第二章 二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
二阶线性偏微分方程的分类
1 1 令 ( s t ), ( s t )uss utt A1us B1ut C1u D1 2 2 此方程二阶导数部分与弦振动方程类似，称为双曲型方程。
2 (2)当 =a12 -a11a22 =0时u =Au +Bu Cu D 1 2
0 0
多元二阶线性方程的分类
(3) A( x0 )的m个特征值都是负（正）数方程)在点x0属于椭圆型 2u 2u 2u 位势方程：u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ) x y z -1 A= 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0
三类典型方程
位势方程
椭圆型方程
2u 2u 2u u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ), x, y, z ) , x y z 在热传导问题中，若外界环境及物体内热源不随时间变化， 则经过较长时间后，物体内温度场区域稳定，即温度与时间无关。 2 2 2 = 2 + 2 + 2 是Laplace算子。 x y z f ( x, y, z )=0时称为Laplace方程，也称为调和方程。
多元二阶线性方程的分类
(1) A( x0 )的m个特征值除了一个为正（负）外都是负（正）数 方程)在点x0属于双曲型 -a 2 0 0 2 2 0 0 u u 波动方程： 2 a 2 2 f ( x, t ) A= 2 t x 0 0 -a 0 0 0 0 1 (2) A( x0 )的m个特征值除了一个为0外都是负（正）数 方程)在点x0属于抛物型 -a 2 2 2 2 u u u u 2 热传导方程： a（ + 2 + 2） f ( x, y, z , t ) A= 2 0 t x y z 0 0 0 -a 2 0 0 0 0 0
2二阶方程的分类【知识点提示】二阶方程的分类：双曲型偏微分方程
§2 二阶方程的分类【知识点提示】二阶方程的分类：双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程。
【重、难点提示】辨别方程的类型并化为标准型；化多个自变量的二阶方程为标准型。
【教学目的】本节主要介绍二阶方程的分类：双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程，并使学生掌握辨别方程的类型，将一般方程化为标准型。
【教学内容】第二节 二阶方程的分类 2.1. 两个自变量的情形 2.2. 多个自变量的情形2.1. 两个自变量的情形我们先考虑两个自变量的线性偏微分方程2xx xy yy x y au bu cu du eu gu f +++++=, (2.1)其中a b c 和d e g ,,,,,f 都是x y ,的已知函数, 且在xoy 平面上的某区域Ω内具有二阶连续偏导数. 假设在内的每一点处, Ωa b c ,,都不同时为零.现在利用特征的性质对方程(2.1)进行分类. 我们知道特征概念仅与方程的最高阶导数项有关, 即与其二阶导数项的系数有关, 换句话说, 方程(2.1)的特征概念仅与它的主部有关.在讨论二阶偏微分方程的分类过程中, 常包含有化方程为标准形式的问题, 这种通过变换使方程得到简化是研究偏微分方程常用的手段,也就是说在我们研究一个方程的求解问题时, 先运用自变量变换或函数变换将方程的形式尽量化简, 使其具有典型性. 设在点的邻域内, 这时(2.1)的特征方程可写为00(P x y ,)0a ≠dy b dy b dx a dx a+== (2.2)其中通常称为方程(2.1)的判别式. 作自变量变换2b a ∆=-c ()()x y x y ξϕηψ=,,⎧⎨=,,⎩ (2.3) 则方程(2.1)变为如下形式:222222u u u A B C ξξηη∂∂∂F +++=∂∂∂∂ . (2.4) 在自变量变换(2.3)下, 方程(2.1)的判别式∆与(2.4)的判别式2B AC '∆=-之间有如下关系:2J '∆=∆, (2.5)其中表示变换(2.3)的Jacobi 行列式:J x yx yJ ϕϕψψ=.事实上, 由复合函数的微分法, 我们有u u u x x x ξηξη∂∂∂∂∂=+,∂∂∂∂∂ u u u y y yξηξη∂∂∂∂∂=+,∂∂∂∂∂ 222222222222()2()u u u u u u 2x x x x x x x ξξηηξηξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂, 22222222()u u u u u u x y x y x y y x x y x y x yξξξηξηηηξξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂η, 222222222222()2()u u u u u u y y y y y y 2yξξηηξηξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂, 代入方程(2.1),得222222u u uA B C ξξηη∂∂∂+++∂∂∂∂ F =, 其中22()2x x y y A a b c ξηϕϕϕϕ,=++,()()x x x y y x y B a b c y ξηϕψϕψϕψϕψ,=+++,22()2x x y y C a b c ξηψψψψ,=++.通过简单的计算，我们知道(2.5)成立.注1 关系式(2.5)表明在可逆自变量变换(2.3)下, 即0J ≠时, 方程的判别式的符号保持不变.注2 在可逆自变量变换(2.3)下, 线性二阶偏微分方程(2.1)仍化为线性二阶偏微分方程(2.4). 事实上, 由22322202x x y yx x x y y x y y x x y yJ ϕϕϕϕϕψϕψϕψϕψψψψψ+=≠,知()A ξη,, ()B ξη,, (C )ξη,不同时为零.利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性这一性质, 我们来对方程(2.1)进行分类.定义3.1 设是一个区域, 2Ω⊂R 00()x y ,∈Ω.(i) 若, 则称方程(2.1)在点00()x y ∆,>0)00(x y ,处为双曲型偏微分方程, 若在内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的, 则称(2.1)在ΩΩ内为双曲型偏微分方程;(ii) 若, 则称方程(2.1)在点00()x y ∆,=0)00(x y ,处为抛物型偏微分方程, 若在Ω内的每一点处, 方程(2.1)都是抛物型的, 则称(2.1)在Ω内为抛物型偏微分方程;(iii) 若, 则称方程(2.1)在点00()x y ∆,<0)00(x y ,处为椭圆型偏微分方程, 若在Ω内的每一点处, 方程(2.1)都是椭圆型的, 则称(2.1)在Ω内为椭圆型偏微分方程.注3 根据连续性，由在一点大于零或小于零可推得∆∆在该点的某邻域中也是如此. 所以方程为双曲型或椭圆型的性质总是在一个区域中成立的, 即若方程(2.1)在点00()x y ,是双曲型或椭圆型的，则它必在00()x y , 的某邻域内是双曲型或椭圆型的. 反之，在一点等于零并不能告诉我们它在这一点的邻域中的符号.因此，我们又有：∆ 定义3.2 若方程(2.1)在区域的一个子区域上为双曲型的，在ΩΩ的另一个子区域上为椭圆型的，则称方程(2.1)在区域Ω中为混合型方程; 若方程(2.1)在区域Ω的一个子区域上为双曲型的，在的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区域中为退化双曲型方程; 若方程(2.1)在区域ΩΩΩ的一个子区域上为椭圆型的，在Ω的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区域Ω中为退化椭圆型方程.由(2.5)我们知道, 在可逆自变量变换(2.3)下, 方程的类型保持不变, 即可逆自变量变换(2.3)将双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程, 椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程,椭圆型偏微分方程). 因此, 为了求解方程(2.1), 我们常常需要找一个可逆的自变量变换, 将方程(2.1)化成简单形式, 即标准型.下面我们分别给出双曲型、 抛物型和椭圆型偏微分方程的标准型.为了简便起见, 我们不妨假设方程(2.1)的系数都是常数, 即2(xx xy yy x y au bu cu du eu gu f x y +++++=,), (2.6)其中a b c 都是常数, 由于判别式d e g ,,,,,2b ac ∆=-是常数, 所以方程(2.6)在区域中所有点处都是同一类型的.(i) 当时, 其特征线是两族不同的实曲线0∆>1122()()x y y x c x y y x c ϕλψλ,=-=,⎧⎨,=-=,⎩其中12λλ== 且为任意常数.12c c , 利用这两族实特征线, 作可逆自变量变换12()()x y y x x y y x ξϕληψλ=,=-,⎧⎨=,=-⎩,(2.7)这时方程(2.6)变成()u Du Eu Gu F ξηξηξη=+++,,(2.8)其中都是常数. 我们称这一形式为双曲型方程的第一标准型. D E G ,, 若再引入新的自变量变换x y ξηξη=+,=-,则方程(2.8)又可化成1111()x x y y x y u u D u E u G u F x y -=+++,, (2.9)其中都是常数. 我们称这一形式为双曲型方程的第二标准型.111D E G ,, (ii) 当时,此时0∆=12b a λλ==, 方程(2.6)只有一族特征线()ba x y y x c ϕ,=-=, 为了获得一个可逆的自变量变换，只要取()()b a x y y x x y y ξϕηψ=,=-,=,=即可. 这样方程(2.6)就可化成2222()u D u E u G u F ηηξηξη=+++,, (2.10)其中和都是常数. 方程(2.10)称为抛物型方程的标准型.22D E ,2G (iii) 当时,这时没有实的特征曲线, 变换(2.7)中的0∆<12i i λαβλαβ=+,=-,且=b a αβ=,为了不涉及复变数, 我们试图通过(2.7)找一个实的变换,为此令11()(22i)ξξηηξη=+,=-,即可得到可逆自变量变换b y x a x a ξη⎧=-,⎪⎪⎨⎪=-.⎪⎩(2.11)应用变换(2.11)就可把方程(2.6)化成(见本节的习题5, 6)3333()u u D u E u G u F ξξηηξηξη+=+++,, (2.12)其中和都是常数. 我们称方程(2.12)为椭圆型方程的标准型.33D E ,3G 以上关于方程的分类及将方程化成标准型的问题, 虽然我们只对二阶线性常系数方程作了比较详细的讨论, 但对变系数方程(2.1)同样是成立的. 这里要特别指出的是, 对变系数方程来说, 它的类型与点的位置有关, 即可能在区域的某一部分点为这种类型而在另一部分点上为另一种类型. 例如特里谷来(Tricomi)方程0yy xx u yu -= (2.13)就是如此, 其判别式y ∆=,对于它是双曲型的; 对于0y >0y <它是椭圆型的; 而在x 轴上它又是抛物型的. 下面我们将Tricomi 方程(2.13)化成标准型. 情形1: 当时, 方程(2.13)的特征方程为0y>dy dy dx dx == 所以在上半平面内, 两族特征线为3322123232x y c x y c +=,-=,其中为任意常数, 这时利用变换12c c ,33223232x y x ξη=-,=+y ,就可把方程(2.13)化成双曲型第一标准型106u u u ξηξηξη--=.-情形2 当时, 作变换0y <322()3x y ξη=,=-就可把方程(2.13)化成标准型103u u u ξξηηηη++=.例1 判断下面方程的类型并把它化成标准型452xx xy yy x y u u u u u +++++=0.解 因为判别式2904b ac ∆=-=>, 故方程为双曲型的, 它的特征方程为 114dy dy dx dx =,=, 求得特征线是124xy x c y c -=,-=, 其中为任意常数. 作变换12c c ,4y x x y ξη=-,⎧⎪⎨=-,⎪⎩可将方程化成双曲型第一标准型18039u u ξηη--=.若再作变换s t ξηξη=-,⎧⎨=+,⎩ 方程就可化成双曲型第二标准型1180339ss tt s t u u u u --++=.例2 判断下面方程的类型并将它化成标准型:0xx xy yy x u u u u +++=.解 由于判别式2304b ac ∆=-=-<, 故方程为椭圆型的, 这时由特征方程给出两条复特征线1211()()2222y i x c y i x c -+=,--=.为了不涉及复变数, 我们引入实变换122y x x ξη=-,=-, 于是方程就可化成标准型203u u u ξξηηξη+-=.例3 判断下面方程的类型并将它化成标准型2220xx xy yy x u xyu y u ++=.解 由于判别式, 所以方程处处都为抛物型的. 这时特征方程为222220b ac x y x y ∆=-=-=dy y dx x=, 可以看出特征线为一族直线yc x=, 因此作变换y y xξη=,=,就可把原方程化成标准型20u ηηη=,在即0y ≠0η≠时, 我们有 0u ηη=. 2.2. 多个自变量的情形我们仅考虑主部具有常系数的多个自变量的二阶线性偏微分方程：211111()()(nnij i n n n i j i i j i u ua b x x c x x u f x x x x ,==∂∂+,,+,,=,,∂∂∂∑∑ )x , (2.14) 其中为常数. 现在将利用特征概念对方程(2.14)进行分类. 我们知道方程(2.14)的特征方程可写为ij ji a a =10niji ji j a αα,==,∑记1nijiji j D a αα,==,∑ (2.15)我们称它为方程(2.14)的特征二次型.根据线性代数的知识, 可通过一个非奇异线性变换1122n n Bαβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,将特征二次型(2.15)化成标准型21ni i i D λβ==,∑ (2.16)其中系数i λ取值0或1, 即存在可逆矩阵1,-B , 使得B AB '=Λ, 其中12diag )(n λλ,, λΛ=,, 且111111121222212221221122n n n n n nn n n n a a a b b b aa a bb bA B aa ab b b⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝=,=nn ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭.2 (2.17)作自变量变换1122n n y x y x B yx⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=或1121()n n x y x y B xy⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=,(2.18) 则(2.14)可化成(见本节习题5, 6)2111211()()(nn i i n n i i i i u u)n B y y C y y u F y y y y λ==∂∂+,,+,,=,,∂∂∑∑ , )n (2.19) 我们称(2.19)为(2.14)的标准型.定义3.3 如果(2.19)中的个系数n (1i i λ=,, 全是1或全是–1, 则称方程(2.14)为 椭圆型偏微分方程; 如果i λ中有一个为1, 1n -个为–1,或者一个为–1, 个为1, 则称方程(2.14)为双曲型偏微分方程; 如果1n -i λ全不为零, 但取1或–1的个数都超过1, 这时我们称方程(2.14)为超双曲型偏微分方程; 如果i λ中有一个为零, 其余全为1或全为-1，则称方程(2.14)为抛物型偏微分方程.按照以上所给的分类标准, 我们在第一章中提出的几个经典方程, 它们的类型应是: 弦振动方程和膜振动方程属于双曲型的; 热传导方程属于抛物型的; Laplace 方程属于椭圆型的.注1 上面列出的分类只包含了一部分情形，还有许多情况未包含在内. 如果考虑到在一个区域中自变量的各种变形、退化情形的话，则方程的分类问题是相当复杂的. 注2 即使在一个区域中方程类型不变，一般也不一定能通过可逆的自变量变换将含多个自变量的二阶方程化成标准型，仅在一些特殊情形下(如常系数的方程等)可以将方程的主部化成高维波动方程或高维Laplace 方程的情形. 例4 将方程424xx xy xz yy zz u u u u u -+++=023化成标准型.解 此方程所对应的特征二次型为22112132424D ααααααα=-+++,22,现在我们把这个二次型化成标准型. 因为221121323212323221232323424(2)4(2)()()ααααααααααααααααααα-+++=-++=-+++-- 若令11232233232.βαααβααβαα=-+⎧⎪=+,⎨⎪=-⎩, 即作线性变换112322332313221()21().2αβββαββαββ⎧=++⎪⎪⎪=+,⎨⎪⎪=-⎪⎩, 就可将上述二次型化成如下的标准型222123D βββ=+-,因此所给方程是一个双曲型偏微分方程. 进一步, 由于此线性变换的系数矩阵为131221102211022B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=, ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭故所作自变量变换为131221102211022x y z ξηζ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭即111222311.222x x y z x y z ξηζ⎧⎪=,⎪⎪=++⎨⎪⎪=+-⎪⎩, 它可将所给的偏微分方程化成标准型0u u u ξξηηζζ+-=.。
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
数学物理方程02线性偏微分方程的分类公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
a12 a11 a22
a1*1
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
a11 x
a22
y
2
0
由此推出
a1*2
a11
x
x
a12 ( x
y
x
y
)
a22
y
y
a11 x
a22
y
a11 x
a22
y
0
21
数学物理方程
而
a2*2
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
0
所以，方程（1）可改写为
(f)exuxx e yuyy u
29
数学物理方程
2、求出下列各方程旳通解，并代回原方程来检验是否有解：
(a)x2uxx 2xyuxy y2uyy xyux y2uy 0
(b)yuxx c2 yuyy 2c2uy 0 （c为常数）
(c) uxx
1 c2
u yy
0
（c为常数）
(d)uxx 3uxy 2uyy 0
u( x, y) (x, y)
数学物理方程
u( ,)
复合求导
u u u x x x u u u y y y
2u 2u ( )2 2 2u 2u ( )2 u 2 u 2
x2 2 x
x x 2 x x2 x2
2u 2u 2u 2u u 2 u 2
u 0
u(x, y) g( y ) y h( y )
x
x
25
例2 utt a2uxx 0
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
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目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
(整理)二阶线性偏微分方程的分类与小结.
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶偏微分方程分类
二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。
在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、生物学等。
本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。
一、常系数二阶线性偏微分方程常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二阶线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过特征方程法求解。
二、非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过格林函数法求解。
三、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。
它们可以写成以下形式：$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程在物理学中有广泛的应用，如热传导方程和电场方程等。
四、双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac > 0$，即判别式大于零的方程。
二阶偏微分方程的分类
§3 二阶偏微分方程的分类一、二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程(1)式中a ij(x)=a ij(x1,x2,…,x n)为x1,x2,…,x n的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,a n是某些参数，且有.如果点x︒=(x1︒,x2︒,…,x n︒)满足特征方程，即则过x︒的平面的法线方向l:(a1,a2,…,a n)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1︒,x2︒,…,x n︒)，根据二次型(a i为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P作自变量的线性变换可将：椭圆型：双曲型：超双曲型：抛物型：式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为(2)a 11,a 12,a 22为x,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a11dy 2a 12dxdy+a 22dx 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.在某点P(x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类：当Δ>0时，方程为双曲型；当Δ=0时，方程为抛物型；当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将：（i）（i）双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和或（ii）（ii）抛物型:因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，（iii）（iii）椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设为的积分，不同时为零，作变量替换，,。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),(),(≠y x D D ηξ化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
第二讲二阶线性偏微分方程及其分类
标准形式
2u 2u f x2 y 2
u 2u f
x y2 2u 2u
f x2 y2
例1：判断下面偏微分方程的类型并化简
u xx 2u xy 3u yy 2u x 6u y 0
解：∵ a11 1
a12 1
故 a22 3
C c, F f
从（3-3）中可以看出，如果取一阶偏微分方程
a11
z
2 x
2a12 zx z y
a22
z
2 y
0
的一个特解作为 ，则
a11
2 x
2a12x y
a22
2 y
0
（3-4）
从而A11=0。如果取（3-4）的另外一个特解作为
则A22=0，这样方程（3-2）就可以简化。
，u
y
u
2u x 2
2u
9 2
6
2u
2u
2
2u 2u 2 2u 2u
y 2 2 2
代入原方程得： 16
2u
12
u
4 u
0
即：
2u 3 u 1 u
4 4
s , t ξ-η
例4：判定下列二阶方程的类型 （1）u xx 4u xy 3u yy 2u x 6u y 0 （2）(1 x2 )uxx (1 y2 )uyy xux yuy 0 （3）u xx xu yy 0
a11u xx 2a12u xy a22u yy
若方程(3.1)的主部系数 满足
二阶线性偏微分方程的分类
•其中
•为常数，且设
•
•则当
•时，上述二次曲线分别为双
•曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏
•微分方程进行分类.
• 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行
•
理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨
论的基本方法是一样的．
•2．当判别式
•时：这时方程
•(10.2.10)一定有重根
•
•因而只能求得一个解，例如，
•，特征线为
•一条实特征线．作变换
•就可以使
•由(10.2.4)式可以得出，一定有
•，故可推出
•．这样就可以任意选取另一个变换，
•只要它和
•彼此独立，即雅可俾式
•
•即可．这样，方程(10.2.6)就化为
• 此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 •这种类型．
•
•10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一 步化简
• 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还 可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
•1.双曲型
• 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 •可进一步化简
•
•注：上式中用小写字母
•代表常系数，以便与
•大写字母代表某函数区别开来, 例如
二阶线性偏微分方程的分类
•
•写方便，通常记
•(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方
•程的阶．
•(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微
•分方程的次数．
•
•(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所
数理方程第二章分类行波法线性叠加-1
u x, y
4
3x y
2
3f '1 3x2 f ' 2 2x 0 2
4
x y
双曲型方程
u u 2 2 2 0 (d y ) (d x ) 0 0 4 11 0 2 2 x y
2 2
椭圆型方程
u 2 u a 2 t x
2
(dy) 0 0 4 1 0 0
2
2
抛物型方程
例1、方程
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 x xy y
1 1 u x, t [ x at x at ] 2 2a
x at x at
解得
d
—达朗贝尔(D’Alembert)公式.
考虑 u2 g( x at ) 的物理意义
u2
g( x )
u2 x
a 2
a
a
t=0
u2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两 列波速为a波的叠加，故称为行波法。
2
AC
称其为二阶线性偏微分方程的判别式
它的特征方程为 ( x, y) 0
Auxx 2Buxy Cu yy Dux Euy Fu G, (*)
双曲型方程
A( xdy C dx , y) 0 2 Bdxdy 椭圆型方程
阶线性偏微分方程的分类
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
例1 设 R2 . 讨论Tricomi方程的类型
A12 a11 a12 ( ) a22 x x x y x y y y
A22 a11 ( 2 ) 2a12 a22 ( )2 x x y y
（2.1.3）
可以看出，如果取一阶偏微分方程
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型 数学物理方程
抛物型PDE
( x, y) a a11a22 0
2 12
dy a12 dx a11
由此得到一般积分为 ( x, y) C ,
取与
( x, y ) 函数无关的 ( x, y)
由此令
作为另一个新的变量
则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中
则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。 相应地， (2.1.7)、(2.1.8)和(2.1.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和 椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
（3*）
2 2 2 B2 a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 , x xy y x y
C c( x( , ), y( , ))
5
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
A11 a11 (
2 ) 2a12 a22 ( ) 2 x x y y
系 数 之 间 （3） 的 关 系
（2）
2 2 A11 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) x x y y
阶线性偏微分方程的分类
一、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型
两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式
a11u xx 2a12u xy a22u yy b1u x b2u y cu f (2.1.1)
其中，a11, a12 , a22 ,b1,b2 , c, f 都是区域 上的实函数，
抛物型PDE (x, y) a122 a11a22 0
dy a12 dx a11
A11
a11( x
)2
2a12
x
y
a22 ( y
)2
A12 a11 x x a12 ( x y x y ) a22 y y
A22
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
（2.1.3）
可以看出，如果取一阶偏微分方程
a11
z
2 x
2a12 zx z y
a22
z
2 y
0
的一个特解作为 , 则
（2.1.2）
数学物理方程 第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型 数学物理方程 (x, y)
u(x, y) (x, y) u( , )
复合求导
u u u x x x u u u y y y
2u x 2
2u
2
( )2
x
2
2u
x
x
2u
2
( )2
x
u
2
a11 x2 2a12 xy a22 y 2 b1 x b2 y cu f 0
目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，
从而据此分类。
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第二章 二阶线性偏微分方程的分类1．把下列方程化为标准形式：（1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为022211212=⋅-=-a a a a a a所以该方程是抛物型方程，其特征方程为122=-±=aa a a dx dy 。
它只有一族实的特征线 c x y =-在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。
方法一：用抛物型方程的标准形式][12122F Cu u B u B A +++-=ηξηηη 先算出：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=++++=⋅+-+⋅+⋅+⋅=++++==⋅+⋅+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 22122121122122121112221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1u bu u c b au +++--=ηξηη即01=++-+u au a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη（2）06232=++--y x yy xy xx u u u u u ，解：因为042211212>=-a a a ，所以该方程是双曲型的其特征方程为 ⎩⎨⎧-=+±-=311311dx dy ，特征线为1c y x =-和23c y x =+。
故可令y x -=ξ，y x +=3η，在双曲型方程的标准型式，][212112F cu u B u B A u +++-=ηξξη 中，先算出，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++++=-=++++==++=⋅--+⋅-+⋅-+⋅⋅=+++=0,0 122B 42B8323 1)1)(3(]3)1(11)[1(311)(21221211221221211122121112F C b b a a a b b a a a a a a A y x yy xy xx yx yy xy xx y y x y y x x x ηηηξηξξξξξηξηξηξηξ∴]124[161ηξξηu u u +--=即034=+-ηξξηu u u ，（3）0254=++++y x yy xy xx u u u u u 解：因为012211212<-=-a a a所以该方程是椭圆型的，其特征方程为i dx dy ±=-±=215222 特征线为：1)2(c y x i =-+和2)2(c y x i =--， 故可令y x i -+=)2(ξ，y x i --=)2(η为计算方便，又令⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+=xi y x )(212)(21ηξβηξα 在椭圆型方程的标准形式：]2)()[(1122112F cu u B B i u B B A u u a aa ++-++-=+βββ 中，先算出，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=++++==++++==+++=0,02 22)(21221211221221211122121112F C i b b a a a B i b b a a a B a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x y y x x x ηηηηξξξξξξηξηξηξηξ∴])2([21βββu i i u u aa --=+即0=++βββu u u aa 。
改变自变量α、β的记号为ξ、η，则0=++ηηηξξu u u （4）0=+yy xx yu u解：y a a a -=-2211212（i ）如0<y ，则02211212>-=-y a a a ，该方程为双曲型。
其特征方程为：y dx dy -=，和y dxdy --= 其特征线为：12c y x =-+和22c y x =-- 故可令：y x -+=2ξ，y x --=2η 在双曲型方程的标准形式][212112F cu u B u B A u +++-=ηξξη 中，先算出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=++++=-=--=++++==---++=+++=0 0 2212 2212 2)1)(1(01)(21221211221221211122121112F C y b b a a a B y b b a a a B y y y a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x y y x x x ηξηηηηηηξξξξξξηξηξηξηξ 所以原方程化为0)(21)(=-+-ηξξηηξu u u（ii ）如0>y ，则02211212<-=-y a a a ，该方程为椭圆型。
其特征方程为i y dx dy =和i y dxdy -= 特征线为12c i y x =+和22c i y x =-故可令i y x 2+=ξ，i y x 2-=η为方便计，又令x =+=)(21ηξα，y i 2)(21=-=ηξβ或42β=y 则aa xx u u =，yu u y 1β=,y u u y u yy 1212/3βββ+-=,原方程为021=-+βββααu yu u ,即01=-+βββααβu u u 。
把符号βα,换成ηξ,，就有01=-+ηηηξξηu u u 。
（5）0=+yy xx xu u 。
解：x a a a -=-2211212，所以特征方程为x dxdy-=。
（i ）如0<x ，则02211212>-=-x a a a ，所以方程是双曲型的。
特征线：()12/332C x y =-+和()22/332C x y =-- 或改写为()12/323C x y =-+及()22/323C x y =--令()2/323x y -+=ξ， （1）()2/323x y --=η， （2）[]F cu u B u B A u +++-=ηξξη211221， x x x x A 292323232312=⋅+-⋅--=， x B -⋅=1431，xB -⋅-=1432， )(4391ηξξηu u xx u ---=)()(1212/3ηξu u x --=（3） 将（1）减（2）式得2/3)(2x -=-ηξ ∴)(6)(122/3ηξ-=-x代入（3）就代成标准形0)()(61=---ηξξηηξu u u 。
（ii ）如0>x ，则0<-x ，则02211212<-=-x a a a ， 则此方程为椭圆型。
特征方程为：i x dxdy±=，特征线为：12/323C ix y =+和22/323C ix y =- 令y 23=ξ，2/3x -=η 则ξξξu u u y y 23==，ξξu u yy 49=，212123)23(x u x u u x ηη-=-=，xu x u u xx 4141ηηη-⋅⋅=，方程为0434949=-+xu xu xu ηξξηη， 0312/3=-+ηηηξξu xu u 即031=++ηηηξξηu u u 。
（6）022=+yy xx u x u y 。
解：0222211212<-=-y x a a a 故方程是椭圆型， 特征方程：y xi y y x dx dy ±=-±=222， 特征线为：122C ix y =+，222C ix y =-， 令22,x y ==ηξ则有x u u x 2⋅=η，ηηηu u x u xx 242+=， y u u y 2⋅=ξ，ξξξu u y u yy 242+=，原方程变为024********=+++ξξξηηηu x u x y u y u y x0212122=+++ηξηηξξu x u y u u ，02121=+++ηξηηξξηξu u u u 。
（7）044222=--x yy x xx u y u e u y 。
解：04222211212>=-x e y a a a ，故方程为双曲型。
特征方程：y e y e y dx dy xx 244222±=±=， 特征线：12C e y x =+，22C e y x =-。
令 x e y +=2ξ， （1）x e y -=2η， （2）则 ()()ηξηξu u e e u e u u x x x x -=-+=，()()[]x x x x x x xx e u e u e u e u e u u e u ηηηξξηξξηξ+--++-=()()ηηξηξξηξu u u e u u e x x +-+-=22，()ηξηξu u y y u y u u y +=⋅+⋅=222，()()y u y u y u y u y u u u yy 222222⋅+⋅+⋅+⋅++=ηηηξξηξξηξ，()()ηηξηξξηξu u u y u u 2422+++= 方程成为()()ηξξηu e e y u e yc u e y x x x x x 222222242416+--+-()242=--ηξu u e y x ， 即02216222=---ηξξηu e u e u e y x x ，082=++ηξξηu u u y （3）（1）+（2）有()ηξηξ+=∴+=48222y y代入（1）由()04=+++ηξξηηξu u u2．简化下列常系数方程：（1）0=++++u u u u u y x yy xx γβα。
解：试作函数变换()y x e y x y x u μλν+=),(,，其中λ和μ是待定常数，于是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+++=++=+=+=+++++)2()()2()()(22v v v e u v v v v e u v v v eu v v e u v v e u y yy y x yy xy xy y x xyx xx yx xx y y x y x y x x μμλμμλλλμλμλμλμλμλμλ 以此代入原方程，约去公共因子y x e μλ+后得：0)()2()2(22=++++++++++v v v v v y x yy xx γβμαλμλβμαλ 令2αλ-=，2βμ-=，即v eu y x a22β--=，则一阶偏导数x v 和y v 的项消去，方程简化为：0)44(22=--++v v v yy xx βαγ（2）x y xx u u u u βαα++=21解：与（1）题一样，试作函数变换y x ve u μλ+=，并以x u ，y u ，xx u ，及u 代入原方程，约去公共因子y x e μλ+后得：0)(1)2(222=---+--+v v v v y x xx λβααμλαβλ 如令2βλ=则x v 项被消去，如要v 项也被消去，则必须022=---λβααμλ， 即)4(22βααμ+-=，即yx ve u )4(222βααβ+-=，即该常微分方程简化为012=-y xx v a v （3）0=++-+u u abu a b c u y x yy 解：作函数变换y x ve u μλ+=，并以x u ，y u ，yy u 及u 代入原方程，约去公共因子y x e μλ+后得0]1[)2(2=++-++++-+v aba b c v a b v a b c v y x yy μλμμ 如令ab2-=μ，则y v 项消失；如要v 项也消去，则必须01)(2=++-+μλμaba b c ，即)(4422c b a b a --=λ才可能。