2020年重庆一中高二(下)期中数学试卷解析版(文科)

期中数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|x2-3x＜0}．则M∩N=（ ）
A. {0，1}
B. {-1，0}
C. {1，2}
D. {-1，2}
2.当m＜1时，复数z=2+（m-1）i在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（ ）
A. p真q真
B. p假q真
C. p真q假
D. p假q假
4.设函数，则=（ ）
A. -1
B. 1
C.
D.
5.设x∈R，则“2-x≥0”是“|x+1|≤1”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.根据如下样本数据：
x12345
y a-1-10.5b+1 2.5
得到的回归方程为y=bx+a，若样本点的中心为（3，0.1），则b的值为（ ）
A. 0.8
B. -0.8
C. 2.3
D. -2.3
7.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+a）2+y2=a2相切，则双曲线
的离心率等于（ ）
A. B. C.
2 D.
8.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A. f（x）=sin x
B. f（x）=e x+e-x
C. f（x）=x3+x
D. f（x）=x lnx
9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 64+32π
B. 64+64π
C. 256+64π
D. 256+128π
10.已知函数，则不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集为（ ）
A. （1，2）
B. （1，4）
C. （0，2）
D.
11.函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）＝f（x）与f（1＋x）＝f（1-x）成立，并
且当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则方程的根的个数是（）
A. 2020
B. 2019
C. 1010
D. 1009
12.已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）e x-1-g（0）x+，且存在实数x0使得不等式
2m-1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（ ）
A. （-∞，2]
B. （-∞，3]
C. [1，+∞）
D. [0，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若函数f（x）的定义域为[-2，3]，则函数f（2x）的定义域是______．
14.若函数f（x）=（a+1）x3-2x+a为奇函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的
切线方程为______．
15.过抛物线y2=4x焦点的直线与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的
中点到抛物线的准线的距离为______．
16.在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则正三棱锥P-ABC
的内切球的半径为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知函数的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）=4x+2x的最小值．
18.某校开展了知识竞赛活动．现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生
，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70
），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为
“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为
“比赛成绩是否优秀与性别有关”？（结果精确到0.001）
优秀非优秀合计男生40
女生50
合计100
参考公式及数据：
P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，四边
形ABB1A1为正方形．
（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）若△ABC为等边三角形，BC=4，求点B到平面
AB1D的距离．
20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到焦点
距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中垂线交x轴于点P，求点P横坐标的取值范围．
21.已知函数f（x）=e x，g（x）=x2-x-1（e为自然对数的底数）．
（1）记F（x）=ln x+g（x），求函数F（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值；
（2）若k∈Z，且f（x）+g（x）-k≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．
22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线（t为参数），以原点为极点，
x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标为（-1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：N={x|0＜x＜3}；
∴M∩N={1，2}．
故选：C．
可解出集合N，然后进行交集的运算即可．
考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2.【答案】D
【解析】解：m＜1所以m-1＜0，复数z=2+（m-1）i在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D．
由题意推出m-1＜0，易得复数z在复平面上对应的点位于的象限．
本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p 假q真；
∵￢p也为真命题，⇒p为假命题，q为真，￢q为假命题，由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可．
故选：B．
命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；由已知条件然后逐项判断即可．
本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q为真的讨论．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查对数函数，考查运算求解能力，属于基础题．
由＞0，得到．
【解答】
解：∵函数，
∴=-1，
故．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：由2-x≥0得x≤2，
由|x+1|≤1得-1≤x+1≤1，
得-2≤x≤0．
则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B．
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，，
即，解得a=-2.3，b=0.8．
故选：A．
由题意列关于a，b的方程组，求解得答案．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．7.【答案】D
【解析】解：双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0，因其与圆相切，故
，所以c=2b，故e=，
故选：D．
求出渐近线的方程后利用圆心到其距离为可得，从该式可求离心率．
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a，b，c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a，b，c的不等式或不等式组．
8.【答案】C
【解析】解：A．f（x）=sin x在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．
B．f（-x）=e-x+e x=f（x），函数f（x）为偶函数，不满足条件．
C．f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x 是增函数，满足条件．
D．f（x）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．
故选：C．
根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．
∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．
故选：C．
由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．
由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数，易得f（x）在R上为增函数，
f（x2-2x）＜f（3x-4）⇒x2-2x＜3x-4，变形可得x2-5x+4＜0，
解可得1＜x＜4，即不等式的解集为（1，4），
故选：B．
根据题意，分析易得f（x）在R上为增函数，据此分析可得f（x2-2x）＜f（3x-4）⇒x2-2x ＜3x-4，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化，属中档题．
由函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化即可得解．
【解答】
解：由函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），
则函数f（x）为偶函数.
又f（1+x）=f（1-x）成立，
所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
所以f（x）=f（2+x）,
即函数f（x）为周期为2的周期函数.
由当0≤x≤1时，f（x）＝x2，
则函数y=f（x）的图象与直线y=在[0，1]有两个交点，在（1，3]有两个交点，在（
3，5]有两个交点…在（2017，2019]有两个交点，在（2019，+∞）无交点，在（-∞，0）无交点，
即交点个数为2020，
故选：A．
12.【答案】C
【解析】解：∵g（x）=g′（1）e x-1-g（0）x+，
∴g′（x）=g′（1）e x-1-g（0）+x，
∴g′（1）=g′（1）-g（0）+1，解得：g（0）=1，
g（0）=g′（1）e-1，解得：g′（1）=e，
∴g（x）=e x-x+x2，
∴g′（x）=e x-1+x，g″（x）=e x+1＞0，
∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，
∴g′（x）＜0在（-∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴g（x）min=g（0）=1，
若存在实数x0使得不等式2m-1≥g（x0）成立，
只需2m-1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，
故选：C．
分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m-1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．
本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．
13.【答案】[-1，]
【解析】解：∵函数f（x）的定义域为[-2，3]，
∴由-2≤2x≤3，得-1≤x≤，
即函数f（2x）的定义域是[-1，]，
故答案为：[-1，]
根据复合函数的定义域之间的关系进行求解即可．
本题主要考查函数定义域的求解，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．14.【答案】y=x-2
【解析】解：根据题意，函数f（x）=（a+1）x3-2x+a为奇函数，且其定义域为R，
则有f（0）=a=0，则f（x）=x3-2x，
其导数f′（x）=3x2-2，则f′（1）=1，即曲线在点（1，f（1））处切线的斜率k=1，又由f（1）=-1，则切点的坐标为（1，-1），
故切线的方程为y-（-1）=x-1，变形可得y=x-2；
故答案为：y=x-2．
根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=a=0，即函数函数的解析式，求出函数的导数，分析可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案．
本题考查利用导数计算切线的方程，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：抛物线y=4x的交点F（1，0），直线y=k（x-1）过焦点F，
联立消去x得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=1，
根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+2=4，即=0，此方程无解，说明斜率k不存
在，此时直线与x轴垂直，
此时弦AB的中点为F，F到准线的距离为2．
故答案为：2．
设直线AB的方程，将其代入抛物线，利用弦长公式求得弦长与已知弦长相等列方程可得．
本题考查了抛物线的性质，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，
在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，
∴AB=BC=AC=，则．
设正三棱锥P-ABC的内切球的球心为O，内切球半径为r，
则，解得r=．
故答案为：．
由题意画出图形，设出内切球半径，利用等积法求解．
本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了等积法的应用，是中档题．
17.【答案】解：（1）由得，
∴x＜0或x＞3，
所以M={x|x＜0或x＞3}．
（2）由x∈[0，1]，2x∈[1，2]，
所以f（x）=（2x）2+2x，
当2x=1即x=0时，f（x）min=2．
【解析】（1）根据二次根式有意义和对数有意义求定义域．（2）再利用二次函数求最小值．
本题考查不等式的解法和指数函数及二次函数最值求法．
18.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得，
（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）×10=1，
解得a=0.025；
（2）在抽取的100名学生中，比赛成绩“优秀”的有100×0.35=35（人），
由此可得2×2列联表如下；
优秀非优秀合计
男生104050
女生252550
合计3565100
计算K2==≈9.890＜10.828，
所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．
【解析】（1）由频率和为1列方程求出a的值；
（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）如图，连接BA1，交AB1于点E，再
连接DE，
由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为AB1的中点，
∵D是BC的中点，∴DE∥A1C，
又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．
（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC为它们的交线，
又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，
法1、过B作BH⊥B1D于H，
又AD⊥BH，AD∩B1D=D，∴BH⊥平面AB1D
故在Rt△B1BD中，BB1=4，BD=2，
∴点B到平面AB1D的距离为．
法2、设点B到平面AB1D的距为离h，
由等体积法可得：，
即，
即，∴．
即点B到平面AB1D的距离为．
【解析】（Ⅰ）连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，推导出DE∥A1C，由此能证明A1C∥平面AB1D．
（Ⅱ）推导出AD⊥平面BCC1B1，
法1、过B作BH⊥B1D于H，推导出BH⊥平面AB1D，由此能求出点B到平面AB1D的距离．
法2、设点B到平面AB1D的距为离h，由等体积法可得：，由此能
求出点B到平面AB1D的距离．
本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：（1）设所求的椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），
由题意⇒，
所以所求椭圆方程为：+=1．
（2）设弦AB的中点为M（x0，y0），直线l：y=x+m，
联立⇒x2+mx+m2-3=0，
由△＞0得-2＜m＜2．
又得，
l的中垂线方程为：y-y0=-2（x-x0），
当y=0时，得x=x0+=-，
所以点P的横坐标的取值范围为（-，）
【解析】（1）根据椭圆的几何性质列方程组可解得a2，b=，从而可得椭圆C的标准方程；
（2）将直线l的方程代入椭圆的方程，利用△＞0得k的范围，利用AB的中点坐标和斜率可得中垂线方程，再令y=0可得P的横坐标，再求取值范围．
本题考查了椭圆的性质，属中档题．
21.【答案】解：（1）∵F（x）=ln x+g（x）=ln x+-，
∴F′（x）=，
令F′（x）=0，则，（1分）
所以函数F（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，3）单调递增，（2分）
∴F（x）min=F（2）=-4+ln2，
F（x）max=max{F（1），F（3）}=-4+ln3．（4分）
（2）∵f（x）+g（x）-k＞0对任意x∈R恒成立，
∴对任意x∈R恒成立，
∴k≤对任意x∈R恒成立．（6分）
令h（x）=e x+-，则．
由于h''（x）=e x+1＞0，所以h′（x）在R上单调递增．
又，＞0，，
，
所以存在唯一的x0∈（），使得h′（x0）=0，且当x∈（-∞，x0）时，h′（x）＜0，
x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0．
即h（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
∴h（x）min=h（x0）=+．（9分）
又h′（x0）=0，即=0，∴．
∴-1=．
∵，∴h（x0）∈（-，-）．
又∵k≤对任意x∈R恒成立，∴k≤h（x0），
又k∈Z，∴k max=-1．（12分）
【解析】（1）F（x）=ln x+g（x）=ln x+-，从而F′（x）=，利用导数性质能求出函数F（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值．
（2）由f（x）+g（x）-k＞0对任意x∈R恒成立，得到k≤对任意x∈R恒成立．令h（x）=e x+-，则．利用导数性质推导出存在唯一的x0∈（），使得h′（x0）=0，h（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．从而h（x）min=h（x0）=+，由此能求出k的最大值．
本题考查函数的最值的求法，考查实数的最大值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
22.【答案】解（1）由消去参数t可得直线l的普通方程：3x+4y-5=0；
由ρ=2sin（θ+）得ρ=2cosθ+2sinθ，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，
得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0．
（2）直线l的参数方程的标准形式为（t为参数），
将其代入曲线C的方程并整理得：5t2+22t+15=0．
设A，B对应的参数为t1，t2，
则|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3．
【解析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．
（2）将直线l的参数方程化成标准形式并代入曲线C，利用参数的几何意义可得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，
f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，
可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，
即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，
则原不等式的解集为（0，2）；
（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，
即有1＞f（x）max，
由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|
≤|x+a-x+|-0=|a+|，
可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），
则a+＜1，解得0＜a＜．
【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；
（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。