多光束干涉

当 N 较大，取 k'' =1.
1 ( 2 k 1) / N 3 / N
3 2N
2
sin / 2 / 2
Ia
2 2
N
2
1 ( N 1)( 3 / 2 N )

I max 23
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
第1章 光的干涉
二 法布里—泊罗干涉仪（多光束干涉仪） 1、结构：由两个平行的介质板组成，在两介质板相 对的平面上镀高反射薄膜，且几何误差在λ/20~ λ/50 之间. 由于光在介质和薄膜上反射、折 射时有能量损失，引入反射比（r）、 透射比（t）.
2
Na
2
N (cos N / 2 cos N / 2 sin N / 2 sin N / 2 ) (cos / 2 cos / 2 sin / 2 sin / 2 )
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
所以： I max N a
2 2
第1章 光的干涉
2 2
N sin / 2
2 2
1 ( N 1) sin / 2
2 2
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
N sin / 2
2 2
第1章 光的干涉
2
1 ( N 1) sin / 2
2 2
代入 I a
sin N / 2
2
sin / 2
2
得
Ia
2 2
N
2 2
1 ( N 1) sin / 2
第1章 光的干涉
I max
N-1个暗纹
2π 4π
(k’=2N)
δ
( 2 k 1) / N
存在的次极大光强.
( k k )
(k’=N)
2 sin 将“超越函数”平方，可得： N / 2
N tan / 2
2 2
N tan

2
tan
N 2

1 N tan / 2
2 2
)
N sin N / 2 cos N / 2 sin / 2 sin / 2 cos / 2 sin N / 2
2 2
N tan

2
tan
N 2
这是一个超越函数，无法求解！
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
由于在相邻最大光强之间有 （N-1）个最小光强，所以；可 能存在的次极大光强最多有 （N-2）个. 即：当
~ ~ ~ ~ A A1 A2 A N
每一光线相位依次落后.
第1章 光的干涉
A1
~ i0 ~ i A1 ae , A2 ae , ~ i 2 A3 ae ......
A2
A3 A4
d n
A5
P
~ AP
ae
n0
N 1
in
（ 等比级数 ）
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
一 多光束干涉
第1章 光的干涉
k 2

波数
1、数学补充：
若有两束相干光
由 re i
E 1 A1 sin( kr1 t )
~ i t E 1 A1 sin( kr1 t ) A1 e e A1 e 则： ~ ikr 2 i t i t E 2 A2 sin( kr2 t ) A2 e e A2 e
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
第1章 光的干涉
在相邻最大光强之间有（N-1）个最小光强，还 有次极大光强.
次极大光强位置：利用 dI / dδ = 0 可解得；
由
0 dI d a (
2
Ia
2
sin N / 2
2
sin / 2
2
2 2
N sin N / 2 cos N / 2 sin / 2 sin / 2 cos / 2 sin N / 2 sin / 2 sin / 2
~ AP
ae
n0
N 1
in
a e
n0
N 1
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in
a
(1 e
iN i
) )
(1 e
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
多光束合成的光强：
2 2 iN
第1章 光的干涉
iN
)(1 e ) ~ 2 (1 e IA A a i i (1 e )(1 e ) a
代入：
Ia
1 cos N 1 cos
a
2
sin N / 2
2
sin / 2
2
a
2
0 0
不 定 式
利用 “罗比塔” 法则得：
Ia
2
sin N / 2
2
2 sin N / 2 cos N / 2 N / 2 a 2 sin / 2 2 sin / 2 cos / 2 2
r t att’+ ar² A入 A入 a ar ar 由：光的可逆性原理
d
A反
A透
at at
att’+ ar² =a
tt’+ r² =1
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
2、原理：相邻光线的 光程差、相位差；
第1章 光的干涉
（无半波损失）
at t e
i0 i
a
Δ 2 nd cos
第1章 光的干涉
~ ~ ~ ~ i t i t i t E A1 e A2 e ( A1 A2 ) e ~ 2 2 由： A A ~2 ~ ~ 2 2 则有： A A ( A1 A2 )
( A1 e
2
ikr1
A2 e
2
ikr 2
)( A1 e
A
2
a (1 )
2
(1 e (1 e
2
i
)(1 e )
2

a (1 )
2 i
e
2
i
)
2

a (1 )
2
(1 2 cos )
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
a (1 )
2 2 2
第1章 光的干涉
ikr1
A2 e
ikr 2
)
A1 A2 A1 A2 e
ik ( r1 r2 )
A1 A2 e
ik ( r1 r2 )
又有：
2
cos
2 1
e
i
e 2
2 2
i
A A A 2 A1 A2 cos
2

r
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪

2
0
2 nd cos
d n
合振幅等于复数振幅相加.
at t r e 4 i 2 at t r e 6 i 3 at t r e 8 i 4 at t r e
2
~ ~ ~ ~ A A1 A2 A N
~ 2 i 4 i 2 6 i 3 A at t (1 r e r e r e )
2、多光束干涉： 用一独立光源的 光线，入射到两个平 行的介质板中，利用 光的反射、折射形成 多光束干涉. 其中：Δ 2 nd cos
第1章 光的干涉
d n
P （半波损失抵消）

2
0
2 nd cos
对多光束合成，利用复数振幅相加，即能考虑相 位也能考虑振幅.
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
a (1 )
2 2 2
(1 2 cos )
a (1 )
2 2 2

(1 2 2 2 cos )
a (1 )
2 2

(1 ) 2 (1 cos )
2
(1 ) 4 sin / 2
2 2
A 1
a 4
2
2
sin / 2
2
(1 )
爱 4 2 1 sin / 2 里 2 函 (1 ) 数
[ 2 k ]
I0
结论：光强
最大值
I max I 0
最小值
I min
I0 1 4 /(1 )
2
I0 (
1 1
该式为：公比等于 ( r e
2 i
) 的等比级数.
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
~ 级数求和：A at t 1 r e
2 i
第1章 光的干涉
2 2 i

a (1 r ) 1 r e
2 i
（tt’+ r² =1）
令：反射比 r ² ρ （反射率）. =
~ A
2
ikr1 i t
E 2 A2 sin( kr2 t ) r (cos i sin )
复数振幅
两束相干光叠加：
~ ~ ~ ~ i t i t i t E A1 e A2 e ( A1 A2 ) e
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
)
2
[ ( 2 k 1) ]
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
3、Fabry-Perot 干涉仪应用 光谱超精细结构分析.
I / I0
0 .05 0 .27 0 .64 0 .87
第1章 光的干涉
0
2π
δ
( I max N , a )
2 k
( k 0 , 1 )
结论：当相邻光线的相位差
光强最大.
由：N k 2
( k 0 , 1 ) ( k N ,2 N )
若 N k 2 k 2 N
I min 0 光强最小！
a
2
2 (e
iN i
e
iN i
)
sin N / 2
2
2 (e
2
e )
a
2
1 cos N 1 cos
sin / 2
2
合成的光强！
3、讨论光强分布特点：
1 - 5 法布里-泊罗干涉仪
当：
第1章 光的干涉

2
k ,
N 2
2
k
( k 0 , 1 ) 时，光强最大.