数学分析(3)复习题

数学分析（3）复习题（全部）

准备发邮箱 上去（密码同名子）

一、泰勒公式与极值问题

练习题

1．利用二元函数的泰勒公式证明:

0,0x y ∀>>和01θ<<有, 1(1)x y x y θθθθ-≤+-.

进一步证明下面的Yong ’s 不等式: 若

111(0,0)p q p q +=>>, 则对0,0a b ∀>>有11p q ab a b p q

≤+. 提示: 对函数1x y θ

θ

-在(1,1)点展开为一阶泰勒公式,再利用雅可比矩阵的半负定性.

最后取1

,,p

q

x a y b p

θ===

即可. 2．求函数332

2

(,)339f x y x y x y x =-++-的极值点和极植.

提示: 见课件;类似于教材P138例6; 利用极植的必要条件和充分条件.

3．求二元函数2

(,)(4)z f x y x y x y ==--在直线6x y +=,x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.

提示: 先求在区域D 内的驻点,再求函数在直线6x y +=上的最值点,最后比较. 4．在xy 平面上求一点,使它到三直线0x =,0y =及2160x y +-=的距离平方和最小. 提示: 见教材P141习题 11.

二、隐函数定理及应用

练习题

1．已知：sin 10x

y e xy +--=，求

x dy dx

=和22

x d y dx =

提示：利用隐式方程求导法。答案：1-，3-。

2．设(,)F x y 具有连续偏导数，已知(,)0x y F z z

=，求dz 。 提示：利用一阶全微分形式的不变性。答案：1212()z

dz F dx F dy xF yF ''=

+''

+。

3．设函数(,)u u x y =由方程组(,,,),(,,)0,(,)0u f x y z t g y z t h z t ===所确定，求

u x ∂∂和u y

∂∂。 （见教材P158习题 6） 4．已知：2

(,)(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨

=-⎩

，求u x ∂∂和v

x ∂∂。（见教材P158习题 2（3）） 5．求球面2

2

2

50x y z ++=与锥面2

2

2

x y z +=所截出的曲线的点(3,4,5)处的切线和法平面方程。（见教材P161例 2） 6．教材P163 习题 9

7．求旋转抛物面2

2

y x z +=与平面22x y z +-=之间的最短距离。 提示：点到平面的距离公式2

22C B A D Cz By Ax d ++-++=

，求在约束条件下2

d 的极值。

答案：)8

1

,41,41(0P ，6

47min =

d

8．在过点)3

1,1,2(的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面。 提示：设平面方程

1=++c z b y a x ，则体积6

abc

V =

，求V 的极值可转化为求 c b a c b a f ln ln ln ),,(++=的极值

答案：3,1,3,6min ====V c b a

三、含参量积分

练习题 1．设⎰

⎰-=

x

x

t

s ds e dt x f 0

2

)(，求)(x f '和)(x f 。

答案：2

2

121)(x e x f --=，解题过程中要说明依据。

2．求⎰

-=

1

ln dx x

x x I a

b )0(b a <<，见教材P178例4 3．计算

dy x x x

D

⎰⎰d sin ，D 是π===x y x y ,0,所围闭区域。 提示：考虑积分次序。答案：2 4．计算二次积分

⎰⎰

-31

2

1

2d sin d x y y x

提示：画出积分区域，转化为二重积分，交换积分次序。答案：

)4cos 1(2

1

- 四、重积分及其应用

练习题 1

．计算积分1/2

11/4

1/2

1/2

y y

x

x

y

dy e dx dy e dx +⎰

⎰。

（交换积分次序） 2．

⎰⎰

+-D

y x y x d d )2(，0,0,1:2

2≥≥≤+y x y x D 提示：用直线x y =将D 分成两部分去绝对值。答案：)12(3

2

2-+π

3．教材P236 例2

4．计算⎰⎰+D y x y x d d )(2

2

，:02y D x ≤≤≤≤⎪⎩

提示：用极坐标2

0,2cos 2π

θθ≤≤≤≤r ，

?d cos d sin 2

/0

2

/0

==⎰

⎰

x x x x n n ππ

答案：π4

5

5．计算

22

x y D

e

dxdy --⎰⎰，其中222:D x y a +≤。

（用极坐标计算） 6．

计算积分V

I V =

⎰⎰⎰

，其中V

是221,1y x z y =+==所围成。

提示：用直角坐标或柱坐标，先沿着y 轴方向穿针。 7．计算⎰⎰⎰=

V

V z I d ，V 是22

y x

z +=与2,1==z z 所围闭区域。

提示：用直角坐标，先二后一最简单。ππ3

72

122

1

===⎰⎰

⎰⎰dz z dxdy zdz I z D

也可用其它方法，如用柱坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰

+=

2

2

1

20

2

1

1

20

2r

zdz rdr d zdz rdr d I π

π

θθ