椭圆高考题目汇总教师版含答案

考点11 椭圆

1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ．

45 B ．35 C ．25

D ．15

【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e .

【规范解答】选B .Q 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+，

∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+，

∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴

0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 3

5

c e a =

=，故选B . 2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22

143

x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r

的最大值为（ ）

A.2

B.3

C.6

D.8

【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.

【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ⋅u u u r u u u r

的表达式，进而转化

为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.

【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则2222

0000x y 3x 1y 3434

+==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴⋅=⋅++u u u r u u r 2001x x 34=++()2

01x 224

=++，又[]0x 2,2∈-，

()

[]OP FP 2,6∴⋅∈u u u r u u r ，所以 ()max

6OP FP ⋅=u u u r u u u r

.

3.（2010·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22

221x y a b

+=（a>b>0）的左、右焦

点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；

（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.

【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.

【思路点拨】利用等差数列的定义，得出2AF ,AB ,2BF 满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.

【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知，224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+ 得 4

3AB a =

，

l 的方程为y x c =+

，其中c =设()()1122,,,A x y B x y ，则,A B 两点坐标满足方程组

22

221y x c x y a b

=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得，2222222

()2()0a b x a cx a c b +++-= 则 212222a c x x a b -+=+，2221222

()

a c

b x x a b

-=+. 因为直线AB 斜率为1

，所以21AB x =

-=

得 222443a ab a b =+，故22

2a b =,

所以E

的离心率2

c e a a ===. （Ⅱ）设,A B 两点的中点为()00,N x y ，由（Ⅰ)知212022

2

23

x x a c x c a b +-===-+，003

c

y x c =+=

. 由PA PB =，可知1PN k =-.即

00

1

1y x +=-，得3c =

，从而3a b ==. 椭圆E 的方程为

22

1189

x y +=. 【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.

4.（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C 的左、

右焦点坐标分别是(

，，

离心率是

3

，直线y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为

P .

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；

（Ⅲ）设Q （x,y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值.

【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中,,a b c 的关系，离心率c

e a

=

.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（Ⅲ）问中y 最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想. 【思路点拨】由焦点可求出c ，再利用离心率可求出,a b 。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离. 【规范解答】

（Ⅰ）因为

3

c a =

，且c =

1a b == 所以椭圆C 的方程为2

213

x y +=. （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<<

由22

13

y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩

得x =所以圆P

.

由

||t =，

解得t =±所以点P 的坐标是（0

，.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程2

2

2

()3(1)x y t t +-=-.因为点(,)Q x y 在圆P 上。所以由图可知

y 223(1)y t t x t =±--≤。

设

cos ,(0,)

t θθπ=∈，

则

cos 2sin()6

t π

θθθ==+

当3

π

θ=，即12t =，且0x =，y 取最大值2.