第七章-度量空间分解讲解学习
度量空间与完备度量空间的基本性质
度量空间与完备度量空间的基本性质度量空间是数学中一种常见且重要的概念，它为我们研究空间中的距离和收敛性提供了数学工具。
在度量空间的基础上，还衍生出了完备度量空间这一概念，它具有更强的完备性质。
本文将介绍度量空间与完备度量空间的基本性质，并探讨它们在数学分析中的应用。
一、度量空间的基本性质度量空间是一种集合，其中每个元素都与其他元素之间存在一种（非负）距离关系。
设X为非空集合，d为X上的度量（距离）函数，若满足以下四个条件，即称(X,d)为一个度量空间：1. 非负性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，有d(x,y) = 0；2. 同一性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) = d(y,x)；3. 对称性：对于任意x, y, z∈X，有d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)（三角不等式）；4. 三角不等式：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)。
基于以上性质，我们可以推导出诸多重要结论，例如嵌套定理、开覆盖定理等，这些定理在实际问题的分析和求解中具有重要应用。
二、完备度量空间的基本性质在度量空间的基础上，完备度量空间引入了“序列收敛性”的概念。
设(X,d)为一个度量空间，如果X中的任意柯西序列都在X中收敛，则称(X,d)为一个完备度量空间。
柯西序列是指对于任意ε > 0，存在自然数N，使得当m, n > N时，有d(xm, xn) < ε。
它反映了序列中元素之间逐渐趋近的特性。
若在柯西序列的度量空间中存在极限元素，即序列中的所有项无限接近该极限元素，则说明该度量空间是完备的。
完备度量空间的重要性质有：1. 完备度量空间是闭集：对于给定的完备度量空间(X,d)，如果一个集合是某个闭集的子集，则该集合也是完备度量空间。
2. 内积空间和赋范空间是完备度量空间的特例：内积空间和赋范空间是更加特殊的度量空间，它们都是完备度量空间。
泛函分析度量空间知识和不动点的应用
泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。
若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ）则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。
称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。
根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。
二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法：1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞=0，则称点列{}n x是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。
2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
即若n x M ∈，n=1、，2……，n x x →，则x M ∈。
给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间nR 是可分空间，坐标为有理数的全体是nR 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。
l ∞是不可分空间。
三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法：1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有(,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。
度量空间——精选推荐
设E 是集合，若映射:[0,)d E E R +×=+∞ 满足下述性质： M1：(,)0d x y x y =⇔= M2：(,)(,)d x y d y x = M3：(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+则称映射d 是E 上的度量(metric)，(,)d x y 称为点x ,y 间的距离(distance)，(,)E d 称为度量空间(Metric space)[例1] 在实线R 上，映射(,)||x y x y →−是通常的度量 [例2] 设G 是一个（加法）交换群，映射:p G R + 满足：()00;()();()()()p x x p x p x p x y p x p y =⇔=−=+≤+则映射(,)()d x y p x y =−是G 上的度量 比如，12{(,,...,):}n n i R x x x x x R ==∈，1/1()(||),1nq q i i p x x q ==≥∑满足上述三个性质，因此1/1(,)()(||),1nq q i i i d x y p x y x y q ==−=−≥∑是n R 上的度量。
[例3] 离散度量：E 是一任意集合，(,)0;(,)1d x y if x y d x y if x y ===≠[距离空间的积]设{(,):1,2,...,}i i E d i n =是一簇度量空间，令积空间112(...)n i i n E E E E E ==×=×××，则（1）1/1(,)(,),1qnqq i i i i d x y d x y q =⎛⎞=≥⎜⎟⎝⎠∑（2）(,)sup (,)i i i i d x y d x y ∞= 均为积空间E 上的度量 [度量的等价性]设,d d ′是集合E 上的两个度量，如果存在常数12,0c c >使得1212(,)(,)(,),(,)()c d x y d x y c d x y x y E Ec d d c d ′≤≤∀∈×′≤≤则称,d d ′是等价的，记作d d ′∼[例4] 在积空间1n i i E E ==×中，不难验证：1/,1q q d d n d q ∞∞≤≤≥因此，{:[1,]}q d q ∈∞是E 上的一簇等价度量。
函数论中的度量空间理论解析
函数论中的度量空间理论解析前言度量空间理论是函数论的基础，它为函数的收敛性、连续性和一致收敛性等概念提供了严格的数学定义和分析工具。
度量空间理论在函数论中的应用非常广泛，它不仅可以用来证明函数的各种性质，还可以用来构造新的函数空间并研究函数空间的结构。
度量空间的概念度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，使得对于任意x, y, z∈X，都有以下性质：1.非负性：d(x, y) ≥ 0，并且d(x, y) = 0当且仅当x = y。
2.对称性：d(x, y) = d(y, x)。
3.三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
函数空间的度量在函数论中，度量空间通常是函数空间。
函数空间是一个集合X，其中元素是定义在某个集合上的函数。
对于函数空间，度量函数通常是函数之间的距离，例如：1.最大范数：对于定义在[a, b]上的连续函数f和g，最大范数定义为：d(f,g)=maxx∈[a,b]|f(x)−g(x)|2.平方可积范数：对于定义在[a, b]上的平方可积函数f和g，平方可积范数定义为：d(f,g)=(∫|f(x)−g(x)|2ba dx)1/2函数的收敛性在函数论中，函数的收敛性是一个重要的概念。
函数的收敛性是指函数序列{fn}在某个度量空间中收敛到某个函数f。
函数的收敛性有以下几种类型：1.点收敛：对于任意x∈X，都有limn→∞ fn(x) = f(x)。
2.一致收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x∈X，都有|fn(x) - f(x)| < ε。
3.均匀收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x, y∈X，都有|fn(x) - fn(y)| < ε。
函数的连续性函数的连续性也是函数论中的一个重要概念。
函数的连续性是指函数在某个点的邻域内是连续的。
函数的连续性有以下几种类型：1.点连续：对于任意x∈X，存在δ>0，使得对于任意y∈X，如果|x - y| < δ，则有|f(x) - f(y)| < ε。
度量空间
0, 当 n m 1 时,
x t x t dt 1 m ,
n m
但对每一个 x X ,
d x m, x
1 0
x t x dt
m t
12
0
x t dt
1 21 m
12
x t x t dt
m
1
1 21 m
1 x t dt.
如果
d x m, x 0 m ,
必有
lim x t 0,
12
0
x t dt 0,
1
12
1 x t dt 0,
但由于 x t 在0,1 上连续，所以 x t 在0,1 2上恒为0，在 1 2,1上恒为1，所以
即 xm x m . 这说明了 C a, b是完备度量空间.证毕.
下面举一个不完备空间的例子. 设 X 表示闭空间 0,1 上连续函数全体，对任何 x, y X , 令 1 d x, y x t y dt , t 0 那么 X , d 成为度量空间. 上面定义的度量空间 X , d 不完备. 证明 令 1,1 2 1 m t 1 例4
m m n j j
l
中的柯西点列，其中 x m
n j
m
1
,
m
2
, ,
.
(1)
因此，对每一个固定的 j, 当 n, m N 时，成立
m
j
n
j
.
(2)
这就是说，数列
. 令 x 1, 2, 下面证明 x l ,且 xm x m . 在(2)式中,令 n , 我们得到， m j j , 对一切 m N , 成立 (3)
3.度量空间
lim
n
xnx, 或x n来自x(n)21
定理3.1 设 {xn}是度量空间{V，d}中收敛于x序 列，则
（1）{xn}是有界的；
（2）{xn}的极限是唯一的。
证明: (1)已知
lim
n
x
n
x.
取=1，则存在自然
数N，当n>N时有
(xn,x)<1 令M=1+max{(x1,x),,(xN,x),1},则对一 切n∈N,有 (xn , xm) (xn , x) (xm, x) 2M
Br (x) {y V | (x, y) r}是闭集.
实际上，y Br (x),(x, y) r.令r0 r (x, y) 0,
z Br0 (y),由于(z, x) (z, y) (y, x) r0 (x, y) r,
故z Br (x),因此, Br0 (y) Br (x)
U(a,)U(x,).U(a,)中必包含有异于x的中之点.
从而,U(x,)必包含有异于x的A中之点.
29
因此,x是A的极限点, 即x A.所以,( A) A.
(2)x A B.当x A B时,显然x A B;
当x(AB)′时,则x不是A的极限点, 就是B的极限点. 若不对,即x既不是A的极限点,也不是B的极限点, 于是,有x的邻域U(x,),它不包含A的点, 又有x的邻域U(x,)U(x,), 它既不包含A的点,也不包含B的点, 这与x是AB的极限点矛盾.
‖x‖= (x, x)
x, y∈V两点间的距离定义为
d(x,y)=‖x-y‖= (x y, x y)
可以证明：d满足度量三公理，从而
{V,d}是度量空间。
6
首先证明:x,yV,有Cauchy不等式
第七章度量空间和赋范线性空间
1
5.p次幂可和数列空间l p , d(x, y) ( yk xk p ) p .
k 1
§3 连续映射
回忆数学分析中连续函数的定义 : 0, 0,当x x0 时,有 f (x) f (x0) .
如同数学分析中的海涅(Heine)定理，可以证明如下结论。
：由T在x0 X连续, 对 0, 0,当d (x, x0 ) 时,有
证明：对 {x(k )} Rn为柯西点列 , x(k ) (x1(k ) , x2(k ) , , xn(k ) ),
n
则对 0, N ,当k, j N , 有d (x(k) , x( j) ) (
1
k) i
x( j) i
2
)2
.
i 1
即对每个i,当k, j N,有 xi(k) xi( j) . 故{xi(k)}是R1中柯西列 ,
xm (t)在[a,b]上收敛于一函数 x(t). 在(*)式中令n ,
当m
N时, 有 max at b
xm (t)
x(t)
,
即xm (t)在[a,b]上一致收敛于 x(t).
定理1.完备度量空间 X的子空间 M是完备空间的充要条件 为 M是X中的闭子空间 .
定理2.设( X , d )是度量空间 , Bn Bn (xn , rn ), (n 1,2, )是X中 一列闭球 ,则X是完备的度量空间的充 要条件是若 Bn Bn1,
d~(Tx,Tx0) 0.
取
1 n
,
则有xn
,
使d
(
xn
,
x0
)
1 n
,
但d~(Txn
,
Tx0
)
0.
这与已知矛盾.
空间解析几何基本知识_ppt课件
M
O x P(x,0,0)
在直角坐标系下
1 1
Q (0 ,y ,0 )
y
A (x ,y ,0 )
(x, y, z) (称为点 M 的坐标) 点 M 有序数组
8
4.各卦限坐标的符号： Ⅰ(+,+,+), Ⅱ(-,+,+), Ⅲ(-,-,+), Ⅳ(+,-,+), Ⅴ(+,+,-), Ⅵ(-,+,-),
14 14 解得 z ， 即所求点为 M(0, 0, ) . 9 9
13
二、曲面及其方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M AM BM ,即 ( x ,y ,z ) ,则
( x 1 ) ( y 2 ) ( z 3 )
2
第七章 第一节 空间解析几何基本知识
一、空间直角坐标系
二、曲面及其方程的概念 三、几种常见的曲面及其方程
3
一、空间直角坐标系
为了确定空间上一个点的位 置，我们需要引入空间直角坐 标系． 为此,过空间中一点 o 分别作 ,oy ,oz 三条互相垂直的数轴 ox
z
o
y
x
(见右图所示)，常称这三条数轴为三个坐标轴，分别 oy轴和 oz 记为ox 轴、 轴．
4
一、空间直角坐标系
(一)空间坐标系的建立 定义：由原点重合且互相 垂直的三条数轴(单位一般
o
x
z
y
一致)， 而且三条数轴的正方
向符合右手系. 即构成一个空间直角坐标系.
右手系： 即以右手握住z轴，当右手的四个手指从 轴的正向以 角度转向 y轴的正向时,大拇指的 x 2 指向就是 z 轴的正向.
度量空间(距离空间)
《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。
实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。
那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。
于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。
注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。
例1-1 n 维欧氏空间n R 。
解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。
对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。
度量空间的三条基本公理
度量空间的三条基本公理你有没有想过，咱们生活中的很多东西都可以用“距离”来形容？比如你和朋友之间的关系，你们是不是越走越近？还是渐行渐远？这些都和“距离”有关。
对了，距离可不光是指从这儿到那儿的直线长度，哦不，数学里有个专门的东西叫做“度量空间”，它其实就是用来定义和测量“距离”的地方。
听起来挺高大上的，但其实并不复杂，只要你了解它背后的基本规则，你就能轻松掌握。
度量空间的“三条基本公理”到底是什么呢？别急，我们一步一步来，保证你不会觉得晦涩难懂，反而会觉得特别有趣。
度量空间的第一个公理就是：非负性。
什么意思呢？就好比你和朋友之间的关系，不可能是负的吧？想想看，如果你们的关系真变得负了，那是不是有点糟糕？数学上也是这样，距离永远不能是负数。
比如，你从家到超市的距离，哪怕你走错路绕了一圈，距离依然是正的。
换句话说，距离总是大于等于零，别忘了哦，这点特别重要。
第二条公理呢，是自反性。
你可以理解成，任何东西和自己之间的距离，都是零。
也就是说，无论你走多远，回到自己身边，距离都是零。
就像你每次回家，进门一刻，你是不是总觉得终于找到了“归属感”？没有什么比“回到自己”更舒服的了。
举个简单的例子，当你站在镜子前，自己的影像和你之间的距离，不管镜子多大，距离都是“零”。
哦，别担心，这并不意味着你能和自己彻底分开。
自反性保证了你永远都可以回到原点。
第三个公理叫做三角不等式，这名字听起来有点像数学家的专有术语对吧？别担心，它其实就告诉我们，距离不可能“越走越短”。
想象一下，如果你从家出发，先去朋友家，再去超市，最后回家，你的总路程肯定是大于直接从家到超市的路程的。
就是说，如果你选择走“捷径”通过朋友家，虽然可能走了曲线，但你一定不会走得比直接走要短。
这就好比我们做事情，有时候绕一圈，看似“曲线”行进，最后的结果却更接近目标。
这条三角不等式的公理呢，保证了我们不会偏离现实，数学也一样，距离总是有限制的。
这些基本公理，看似简单，但它们为我们描述的“度量空间”奠定了坚实的基础。
第七章 空间数据查询与空间度量
申怀飞 城市与环境学院
2008-11-20
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7.1 空间查询概述
❖查询分类：
▪ 简单直接查询 ▪ 逻辑运算查询 ▪ 复合模拟查询
❖空间查询方式：
▪ 属性查询（通过属性查空间） ▪ 空间查询（通过空间查属性）
7.2 属性查询
❖简单属性查询
例：已有某地区的 土地利用表及相应 的图，现要找到林 地，通过对下列属 性数据表查找植被 为林地的记录，并 显示这些记录相应 的空间位置。
– 假设有N个顶点，其面积计算公式为：
Pk =
1 2
(yk+1 + yk)(xk+1 - yk)
n-1
P = k∑=1Pk
+
1 2
(yn + y1)(xn – x1)
多边形面积量算示意图
注：总面积公式中第二项为最后一个点和第一点围成的梯形面积
7.4 空间量算
❖面状地物量算
▪ 面积与周长 • 栅格数据的面积周长计算
▪ 扩展SQL查询
对SQL进行扩充或改造，实现空间 关系及空间运算操作的查询。
在SQL上发展的空间结构化查询 语言，提供6个显示参数。
如：空间查询：查高程大于 300，小于500的区域
7.3 空间查询
❖点查询 ❖矩形或圆查询 ❖多边形查询
例：右图就是在 ARCVIEW软件下，点 击黄色图斑，就可获 取烟台市辖区的周长、 面积等信息。
7.4 空间量算
❖面状地物量算
▪ 形状
形状指数 对于多边形边界轮廓的形态度量，有很多公式，大多数都与多
边形的周长和面积有关。形状指数大多使用多边形周长与面积的 比值，并使之与标准形状（通常是圆形）相比表示其形状的复杂 程度。
度量空间
例，设 ρ：R×R→R 为ρ(x, y)=│x－y│，x、y、ρ(x, y)∈R，
则ρ是“R上”的一个度量， 为R上的常用度量， 称度量空间(R, ρ)为实数空间或实直线。 “实数空间”度量了数轴上任意二点间的绝对距离。
-1-
例，设n∈N(自然数集合)，ρi：Rn×Rn→R（i=0，1，2，3） ，对
∀x=(x1，…，xn)、y=(y1，…，yn)∈R ，有： （1） 设(X, ρ)为度量空间，如果对于∀x∈X， “存在”一个实数εx＞0， 使得对任意y∈X，x≠y，有ρ(x,y)＞εx， 则称ρ是X上离散度量， 称(X, ρ)是离散(度量)空间
[２]
n
。
例，定义ρ0为： ρ0(x,y)=0，当x＝y； ρ0(x,y)=1，当x≠y； 证明：ρ0是一个离散度量。
[１]
度量空间是一类特殊的拓扑空间。
一、度量空间
定义 设 X 为非空集合，∃ρ：X×X→R，使∀x、y、z∈X 满足：
（1） 正定性：ρ(x,y)≥0，并且ρ(x,y)=0当且仅当 x=y； （2） 对称性：ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）三角不等式：ρ(x,z)≤ρ(x,y)＋ρ(y,z) 则ρ(x,y)称为度量空间(X, ρ)从点x到点y的距离， ρ是X的一个度量(metric)， 偶对(X, ρ)为度量空间(metric space)。
-7-
例，度量空间的开集由距离/度量导出，同一集合上的不同度量可能
导出相同的开集，即某一集合对某一度量/距离是开集，则对另一度量/ 距离也是开集，从而导出的拓扑是相同的。 在Rn中给出如下三种距离/度量：
ρ1(x, y) = (∑(xi − yi ) ) ，ρ2 ( x, y) = max | xi − yi | ，ρ3 ( x, y) = ∑| xi − yi | 1≤ i ≤ n i =1 i =1
高职课件《高等数学》第七章空间解析几何课件
本章内容
1 空间直角坐标系和向量 2 向量的数量积与向量积 3 空间平面与直线的方程 4 曲面与空间曲线
7.1 空间直角坐标系和向量
7.1.1 空间直角坐标系
在空间取三条相互垂直空间直角坐标系 O-xyz。
利用前述负向量的概念,我们还可以定义两个向量 a 和 b 的差为：
a b = a b
按三角形法则，向量 a 和 b 的差 a b 的求法如下:把 a 与 b
的起点放在一起，则 a b 即是以 b 的终点为起点，以 a 的终点
为终点的向量(如图7-7所示)。
容易验证，向量的加法有下列运算规律：
通常把 x 轴，y 轴放置在水平平面上，z 轴垂直于水平平面，并 规定x 轴，y 轴和z 轴的位置关系遵循右手螺旋法则：右手四指握 拳,指向为x 轴的正向，然后四指沿握拳方向转向y 轴的正向，则大 姆指所指方向为z轴正向(如图7-1所示)
在空间直角坐标系O-xyz 中，点O 称为坐标原点，简称原点； x 轴，y 轴，z 轴又分别称为横轴、纵轴与竖轴，三条数轴统称为 坐标轴；由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面，共有xOy、 yOz、zOx 三个坐标面；三个坐标面把空间分隔成八个部分，每个 部分依次分别称为第一、第二直至第八卦限,其中第一卦限位于x， y，z 轴的正向位置，第二至第四卦限也位于xOy面的上方，按逆 时针方向排列；第五卦限在第一卦限的正下方，第六至第八卦限
三角形法则还可以推广到求任意有限个向量的和。例如，已
知向量a ，b ，c ，d ，求 a + b + c + d 的和 AB。
根据自由向量的特点，只要依次把后一个向量的起点移至前 一个向量的终点上，然后从a的起点向d 的终点所引的向量就是四
度量空间(距离空间)
《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。
实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。
那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。
于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。
注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。
例1-1 n 维欧氏空间n R 。
解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。
对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。
高中数学空间分解教案
高中数学空间分解教案
教学目标：
1. 了解空间分解的基本概念和原理。
2. 掌握常见空间分解方法的应用。
3. 能够独立进行空间分解的相关题目解答。
教学重点：
1. 空间分解的基本概念。
2. 常见空间分解方法的应用。
教学难点：
1. 如何灵活运用空间分解方法解决复杂问题。
教学准备：
1. 教案PPT
2. 讲义手册
3. 相关练习题
教学过程：
一、导入：通过一个简单的示例引导学生了解空间分解的概念和重要性。
二、讲解空间分解的基本概念和原理：
1. 定义：空间分解是将一个向量空间分解成若干个互不重叠的子空间的过程。
2. 原理：通过将向量空间划分为基础子空间，可以简化向量的表示和计算。
三、介绍常见的空间分解方法：
1. 直和分解：将向量空间分解为若干个直和的子空间。
2. 正交分解：将向量空间分解为正交的子空间。
3. 特征空间分解：根据矩阵的特征值和特征向量进行空间分解。
四、实际操作：
1. 给学生一些练习题，让他们通过空间分解方法解答。
2. 学生互相讨论，共同解决问题。
五、总结：总结本节课学习的内容，并强调空间分解的重要性和应用。
六、作业布置：布置一些相关练习题，巩固学生的空间分解能力。
七、反馈与检查：下节课开头检查学生的作业情况，并给予及时反馈。
教学延伸：
1. 引导学生深入了解空间分解在数学和工程中的应用。
2. 鼓励学生自主探索更多关于空间分解的知识和技巧。
泛函分析度量空间知识和不动点的应用
泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。
若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ）则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。
称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。
根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。
二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法：1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞=0，则称点列{}n x是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。
2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
即若n x M ∈，n=1、，2……，n x x →，则x M ∈。
给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间nR 是可分空间，坐标为有理数的全体是nR 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。
l ∞是不可分空间。
三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法：1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有(,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。
第七章 空间分析
n
3.缓冲区分析
3.缓冲区分析
另外还有一些特殊形态的缓冲区，如点对象有三角形， 矩形和圈形等，对于线对象有双侧对称，双侧不对称 或单侧缓冲区，对于面对象有内侧和外侧缓冲区。这 些适合不同应用要求的缓冲区，尽管形态特殊，但基 本原理是一致的。
缓冲区计算的基本问题是双线问题。双线问题有很多 另外的名称，如图形加粗，加宽线，中心线扩张等， 它们指的都是相同的操作。 角分线法 凸角圆弧法
1.空间查询与量算 1.1空间查询
简单的面、线、点相互关系的查询包括： 面面查询，如与某个多边形相邻的多边形有哪些。 面线查询，如某个多边形的边界有哪些线。 面点查询，如某个多边形内有哪些点状地物。 线面查询，如某条线经过（穿过）的多边形有哪些， 某条链的左、右多边形是哪些。 线线查询，如与某条河流相连的支流有哪些，某条道 路跨过哪些河流。 线点查询，如某条道路上有哪些桥梁，某条输电线上 有哪些变电站。 点面查询，如某个点落在哪个多边形内。 点线查询，如某个结点由哪些线相交而成。
XG
Wi X i
i
W
i
YG
i
W Y W
i i i i
i
(四)距离量算
1、匀质空间距离的量算 在匀质空间，广义距离的一般形式为：
q d ij q xli xlj l 1
n
1/ q
在空间数据查询和定位分析中，研究的对象通常发生在二 维或三维的地理空间上，因此一般取 n 3 当
1.1 空间信息查询
图形--属性 查询方式
空间查询定义: 在GIS中 根据一定的图形条件或属 性条件或两者的结合条件, 检索出对应的空间对象的 属性或图形的一种工具。
统计结果： 图、表、文字 查询结果 新图层 新的属性域添加到 属性数据库
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ln i m d (fn ,f) 0 fn (t) f ( t ) 3、有界集
设M是度量空间( X , d ) 中点集，定义 (M)supd(x,y) x,yM
为点集M的直径，若(M) ，则称M为( X , d ) 中的有界集。
常用结论：度量空间中的收敛点列是有界点集。
1, if xy d(x,y)0, if xy
称( X , d ) 为离散的度量空间。
（3）序列空间S
令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点
x (1 ,2 ,. . . ,n ,. . . ) ,y (1 ,2 ,. . . ,n ,. . . ) ,令
d(x,
y)
i1
1 |i i | 2i 1|i i |
1、度量空间
设 X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素 x , y ,都有唯一确 定的实数d ( x, y )与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° d (x ,y) 0 ,d (x ,y) 0的充要条件为 x y
2° d (x ,y ) d (x ,z) d (y ,z)对任意的 z 都成立，
设{ x n } 是( X , d )中点列，如果存在 x X，使 lni md(xn,x)0 则称点列{ x n } 是( X , d ) 中的收敛点列， x 是点列{ x n }的极限。
收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收 敛点列的极限是唯一的。
（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。
即：{ x m } 按欧式距离收敛于 x 的充要条件是 x m 依坐标收敛于 x
（2）序列空间S中：
x m (1 ( m ),2 ( m ),...,n ( m ),...) ,m 1 ,2 ,...,为 S 中的点列，
x(1,2,...,n,...) S
m li m d (x m ,x ) 0 i(m ) i(m ),
称 ( S , d ) 为序列空间。
（4）有界函数空间B(A） 设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）
函数全体，对B(A)中任意两点 x , y ，定义
d(x,y)sup|x(t)y(t)|
t A
（5）可测函数空间M ( X ) 设 M ( X ) 为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m
§1 度量空间的进一步例子
度量空间（距离空间）：
把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距 离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有 效步骤。 泛函分析中的度量空间（距离空间）：
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量 空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空 间。
为勒贝格测度，若m(X)，对任意两个可测函数 f ( t ) 及 g ( t ) 由于 | f (t)g(t)| 1，所以这是X上的可积函数。令
1| f (t)g(t)|
d(f,g)X1 | |f(ft()t ) gg (t()t|)|dt
（6）C [ a , b ] 空间 令 C [ a , b ] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，
4、稠密集，可分空间
（1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令M 的闭包，如果 E M ，那么称集M在集E中稠密。
等价定义：
表示M
如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称 M在E中稠密。
对任一 x E ，有M中的点列{ x n } ，使得 xnx(n) （2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。
则称 d ( x, y )是 x , y 之间的距离，称 ( X , d )为度量空间或距离空 间。X 中的元素称为点。
U P 0 , P |d P ,P 0
称为点P 0 的 邻域，P 0 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。
2、常见的度量空间
（1）n维欧式度量空间
（2）离散的度量空间
设 X 是任意的非空集合，对 X 中的任意两点x, y X ，令
2、收敛点列在具体空间中的意义
（1）n 维欧式空间中：
x m (1 (m ),2 (m ),...,n (m )),m 1 ,2 ,..., 为 R n 中的点列，
x(1,2,...,n) Rn m l i m d ( x m ,x ) 0 i ( m ) i,( m ) 1 i n
(3)l p 为可分空间。
(4)l 为不可分空间。
l p 表示有界实（或复）数列全体，对l p 中任意两点
（3）C [ a , b ] 空间
设 { x n } 及 x 分别为C [ a , b ] 中的点列及点，d(xn,x)m a a t x b|xn(t)x(t)|
l n i m d ( x n ,x ) 0 { x n } 在 [ a ,b ] 上 一 致 收 敛 于 x
（4）可测函数空间 M ( X )
对 C [ a , b ]中任意两点 x , y ，定义
d(x,y)m ax|x(t)y(t)| atb
（6）l p 空间
lp {x{xk}| xkp } k1
设 x{xk}lp, y{yk}lp ，定义
1
d(x, y)k1(yk xk)pp
§2 度量空间中的极限、稠密集、 可分空间
1、收敛点列
（3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。
例题 1：（1）多项式全体所成的线性空间P是度量空间C [ a , b ] 的子集，则P在C [ a , b ] 中是稠密的。其中，以有理数为系数 的多项式全体是一个可数集，所以 C [ a , b ] 是可分空间。
（2）n 维欧式空间 n 是可分空间，因为坐标为有理数的全 体是一个可数集，是 R n 中的稠密子集。
第七章-度量空间分解
引言：
泛函分析：是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数 学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利—美国数学家冯. 诺依曼，为此做出了主要贡献。
泛函分析研究内容：是函数与数之间的对应关系； 例如：定积分就是一个泛函。 算子：函数空间和函数空间的对应关系。 例如：微分就是一个算子。