几种常见的特殊四边形的性质
长方形与平行四边形
长方形与平行四边形长方形和平行四边形是几何学中常见的图形，它们在我们的日常生活中随处可见。
本文将详细介绍长方形和平行四边形的定义、性质和应用。
一、长方形长方形是一种特殊的四边形，拥有一对相等且平行的边，以及四个直角。
以下是长方形的定义和性质：1. 定义：长方形是一种拥有四个直角的四边形，它的两对对边相等且平行。
2. 性质1：长方形的对角线相等，并且平分对角线的交点。
3. 性质2：长方形的相邻边相等且垂直。
4. 性质3：长方形的周长等于两个邻边的长度之和的两倍，即P = 2(l + w)，其中l和w分别代表长方形的长度和宽度。
5. 性质4：长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = l * w。
长方形的应用非常广泛。
例如，我们常见的书桌、窗户和门等都可以看作长方形的应用实例。
长方形的平行四边形形式也非常常见，下面将对平行四边形进行详细介绍。
二、平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形，它的两对边分别平行且相等。
以下是平行四边形的定义和性质：1. 定义：平行四边形是一种拥有两对平行边且相等的四边形。
2. 性质1：平行四边形的对角线能够互相平分。
3. 性质2：平行四边形的相邻角互补，即相邻角的和等于180度。
4. 性质3：平行四边形的对边相等。
5. 性质4：平行四边形的对角线长度可以通过勾股定理计算，即对角线长度的平方等于相邻边长度的平方和。
平行四边形也广泛应用于我们的日常生活中。
例如，门框、手提包和墙壁砖等都可以看作平行四边形的实际应用。
接下来将介绍长方形和平行四边形之间的关系。
三、长方形和平行四边形之间的关系长方形是平行四边形的一种特殊情况，即长方形拥有两对相等且平行的边。
因此，长方形可以被视为平行四边形的一种形式。
长方形和平行四边形在性质上也有许多共同点。
例如，它们的对角线都有特定的长度关系，都能够互相平分对角线，以及对角线上的点能够将平行四边形分为两个全等的三角形等。
在数学的几何证明中，长方形和平行四边形的性质和公式常常被用来推导其他图形的性质。
平行四边形的特殊情况
平行四边形的特殊情况1.矩形：矩形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：-所有四个角都是直角（即90度角）。
-对角线相等且互相垂直。
-两对相对边长度相等。
-任何一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形。
矩形的特点使得它有许多有用的性质。
例如，它的对角线相等，这意味着矩形是对称的。
此外，矩形的对角线相互垂直，因此可以使用勾股定理来计算其他长度。
矩形还可以通过计算边长之间的比例来解决一些问题，因为边长是相等的。
2.菱形：菱形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：-所有四个边相等。
-相对角相等且互相垂直。
菱形的特点使得它具有一些有趣的性质。
例如，菱形的对角线相互垂直，即对称中心是直角。
此外，菱形可以通过计算边长与对角线之间的比例来解决一些问题。
3.正方形：正方形是一种特殊的矩形和菱形，具有以下特点：-所有四个边相等。
-所有四个角都是直角（即90度角）。
-相对角相等且互相垂直。
-对角线相等且互相垂直。
-任意一条对角线将正方形分成两个全等的直角三角形。
-对角线平分了正方形的内角。
正方形是一种非常特殊和有用的平行四边形。
正方形的特点使得它具有对称性和计算简单的性质。
例如，正方形中的任意一条对角线都平分了正方形的内角，这意味着正方形是轴对称的。
此外，正方形的边长与对角线之间有特殊的关系，例如对角线等于边长乘以√2这三个平行四边形的特殊情况具有不同的性质和用途。
学习和理解这些特殊情况对于解决与平行四边形相关的几何问题非常重要。
同时，对这些特殊情况的深入理解也为我们探索更多几何形状和解决更复杂的几何问题奠定了基础。
数学特殊四边形的归纳总结
数学特殊四边形的归纳总结在数学中，四边形是指由四条线段组成的图形。
然而，有一些特殊的四边形具有独特的性质和特征。
本文将对几种常见的数学特殊四边形进行归纳总结，包括矩形、正方形、菱形、平行四边形和梯形。
一、矩形矩形是一种特殊的四边形，它具有以下性质：1. 两组对边相等且平行。
2. 对角线相等。
3. 内角为直角（90度）。
矩形是一种常见的四边形，它有许多实际应用，如建筑设计中的房间布局和绘画中的画框。
二、正方形正方形是一种特殊的矩形，它具有以下性质：1. 所有边相等且平行。
2. 所有角为直角（90度）。
3. 对角线相等且相互平分。
正方形是一种非常对称且稳定的四边形，它在几何学和工程学中经常被使用。
三、菱形菱形是一种特殊的四边形，它具有以下性质：1. 所有边相等。
2. 对角线相互垂直且相等。
菱形是一种具有双重对称性的四边形，它在纺织品设计和室内装饰中经常出现。
四、平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形，它具有以下性质：1. 对边相等且平行。
2. 对角线不相交。
3. 相对角相等。
平行四边形是一种常见的四边形，它在计算机图形学和建筑设计中得到广泛应用。
五、梯形梯形是一种特殊的四边形，它具有以下性质：1. 有两条平行边。
2. 其他两条边不平行。
3. 对角线不相交。
梯形是一种常见的四边形，它在建筑设计和地形测量中具有重要意义。
综上所述，数学特殊四边形包括矩形、正方形、菱形、平行四边形和梯形，每种特殊四边形都有独特的性质和特征。
熟练掌握这些特殊四边形的性质，对于解决与几何学相关的问题和应用具有重要意义。
无论是在学习数学知识还是日常生活中，这些特殊四边形都有广泛的应用和重要性。
四边形的性质
四边形的性质四边形是平面几何中特殊的图形，有着独特的性质和特点。
本文将探讨四边形的各种性质，包括角度、边长、对角线等方面，以便更好地理解和应用四边形。
1. 角度性质四边形的内角和等于360度。
任意四边形的四个内角之和为360度，这是四边形性质中最基本的一个规律。
而具体的角度大小则与四边形的种类有关。
2. 边长性质四边形的边长可以是相等的，也可以是不相等的。
根据边长的关系，四边形可以分为以下几种形式：(1) 矩形：具有四个边相等、四个角均为直角的四边形；(2) 正方形：具有四条边相等、四个角均为直角的矩形；(3) 平行四边形：具有两对边平行的四边形；(4) 菱形：具有四条边相等的四边形。
3. 对角线性质对角线是四边形内部的一条直线，连接四边形的两个非相邻顶点。
根据对角线的性质，我们可以得出以下结论：(1) 矩形和正方形的对角线相等且相互平分；(2) 平行四边形的对角线互相平分；(3) 菱形的对角线互相垂直且相等。
4. 对边性质四边形的对边可以分为两对，相邻边和非相邻边。
对于相邻边，我们有以下发现：(1) 矩形和正方形的相邻边相等；(2) 平行四边形的相邻边相等。
5. 其他性质除了上述角度、边长、对角线和对边的性质外，还有一些其他值得注意的性质：(1) 矩形和正方形的两组相对边平行且相等；(2) 平行四边形的两组相对边平行；(3) 菱形的两组相对边相等。
综上所述，四边形的性质包括了角度、边长、对角线、对边和其他特殊性质。
了解这些性质，能够帮助我们更好地识别和分类四边形，并在解题和实际应用中灵活运用。
（以上内容仅供参考，具体内容可根据需要进行补充和修改）。
特殊的四边形及三角形的定义性质判定相关计算公式
特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：1平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,不是轴对称图形;关于对称性的2平行四边形的对角相等；关于角的3平行四边形的邻角互补；关于角的4平行四边形的对边相等；推论：夹在两条平行线间的平行线段;关于边的5平行四边形的对边平行；关于边的6平行四边形的对角线互相平分;关于对角线的7连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形;关于中点四边形的3.平行四边形的判定方法：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定义判定法2两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4两组对角相等的四边形是平行四边形；5对角线互相平分的四边形是平行四边形;4. 相关计算公式：平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则S=ah平行四边形周长：2×底1+底2；如用“a"表示底1,“b”表示底2,“c“表示平行四边形周长,则C=2a+b5.平行四边形中常用辅助线的添法：1连结对角线或平移对角线；2过顶点作对边的垂线构成直角三角形；3连结对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线；4连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形；5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等;矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形;2.矩形的性质：1矩形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,对称轴共有两条；关于对称性的2矩形的对角相等；关于角的3矩形的邻角互补；关于角的4矩形的对边相等；关于边的5矩形的对边平行；关于边的6矩形的对角线互相平分；关于对角线的7矩形的四个角都是直角；关于角的8矩形的对角线相等;关于对角线的9矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等3.矩形的判定方法：1有一个角是直角的平行四边形是矩形；定义判定法2对角线相等的平行四边形是矩形；3关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形4对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形5有三个角是直角的四边形是矩形；6四个内角都相等的四边形为矩形；7对角线互相平分且相等的四边形是矩形；8对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形;4.相关计算公式矩形面积：S=ah注:a为边长,h为该边上的高S=ab注:a为长,b为宽矩形周长：C=2a+b注:a为长,b为宽顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.菱形的性质：1菱形既是,是两条对角线所在直线,也是中心对称图形；2在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍;3菱形的对角相等；关于角的4菱形的邻角互补；关于角的5菱形的对边相等；关于边的6菱形的对边平行；关于边的7菱形的对角线互相平分；关于对角线的8菱形的四边都相等；关于边的9菱形的对角线互相垂直,且平分各内角；关于对角线的10顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;关于中点四边形的3.菱形的判定方法：1一组邻边相等的平行四边形是菱形；定义判定法2对角线相互垂直的平行四边形是菱形；3关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；4四条边都相等的四边形是菱形;4. 相关计算公式：菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半;只要是对角线互相垂直的四边形都可用正方形1.正方形的定义：1四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形;2有一组邻边相等的矩形是正方形;3有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形;4有一个角为直角的菱形是正方形;5对角线平分,垂直且相等,并且交角为直角的四边形为正方形;2.正方形的性质：1既是中心对称图形,又是有四条对称轴；关于对称性的2正方形的对角相等；关于角的3正方形的邻角互补；关于角的4正方形的对边相等；关于边的5正方形的相邻边互相垂直；关于边的6正方形的对边平行；关于边的7正方形的对角线互相平分；关于对角线的8正方形的四个角都是直角；关于角的9正方形的对角线相等;关于对角线的10正方形的四边都相等；关于边的（11）正方形的对角线互相垂直,且平分各内角;关于对角线的3.正方形的判定方法：1有一组邻边相等的矩形是正方形；2对角线互相垂直的矩形是正方形；3有一个角为直角的菱形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；6四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；7四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形；8对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形;4.相关计算公式：面积计算公式：S=边长×边长或：S=对角线×对角线÷2周长计算公式: C=4×边长顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形;等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形;2. 等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等；简写成“等边对等角”2等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合；简写成“三线合一”3等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等4等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；5等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；需用等面积法证明7等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴;3. 等腰三角形的判定方法：1有两条边相等的三角形是等腰三角形2有两个角相等的三角形是等腰三角形简称：等角对等边等边三角形1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形;等边三角形是特殊的等腰三角形;注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形2.等边三角形的性质：1等边三角形的内角都相等,且为60度；2等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；三线合一3等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线;3.等边三角形的判定方法：首先考虑判断三角形是等腰三角形1三边相等的三角形是等边三角形；定义2三个内角都相等的三角形是等边三角形；3有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；4等边三角形是锐角三角形；5有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形;等腰梯形1.等腰梯形的定义:一组对边平行不相等,另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形;2.等腰梯形的性质：1等腰梯形只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴；2等腰梯形在同一底上的两个角相等；3等腰梯形的两腰相等；4等腰梯形的两底平行；5等腰梯形的两个底角相等；6等腰梯形的对角线相等；7等腰梯形内接于圆;3. 等腰梯形的判定方法：1一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形；2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3对角线相等的梯形是等腰梯形；4一组对边平行不相等,另一组对边相等不平行的四边形是等腰梯形；5对角线相等,形成两个等腰三角形;4.相关计算公式等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半；等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高;直角三角形1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形;2.直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质：1直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;2在直角三角形中,两个锐角互余;3在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R＝C/2;4直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积;5在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半;3.直角三角形的判定方法：1有一个角为90°的三角形是直角三角形；2一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；3若a的平方＋b的平方=c的平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；勾股定理的逆定理;4若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；5两个锐角互余的三角形是直角三角形;。
四边形的认识与四边形的性质
四边形的认识与四边形的性质四边形是几何学中常见的图形之一，它由四条线段组成，每条线段称为边，相邻的两条边形成一个角。
在几何学中，我们对四边形的性质有深入的认识，下面将从不同角度来探讨四边形的认识和性质。
一、四边形的定义和基本构成四边形是由四条线段连接而成的几何图形，这四条线段两两相邻，并形成四个角。
简单来说，四边形就是一个有四个角的图形。
四边形的性质取决于其各边和角的特性，下面将讨论几个常见的四边形及其性质。
二、矩形的性质矩形是一种特殊的四边形，其特点是四个角均为直角，即每个角都是90度。
此外，矩形的对边相等且平行，且相邻边相互垂直。
由于矩形的特殊性质，我们可以推论出矩形的其他性质，如矩形的对角线相等且垂直，矩形的任意两条边互为平行边等等。
这些性质使得矩形在计算面积和周长时具有较大的便利性。
三、平行四边形的性质平行四边形是另一种常见的四边形，其特点是具有对边平行且相等。
由于平行四边形的对边平行，我们可以推论出平行四边形的其他性质。
平行四边形的对角线互相平分，即将平行四边形的一个角对角线相交划分成两个相等的角。
此外，平行四边形的相邻角互补，即相邻的两个角和为180度。
四、菱形的性质菱形是一种特殊的平行四边形，其特点是具有两组相等的邻边。
由于菱形的特殊性质，我们可以推论出菱形的其他性质。
菱形的对角线互相垂直且相互平分，即将菱形的一个角对角线相交划分成两个相等的角。
此外，菱形的内角均为90度。
五、特殊四边形的性质在四边形中，有一些特殊的图形具有独特的性质。
例如正方形是一种特殊的矩形，其特点是具有四个相等的角和四条相等的边。
此外，梯形是另一种特殊的四边形，其特点是具有一对平行边，并且这对平行边之间的距离不相等。
六、四边形的其他性质除了上述提到的特殊四边形外，一般的四边形也有一些其他的性质。
四边形的内角和等于360度，即四个角的度数之和为360度。
此外，任意四边形的对边之和相等，即将四边形的两条对边相加得到的结果相等。
平行四边形几何形中的特殊四边形
平行四边形几何形中的特殊四边形在几何学中，平行四边形是一种具有特殊性质的四边形。
在平行四边形中，存在一些特殊的四边形，它们具有独特的性质和特点。
本文将重点介绍平行四边形中的特殊四边形，包括矩形、菱形和正方形。
1. 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个内角都是直角（即90度）。
除此之外，矩形的对边长度相等，即相对的两条边具有相等的长度。
这个性质使得矩形拥有许多特殊的性质和应用。
作为特殊的平行四边形，矩形具有以下性质：- 矩形的对边互相平行。
- 矩形的对边长度相等。
- 矩形的对角线相等且互相平分。
矩形广泛应用于建筑、艺术和工程领域。
其拥有良好的稳定性和美观性，因此常用于设计房屋、绘画和制作家具等。
2. 菱形菱形也是一种特殊的平行四边形，它的四个边长相等。
菱形的内角不一定是直角，但相邻两个内角的和为180度。
菱形具有一些与矩形不同但同样重要的性质。
作为特殊的平行四边形，菱形具有以下性质：- 菱形的对边互相平行。
- 菱形的对角线互相垂直，且相等长。
- 菱形的对角线平分内角。
菱形的应用领域很广泛，包括室内设计、几何建模和纺织工艺等。
其独特的形状和美学特点，使得菱形在设计和装饰中得到广泛运用。
3. 正方形正方形是一种特殊的矩形，它具有独特的性质和特点。
正方形的四条边相等，且内角都是直角（90度）。
这使得正方形成为最简单和最常见的特殊四边形。
作为特殊的平行四边形，正方形具有以下性质：- 正方形的四条边互相平行。
- 正方形的四条边相等长。
- 正方形的对角线相等且互相垂直。
正方形是几何学中最重要的形状之一，它拥有许多重要的应用。
正方形在建筑设计、城市规划和数学模型等领域中得到广泛应用。
综上所述，平行四边形是一类重要的几何形状，其中矩形、菱形和正方形是具有特殊性质的四边形。
它们各自具有独特的性质和特点，广泛应用于不同领域。
了解这些特殊四边形的性质和应用，有助于我们更好地理解和应用几何学知识。
四边形的性质及应用
四边形的性质及应用四边形是平面几何中最基础且重要的图形之一，具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨四边形的性质，并介绍一些相关的实际应用。
一、四边形的定义和基本性质四边形是一个具有四条边和四个顶点的图形。
根据四边形的边长和角度是否相等，可以进一步分类为平行四边形、矩形、正方形、菱形和梯形等不同类型。
1. 平行四边形：具有对边平行的四边形。
其特点是相对的边相等且平行，相对的角相等。
2. 矩形：具有对边相等且相互垂直的四边形。
其特点是所有角都为直角。
3. 正方形：具有对边相等且相互垂直的矩形。
其特点是所有边和角都相等。
4. 菱形：具有对边相等的四边形。
其特点是所有角都为锐角。
5. 梯形：具有两对对边平行的四边形。
其特点是有一对对边是平行的。
二、四边形的性质1. 任意四边形的内角和等于360度。
这是四边形的基本性质，适用于所有四边形。
2. 平行四边形的对边相等且平行，相对的角相等。
3. 矩形的对边相等且相互垂直，所有角都为直角。
4. 正方形的所有边和角都相等，且角都为直角。
5. 菱形的所有边相等，所有角都为锐角。
6. 梯形有一对对边是平行的，其他边和角都没有特殊要求。
三、四边形的应用四边形在现实生活和工程实践中具有广泛的应用，下面将介绍其中的一些应用领域。
1. 建筑设计：四边形在建筑设计中常用于设计房屋的地形、空间布局和外观等方面。
平行四边形可以用来设计大厅和走道的地砖铺设，矩形则常用于房屋的窗户和门等设计。
2. 地理测量：四边形的性质在地理测量中具有重要的应用。
通过测量和计算四边形的边长和角度，可以确定地理位置和测量地形的高度和坡度等。
3. 工程建设：四边形的性质在航空、船舶和道路工程等方面有着广泛的应用。
例如，矩形和正方形在建造跑道和桥梁等工程中常用于确定结构的平整度和垂直度。
4. 图形计算：四边形的性质在计算机图形学和计算机辅助设计领域具有广泛的应用。
通过使用四边形的性质和算法，可以实现图像的变形、渲染和模拟等操作。
特殊的四边形总结
知识点总结一、特殊的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
（3）判定定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。
（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
（4）面积：3.正方形：（1）定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
（2）性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。
正方形既是矩形，又是菱形。
（3）正方形判定定理：①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④邻边相等的矩形是正方形⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。
矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。
2.矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。
而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。
三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：常见考法（1）利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算；（2）灵活运用判定定理证明一个四边形（或平行四边形）是菱形、矩形、正方形；（3）一些折叠问题；（4）矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。
特殊的四边形（归纳）
特殊的平行四边形知识点一：矩形的定义要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（嘿嘿嘿）知识点二：矩形的性质要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。
此外，它还具有如下特殊性质：1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法要点诠释：1. 用矩形的定义：一个角是直角的平行四边形是矩形；2.有三个角是直角的四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形；4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点五：菱形的性质要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
知识点六：菱形的判定办法要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.归纳整理，形成认知体系1．复习概念，理清关系2．集合表示，突出关系3．性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·两组对边分别平行；·两组对边分别相等；·一组对边平行且相等;·两组对角分别相等；·两条对角线互相平分.·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)
第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。
巧学特殊四边形的性质及判定
巧学特殊四边形的性质及判定2019-10-10摘要：特殊四边形在⽣活中有⾮常⼴泛的应⽤，也是现⾏教材中的⼀个重点和难点。
⽽⼤部分学⽣学习完后，觉得它的性质及其判断混乱⽆章，极难理解及记忆。
关键词：四边形；直线；图形⼀、特殊四边形的性质1.从对称性上说（1）平⾏四边形是中⼼对称图形，不是轴对称图形。
对⾓线的交点为对称中⼼。
（2）矩形既是中⼼对称图形，⼜是轴对称图形。
对⾓线的交点为对称中⼼，对称轴为对⾓线所在的直线及过对边中点的直线。
（3）菱形既是中⼼对称图形，⼜是轴对称图形。
对⾓线的交点为对称中⼼，对称轴为对⾓线所在的直线。
（4）正⽅形既是中⼼对称图形，⼜是轴对称图形。
对⾓线的交点为对称中⼼，对称轴为对⾓线所在的直线及过对边中点的直线。
（5）等腰梯形是轴对称图形，但不是中⼼对称图形。
过上、下底中点的直线为对称轴。
2.从边上说（1）平⾏四边形的对边平⾏且相等。
（2）矩形的对边平⾏且相等。
（3）菱形的四边相等，对边平⾏。
（4）正⽅形的四边相等，对边平⾏。
（5）等腰梯形的两腰相等，上、下底平⾏。
3.从⾓上说（1）平⾏四边形的对⾓相等，邻⾓互补。
（2）矩形的四⾓相等，每个⾓为90°。
（3）菱形的对⾓相等，邻⾓互补。
（4）正⽅形四个⾓相等，都等于90°。
（5）等腰梯形同⼀底上的两个⾓相等，同⼀腰上的两个⾓互补。
4.从对⾓线上说（1）平⾏四边形的对⾓线互相平分。
（2）矩形的对⾓线互相平分且相等。
（3）菱形的对⾓线互相垂直平分，且每⼀条对⾓线平分⼀组对⾓。
（4）正⽅形的对⾓线互相垂直平分且相等，每⼀条对⾓线平分⼀组对⾓。
（5）等腰梯形的对⾓线相等。
5.⾯积计算⽅法（1）平⾏四边形的⾯积=底×⾼。
（2）矩形的⾯积=相邻两边的乘积。
（3）菱形的⾯积=底×⾼，菱形的⾯积=对⾓线的乘积的■。
（4）正⽅形的⾯积=边长的平⽅，正⽅形的⾯积=对⾓线的乘积的■。
（5）梯形的⾯积=■（上底+下底）×⾼。
一-四边形与特殊四边形的关系
6.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ B ）
(A)一组对角相等。
(B)两条对角线互相平分。
(C )两条对角线互相垂直。 (D)一对邻角的和为180°。
7.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ） (A)等边三角形。(B)平行四边形。(C )菱形。(D)等腰梯形。
8.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
(A) (B)
(C )
(D)
9.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（D ）
(A) AB =CD, AD =BC。(B) BC // AD。
(C ) AB//DC, AD//BC。 (D) AB =CD，AD//BC。
（三）填空题：
1.两条对角线 相 等 的平行四边形是矩形。 2.两条对角线 互相平分且相等 的四边形是矩形。
六、平行线等分线段定理
P
G.
. 如果一组平行线在一条直线E上截得F的线段相等，那么在其他 . 直线上截得的线段也相等。
A
D
C
七、三角形、梯形中位线定理
B A
1. 三角形的中位线定理：
D
E
则有如图D，E 三// B角C形AB；C中，DAE D==D12 BBC，AE=E。C，
B
C
2. 梯形的中位线定理：
（二）选择题：
1.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ D ）。 (A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等；
(C )一组对边平行，一组对角相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）。
(A)对角线互相平分。
(B)对角线相等。
特殊的平行四边形的性质与判定
特殊的平行四边形的性质与判定
1、平行四边形+直角=矩形
2、平行四边形+一组邻边相等=菱形
3、平行四边形+直角+一组邻边相等=正方形
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.性质：（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）三个角是直角的四边形是矩形
菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.性质：（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四边相等的四边形是菱形
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形
正方形
1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.性质：既具备矩形的性质，又具备菱形的性质
3.判定：
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：有一个角为直角的菱形是正方形。
3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
四边形的性质
四边形的性质四边形是几何学中一个重要的概念，它是由四条线段组成，形成一个封闭的图形。
四边形有许多性质和特点，本文将为您介绍一些与四边形相关的性质，并解释其背后的原理和应用。
一、四边形的定义四边形是由四条线段连接而成的一个几何图形。
它的特点是有四个顶点、四条边和四个内角。
四边形可以根据边长和角度的不同形成不同的类型，如矩形、平行四边形、菱形等。
二、四边形的内角和任意一个四边形的内角和等于360度。
这一性质可以通过几何证明得出，具体过程略。
三、平行四边形的性质平行四边形是一类特殊的四边形，它的对边是平行的。
平行四边形的性质有以下几点：1. 对边相等：平行四边形的对边长度相等，即相对边的长度是一样的。
2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即将平行四边形的两个对角线相交，相交点处的角是两个对角线互相平分的。
3. 内角和：平行四边形的内角和也是360度，证明过程类似于四边形内角和的证明。
四、矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它的内角都是直角（90度）。
矩形的性质包括以下几个方面：1. 边长相等：矩形的相邻边长相等，即对边是相等的。
2. 对角线相等：矩形的对角线相等，即连接矩形相对顶点的对角线长度相等。
3. 对角线互相平分：矩形的对角线互相平分，即连接矩形相对顶点的对角线在交点处平分角度。
五、菱形的性质菱形是一种具有特殊形状的四边形，它的边长相等。
菱形的性质有以下几点：1. 对边平行：菱形的对边是平行的，可以通过菱形的定义和性质证明。
2. 对角线互相垂直：菱形的对角线互相垂直，即连接菱形相对顶点的对角线互相垂直。
3. 对角线互相平分：菱形的对角线互相平分，即连接菱形相对顶点的对角线在交点处平分角度。
六、其他四边形的性质除了平行四边形、矩形和菱形外，还有许多其他类型的四边形，例如梯形、矩形等。
这些四边形的性质和特点与前述的四边形有所不同，但同样也具有一些独特的性质。
七、应用举例四边形的性质在现实生活中有广泛的应用。
几种特殊平行四边形的性质和判定
3.一组对边平行且相等
4.两组对角分别相等
5.两条对角线互相平分
1.有三个角是直角的四边形
2.有一个角是直角的平行四边形
3.对角线相等的平行四边形
1.四边相等的四边形
2.每条对角线平分一组对角的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
4.有一组邻边相等的平行四边形
1.有一个角是直角的菱形
2.对角线相等的菱形
3.有一组邻边相等的矩形
4.对角线互相垂直的矩形
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S=底×高
S=底×高
S=底×高=对角线乘积的一半
S=边长×边长
几种特殊平行四边形的性质和判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角对角相等对角相等并且个角都是直角对角相等四个角都是直角
对角线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判
定
1.两组对边分别平行
特殊平行四边形的性质和判定总结
判定：
平行四边形的对边平行且相等
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的对角相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的对角线互相平分
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的邻角互补
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一．平行四边形的性质及判定：
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
二．面积公式
1．平行四边形=底✖️高
2．矩形=长✖️宽
3．菱形=对角线✖️对角线➗2
=底✖️高
4．正方形=边长✖️边长
=对角线✖️对角线➗2
平行四边形___________________菱形
性质：
判定
菱形具有平行四边形的所有性质
边
四条边相等的四边形是菱形
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
3.正方形：
平行四边形____________________________________正方形
特殊的平行四边形：
1.矩形：
平行四边形___________________矩形
性质：
判定
矩形具有平行四的平行四边形是矩形
矩形的四个角都是直角
有三个角是直角的四边形是矩形
矩形的对角线相等
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2.菱形（重点）：
性质：
判定：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
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一、几种常见的特殊四边形的性质
平行四边形：①对边平行且相等；②对角相等、邻角互补；③对角线互相平分；④是中心对称图形。
矩形：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线相等且平分；
④既是轴对称图形、又是中心对称图形。
菱形：①对边平行、四条边都相等；②对角线相等、邻角互补；③对角线垂直且平分、平分一组对角；④既是轴对称图形、又是中
心对称图形。
正方形：①对边平行、四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线互相垂直相等且平分；④既是轴对称图形、又是中心对称图形。
等腰梯形：①两底平行、两腰相等；②同一底边上的两个角相等；③对角线相等；④是轴对称图形。
二、几种常见的特殊四边形的判定：
平行四边形：①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；
③两组对角分别相等的四边形；④对角线互相平分的四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形。
矩形：①有一个是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；
③有三角是直角的四边形。
菱形：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边相等的四边形。
正方形：①四条边相等、四个角相等的四边形；②有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形；③一组邻边相等的矩形；④有一个角
是直角的菱形；⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形；⑥对
角线互相垂直的矩形；⑦对角线相等的菱形；⑧对角线垂直平
分且相等的四边形。
等腰梯形：①对角线相等的梯形；②同一底上两个角相等的梯形。
三、其它知识点：
1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形中位线定理：平行且等于第三边的一半。
2. 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线。
梯形中位线定理：平行于梯形的两底且等于上下底和的一半。
3. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
4. 线段的重心是中点；平行四边形的重心是对角线的交点。
5. 三角形的重心是三边中线的交点。
这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。