f x x x =-+.(1)若101a <<,()1n n a f a +=(*N n ∈),证明:{}n a 为递减数列;(2)若()215n n n n a f a a a +=++,且153a =,{}n a 的前n 项和记为n S .①求n S ;②我们称()[]g x x =为取整函数,亦称高斯函数,它表示不超过x 的最大整数,例如[]1.21=,[]1.32-=-.若11131nn i i a T S a ==-+∑,求()20241i i g T =∑.【答案】(1)证明见解析(2)①6133n -;②10120【解析】【分析】(1)根据定义得出()0,1n a ∈,再根据210n n n a a a +-=-<即可证明;(2)根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①;结合①得出115261nn i i T -==⋅-∑,当1n =时,15521T ==-,所以[]15T =;当2n ≥时,由放缩得出35 5.65n T <+=,结合15n T T ≥=得出()[]5n n g T T ==进而求解.【小问1详解】证明:若01x <<,显然()()()10,1f x x x =-∈.又101a <<,所以()20,1a ∈,()30,1a ∈,L ,()()10,1n n a f a +=∈,所以*N n ∀∈,()0,1n a ∈.因为()2f x x x =-+,()1n n a f a +=,所以21n n n a a a +=-+,210n n n a a a +-=-<,所以1n n a a +>,所以{}n a 是递减数列.【小问2详解】①由题意得22156n n n n n n a a a a a a +=-+++=,又153a =,所以0n a ≠,所以16n na a +=,所以{}n a 是以53为首项,6为公比的等比数列,则()()1516161311633nnn n a q S q--===---.②由①得11135561512611333i i i a S a -==-+⨯---+,所以115261nn i i T -==⋅-∑.当1n =时,15521T ==-,所以[]15T =;当2i ≥时,111563261266i i i ---<=⋅-⋅.所以当2n ≥时,211111131535166656nn n n i T --=⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+- ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当2n ≥时,35 5.65n T <+=,又150261i ->⨯-,所以15n T T ≥=,所以*N n ∀∈,5 5.6n T ≤<,所以()[]5n n g T T ==,所以()202412024510120ii g T ==⨯=∑.【点睛】关键点睛:求解()20241ii g T =∑时,关键是求出nT的取值范围,根据不等式放缩得出111563261266i i i ---<=⋅-⋅是解题关键.。

四川省南充市2024届高三高考适应性考试(二诊)理科数学(讲评教学设计)

四川省南充市2024届高三高考适应性考试(二诊)理科数学(讲评教学设计)
- 圆:对称性、半径、直径等。
4. 直线与圆锥曲线的位置关系
- 相交:直线与圆锥曲线有两个交点。
- 相切:直线与圆锥曲线有一个交点。
- 相离:直线与圆锥曲线没有交点。
5. 圆锥曲线的应用问题
- 最值问题:求解圆锥曲线上的点到某一点的距离最值、面积最值等。
- 范围问题:求解动点在圆锥曲线上的取值范围。
3. 网络资源:推荐学生利用网络资源进行自主学习,如观看在线教学视频、参加数学论坛讨论等,拓宽学生的学习视野。
结合教学内容和学生特点,采用以下具体措施:
1. 对于基础较好的学生,采用讲授法巩固基础知识,同时组织讨论法提高其解题能力和思维水平。
2. 对于基础一般的学生,通过实验法和多媒体设备辅助教学,使其直观地理解圆锥曲线的概念和性质,提高学习兴趣。
4. 素质方面:学生在团队合作、自主学习、探究学习等方面表现出不同的素质。部分学生具有较强的自主学习能力和团队协作精神,能够在课堂上积极发言、讨论问题;而部分学生则依赖教师讲解,缺乏主动学习的意识。
5. 行为习惯:学生的行为习惯对课程学习产生较大影响。良好的学习习惯,如课堂专注、课后复习、主动提问等,有助于提高学习效果;而拖延、上课走神、作业应付等不良习惯,则会影响学习进度。
教学内容与学生已有知识的联系在于,学生在前期课程中已学习了平面几何、解析几何基础、一元二次方程等知识,为理解圆锥曲线的几何性质和解析表达式的推导打下了基础。通过本节课的讲评,将帮助学生将已学知识融会贯通,提高解决实际问题的能力。
核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力:首先,提升数学抽象能力,通过解析几何中圆锥曲线的学习,使学生能够从具体问题中抽象出数学模型,理解其内在的数学规律。其次,加强逻辑推理能力,学生在分析直线与圆锥曲线位置关系的过程中,学会运用逻辑思维进行推理和证明。再次,提高数学建模能力,通过解决实际问题的案例,让学生掌握建立数学模型、求解模型的方法。最后,强化数学运算和数据分析能力,学生在处理解析几何中的最值问题时,能够熟练运用数学运算和数据分析手段,解决复杂问题。这些目标与新教材强调的学科核心素养相契合,有助于学生全面发展。
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泸县九中高06级高考适应性考试数 学(理科)xx.3、16一、选择题1、设集合E={}||x-2|>3x ,F={}|x 1x ≥-,则()x E x F x E F ∈∈∈I 或是的( ) A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件2、f(x)是定义在R 上的奇函数,它的最小正周期是T ,则()2Tf 的值是( )A 0B 2T -C 2TD 无法确定3、设函数212x y x -=-,则下列命题正确的是( )①图象上一定存在两点它们的连线平行于x 轴。

②图象上任意两点的连线都不平行于y 轴。

③图象关于直线y=x 对称。

④图象关于原点对称。

A ①③ B ②③ C ②④ D ③ 4、曲线23-+=x x y 的一条切线平行于直线14-=x y ,则切点p 的坐标为( ) (A )(0,-2)或(1,0) (B )(1,0)或(2,8) (C )(-1,-4)或(0,-2) (D )(1,0)或(-1,-4) 5、如果消息A 发生的概率为P (A ),那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =。

若某人在一个有4排、8列的小型报告厅里听报告,则发布的以下4条消息中信息量最大的是( )A 在某人在第4排B 某人在第5列C 某人在4排5列D 某人在任意一排6、若函数f 322,1()15,131x x a x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪+⎩在点x=1处连续,则实数a 等于( )A 4B 14- C 144--或 D 144-或7、已知正四棱锥S -ABCD 侧棱长为2,底面边长为3,E 是SA 的中点,则异面直线BE 与SC 所成角的大小( )A .ο90B .ο60C .ο45D .ο30 8、若sin tan cot θθθ>>,(22ππθ-<<),则θ的取值范围是( )A (,)24ππ-- B (,0)4π- C (0,)4π D (,)42ππ9、等差数列{a n }中,a 1 > 0,S 3 = S 11,则S n 中的最大值为( )A S 7B S 11C S 7和S 8D 无最大值10、关于函数f(x)=lg 21(0,)||x x x R x +≠∈,有下列命题:①函数y=f(x)的图象关于y 轴对称。

②当x>0时f(x)是增函数,当x<0时f(x)是减函数;③函数f(x)的最小值是lg2;④当10x -<<或x>1时, f(x)是增函数.⑤f(x)无最大值,也无最小值。

其中正确命题的序号是( )A ① ③B ②⑤C ①③⑤D ①③④11、方程f(x)=x 的实根x 0叫做函数f(x)的不动点,若函数f(x)=(0)(2)xa R a a x ∈≠+且有唯一不动点,数列{a n }满足a 1=1000,*11()1()n na f n N a +⋅=∈ 。

则a xx =( ) A xx.5 B xx.5 C xx D xx12、设90,1,()ab a b a b <+=+的展开式按a 的降幂排列后第二项不大于第三项,则a 的取值范围是( )A 45a < B 54≥a C a ≤1 D a<113、复数z 满足(12)43i z i +=+,那么z= .14、某市乘公车从A 站到B 站所需时间(单位:分)服从正态分布N (20,202),甲上午8:00从A 站出发赶往B 站见一位朋友乙,若甲只能在B 站上午9:00前见到乙,则甲见不到乙的概率等于 。

(参考数据:(0.5)0.6915φ=,(1)0.8413φ=,(2)0.9772φ=)15、霓虹灯的一个部位由七个小灯泡组成(如右图),每个灯泡均可亮出红色或黄色.现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡,且相邻两个不同时亮,则一共可呈现 种不同的变换形式(用数字作答). 16、已知A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点,A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是2π,B 、C 两点的球面距离为3π,则球心到平面ABC 的距离为___________。

○○○○○○○泸县九中高06级高考适应性考试数 学(理科)xx.3、18一、选择题二、填空题:、 . 14、、 16、___________。

、(本小题12分)在ABC A B C a b c ∆中,角、、所对的边分别是、、,且4cos 5A =. 1) 求2sin cos 22B CA ++的值; 2) 若b=2, ABC ∆的面积S=3,求 a 的值。

、(本小题12分)一名学生在军训中练习射击项目,他命中目标的概率是13,共6次.1) 求这名学生在第3次射击时,首次命中目标的概率; 1) 求这名学生在射击过程中,命中目标ξ的期望.19(12分)已知函数f(x)=a+bsinx+ccosx 的图象经过点A (0,1)B (2π,1),当x [0]2π∈,时,f(x)的最大值为1。

(1) 求f(x)的解析式;(2) 由f(x)的图象按向量a r平移得到一个奇函数()y g x =的图象,求出一个符合条件的向量a r。

20、(12分)如图,已知正四棱锥S —ABCD 的底面边长为4,高为6,点P 是高的中点,点Q 是侧面SBC 的重心,求:(Ⅰ) P 、Q 两点间的距离;(Ⅱ)异面直线PQ 与BS 所成角的余弦值; (Ⅲ)直线PQ 与底面ABCD 所成的角21(12分)设函数()(1)()(1)f x x x x a a =-->(1)导数/()f x .并证明()f x 有两个不同的极值点x 1、x 2;(2)若对于(1)中的x 1、x 2不等式12()()0f x f x +≤ 成立,求a 的取值范围。

22 (14分)过椭圆1422=+y x 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M 、N 两点,设.23||= (Ⅰ)求直线l 的斜率k ;(Ⅱ)设M 、N 在椭圆右准线上的射影分别为M 1、N 1,求11N M ⋅的值.泸县九中高06级高考适应性考试数学(理科)参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)BABDC ,DBBAD ,AD 二、填空题(每小题4分,共16分)13. 2z i =+, 14. 0.0228;15. 80; 16.721 三、解答题(共76分)17.解:(1)21cos()sin cos 2cos 222B C B C A A +-++=+=21cos 2cos 12AA ++-=5950⑵''0()0;10()0x f x x f x >>-<<<时,当时,431cos sin sin 552ABC A A S bc A=∴==V Q 由,得1332525c c =⨯⨯∴=由余弦定理222242cos 4252255a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯得=13 a ∴=18(1)解:这名学生在各次射击中,击中目标与否相互独立 这名学生在第一、二次射击未击中目标,第三次击中目标,1114(1)(1)33327P =--⨯=(2)11(6,).6233B E ξξ∴=⨯=Q :答:第3次射击时,首次击中目标的概率为427,在射击过程中,命中目标数ξ的期望是2。

19.(1)由题意得111a c b c a a b +=⎧⇒==-⎨+=⎩,*1221()1()16888n n a a f n N a n n+>=≤=⋅=∈+++ ,又3[0,],[,]sin()124444x x x πππππ∈∴+∈⇒≤+≤当10)11a a a a->-=⇒=-时,当10)1a a a a-<+-=⇒∈∅时,当1011a a a-===时,f(x)=与矛盾∴f(x)=-1+2sinx+2cosx(2)由(1)得)14xπ+-∴按向量(,1)4aπ=r平移可以得到函数y x=的图象,∴(,1)4aπ=r是符合条件的一个向量:分)它们的坐标为:的重心,是的中点,是)(则有关点的坐标为:分)(∥,∥是底面的中心,间直解坐标系,解:如图所示,建立空2()2,34,(),3,0,0().0,2,2(),0,2,2(,6,0,02.20ΛΛΘΛΛOQPSBCQSOPCBSABOyBCOxO∴∆-分)(所成角的余弦值为、异面直线的夹角为、设),,((Ⅱ)(分)两点间的距离为、)()(Ⅰ3551113551113112356)1()2(34)2(cos112622),1,34,0(235.353234)(222ΛΛΛΛ-∴-=⨯⨯-+-⨯+-⨯=⋅⋅=∴=⋅--=-=∴=-++=→-→-→-→-→-→-→-→-→-RSPQBSPQBSPQBSBSPQBSPQQPPQθθ分)(所成的角为与平面则的夹角为、设),,(),,,(),,点的坐标为(所成的角,与平面所成角就是与故上的射影在平面是直线中点,可以证明直线是(Ⅲ)4.54arccos .54235234cos 1340020.020.ΛΛABCD PQ OEPQ OE PQ OE PQ PQ OE E ABCD PQ OE PQ ABC PQ OE BC E ∴=⨯⨯=⋅⋅=-==∴→-→-→-→-→-→-→-→-αα21.解:(1)32'2()(1),()32(1)f x x a x ax f x x a x a =-++=-++ 令'()0f x =得,232(1)x a x a -++=0(*)L L24(1)0a a ∆=-+>Q∴ (*)方程有两个不同的实根12x x 、,令12x x <,由'12()3()()f x x x x x =--可知: 当1x x <时,'()0f x >;当'12()0x x x f x <<<时,;当'2()0x x f x >>时,;∴1x 是极大值点,2x 是极小值点。

(2)12()()0f x f x +≤Q所以得不等式3322121212(1)()()0x x a x x a x x +-++++≤即22121212121212()[()3](1)[()2]()0x x x x x x a x x x x a x x ++--++-++≤又由(1)知12122(1)33x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入前面的不等式,两边除以(1+a ),并并化简得22520a a -+≥,解之:122a a ≥≤或(舍去) 所以当2a ≥时,不等式12()()0f x f x +≤成立。

22. 解:(Ⅰ)F (0,3) l :)3(-=x k y由041238)41(,)3(44222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧-==+k x k x k x k y y x 得设M 222122114138),,(),,(kk x x y x N y x +=+则 ① 222141412k k x x +-=⋅ ②2122122124)(1||1||23x x x x k x x k -++=-+== ③ 把①②代入③,并整理,得2241)1(423kk ++=解得 25±=k(Ⅱ)设11N M MN 与的夹角为20,πθθ<<则由(Ⅰ)知52tan 25)2tan(=∴=-θθπ∴35cos =θ ∴4595)23(cos ||cos ||||2221111=⨯===⋅θθN M N M。

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