东南大学数学分析试题解答
东南大学2004年数学分析
东 南 大 学二○○四年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题编号：314 试题名称：数学分析一．判断题（判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例说明）。
1． 区间[],a b 上无穷多个间断点的函数在[],a b 上必定不是黎曼可积的；2． 对正项级数1n n a ∞=∑，若存在N ，使得当n N >时，11n na a +<，那么级数1n n a ∞=∑收敛，反之也成立；3． 连续函数把有限闭区间映射成有限闭区间，即若函数[]:,f a b R →连续，则[](),fa b 也必定是某个有限闭区间[],c d 。
4． 2R 到2R 的连续可逆变换都是保面积的，即若22:f R R →，且f 和它的逆都连续，则对2R 内任一可求面积的区域D ，有()f D 的面积D =的面积。
二．计算题。
1． 求极限1cos 0sin lim xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭； 2． 求极限lim n n x →∞，其中23sinsinsinsin 111123n n n n x n n n n nππππ=++++++++； 3． 设()g x 在(),-∞+∞上连续，()()1015,2g g x dx ==⎰。
令()()2x f x g x t t dt =-⎰，求()()1,1f f '''''； 4． 求二重积分{}22m ax ,x yDedxdy ⎰⎰，其中[][]0,10,1D =⨯为正方形区域。
5． 求由方程组33310x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩确定的隐函数()(),y y x z z x ==在点()1,1,2P -处的一阶导数,dy dz dx dx； 6． 将函数()1ln 2f x x x =++在1x =处展为幂级数；7． 计算曲线积分()()3322294yy Lyxedx xyxe y dyI x y+++-=+⎰，其中L ，是椭圆22149xy+=沿顺时针一周； 8． 计算曲面积分222SI xy dydz yz dzdx zx dxdy =++⎰⎰，其中S 为下半椭球面2222221,0x y z z abc++=≤的上侧。
东南大学高等数学a教材答案解析
东南大学高等数学a教材答案解析高等数学A是一门重要的数学课程，它对于学生提高数学理论水平和解决实际问题具有重要意义。
然而，在学习高等数学A过程中，很多学生都会遇到一些难题，需要教材答案解析的帮助。
本文将根据东南大学高等数学A教材，对一些典型题目进行解析，帮助学生更好地理解和掌握高等数学A的知识。
第一章: 函数与极限1.1. 函数的概念与性质在这一章中，我们首先介绍了函数的概念与性质。
函数是一种映射关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
通过掌握这些性质，我们可以更好地理解函数的特点与行为。
1.2. 三角函数与函数的图像三角函数是高等数学A中的重要内容。
在这一小节中，我们重点介绍了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质以及它们的图像。
掌握三角函数的图像可以帮助我们更好地理解其周期性、振幅等特点。
1.3. 函数的极限与连续性函数的极限是高等数学A中的关键概念之一。
我们在这一小节中通过一些例子详细解析了函数极限的定义、性质以及计算方法。
同时，我们还介绍了函数的连续性与间断点的概念，帮助学生理解函数在某一点是否具有连续性。
1.4. 函数的导数与微分函数的导数与微分是高等数学A中的重要内容。
我们在这一小节中详细解析了导数的定义、计算方法以及导数的几何意义。
同时，我们还介绍了微分的概念与计算方法，帮助学生理解函数的变化率与微分之间的关系。
第二章：定积分与不定积分2.1. 定积分的概念与性质定积分是高等数学A中的重要内容。
在这一章中，我们首先介绍了定积分的概念与性质，包括定积分的定义、区间的选取以及定积分的性质。
帮助学生掌握定积分的含义及其计算方法。
2.2. 定积分的计算方法在这一小节中，我们重点介绍了定积分的计算方法。
通过具体的例子和详细的步骤，帮助学生理解和掌握定积分的计算过程，包括换元法、分部积分法等。
2.3. 不定积分的概念与计算方法不定积分是定积分的逆运算。
东南大学 2002 年数学分析试题解答
东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1．()+∞=−∞→x f x lim ． 解：M x f E x E M >−<∀>∃>∀)( , ,0 ,0．2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限．解：二、计算（9分×7=63分）1．求曲线210 ),1ln(2≤≤−=x x y 的弧长． 解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1∫∫∫−=−++−=−+=−−+=21 0 210 22210 22213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数，0≠∂∂z g ，求dxdu ． 解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y，从而 xz z f x y y f x f dx du ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+． 3．求∫dx xx 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ，∫=dx x x 2)ln (∫⋅dt e e t t t 22=∫=−dt e t t 2t t te e t −−−−22C e t +−−2 C xx x +++−=2ln 2)(ln 2． 4．求()20lim x a x a xx x −+→()0>a ． 解：()20lim x a x a xx x −+→22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++−+++++=→ 12a a+=． 5．计算第二型曲面积分∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==，则2r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤．∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x 222=∫∫++S dxdydz z y x )(2 πθθθπ=++=∫∫dr r r r r d 2 0 10 2)sin cos (2． 6．求常数λ，使得曲线积分22 0, L x x r dx r dy r y yλλ−==∫v 滑闭曲线L 成立．解：7．在曲面)0,0,0(,14222>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．解：设14),,(222−++=z y x z y x F ，则2,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂，所求切平面方程为： 0)(2)(2)(2=−+−+−z Z z y Y y x X x ， 求得在三个坐标轴上的截距分别为:,44 ,444 ,444222222222zz y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++= )1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==2221611z y x ++． 令)14(1611),,(222222−+++++=z y x zy x z y x P λ，则由 02132,022,022333=+−=∂∂=+−=∂∂=+−=∂∂λλλz zz P y y y P x x x P ,,14222=++z y x 解得==y x ,16,2,21==λz =min d 16． 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）1．判定级数∑∫∞=+1 0 1sin n n dx xx π的敛散性． 解：原级数为正项级数，据积分中值定理， 0sin (sin )ln 1ln 11nx dx x n n n ππππξ⎛⎞⎛⎞=+≤+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∫， 又级数1ln 1n n n ππ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数收敛． 2．设)(x f 在区间[2,0]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有 1)('' ,1)(<<x f x f ，证明：对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f ． 解：,)0(2)('')0)((')()0(2x f x x f x f f −+−+=ξ 2)2(2)('')2)((')()2(x f x x f x f f −+−+=η， ])('')2)((''[21)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅−−+=−ξη， ])('')2)((''[21)0()2()('222x f x f f f x f ⋅−−−−=ξη， ])('')2)((''[21)0()2(21)('22x f x f f f x f ⋅−−+−=ξη ++≤)0(21)2(21f f 22)(''21)2()(''21x f x f ⋅+−⋅ξη 2221)2(211x x +−+≤2)1(2+−≤x ， '()2f x ≤．3．证明积分∫∞+− 0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛．4．证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续． 证明：x x x x x xx f 22ln ln 21)('+=+=，1)(' ,1 ,021ln 21)(''max ===−−=x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理，1212121212,[1,), , ()()'()x x x x f x f x f x x x x δξ∀∈+∞−<−=⋅−≤−。
东南大学数值分析上机题答案
东南⼤学数值分析上机题答案数值分析上机题第⼀章17.（上机题）舍⼊误差与有效数设∑=-=Nj N j S 2211，其精确值为）111-23（21+-N N 。
（1）编制按从⼤到⼩的顺序1-1···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通⽤程序；（2）编制按从⼩到⼤的顺序121···1)1(111222-++--+-=N N S N ，计算NS 的通⽤程序；（3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时⽤单精度）；（4）通过本上机题，你明⽩了什么？解：程序：（1）从⼤到⼩的顺序计算1-1···1-311-21222N S N +++=：function sn1=fromlarge(n) %从⼤到⼩计算sn1format long ; sn1=single(0); for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1); end end（2）从⼩到⼤计算121···1)1(111222-++--+-=N N S N function sn2=fromsmall(n) %从⼩到⼤计算sn2format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1); end end（3）总的编程程序为： function p203()clear allformat long;n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn);sn1=fromlarge(n);fprintf('从⼤到⼩计算的值为%f\n',sn1);sn2=fromsmall(n);fprintf('从⼩到⼤计算的值为%f\n',sn2);function sn1=fromlarge(n) %从⼤到⼩计算sn1 format long;sn1=single(0);for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1);endendfunction sn2=fromsmall(n) %从⼩到⼤计算sn2 format long;sn2=single(0);for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1);endendend运⾏结果：从⽽可以得到N值真值顺序值有效位数2 100.740050 从⼤到⼩0.740049 5从⼩到⼤0.740050 64 100.749900 从⼤到⼩0.749852 3从⼩到⼤0.749900 66 100.749999 从⼤到⼩0.749852 3从⼩到⼤0.749999 6（4）感想：通过本上机题，我明⽩了，从⼩到⼤计算数值的精确位数⽐较⾼⽽且与真值较为接近，⽽从⼤到⼩计算数值的精确位数⽐较低。
东南大学2005年数学分析
东南大学2005年数学分析一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题8分，共32分）1、设函数f 在区间(),a b 内可导，则f 在(),a b 上严格单调递增当且仅当对任何(),x a b ∈，()0f x '>.2、对[],a b 上的连续函数f ，积分()baf x dx ⎰为正当且仅当f 在[],a b 恒为正.3、若级数21n n u ∞=∑和21n n v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑也收敛.4、设L 是平面定向光滑曲线，(,)f x y 在L 上连续，则(,)(,)LLf x y dx f x y dx ≤⎰⎰.二、计算题（每小题7分，共56分）1、求极限213sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++.2、记()V t是曲线21y x=+在[]0,x t ∈上的弧段绕x 轴旋转所得到的体积，试求常数c ，使lim ()2()t V t V c →+∞=.3、设()x x t =是由方程21sin 0x tst eds ---=⎰所确定，试求值22t d x dt=.4、设()f u 为可微函数，(0)0f =，(0)0f '≠.记t D 为圆心在原点，半径为t 的圆. 若0t +→时，~tkD f d at σ⎰⎰，试求常数a 和k 的值.5、已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，求点P 的坐标及过该点的法线方程.6、求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛域与和函数.7、计算曲线积分222222()()()LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标平面所截三角形的边界，并且若从x 轴正向看去为逆时针方向. 8、计算2()axdydz z a dxdy∑++⎰⎰其中∑为下半球面z =的上侧，a 为大于零的常数.三、（10分）若数列{}21321n n a a a a a a --+-++- 有界，则称{}n a 为有界变差数列，证明有界变差数列一定是收敛的数列. 四、（10分）设悬链线方程为1()2xxy e e-=+，它在区间[]0,t 上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为()s t 和()A t .该曲边梯形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积、侧面积和x t =处的端面积（即截面积）分别记为()V t ，()S t 与()F t . 证明：（1）()()s t A t =，0t ∀>；（2）()2()S t V t =，0t ∀>；（3）()lim1()t S t F t →+∞=.五、（10分）若f 在()0,+∞上连续，且对任何0a >，积分()ax xf t dt ⎰与()0,x ∈+∞无关，证明()c f x x=，()0,x ∈+∞，其中c 为常数.六、（10分）证明正数项级数1n ∞=∑收敛.七、（10分）令[]:0,1f R →为连续的，满足(0)(1)0f f ==.假设f ''在()0,1内存在，且具有20f f f '''++≥.证明对所有01x ≤≤，有()0f x ≤成立. 八、（12分）设积分()f x dx +∞-∞⎰绝对收敛，证明函数()()cos g f x xdx αα+∞-∞=⎰在(),-∞+∞上一致连续.。
复变函数习题及答案解析(东南大学版)
第1章 复数与复变函数1.1 复数及复平面1-1若1||1,n nz z z ω==+（n 是正整数），则（）. （A ）Re()0ω=（B ）Im()0ω=（C ）arg()0ω=（D ）arg()πω=解由||1z =知1z z=，因此1n n n n z z z z+=+为实数，故Im()0ω=. 选（B ）||1z =时n z =1/.n n z z =1-23311()()22n n--+=（）. （A ）(1)2n -（B ）1(1)2n --（C ）2 （D ）2-解2i π3e =2i π3e =知，等式中两项皆为1. 选（C ）1-3i |(1e )|n θ+=（）.（A ）2cos2n nθ（B ）2sin2n nθ（C ）/222(1cos )n n θ+（D ）/222(1sin )n n θ+解i 222|1e |(1cos )sin 2(1cos )θθθθ+=++=+故i /22|(1e )|2(1cos ).n nn θθ+=+选（C ）本题容易错选(A)项，因为2(1+2cos )4cos 2θθ=得i |1e |θ+=2cos .2θ错在cos 2θ应加上绝对值.1-442max{|i |||1}z z z +≤=（）. （A（BC（D ）2 解由4242|i |||||2,z z z z +≤+≤而当i4e z π=时，πi4i π2422e 1,i ie 1,|i |2z z z z ==-==-+=，故最大值为2.选（D ）用不等式确定最大值是常用方法. 1-5对任意复数12,z z ，证明不等式121212||||||||||||.z z z z z z -≤±≤+证1121212*********|||()|||||||||||||||||z z z z z z z z z z z z z z z -=+-≤+-=+=+-≤++故1212||||||z z z z -≤+，同理2112||||||z z z z -≤+ 即121212||||||||z z z z z z -+≤-≤+ 也就是1212||||||||.z z z z -≤+证2（代数法）设i (1,2)k k k z x y k =+= 则只要证222121122||||2||||||z z z z z z +≤++即只要证1212x x y y +≤1） 只要证2222212121122()()()x x y y x y x y +≤++ 此不等式等价于22221221112220x y x y x y x y +-≥由于,k k x y 皆是实数，上式左边是完全平方式，故此不等式成立，也就是1212||||||z z z z +≤+成立，以下同证1.证3（三角法）.设12i i 1122e ,e ,z r z r θθ==则2221211221122||(cos cos )(sin sin )z z r r r r θθθθ+=+++222212*********cos()2r r r r r r r r θθ=+-≤+ 21212()(||||)r r z z =+=+即1212||||||z z z z +≤+成立，以下同证1.1-6 当1||≤z 时，求||α+nz 的最大与最小值，n 是正整数，a 是复常数. 解1（代数法）.由1-5题知.||1||||||||||||αα+≤+≤+≤-a z z z z n n n我们知道，当1||=nz ，且向量n z 与α夹角为0°时右边不等式等号成立.故||α+nz 的最大值是.||1α+对左边不等式，要分情况讨论.（1）若1||>α，则.1||||||||-≥-≥+αααnnz z 等号当,1||=z 且nz 与α方向相反时成立.这时最小值是.1||-α（2）若1||≤α，则由0||≥+αn z ，当α-=nz 时等号成立，最小值为0.总之，不论α为何复数，|1|+nz 的最大值是||1α+；而当1||>α时，最小值为1||-α.当1||≤α时，最小值为0.解2 （几何法）.我们仅就1||>α加以证明.由1||≤z 知1||≤nz 。
东南大学2009年研究生入学试题 数学分析
东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题编号：601 试题名称：数学分析一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点.2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数.3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =.二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.5.求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n→∞+++ . 7.求幂级数143nn x n ∞=-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程.9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+⎰,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段.10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧.三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）.11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：（1）极限lim n n x →∞存在,记为ξ； （2）ξ是开普勒方程sin x a b x =+的唯一解.12.一个函数f ：[,]a b → 称作上半连续的,假如对给定的[,]x a b ∈及0ε>,存在一个0δ>,使得若[,],y a b y x δ∈-<,则()()f y f x ε<+.证明：[,]a b 上的上半连续函数是上有界的,且在某个点[,]c a b ∈处达到最大值.13.设()f x 在开区间(,)I a =+∞内可导,且lim '()x f x →+∞=∞,证明()f x 在I 内必定是非一致连续的.若(,)I a b =是有限开区间,且lim '()x bf x -→=∞,问()f x 在I 内也必定是非一致连续的？14.设1111n nn I x dx +=+⎰,求证：（1）0,n I n →→∞；（2）极限lim n n nI →∞存在,并求出此极限值. 15.设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内有二阶导数,且10(0)(1)0,''()0,()0f f f x f x dx ⋅>>=⎰. 证明：（1）函数()f x 在(0,1)内恰有两个零点；（2）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得0'()()f f x dx ξξ=⎰. 16.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=.证明：级数11()n n f n∞=∑绝对收敛. 17.设2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论f 在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数在原点的连续性.18.证明反常积分20sin 1x px x +∞+⎰关于[,)p a ∈+∞一致收敛,其中0a >为常数.。
东南大学1998年数学分析
一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 考研人的成功俱乐部一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 考研人的成功俱乐部东南大学数学分析1998一、填空1. 2. =++∞→2232)43()12(lim x x x =-∞→cos 1(lim 2n n n π3.若是由方程所确定的隐函数则)(x y y =x y xy x 2222=-+=/y 4.已知则,214)(x x x f +==)0()(n f 5.将二次积分化成在极坐标下的二次积分为⎰⎰-02202),(x x dy y x f dx 6.设c 为闭曲线正向，则曲线积分1)1(22=+-y x ⎰+++c dy x xy dx x x y )sin ()cos (7.曲线，在对应与t=1的点的切线方程为3233,3,3t t z t y t t x +==-=8.若收敛，是否必有?答dx x f a ⎰+∞)(0)(lim =+∞→x f x 9.设开区间集覆盖区间，是否必定存在中的有限个开区间覆盖[a,b]?答}{δ=∑∑10.收敛的柯西准则是⎰+∞a dx x f )(二.（1）证明在[-2，2]一致收敛)cos(320x n x n n n π∞=∑（2）设求),cos()(20x n x f n π∞=∑=)(lim 1x f x →三.讨论函数在（0，0）处的连续性、偏导数的存在性⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x y x y x f 和可微性四.设在[0，a]连续，定义函数序列，证明{}在)(1x f ,.....)2,1()()(01=⎰+n dt t f x f x n n )(x f n 区间[0，a]上一致收敛与零五.一质点沿曲线从点O(0,0)移动到A （4，0），求在此过程中力)0(422≥=+y x y x 所做的功W }2,2{22y x x y xy F +++=六．计算曲面积分dxdy x z dzdx z y dydz y x I )()()(2242+++++=⎰⎰∑其中是曲面z=1-x -y (-3)的上侧∑221≤≤z 七.设在[0，1]可积，求证⎰⎰=∞→1010)0()(lim dx f dx x f x n n。
东南大学工科数学分析习题课
Байду номын сангаасn→∞
6．设当 x
≥ 1 时， f ( x) 满足 f ′( x) =
1 ，且 f (1) = 1 ，令 x + f 2 ( x)
2
an ≤ an = f (n)(n = 1, 2,L) ，证明：数列 {an } 收敛，且 lim n →∞
可导，且
f ′ > 0 ，则
[
]
（A） F (0) 是 F ( x) 的极小值 （C） F (0) 不是极值，但点 (0, F (0)) 是曲线
（B） F (0) 是 F ( x) 的极大值
y = F ( x) 的拐点 y = F ( x) 的拐点
；
π
（D） F (0) 不是极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 （6） F ( x) =
∫
x −1
sgn tdt =
（7）设
f ∈ C[0, π ] ，且满足 f ( x) = cos 2 x + ∫ 0 f (t )dt ，则 f ( x) =
；
（8）设 A =
∫
1 0
ln(1 + x)dx, B = ∫
arctan x dx ，则 A, B 的大小关系为 0 1+ x
1
。
2．求下列极限： （1） lim ⎜ 2 n →∞
∫
0 x2
(
t ∫ cos u 2du dt ，则 F ′( x) =
0 x 2 x2
t
)
， F ′′( x) =
；
（2） 将 x → 0 时的无穷小量 α
= ∫ cos u du, β = ∫ tan t dt , γ = ∫
1999年东南大学数学分析考研试题
东南大学数学分析1999一、选择题1、 当0→x 时，无穷小量22cos x e x --关于无穷小量4x 是 （A ）等价无穷小量 （B ）同阶无穷小量（C ）低价无穷小量 （D ）高阶无穷小量 答（ ）2、 设)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且,0)()(≠x g x f 又),()()()(x g x f x g x f '<'则当a<x<b 时，必有（A ）),()()()(a g a f x g x f < (B),)()()()(a g a f x g x f < （C ） ),()()()(b g b f x g x f < (D),)()()()(b g b f x g x f < 答（ ） 3、 下列广义积分中收敛的为（A ）⎰+∞2,ln x x dx (B)⎰+∞+1331x dx ， （C ）dx x arctgx ⎰1025 (D)⎰21.ln x dx 答（ ） 4、 设,0,10,0),(⎩⎨⎧≠==xy xy y x f 则在点（0，0）处有 （A ）f 连续，y x f f ,都存在 （B ）f 连续，y x f f ,都不存在（C ）f 不连续，y x f f ,都存在 （D ）f 不连续，y x f f ,都不存在。
答（ ）5、 设z y x u =，则)2,2,3(y u∂∂等于（A ）4,3ln (B)83ln ,（C ）324,3ln (D)324.3ln 2ln 答（ ）6、 设常数,0≠k 则级数∑∞=+1)sin(n nk n ππ （A ）条件收敛， （B ）绝对收敛，（C ）发散， （D ）敛散性与k 取值有关。
答（ ）二、计算下列各题（6*5=30）1、 求)1ln(1lim 0-+→x x e x 。
2、 若)(),(x f y x f y ''+=存在，且1)(≠'x f ,求y ''。
东南大学数值分析上机题C参考答案
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数值分析上机题姓名：陈作添 学号：040816习题120．（上机题）舍入误差与有效数 设2211NN j S j ==-∑，其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。
（1）编制按从大到小的顺序22211121311N S N =+++---，计算N S 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算NS 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。
（编制程序时用单精度）的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。
从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。
计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。
习题220．（上机题）Newton 迭代法（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程()0f x =根的通用程序。
（2）给定方程3()/30f x x x =-=，易知其有三个根1x *=，20x *=，3x *=。
1．由Newton 方法的局部收敛性可知存在0δ>，当0(,)x δδ∈-时，Newton 迭代序列收敛于根2x *。
试确定尽可能大的δ。
2．试取若干初始值，观察当0(,1)x ∈-∞-，(1,)δ--，(,)δδ-，(,1)δ，(1,)∞时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？ 解：（1）编制的通用程序：#include<iostream.h> #include<math.h>#define eps 0.000001 /给定容许误差 float f(float x) //定义函数f(x) { float f; f=x*x*x/3-x; //f(x)的表达式; return(f); }float df(float x) //定义函数df(x)，计算f(x)的导函数 { float df; df=x*x-1; //f(x)导函数的表达式; return (df); }void main(void){ float x0,x1,a; int k=0;cout<<"请输入初值x0:"; cin>>x0; do { a=-f(x0)/df(x0); x1=x0+a; k++; x0=x1; }while(fabs(a)>eps); cout<<k<<'\t'<<x0;//输出迭代的次数和根值}（2）计算迭代序列收敛于根2x *的尽可能大的δ的函数为：#include<iostream.h> #include<math.h>void delay(int n) //定义延时函数 {for(n=10000;n>0;n--);} #define eps 0.000001float f(float x) //定义函数f(x) { float f; f=x*x*x/3-x; //f(x)的表达式;return(f);}float df(float x) //定义函数df(x)，计算f(x)的导函数 { float df; df=x*x-1; //f(x)导函数的表达式; return (df); }int judgement(float z) { int count=5; float x0,x1,type,type1; x0=z; while(count-->0) { x1=x0-f(x0)/df(x0); type=fabs(x1); type1=fabs(x1-x0); //调试值用 cout<<"count="<<count<<'\t'<<"type="<<type<<'\t'<<"type1="<<type1<<'\n'; if(fabs(x1-x0)<eps) return 1; x0=x1; delay(30000); //调试值用 }return 0; } void main(void) { float delta=0; int flag=1; while(flag==1) { cout<<"方程的根为:"<<'\n'; delta+=eps;flag=judgement(delta); } cout<<"输出方程根收敛的区间值:\n"; cout<<delta-eps; //输出收敛的区间值 }当步长为0.001时，程序计算出的δ的为δ=0.774，即在区间（-0.774，0.774）内迭代序列收敛于0。
东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)
3.求 (
ln x 2 ) dx x
t t
解：令 t ln x, 则x e , dx e dt , (
t2 ln x 2 ) dx 2t e t dt = t 2 e t dt t 2 e t 2te t x e
2e t C
(ln x) 2 2 ln x 2 C x
f ' ( x)
1 1 1 1 f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] f (2) f (0) 2 2 2 2 1 1 1 (2 x) 2 x 2 2 2
( x 1) 2 2
，
1 1 f ' ' ( ) (2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 2 2
和发散，并证明 F ( p) 在 p > 0 上连续． 五、(本题满分 12 分) 证明级数
å
¥
(- 1)n- 1 ( n n - 1) 条件收敛．
n= 1
六、(本题满分 12 分) 设函数项级数
å
¥
un ( x) 在区间 I 上一致收敛于 f ( x) ，且对每个 n ， un ( x) 在上 I 上一
解 ：
f ' ' ( ) (0 x ) 2 , 2 f ' ' ( ) f (2) f ( x) f ' ( x)(2 x) ( 2 x) 2 2 1 f (2) f (0) 2 f ' ( x) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 1 2 f ' ( x) f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 f (0) f ( x) f ' ( x)(0 x)
东南大学数值分析上机
第一章一、题目设∑=-=Nj N j S 2211，其精确值为)11123(21+--N N 。
（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算SN 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算SN 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 二、MATLAB 程序N=input('请输入N(N>1)：');AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); %single 使其为单精度 Sn1=single(0); %从小到大的顺序 for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); endSn2=single(0); %从大到小的顺序 for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); endfprintf('Sn 的值 (N=%d)\n',N);disp('____________________________________________________') fprintf('精确值 %f\n',AccurateValue); fprintf('从大到小计算的结果 %f\n',Sn1); fprintf('从小到大计算的结果 %f\n',Sn2);disp('____________________________________________________')三、结果请输入N(N>1)：100Sn的值(N=100)____________________________________________________精确值0.740049从大到小计算的结果0.740049从小到大计算的结果0.740050____________________________________________________请输入N(N>1)：10000Sn的值(N=10000)____________________________________________________精确值0.749900从大到小计算的结果0.749852从小到大计算的结果0.749900____________________________________________________请输入N(N>1)：1000000Sn的值(N=1000000)____________________________________________________精确值0.749999从大到小计算的结果0.749852从小到大计算的结果0.749999____________________________________________________四、结果分析可以得出，算法对误差的传播又一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。
东南大学算法设计与分析复习题
什么是基本运算？答：基本运算是解决问题时占支配地位的运算（一般1种，偶尔两种）；讨论一个算法优劣时，只讨论基本运算的执行次数。
什么是算法的时间复杂性（度）？答：算法的时间复杂性（度）是指用输入规模的某个函数来表示算法的基本运算量。
T(n)=4n3什么是算法的渐近时间复杂性？答：当输入规模趋向于极限情形时（相当大）的时间复杂性。
表示渐进时间复杂性的三个记号的具体定义是什么？答：1. T(n)= O(f(n))：若存在c > 0，和正整数n0≣1，使得当n≣n0时，总有T(n)≢c*f(n)。
（给出了算法时间复杂度的上界，不可能比c*f(n)更大）2. T(n)=Ω(f(n))：若存在c > 0，和正整数n0≣1，使得当n≣n0时，存在无（给出了算法时间复杂度的下界，复杂度不可能比c*f(n)穷多个n ，使得T(n)≣c*f(n)成立。
更小）3. T(n)= Θ(f(n))：若存在c1,c2>0，和正整数n0≣1，使得当n≣n0时，总有T(n)≢c1*f(n)，且有无穷多个n，使得T(n)≣c2*f(n)成立，即：T(n)= O(f(n))与T(n)=Ω(f(n))都成立。
（既给出了算法时间复杂度的上界，也给出了下界）什么是最坏情况时间复杂性？什么是平均情况时间复杂性？答：最坏情况时间复杂性是规模为n的所有输入中，基本运算执行次数为最多的时间复杂性。
平均情况时间复杂性是规模为n的所有输入的算法时间复杂度的平均值（一般均假设每种输入情况以等概率出现）。
一般认为什么是算法？什么是计算过程？答：一般认为，算法是由若干条指令组成的有穷序列，有五个特性a.确定性（无二义）b.能行性（每条指令能够执行）c.输入 d.输出 e.有穷性（每条指令执行的次数有穷）只满足前4条而不满足第5条的有穷指令序列通常称之为计算过程。
东南大学 02 03 数学分析 高等代数 04 高代 04数分_少一页
东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分)1.()+∞=-∞→x f x lim.解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1． 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。
解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2121222122213ln )11111(11)12(1dx xxdx xx dx xx2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dx du zg 求≠∂∂解：由xz zf xy yf xf dxdu dz g dy g e dx xg z e x g y y ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx x x 2)ln (解：令⎰====dx xx dt e dx e x x t tt 2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e ett t22=⎰=-dt e t t 2ttteet ----22C et+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 24.求()2limxax a xxx -+→()0>a解：()2li mxax a xxx -+→==2222222)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{limxx o a xa x x o aa xa x x +++-+++++=→=aa 21+5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。
数值分析习题答案_东南大学研究生课程
f ( x) = 1 − x ，求 f ( x1 ) 的绝对误差限和相对误差限。
解： x1 = 0.937
e( x1 ) ≤
1 × 10 − 3 2
1 × 10 − 3 e( x1 ) 2 = 0.534 × 10 − 3 er ( x1 ) = ≤ 0.937 x1
f ( x ) = 1 − x , f ′( x) = e( f ) ≈ f ′( x )e( x ) = −
1 1 1 1 1 ⋅ e( x1 ) ≤ × × × 10 − 3 2 1 − x1 2 1 − 0.937 2
er ( f ( x1 )) ≈
= 0.00397 = 3.97 × 10 −3 5. 取
2.01 ≈ 1.42 ，
2.00 ≈ 1.41 试 按 A = 2.01 − 2.00 和
A = 0.01 ( 2.01 + 2.00 ) 两种算法求 A 的值，并分别求出两种算法所
1 er ( R) ≤ × 10 − 2 3
7.有一圆柱，高为 25.00 cm，半径为 20.00 ± 0.05 cm。试求按所给数据计
算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。 解：1) V ( R ) = πR 2 h
er (V ) ≈ V ′( R ) ⋅ R R er ( R ) = 2πhR ⋅ 2 er ( R ) = 2er ( R ) V πR h
(3) x1 = 2.747 e( x1 ) ≤
x2 = 6.83
x1 x2 = 18.76201,
1 1 × 10 − 3 , e( x2 ) ≤ × 10 − 2 2 2
e( x1 x2 ) ≈ x2 e( x1 ) + x1e( x2 ) ≤ x2 e( x1 ) + x1 e( x2 )
东南大学数学专业考研试题题型分析
东南大学数学专业考研试题题型分析东南大学近几年的数学专业的真题比较难找。
我是东大的研二学生，主要分析一下其考研的题型。
数学分析
一，判断题（判断命题的正误，正确的证明，错误的举出反例）
这类题主要是书本上的举反例的题目。
可以多做练习。
二，计算题
一般有六、七道题目
三，解答题
一般有六、七道题目证明题
高等代数
一，填空题
一般有四五道填空
二，计算题
有四五道技巧性的计算题目
三，证明题
四五道的证明题。
不是特别的难
考研的同学可以有针对性的复习，题目量比较大，一定要多做练习。
对于数学分析
找一本比较出名的习题集做，要反复的复习
达到看到题目，就能大概知道思路（注意千万别是稍看一眼就会）
一定要保持思路的连贯性，因为考试的时候可没有时间让你去想，
有可能你会做，但是在规定的时间内做不完，导致心里上的变化
从而导致考试失败。
可以看钱吉林的书，同时尽可能多找真题，因为毕竟不同的学校的出题风格并不相同。
高等代数
我个人觉得北大第三版的教材就很不错，需要反反复复的做，尤其是补充题，我记得我考试那年就有两道原题，都是补充题。
最重要的是学习教材上题目的解题方法。
具体需要交流的话。
扣扣1467254463。
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东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞
→x f x lim .
解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→
解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）
1． 求曲线2
1
0),1ln(2
≤≤-=x x y 的弧长。
解
：
=
+=⎰
dx x f s β
α
2)]('[1⎰⎰⎰
-=-++-=-+=--+21
021
022210
22
213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导
数，
.,0dx
du
z g 求≠∂∂ 解：由x
z
z f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g y
y
∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212
=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰
dx x
x 2
)ln (
解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t t
t
2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e e
t t
t 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t
+--2C x
x x +++-
=2
ln 2)(ln 2 4.求()2
lim x a x a x
x
x -+→()0>a
解
：()2
lim x
a x a x x
x -+→==
22222
220)]
()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim x
x o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =
a
a
21+ 5.计算第二型曲面积分
⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。
解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==则2
r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤
⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x 2
22=
⎰⎰++S
dxdydz
z y x )(2=
⎰
⎰++π
θθθ20
1
2)sin cos (2r r r r d dr =π
6．求常数λ，使得曲线积分⎰
+==-L
y x r dy r y
x dx r y x 2222,0λ
λ对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立。
解：
7．在曲面)0,0,0(,14
2
2
2
>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。
解：设14),,(22
2
-++=z y x z y x F ,则2
,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂,故所求切平面方程为： 0)(2
)(2)(2=-+-+-z Z z
y Y y x X x ,求得在三个坐标轴上的截距分别
为:,44,444,4442
22222222z
z y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++=
)1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==22
216
11z
y x ++ 令)14(1611),,(22
2222-+++++=z y x z
y x z y x P λ
则
02132,022,022333=+-=∂∂=+-=∂∂=+-=∂∂λλλz z
z P y y y P x x x P ,,1422
2=++z y x
解得=
=y x ,16,2,2
1
==λz =min d 16 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）
1． 讨论级数∑⎰
∞
=+1
1sin n n dx x
x
π
的敛散性。
解:
2． 设)(x f 在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有
1)('',1)(<<x f x f 。
证明对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f 。
解
：
,)0(2)
('')0)((')()0(2x f x x f x f f -+
-+=ξ2)2(2
)
('')2)((')()2(x f x x f x f f -+-+=η
])('')2)((''[21
)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅--+=-ξη
])('')2)((''[21
)0()2()('222x f x f f f x f ⋅----=ξη
≤⋅--+-=
])('')2)((''[2
1
)0()2(21)('22x f x f f f x f ξη++)0(21)2(21f f
22)(''2
1
)2()(''21x f x f ⋅+-⋅ξη2
22
1
)2(211x x +-+≤2
)1(2+-≤x ，
.2)('≤x f
3． 证明积分⎰
+∞
-0
dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛。
证
明
:
,,0,,02121时并且当设δδ<->∃>∀m m m m
⎰⎰
--=--2
1
2
1
)(m m xy xy
m m xy d e dy xe
)1(][)(211212
1x m m x m x m x m m m xy e e e e
e ------=-=-=取 ,1
δ=x ⎰∞+-=0,2
1dy xe xy
则取δ>为一常数A e A e e e e m m
)(1()1()1(112->->---δ)
4． 证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续。
证明：x
x x x x x
x f 22
ln ln 21)('+=
+
=
1)(',1,021ln 21)(''max ===--=
x f x x
x x x f
由拉格郎日中值定理,21212121)(')()(),,1[,x x f x f x f x x x x -⋅=-<-+∞∈∃ξδ则当 <.,21即可取δεδ==-x x。