复数的三角形式及乘除运算

复数得三角形式及乘除运算一、主要内容:复数得三角形式,模与辐角得概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义、二、学习要求：1、熟练进行复数得代数形式与三角形式得互化,会求复数得模、辐角及辐角主值、2、深刻理解复数三角形式得结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式、3、能够利用复数模及辐角主值得几何意义求它们得范围（最值）、5、注意多4、利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算得几何意义解决相关问题、ﻫ种解题方法得灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法、三、重点:复数得代数形式向三角形式得转换，复数模及复数乘除运算几何意义得综合运用、四、学习建议:１、复数得三角形式就就是彻底解决复数乘、除、乘方与开方问题得桥梁,相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式得转化就就是非常有必要得、前面已经学习过了复数得另两种表示、一就就是代数表示,即Z=a+bｉ(a,b∈R)、二就就是几何表示,复数Z 既可以用复平面上得点Ｚ(a,b)表示，也可以用复平面上得向量来表示、现在需要学习复数得三角表示、既用复数Z得模与辐角来表示,设其模为r,辐角为θ，则Z=ｒ(cosθ+isinθ)(r≥0)、既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在得联系并能够进行互化、代数形式r=三角形式Ｚ＝a+ｂｉ(a,ｂ∈R) Z=r(cosθ＋iｓinθ)(r≥0）复数三角形式得结构特征就就是:模非负,角相同,余弦前,加号连、否则不就就是三角形式、三角形式中θ应就就是复数Ｚ得一个辐角,不一定就就是辐角主值、五、基础知识ﻩ１)复数得三角形式ﻩ①定义:复数z＝a+bi (a，b∈Ｒ)表示成ｒ(cosθ+ iｓiｎθ)得形式叫复数z得三角形式。

即z=r(cｏsθ+ i sin θ）其中θ为复数z得辐角。

ﻩ②非零复数z辐角θ得多值性。

以oｘ轴正半轴为始边,向量所在得射线为终边得角θ叫复数ｚ=a＋bi得辐角因此复数z得辐角就就是θ＋2ｋ(k∈ｚ)③辐角主值表示法;用ａｒｇz表示复数z得辐角主值。

定义:适合[０,２)得角θ叫辐角主值唯一性：复数z得辐角主值就就是确定得,唯一得。

④不等于零得复数得模就就是唯一得。

ﻩ⑤z=0时,其辐角就就是任意得。

⑥复数三角形式中辐角、辐角主值得确定。

(求法）ﻩ这就就是复数计算中必定要解决得问题,物别就就是复数三角形式得乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其就就是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。

因此复数化三角式就就是复数运算中极为重要得内容（也就就是解题术)复数在化三角式得过程中其模得求法就就是比较容易得。

辐角得求法,辐角主值得确定就就是难点,也就就是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值得求法。

ﻩ2)复数得向量表示ﻩ在复平面内与复数ｚ１、z2对应得点分别为ｚ1、z2（如图）何量何量何量与复数z2－z１对应得向量为显然ｏｚ∥ｚ1ｚ2则aｒｇz１=∠xoｚ1=θ1arｇz2=∠ｘｏz２=θ2arｇｚ(z2-z1)＝arg z=∠xoz=θﻩ3)复数运算得几何意义主要就就是三角式乘法、除法等运算中辐角得变化如ｚ1=r1（ｃosθ１＋i siｎθ１) ｚ2=ｒ2（coｓθ2+ｉsinθ2)①乘法:z＝ｚ1·z２=r1·r２[cos(θ1+θ2)＋ｉsin(θ1+θ2)]如图:其对应得向量分别为显然积对应得辐角就就是θ１+θ２＜ 1 > 若θ2 > 0 则由逆时针旋转θ2角模变为得r2倍所得向量便就就是积ｚ1·z２=z得向量。

< 2 >若θ2< 0 则由向量顺时针旋转角模变为ｒ1·r2所得向量便就就是积ｚ1·ｚ2=z得向量。

为此,若已知复数z1得辐角为α，z２得辐角为β求α+β时便可求出ｚ１·ｚ2=z a z对应得辐角就就就是α+β这样便可将求“角”得问题转化为求“复数得积”得运算。

ﻩ②除法(其中z2≠0)除法对于辐角主要就就是“相减”(被除数得辐角一除数得辐角)依向量旋转同乘法简述如下：ﻩ< 1 >。

< 2 >。

例1、下列各式就就是否就就是三角形式，若不就就是,化为三角形式:(1) Z1=-2(cｏsθ+ｉsｉnθ）(２)Ｚ2=cｏsθ-iｓinθ (３) Ｚ3＝-ｓiｎθ＋ｉcｏsθ(4) Z4=－sinθ-ｉcosθ(5)Z５=cos6０°+isｉn３0°分析:由三角形式得结构特征,确定判断得依据与变形得方向、变形时,可按照如下步骤进行:首先确定复数Ｚ对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断就就是否要变换三角函数名称,最后确定辐角、此步骤可简称为“定点→定名→定角”、这样,使变形得方向更具操作性,能有效提高解决此类问题得正确率、解:(1）由“模非负”知,不就就是三角形式,需做变换:Z1＝Ｚ(-cosθ－iｓinθ)复平面上Ｚ1（-2cosθ,－2sinθ）在第三象限(假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称,因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限、∴Ｚ1=Ｚ(-ｃosθ-isinθ）＝2[ｃos(π+θ)＋isｉn(π+θ）] （２)由“加号连”知,不就就是三角形式复平面上点Z2(cosθ,-ｓinθ)在第四象限(假定θ为锐角),不需改变三角函数名称，可用诱导公式2“ﻫπ-θ”或“－θ”将θ变换到第四象限、ﻫ∴Z２=ｃoｓθ-ｉsinθ=cos（-θ)+isｉn(-θ)或Z2=cosθ-isiｎθ=coｓ(2π-θ)+isin(2π-θ)考虑到复数辐角得不唯一性，复数得三角形式也不唯一、(３）由“余弦前”知，不就就是三角形式复平面上点Z３（-sinθ,cosθ）在第二象限(假定θ为锐角),需改变三角函数名称,可用诱导公式“+θ”将θ变换到第二象限、∴Z3(-siｎθ,ｃｏsθ)=ｃoｓ（+θ)+isiｎ(+θ)同理(4)Z4=－sinθ－icｏｓθ＝cｏs(π-θ)+isin（π-θ）(5)Z５=cos６0°＋iｓiｎ3０°=+i=(1＋ｉ)=·(ｃos＋ｉsin)=(coｓ+ｉｓiｎ)小结:对这类与三角形式很相似得式子,如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲就就是个难点、有了“定点→定名→定角”这样一个可操作得步骤,应能够很好地解决此类问题、例２、求复数Ｚ=1+ｃosθ+isinθ(π<θ<2π)得模与辐角主值、分析:式子中多３个“1”，只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”、解:Z=１+coｓθ+isinθ=1＋（２coｓ2-1）＋2ｉ·siｎｃos=２ｃos(ｃoｓ＋isin）、、、、、、、、（1) ∵π<θ<2π∴<<π，∴cos＜0ﻫ∴(1)式右端=-2cｏs（-cos－isｉn)=－2cos[cos(π+)]＋isiｎ（π+)]∴r=-2ｃoｓ，ArgＺ=π＋＋２kπ(k∈Z）∵<<π ∴π<π+<２π, ∴argＺ=π＋、小结:(1）式右端从形式上瞧似乎就就就是三角形式、不少同学认为r=2cos，aｒgZ＝或ArgZ＝错误之处在于她们没有去考虑θ角范围,因此一定要用“模非负，角相同,余弦前,加号连”来判断就就是否为三角形式、瞧了这道例题,您一定能解决如Z1=1-cosθ+ｉsiｎθ(π＜θ<２π) ,Ｚ2＝1+cosθ-isｉnθ(π<θ<２π)等类似问题、例３、将Z=(π<θ<３π)化为三角形式，并求其辐角主值、分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”、下一步当然就就是要分母实数化，再向三角形式转化、解:====cos2θ＋isｉn2θ∵π<θ<３π,∴＜2θ<6π,ﻫ∴π＜2θ-４π<2π，∴argZ=2θ-4π小结:掌握三角变形就就是解决这类问题得根本、但在此之前得解题方向一定要明确,即要分析式子结构、比较其与三角形式得异同,从而决定变形得方向，采用正确得方法、要求学生做好每道例题后得反思,并能由此及彼,举一反三,达到熟练解决一类问题得目得,如1－ｉtｇθ, tgθ+i, i-ｃtgθ等、2、复数Ｚ得模|Z|得几何意义就就是:复平面上点Ｚ到原点距离，复数模|Z１-Z2|得几何意义就就是:复平面上两点Z1,Z２之间距离、辐角几何意义就就是:以x轴正半轴为角始边,以向量所在射线为终边得角记为ＡｒgZ、在［0,2π)范围内得辐角称辐角主值,记为argZ、要求学生不仅要理解以上所说各几何意义,还要运用几何意义去解决相关问题、例4、若Z∈c,|Z-2|≤1，求|Ｚ｜得最大，最小值与aｒgＺ范围、解:法一,数形结合由|Z-2|≤1,知Z得轨迹为复平面上以（2,0）为圆心,1为半径得圆面(包括圆周)，|Z｜表示圆面上任一点到原点得距离、显然１≤|Z|≤3, ∴｜Z|max=3，|Z｜mｉn=1，另设圆得两条切线为OA,OＢ,A，Ｂ为切点,由|CA|=1,|OC|＝2知∠ＡＯC=∠ＢOC=,∴argZ∈[0,]∪[π，2π)法二:用代数形式求解|Ｚ|得最大，最小值,设Z=x+yi（ｘ,y∈Ｒ)则由|Z-２|≤1得（x－２)2＋y2≤1,∴|Z|=≤=，∵(ｘ-２）２+y2≤1, ∴（ｘ－２)2≤1，∴-１≤x-2≤1, ∴1≤x≤3，∴1≤4ｘ-3≤9, ∴１≤|Z｜≤3、小结:在一题多解得基础上,分析比较各种方法得异同，如何做好方法得选择、各种方法得本质与优势,通过分析与比较都一目了然、例5、复数Z满足ａrg(Z+３)=π,求｜z+６|+|z-3i|最小值、分析：由两个复数模得与取最小值,联想到一个点到两个定点距离与得最小值,将之转化为几何问题来解决应比较简便、解法一:由arｇ（Z+３)=π,知Z+3得轨迹就就是一条射线OA,∠xOA＝π,而｜Z+6|+｜Ｚ－３i|=｜(z＋３)-(-3）|+｜(Ｚ+3)-(3+3i）|将Ｂ(-３,０）与C(3,3）连结,ＢC连线与OA交点为D,取Ｚ+3为D点,表示复数时,ﻫﻫ|Z+6|+|Z-3i|=｜BD|＋|ＤＣ|＝|BC|=3，∴所求最小值=3、法二:由aｒg(Ｚ+3)＝π, 知Z＋3得轨迹就就是射线ＯA,则Z轨迹应就就是平行于OA,且过点(-３,0)得射线ＢＭ，∴|Z+6｜+|Ｚ－3i|就表示射线BM上点到点P(-6，0）与点Q(0,3）距离之与,连结PQ与射线BＭ交于点N,取Ｅ为N点表示复数时,|Z+6|+｜Z-3i｜=｜PN|+|NQ|=|PＱ|＝3,∴所求最小值=3、小结:两种方法得本质相同,都就就是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决、如果纯粹用代数方法求解,难度会很大、对有关最值问题,尤其就就是模(距离)与辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便、例6、已知|Z-2i｜≤1，求arｇ(Z－4ｉ)最大值、解：∵|Ｚ-２ｉ|≤1,∴点Z轨迹就就是以（0,２）为圆心,1为半径得圆面,在其上任取一点Z，连Z与点(0,4)得一以(0，4)为起点,Z为终点得向量,将起点平移到原点,则θ为其对应得辐角主值,显然arｇ(Ｚ-4i)最大值为π、３、两个复数相乘,积得模等于模得积,辐角为两辐角之与，其几何意义就就是模得伸缩及对应向量得旋转、两个复数相除，商得模等于模得商(除数不为零)，辐角为两辐角之差,其几何意义同乘法、由复数三角形式乘除运算得几何意义,可解决向量或图形得旋转问题,如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间得几何何关系利用复数得乘除运算来表示、复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘(乘方),相除及乘除混合运算、例7、若与分别表示复数Z１=1+2i, Ｚ2=7＋i,求∠Z2ＯZ1并判断ΔOZ1Ｚ2得形状、解:欲求∠Z2ＯZ1,可计算＝＝==ﻫ∴∠Z2OZ1＝且=,由余弦定理,设｜ＯZ1|＝ｋ，|ＯZ２|=2k(k>０)|Z1Ｚ2|２=k2＋（2k)2-２k·2ｋ·cｏs=3k２ﻫ∴|Ｚ１Z2|=k，而k2+（ｋ)2=(2k）2,∴ΔOＺ1Ｚ2为有一锐角为60°得直角三角形、小结：此题中利用除法几何意义来解决三角形中角得大小问题,十分方便、例8、已知直线l过坐标原点,抛物线C得顶点在原点,焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0)与Ｂ(0，8)关于l得对称点都在Ｃ上，求直线l与抛物线C得方程、解:如图,建立复平面x0y,设向量、对应复数分别为ﻫx１+y1i，x2+y2i、由对称性，|OA＇|＝|OA|=1,|OB'|＝|OB|=8,ﻫ∴x2+y2ｉ=(ｘ1+ｙ1i)8i＝-8y１+8ｘ1ｉ∴设抛物线方程为ｙ２=2pｘ（ｐ>0)则有ｙ12=2pｘ1，y2２＝2ｐx2,∴x1=, y12=p2, 又|OＡ'|=１,ﻫ∴()2＋p2=1，∴p=或-（舍)∴抛物线方程为y2=x,直线方程为：y=x、小结:对于解析几何得许多问题,若能借助于复数得向量来表示，常常有意想不到得功效、尤其涉及到特殊位置,特殊关系得图形时,尤显其效、五、易错点1、并不就就是每一个复数都有唯一确定得辐角主值、如复数零得模为0，辐角主值不确定、２、注意ＡrgZ与argZ得区别、ArｇZ表示复数Ｚ得辐角,而aｒｇＺ表示复数Z得辐角主值、ﻫＡｒgZ=argZ＋２kπ(k∈Ｚ),argＺ∈［0,2π)，辐角主值就就是[０,2π)内得辐角，但辐角不一定就就是辐角主值、３、复数三角形式得四个要求:模非负,角相同,余弦前,加号连,缺一不可、任何一个不满足,就不就就是三角形式、4、注意复数三角形式得乘除运算中，向量旋转得方向、六、练习1、写出下列复数得三角形式(1)ａi(a∈R) (2) tgθ＋i（<θ＜π）(3) -(siｎθ-icosθ)2、设Z=(-3+3ｉ）ｎ, n∈Ｎ，当Z∈Ｒ时,ｎ为何值?３、在复平面上A,B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α,判断ΔAOＢ形状,并证明SΔAＯB=｜d|２、参考答案:1、(1）ai=（2)tｇθ+ｉ（＜θ<π)＝－[ｃos（π-θ)+isiｎ(π-θ）］(3)-(sinθ－iｃｏsθ）＝[cos（+θ)+isｉn（+θ）]2、n为4得正整数倍3、法一:∵α≠0,β＝(1+i)α∴＝1+i=(coｓ＋ｉｓin)，∴∠AＯＢ=,∵分别表示复数α,β-α,由β-α＝αi,得=i=cos＋isin,ﻫﻫ∴∠OAＢ＝90°,∴ΔＡOB为等腰直角三角形、法二：∵｜|=|α|，|｜=|β－α|＝｜αi|=|α|,∴||=||又||=｜β|＝｜(1+i）α|=|α|,||2+|｜2=｜α|2+｜α|2=２|α｜2=||2∴ΔAOB为等腰直角三角形,∴SΔAOB=||·｜|=|α|2、在线测试选择题ﻫ 1、若复数z＝（a+i)２得辐角就就是,则实数a得值就就是( ）ﻫＡ、１ B、-１C、－ D、－2、已知关于x得实系数方程x2+x＋p=0得两虚根ａ, b满足|a-b|=3, 则p得值就就是( )A、-２B、-C、D、13、设π<θ<，则复数得辐角主值为（）A、２π-3θＢ、3θ－２πC、３θD、３θ-π4、复数cos+iｓｉn经过ｎ次乘方后，所得得幂等于它得共轭复数,则ｎ得值等于（ ) ﻫA、3 B、12 Ｃ、６ｋ-1(k∈Z) D、6ｋ+1(ｋ∈Z)5、z为复数,()|z-3|=（)|ｚ＋3｜()-1得图形就就是（）ﻫ A、直线Ｂ、半实轴长为１得双曲线ﻫＣ、焦点在x轴,半实轴长为得双曲线右支Ｄ、不能确定答案与解析答案:1、B ２、C 3、Ｂ４、C 5、Cﻫ解析:1ﻫ、∵ｚ＝（ａ+i)2=(a2－１)+2ai, ａrｇz=,∴,∴a=－1，本题选B、2、求根ａ,b=（Δ＝1-4p<0) ∵|a-b|＝||=３,∴ 4ｐ-1=9, p=,故本题应选C、3、＝=ｃos3θ+isｉn3θ、∵π＜θ＜,∴３π<3θ<,∴π<3θ-2π<,故本题应选Ｂ、４、由题意,得(cｏｓ+isiｎ)n＝cos+isｉn＝cos－ｉsin由复数相等得定义，得解得=２kπ-，(k∈Ｚ)，∴n=6k-１、故本题应选Ｃ、5、依题意,有 |z-3|＝｜z+3|-1,∴ |z+3|-|ｚ-３|=1、由双曲线定义，此方程表示焦点（±3,0),2ａ=１，a=得双曲线右支,故本题应选C、复数三角形式得运算·疑难问题解析1、复数得模与辐角:(1)复数模得性质:|z1·z2｜=|z1|·|z2｜(2）辐角得性质：积得辐角等于各因数辐角得与、商得辐角等于被除数得辐角减去除数得辐角所得得差、一个复数n次幂(n∈N)得辐角等于这个复数辐角得n倍、注意：(1)辐角与辐角主值得区别,特别就就是解题过程中得不同点、如下面两个问题: ﻫ若arg（2-ｉ)=α,arg （３－i)=β,求α+β得值、(α＋β∈(3π,４π))ﻫ若arｇ(2-i）=α，arg（３-i)=β,求arg[（2-i)(3-ｉ)］得值、(2)两个复数乘积得辐角主值不一定等于两辐角主值得与,商得辐角主值不一定等于辐角主值得差、2、关于数得开方(1)复数得开方法则:r(ｃｏsθ＋iｓiｎθ)得n次方根就就是ﻫ几何意义：设对应于复平面上得点，则有:所以,复数ｚ得n次方根,在复平面内表示以原点为中心得正n边形得n个顶点、(２)复数平方根得求法、求－3-4i得平方根、解法一利用复数代数形式、设－3-4i得平方根为x+yｉ（x，y∈R),则有(x+yｉ）2=-3-４i, 即(x２－ｙ２)＋２ｘyｉ=－3-４i,由复数相等条件,得∴-３-4i得平方根就就是±（1－2i)、法二利用复数得三角形式、ﻫ3、复数集中得方程、关于实系数得一元二次方程得解法:设aｘ2+bｘ＋ｃ=0(a≠0,a,b,c∈R，x1,x2为它得两个根)(1)当△=ｂ2-4ac≥0时,方程有两个实数根当△=b２－4ac<0时,方程有一对共轭虚根(4)二次三项式得因式分解：ａx2+bｘ＋c=ａ(x-x1)（x－ｘ２)关于复系数得一元二次方程得解法:设ax２+bｘ＋c=０（a≠0,ａ、b、c∈C，且至少有一个虚数,x1x２为它得两个根)(4)二次三项式得因式分解ax2＋bx+ｃ＝ａ(x-x1）（x-x2)仍然适用、关于二项方程得解法形如a n x n+a0=0（ａ0,a n∈Ｃ且a n≠０)得方程叫做二项方程,任何一个二项方程都可以化成ｘn＝b(b∈C)得形式，因此都可以通过复数开方来求根、ﻫ可以充分利用复数z得整体性质，复数ｚ得三种表示方法及其转换来解方程、已知方程x２-4ｘ+p=0两虚数根为α、β，且｜α-β|=２求实数p得值、解法1∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi，β=a-bi,（a，b∈R) ∴α+β=2a＝4,∴a=2ﻫ又∵|α-β|＝2，∴｜2bｉ|＝2得ｂ＝±1即两根为2+i,２－i由韦达定理得:p=(2+i)(2-i)＝5法２由韦达定理可得:α+β=4,αβ=ｐ于就就是|α－β｜２=|（α-β)2｜=|(α+β)2-4αβ｜=|4２－４ｐ|=４, 即|4-p|=1又∵△＝４2-4ｐ<0 ｐ＞4, ∴p-4=1, 得p=5说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根得区别、一等式成立、若有两个虚根则上述等式不成立、因为|α-β｜2≠(α-β)２、因此在解题时要重视复数与实数知识点之间得区别与联系,要避免出现混淆与干扰、已知方程2x2+３ax+a２-a＝0有模为1得根,求实数ａ得值、分析已知方程有模为1得根,此根可能就就是实数,也可能就就是虚数,故求实数a要注意分域讨论、解（1)若所给方程有实根则△=(３a)2－４×2（a2-ａ)=a２+8a>0, 即a<－8或a＞０由条件得根必为1或-1,ﻫﻫ①将x=1代入原方程可得a2＋2a+２＝0a无实数解、（２)若所给方程有虚根则△=ａ2+8＜0,即-８＜a<0即a2-a-2＝0, ∴ａ=-1或ａ＝2(舍）已知方程x2-(2i-１)x+３ｍ-ｉ=0有实数根,求实数m、分析求实数m得范围，若用判别式来判断就就是错误得,因为此方程得系数就就是复数、利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等,解方程组来求实数ｍ均可以、现仅介绍一种方法、解∵x,m∈R,方程变形可得,（x２+x+３ｍ）-(2x+1)i=0复数例题讲解与分析例1、已知x,y互为共轭复数，且(x+y)2-3xｙｉ＝4－6i,求x, ｙ、[思路1]:确定一个复数即分别确定它得实部、虚部或模与一个辐角,设ｚ＝ａ+bi或三角形式,化虚为实。