第二章 二阶线性偏微分方程的分类

第二章 二阶线性偏微分方程的分类

1．把下列方程化为标准形式：

（1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为

022211212=⋅-=-a a a a a a

所以该方程是抛物型方程，其特征方程为

12

2=-±=a

a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =-

在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。

方法一：用抛物型方程的标准形式

][1

2122

F Cu u B u B A +++-

=ηξηηη 先算出：

⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎧-====⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=++++=⋅+-+⋅+⋅+⋅=++++==⋅+⋅+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112

2122121112

221221122η

ηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1

u bu u c b a

u +++--=ηξηη

即

01

=++-+

u a

u a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη

（2）06232=++--y x yy xy xx u u u u u ，

解：因为0422112

12

>=-a a a ，所以该方程是双曲型的其特征方程为 ⎩⎨⎧-=+±-=31

1

311dx dy ，

特征线为1c y x =-和23c y x =+。

故可令y x -=ξ，y x +=3η，在双曲型方程的标准型式，

][21

2112

F cu u B u B A u +++-

=ηξξη 中，先算出，

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧===++++=-=++++==++=⋅--+⋅-+⋅-+⋅⋅=+++=0,0 122B 42B

8323 1)1)(3(]3)1(11)[1(311

)(212212112212212111

22121112F C b b a a a b b a a a a a a A y x yy xy xx y

x yy xy xx y y x y y x x x ηηηξηξξξξξηξηξηξηξ

∴]124[16

1

ηξξηu u u +--=

即

034=+-ηξξηu u u ，

（3）0254=++++y x yy xy xx u u u u u 解：因为

012211212<-=-a a a

所以该方程是椭圆型的，其特征方程为

i dx dy ±=-±=21

5222 特征线为：1)2(c y x i =-+和2)2(c y x i =--， 故可令

y x i -+=)2(ξ，y x i --=)2(η

为计算方便，又令

⎪⎩

⎪⎨⎧=-=-=+=x

i y x )(21

2)(21ηξβηξα 在椭圆型方程的标准形式：

]2)()[(1

122112

F cu u B B i u B B A u u a aa ++-++-

=+βββ 中，先算出，

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=++++==++++==+++=

0,02 22)(212212112

21221211122121112F C i b b a a a B i b b a a a B a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x y y x x x ηηηηξξξξξξηξηξηξηξ

∴])2([2

1

βββu i i u u aa --=+

即

0=++βββu u u aa 。

改变自变量α、β的记号为ξ、η，则0=++ηηηξξu u u （4）0=+yy xx yu u

解：y a a a -=-22112

12

（i ）如0

12

>-=-y a a a ，该方程为双曲型。 其特征方程为：

y dx dy -=，和y dx

dy --= 其特征线为：12c y x =-+和22c y x =-- 故可令：y x -+=2ξ，y x --=2η 在双曲型方程的标准形式

][21

2112

F cu u B u B A u +++-

=ηξξη 中，先算出

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪⎪

⎪

⎪⎨

⎧==-=-=

++++=-=--=++++==---++=+++=

0 0 2

212 2212 2)1

)(1(01)(21221211221221211122121112F C y b b a a a B y b b a a a B y y y a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x y y x x x ηξηηηηηηξξξξξξηξηξηξηξ 所以原方程化为

0)(2

1

)(=-+-ηξξηηξu u u

（ii ）如0>y ，则022112

12

<-=-y a a a ，该方程为椭圆型。 其特征方程为

i y dx dy =和i y dx

dy -= 特征线为

12c i y x =+和22c i y x =-

故可令

i y x 2+=ξ，i y x 2-=η

为方便计，又令

x =+=)(21ηξα，y i 2)(21

=-=ηξβ或4

2β=

y 则

aa xx u u =，y

u u y 1β

=,y u u y u yy 1

212/3βββ+-=,

原方程为

021=-

+βββααu y

u u ,

即

01

=-

+βββααβ

u u u 。

把符号βα,换成ηξ,，就有01

=-+ηηηξξη

u u u 。