东南大学数学分析试题解答

东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞

→x f x lim .

解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→

解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）

1． 求曲线2

1

0),1ln(2

≤≤-=x x y 的弧长。 解

：

=

+=⎰

dx x f s β

α

2)]('[1⎰⎰⎰

-=-++-=-+=--+21

021

022210

22

213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导

数，

.,0dx

du

z g 求≠∂∂ 解：由x

z

z f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g y

y

∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212

=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰

dx x

x 2

)ln (

解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t t

t

2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e e

t t

t 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t

+--2C x

x x +++-

=2

ln 2)(ln 2 4.求()2

lim x a x a x

x

x -+→()0>a

解

：()2

lim x

a x a x x

x -+→==

22222

220)]

()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim x

x o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =

a

a

21+ 5.计算第二型曲面积分

⎰⎰++S

dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。

解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==则2

r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤

⎰⎰++S

dxdy z dzdx y dydz x 2

22=

⎰⎰++S

dxdydz

z y x )(2=

⎰

⎰++π

θθθ20

1

2)sin cos (2r r r r d dr =π

6．求常数λ，使得曲线积分⎰

+==-L

y x r dy r y

x dx r y x 2222,0λ

λ对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立。 解：

7．在曲面)0,0,0(,14

2

2

2

>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。

解：设14),,(22

2

-++=z y x z y x F ,则2

,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂,故所求切平面方程为： 0)(2

)(2)(2=-+-+-z Z z

y Y y x X x ,求得在三个坐标轴上的截距分别

为:,44,444,4442

22222222z

z y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++=

)1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==22

216

11z

y x ++ 令)14(1611),,(22

2222-+++++=z y x z

y x z y x P λ

则

02132,022,022333=+-=∂∂=+-=∂∂=+-=∂∂λλλz z

z P y y y P x x x P ,,1422

2=++z y x

解得=

=y x ,16,2,2

1

==λz =min d 16 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）

1． 讨论级数∑⎰

∞

=+1

1sin n n dx x

x

π

的敛散性。 解:

2． 设)(x f 在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有

1)('',1)(<

解

：

,)0(2)

('')0)((')()0(2x f x x f x f f -+

-+=ξ2)2(2

)

('')2)((')()2(x f x x f x f f -+-+=η

])('')2)((''[21

)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅--+=-ξη

])('')2)((''[21

)0()2()('222x f x f f f x f ⋅----=ξη

≤⋅--+-=

])('')2)((''[2

1

)0()2(21)('22x f x f f f x f ξη++)0(21)2(21f f

22)(''2

1

)2()(''21x f x f ⋅+-⋅ξη2

22

1

)2(211x x +-+≤2

)1(2+-≤x ，

.2)('≤x f

3． 证明积分⎰

+∞

-0

dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛。

证

明

:

,,0,,02121时并且当设δδ<->∃>∀m m m m

⎰⎰

--=--2

1

2

1

)(m m xy xy

m m xy d e dy xe

)1(][)(211212

1x m m x m x m x m m m xy e e e e

e ------=-=-=取 ,1

δ=x ⎰∞+-=0,2

1dy xe xy

则取δ>为一常数A e A e e e e m m

)(1()1()1(112->->---δ)

4． 证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续。 证明：x

x x x x x

x f 22

ln ln 21)('+=

+

=

1)(',1,021ln 21)(''max ===--=

x f x x

x x x f