高考数学复习点拨 非线性回归问题

非线性回归问题

两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。分析非线性回归问题的具体做法是： （1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．

（2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法．

例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式

e b x

y A =（b <0）表示，现测得实验数据如下：

试求对的回归方程．

分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为e

b x

y A =（b <0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程．

解：由题意可知，对于给定的公式e b

x

y A =（b <0）两边取自然对数，得ln ln b y A x

=+． 与线性回归方程对照可以看出，只要取1

u x

=

，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ． 题目中所给数据由变量置换1

u =

，ln v y =变为如表所示的数据：

由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系． 再求得0.146b =-，0.548a =，

∴v =0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得0.146

ln 0.548y x

=-

， ∴0.1460.1460.1460.5480.548

e

1.73x

x

x

y e

e

e

-

-

-

===，

∴回归曲线方程为0.1461.73e

x

y -

=．

点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤．

例2 为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数，收集数据如下：

天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y

6

12

25

49

95

190

（1）作出这些数据的散点图； （2）求出y 对x 的回归方程． 解析：（1）作出散点图如图1所示．

（2）由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线e bx

y c =（c ＞0）的周围，则

ln ln y bx c =+．

令ln ln z y a c ==，，则z bx a =+．

x

1 2 3 4 5 6 z

1.79

2.48

3.22

3.89

4.55

5.25

相应的散点图如图2． 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．

由表中数据得到线性回归方程为0.69 1.115z x =+．因此 细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为0.69 1.115e x y +=．

点评：通过作散点图看出，本题是一个非线性回归问题，通过变量置换转化为线性回归问题求解的．值得注意的是，本题的数据与回归曲线是拟合得相当好的，这表明确定性关系（如公式、函数关系式）和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟．由于有实验误差、测量误差等存在，变量之间的确定性关系往往通过相关关系表现出来；反过来，在有些问题中，可以研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们的确定性关系．