平行线典型例题
七年级(下)相交线与平行线知识点及典型例题
相交线与平行线知识点整理及测试题一、相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表:（一）（二）图形 （三）顶点（四）边的关系 （五）大小关系 对顶角>4/ 1 与/ 2有公共顶点/1的两边与 /2的两边互 为反向延长线对顶角相等即/ 1 = / 2 邻补角 / 3 与/4有公共顶点/ 3与/ 4有 一条边公共， 另一边互为反 向延长线。
/3+ /4=180° 、I ,、、八 1注意点:[1]顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果/a 与是对顶角，那么一定有/a =ZP ；反之如果/a = /B,那么/a 与不一定是对顶角⑶如果/a 与/B 互为邻补角，则一定有/a +/B =180°；反之如果/a + /^ =180°则/a 与/B 不一定是邻补角。
[4]两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
练习:3. 如图1-2，若/ AOBW / B0C 是一对邻补角,0D 平分/ AOB 0E 在/ B0C 内部，1并且/ B0E 丄 / C0E / D0E 72°。
2求/ C0E 的度数。
1.如图所示,/ 1和/ 2是对顶角的图形有（）A.1个B.2个C.3 个D.4 个 2 .如图1-1，直线AB CD EF 都经过点0,图中有几对对顶角？（图 1-2）做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
D符号语言记作：如图所示：AB 丄CD ，垂足为0⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线； ⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；② 过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
七年级数学相交线与平行线典型例题及答题技巧
七年级数学相交线与平行线典型例题及答题技巧单选题1、下列四个图形中，可以由图1通过平移得到的是（）A．B．C．D．答案：D解析：平移不改变图形的形状和大小.根据原图形可知平移后的图形飞机头向上，即可解题.考查图像的平移，平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D.小提示：本题考查了图形的平移，牢固掌握平移的性质即可解题.2、如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；②OD为∠EOG的平分线；③若∠AOD=150°时，∠EOF=30°；④∠BOG=∠EOF．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；故①正确；∵OB平分∠DOG，∴∠BOD=∠BOG，∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，故④正确；∵∠AOD=150°，∴∠BOD=180°-150°=30°，∴∠EOF=30°故③正确；若OD为∠EOG的平分线，则∠DOE=∠DOG，∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，∴∠EOF=30°，而无法确定∠EOF=30°，∴无法说明②的正确性；本题考查了邻补角，角平分线的定义，余角的性质，数形结合是解决本题的关键．3、对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a=3，b=2B．a=－3，b=2C．a=3，b=－1D．a=－1，b=3答案：B解析：试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D 选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选B．考点：命题与定理．4、对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a=3，b=2B．a=－3，b=2C．a=3，b=－1D．a=－1，b=3答案：B解析：试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D 选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选B．考点：命题与定理．5、如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是()A．50°B．70°C．80°D．110°答案：C解析：根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD是∠BAC的平分线，进而可得∠BAC的度数，再根据补角定义可得答案．解：因为a∥b，所以∠1=∠BAD=50°，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAC=2∠BAD=100°，所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°．故选：C．小提示：本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．6、如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则( )A．乙比甲先到B．甲和乙同时到C．甲比乙先到D．无法确定答案：B解析：根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论．如图：根据平移可得两只蚂蚁的行程相同，∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同，∴两只蚂蚁同时到达．故选B.小提示：本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键．7、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A．B．C．D．答案：B解析：A、∵AB//CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．B、如图，∵AB//CD，∴∠1=∠3．∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．C、∵AB//CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．故选：B．8、如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．16cmB．18cmC．20cmD．21cm答案：C解析：试题分析：已知，△ABE向右平移2cm得到△DCF，根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周长为16cm，所以AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案选C．考点：平移的性质.填空题9、已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中是假命题的是__________．(填序号)答案：③解析：根据平行线的性质，判定及基本事实进行判断．①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，是真命题；③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，则原命题是假命题；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题．所以答案是：③．小提示：本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行线的基本事实及判定是解题的关键．10、空间两条不重合的直线的位置关系有________、________、________三种．答案：相交平行异面解析：在空间，直线与直线的位置关系有平行、相交、异面三种，在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行或相交，根据两条直线所在的空间解答即可.在空间，直线与直线的位置关系有相交、平行、异面，所以答案是：相交、平行、异面.小提示：此题考查相交于平行的特征及性质，关键是要明确两条直线所在的平面是在空间或是在同一平面内.11、镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．答案：6秒或19.5秒解析：设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．所以答案是：6秒或19.5秒．小提示：本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12、将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为__________．答案：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等解析：根据命题的形式解答即可．将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等，所以答案是：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．小提示：此题考查命题的形式，可写成用关联词“如果．．．那么．．．”连接的形式，准确确定命题中的题设和结论是解题的关键．13、如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC 上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．答案：2+√34．解析：解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴BDBA =BEBC，即BC−46=5BC，解得BC=2+√34（负值已舍去），即BC的长为2+√34．故答案为2+√34．小提示：本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．解答题14、如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．答案：50°．解析：试题分析：由平行线的性质求出∠ABD=108°，由三角形的外角性质得出∠ABD=∠ACD+∠BDC，即可求出∠BDC 的度数．试题解析：∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．考点：平行线的性质．15、如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE∥DF，求证：∠E=∠F答案：证明见解析解析：根据同位角相等，两直线平行可得AE//BF，进而可得∠E=∠2，由CE//DF可得∠F=∠2，最后根据等量代换即可证明结论.∵∠A=∠1，∴AE∥BF，∴∠E=∠2.∵CE//DF，∴∠F=∠2.∴∠E=∠F.小提示：本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理：两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．典型例题：例题1. ①如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().②如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF找准对应线段是关键.例2.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例3 如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB跟踪训练1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD DF =BC CE B ．BC CE =DF AD C ．CD EF =BC BE D ．CD EF =AD AF第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）A.18B.12C.9D.33.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶FB ＝( )A. 5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．5∶3 4.如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若=，DE =4，则EF的长是．第4题图 第5题图 5.如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝4，CN ＝1.5，则ND ＝______.6．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，BC AB =32，DE=6，则EF= ．第6题图 第7题图7.如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5cm ，则线段BF 的长为_________cm ． 8.如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，求AC 的长．9.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB=3，DE=27，EF=4，求BC ．10、如图，在ABC △中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ︰DC=3︰1， AE ︰EC=2︰3，DE 的延长线交BA 的延长线于F 点，求EF ︰ED的值。
5.3 平行线的性质(三)同步作业(含答案)
5.3 平行线的性质(三)◆典型例题【例1】下列语句是不是命题.(1)画∠AOB的角平分线;(2)平面上有几个点；(3)两点之间，线段最短;(4)若a≠b，则|a|≠|b|.【解析】(1)是操作性的语句；(2)是问句；(3)、(4)是判定语句.【答案】(1)、(2)不是命题；(3)、(4)是命题.【例2】指出下列命题的题论、结论:(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，即这两条直线平行.(3)两条平行平行线被第三条直线所截，内错角相等.(4)若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3.【解析】每个命题都是由题设、结论两部分组成，题设是知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果…，那么…”的形式，具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.【答案】(1)题设:两条直线相交；结论:它们只有—个交点；(2)题设:两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论:这两条直线平行.(3)因为这个命题可以改写成：“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等”；也可以简写成“如果两直线平行，那么内错角相等”，所以可以简单说成，题设:两直线平行，结论:内错角相等.(4)题设:∠1=∠2，∠2=∠3，结论:∠1=∠3.◆课前热身1.每个命题都由____________和____________两部分组成.2.命题“对顶角相等”的题设是____________,结论________________________.◆课上作业3.命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是____________________________.4.请用“如果…，那么…”的形式写一个命题______________5.一个命题，如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是_____________命题；如果题设成立，结论不成立或不一定成立，这样的命题叫_______命题(填“真”、“假”).6.以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m不是正数，则m一定小于零；③若ab＞0，则a＞0，b＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.真命题有_______个.◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.14.如图5-122，给出下列论断:(1)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.图5-122参考答案◆课下作业一、填空题7.下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB.其中不是命题的是____________________________________________.答案：④8.“垂线段最短”的题设是_____________________，结论是____________________.答案：连接直线外一点与直线上一点的所有线段中；垂线段最短9.命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题.请你写出一种改法：_______________________________________________答案：答案不唯一，如：a＞b＞0，|a|＞|b|等10.对于同一平面的三条直线a、b、c，给出以下五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c以其中两个为题设，一个为结论，组成一个正确的命题______________________.答案：下列答案任选其一：①若a∥b，b∥c则a∥c②若a∥b，a∥c则b∥c；③若a∥c，b∥c，则a∥b④若a⊥b，a⊥c，则b∥c⑤若a⊥c,b∥c，则a⊥b;⑥若a⊥b，b∥c，则a⊥c二、选择题11.唐伯虎点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香.友情提示:这四个人分别是∶春香、夏香、秋香、冬香【所给人物】A、B、C、D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是春香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香若上面的命题都是真命题，问谁是秋香?A.AB.BC.CD.D答案：D12.下列命题正确的是( )A.两直线与第三条直线相交，同位角相等;B.两直线与第三条直线相交，内错角相等C.两直线平行，内错角相等;D.两直线平行，同旁内角相等答案：C三、解答题13.阅读以下两小题后作出相应的解答:(1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”，这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对凋，我们把其中一命题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题，并指出逆命题的题设和结论；(2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字叙述.已知:过直线AB上一点O任作射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则OM⊥ON.答案：(1)到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；题设是到角两边距离相等的点，结论是该点在这个角的平分线上(2)图略；邻补角的平分线互相垂直14.如图5-122，给出下列论断:图5-122(2)AB∥DC；(2)AD∥BC；(3)∠A+∠B=180°；(4)∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能自已写出一个真命题吗?试写出—个真命题并写出推理过程.答案：(1)(4)、(2)(3)、(4)(1)、(3)(2)中任选一个；AD∥BC则∠ADB=∠CBD或∠ADB=∠CBD则AD∥BC.略。
平行线的性质与判定(典型例题)
E
B
C
例4.如图，∠A+∠C=1800，∠D=∠E,则AB与EF平行 吗？为什么？
A
B
C
E
D F
解：∵∠A+∠C=1800（ 已知 ） ∴AB//CD（同旁内角互补， 两直线平行） 又∵∠D=∠E（ 已知 ） ∴EF//CD（ 内错角相等，两直线平行） ∴AB//EF（ 两直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也平行)
C D F B 2 E 3 A G
1
D 4．如图，若m∥n，∠1 = 105°，则∠2 =（ A．55° B．60° C．65° D．75°
）
1 2
m n
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为 垂足，如果∠EOD = 38°，则∠AOC = 52°，∠COB = 128 。 °
A O C
E D B
6.如图所示，下列推理正确的是（C ） A．∵∠1=∠4，∴BC∥AD B．∵∠2=∠3，∴AB∥CD C．∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC=180° D．∵∠1＋∠2＋∠C=180°，∴BC∥AD B A 1 2 4 3 D
1 B C
例7.如图，若AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2 求证：BE//CF A
1 证明： ∵AB⊥BC,BC⊥CD（ 已知） ∴∠ABC=∠BCD =900（垂直的定义 ） 2 ∵∠1=∠2（ 已知 ） E C ∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2（等式的性质） 即∠EBC=∠BCF ∴ BE// CF （内错角相等，两直线平行） B F
例2、如图有一块梯形的玻璃，已知量得 ∠A＝115°，∠D＝100°，请你想一想， 梯形的另外两个角各是多少度。
解：∵AD∥BC （已知） ∴ A ＋ B＝180°
平行线几何模型(铅笔头模型)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.25 平行线几何模型（铅笔头模型）（知识讲解） 几何模型1：铅笔头模型图二0//==360MA NC A B ⇒∠+∠∠条件：ABC 000////P ////PQ ,180,180360MA NC BMA NC A C C A C ∴∠∠=∠∠=∴∠+∠+∠=证明：过点B 作BP//MA.则，ABP+BP+，ABC几何模型2：多个铅笔头模型12121//......n n MA NB P P P A Q Q Q B-⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件：证明思路参考几何模型1【典型例题】类型一、平行线几何模型➽➼铅笔头模型➻➸求解✬✬证明1．阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知//,AB CD 点,E F 分别在,AB CD 上，,160EP FP ⊥∠=︒．求2∠的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现13,24∠=∠∠=∠，由已知,EP FP ⊥可以求出2∠的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得234,∠=∠=∠也能求出2∠的度数．”小华：∵如图4，也能求出2∠的度数．”(1) 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； (2) 请你根据以上同学所画的图形，直接写出2∠的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3) 如图，//AB CD ，点,E F 分别在AB CD ，上，FP 平分,,EFD PEF PDF ∠∠=∠若,EPD a ∠=请探究CFE ∠与PEF ∠的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【答案】（1）过点Р作//PQ AC ；（2）30；（3）2180CFE PEF a ∠-∠=-．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作//PQ AC ，根据平行线的性质可得∵1=∵3，∵2=∵4，由EP∵FP 可得∵3+∵4=90°，即可得出∵1+∵2=90°，进而可得答案；（3）设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质可得180,BEP EPQ CFE FEB x ∠+∠=︒∠=∠=，PDF DPQ ∠=∠，进而根据角的和差关系即可得答案．解：（1）由图中虚线可知PQ//AC ，∵小明同学辅助线的做法为过点Р作//PQ AC ，故答案为：过点Р作//PQ AC（2）如图2，过点Р作//PQ AC ，∵AB//CD ，∵PQ//AB//CD ，∵∵1=∵3，∵2=∵4，∵EP∵FP ，∵∵EPF=∵3+∵4=90°，∵∵1+∵2=90°，∵∵1=60°，∵∵2=30°，故答案为：30（3）如图，设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，180,BEP EPQ CFE FEB x ∴∠+∠=︒∠=∠=//,AB CD//,PQ CD ∴PDF DPQ ∴∠=∠DPQ EHF PDF y ∴∠=∠=∠=∵CFE FEB x FEP BEP ∠=∠==∠+∠()180x y a y ∴=+-+2180x y α∴-=-，即2180CFE PEF a ∠-∠=-．【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．举一反三：【变式】问题情境：如图1，AB ∵CD ，∵P AB ＝130°，∵PCD ＝120°，求∵APC 度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∵AB，通过平行线性质，可分别求出∵APE、∵CPE 的度数，从而可求出∵APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∵APC 的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∵APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∵APC 的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∵BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∵ADP＝∵α，∵BCP＝∵β．∵CPD、∵α、∵β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∵CPD、∵α、∵β间的数量关系．【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∵CPD＝∵α+∵β，理由见分析；（2）∵CPD ＝∵β﹣∵α，理由见分析【分析】小明的思路是：过P作PE∵AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∵APC ＝110°．（1）过P作PE∵AD交CD于E，推出AD∵PE∵BC，根据平行线的性质得出∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：∵点P在BA的延长线上，∵点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，即可得出答案．解：小明的思路：如图2，过P作PE∵AB，∵AB∵CD，∵PE∵AB∵CD，∵∵APE＝180°﹣∵A＝50°，∵CPE＝180°﹣∵C＝60°，∵∵APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；（1）∵CPD＝∵α+∵β，理由如下：如图5，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵DPE+∵CPE＝∵α+∵β；（2）当P在BA延长线时，∵CPD＝∵β﹣∵α；理由：如图6，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵CPE﹣∵DPE＝∵β﹣∵α；当P在BO之间时，∵CPD＝∵α﹣∵β．理由：如图7，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵DPE﹣∵CPE＝∵α﹣∵β．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．类型二、平行线几何模型➽➼多铅笔头模型➻➸求解✬✬证明2．（1）如图1，AM∵CN，求证：∵∵MAB+∵ABC+∵BCN＝360°；∵∵MAE+∵AEF+∵EFC+∵FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．【答案】（1）∵详见分析；∵详见分析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见分析【分析】（1）∵过点作BG∵AM，则AM∵CN∵BG，依据平行线的性质，即可得到∵ABG+∵BAM＝180°，∵CBG+∵BCN＝180°，即可得到结论；∵过E作EP∵AM，过F作FQ∵CN，依据平行线的性质，即可得到∵MAE+∵AEP＝180°，∵FEP+∵EFQ＝180°，∵CFQ+∵FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．解：（1）∵证明：如图1，过点作BG∵AM，则AM∵CN∵BG∵∵ABG+∵BAM＝180°，∵CBG+∵BCN＝180°∵∵ABG+∵BAM+∵CBG+∵BCN＝360°∵∵MAB+∵ABC+∵BCN＝360°∵如图，过E作EP∵AM，过F作FQ∵CN，∵AM∵CN，∵EP∵FQ，∵∵MAE+∵AEP＝180°，∵FEP+∵EFQ＝180°，∵CFQ+∵FCN＝180°∵∵MAE+∵AEF+∵EFC+∵FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，∵结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．举一反三：【变式】如图，已知AB∵CD．（1）如图1所示，∵1+∵2＝；（2）如图2所示，∵1+∵2+∵3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∵1+∵2+∵3+∵4＝；（4）如图4所示，试探究∵1+∵2+∵3+∵4+∵+∵n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．解：（1）如图1，∵AB∵CD，∵∵1+∵2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∵CD，∵AB∵EF，CD∵EF，∵∵1+∵AEF=180°，∵FEC+∵3=180°，∵∵1+∵2+∵3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∵1+∵2+∵3+∵4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∵1+∵2+∵3+∵4+…+∵n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．。
相交线与平行线典型例题
解：∵ EF与AB相交，∠1+∠2=180°，
∠2+∠3= 180°, ∴∠2的补角有∠1和∠3; E
12
4
∵ CD与MN相交，∠5+∠8=180°，
3
∠5+∠6=180 °且∠2=∠5,
∴∠2的补角有∠6和∠8; ∴∠2的补角有∠1、∠3、∠6和∠8.
58 67
如图,直线AB，CD，EF相交于点O. (1)写出∠AOC, ∠BOE的邻补角； (2)写出∠DOA, ∠EOC的对 顶角； (3)如果∠AOC =50°,求∠BOD ，∠COB的度数.
=90°+55°=145°.
如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，
若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝40°， ∴∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
E
C
F
56°
B O
∴ ∠AOE=∠BOF=34°（对顶角相等） . D
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB, ∠1=55°,求
∠EOD的度数.
CE
解: ∵ AB⊥OE （已知）,
A 1(
O
B
∴ ∠EOB=90° (垂直的定义).
∵ ∠BOD =∠1=55° （对顶角相等）, D
∴ ∠EOD =∠EOB +∠BOD
C
解：如图所示： F
A
B
平行线的判定与性质综合
)
) )
(2)已知： CD∥EF, ∠AGD= ∠ACB. 求证： ∠1= ∠2
(3)已知：∠AGD= ∠ACB
∠1= ∠2.
求证： CD∥EF.
解: ∠A与∠F 理由如下： ∵∠1＝∠2 (已知) ∠1＝∠3 (对顶角相等) ∴ ∠2=∠3（等量代换）
如图,已知,分别和直线,交于点,,分别和直线,交于点,, 点在上(点与,,三点不重合). 如果点在,两点之间运动时,,,之间有何数量关系请说 明理由; 如果点在,两点外侧运动时,,,有何数量关系(只须写出 结论).
思考5: 已知,如图,BE平分∠ABD，DE平分 ∠1+∠2 =90° ∠BDC，DG平分∠CDF， 求证：1)AB CD 2)BE DG C 3)ED GD A G E 4 3 6 5 2 1 B D F
平行线的判定与性质的 综合运用
判定两直线平行的方法有三种:
(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。 (2)平行公理推论（平行的传递性）：两条直线都和第三条直 线平行,这两条直线也平行。 b C (3)在同一平面内：因为a⊥c,a⊥b；
所以b//c (4)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行。 内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。 在这六种方法中，定义一般不常用。 A C E
训练二
如图，AB∥CD，AD∥BC，试探求∠B与∠D， ∠A与∠C的关系？ D
C
A
B
（变式）如果 AB ∥ CD ，且 ∠ B= ∠ D ，你能推 理得出AD∥BC吗？
题组训练（1）
1.如图，已知∠1=∠2，∠A=76°，求∠ABC的度数。 D
相交线与平行线知识点+考点+典型例题
第二章相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”7．平行公理及推论（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）（6）在同一平面内．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。
【典型例题】考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等例1：判断下列说法的正误。
（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的角是邻补角；（5）同位角相等；（6）内错角相等；（7）同旁内角互补；（8）两直线不相交就平行；（9）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（10）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（11）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
2023年高考数学复习----渐近线平行线与面积问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----渐近线平行线与面积问题典型例题讲解【典型例题】例1、（2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ⋅=，12F F 等于3212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C D ．【答案】B【解析】由已知可得，3212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为2223126C x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，设双曲线半焦距为c ，26,3c c ∴==.设()00,P x y ，得2200221x y a b−=，22222200b x a y a b ∴−=.P 到两条渐近线0bx ay ±=的距离分别为||PA =，||PB =，∴2222220028||||99b x a y a b PA PBc −⋅====.228a b ∴=①.又2229a b c +==②，由①②可得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩3ce a ∴==故选：B例2、（2022春·贵州六盘水·高三校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>，过双曲线的右焦点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 、N ，若四边形FMON 为正方形，则双曲线C 的离心率为__________.【解析】如下图所示：易知x 轴为MON ∠的角平分线，由于四边形FMON 为正方形，2MON π∴∠=，则4FOM π∠=，tan 14b a π∴==， 因此，双曲线C的离心率为c e a ====例3、（2022秋·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b−=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.【解析】由题意，(),0A a −，双曲线2222:1(0)x y C a b a b−=>>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨令AM 与直线b y x a =垂直，AN 与直线by x a=−垂直，则AM a k b =−，AN ak b=，所以直线AM 的方程为：()ay x a b =-+；直线AN 的方程为：()a y x a b=+； 由()a y x a b b y x a ⎧=−+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：3222a x c ba y c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩（其中222c a b =+），则3222,a ba M c c ⎛⎫−− ⎪⎝⎭；由()a y x a b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：3222a x cba y c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3222,a ba N c c ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 所以222ba MN c=，又4||||5MN OA =，所以22245ba a c =，即225c ab =，即222520a ab b −+=，解得：2a b =或2ba =（不满足ab >），所以此双曲线的离心率是c e a ==.. 例4、（2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且1PF x ⊥轴，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于A ，B 两点，若四边形PAOB的面积为2，则12PF F ∆的面积为______.【答案】【解析】由已知得c a =a b =，且21b PF b a==， 所以双曲线C 的两条渐近线是y x =±，所以四边形PAOB 是矩形，且)),22b c c b AO BO +−== 所以四边形PAOB的面积))222b c c b S +−=⨯=， 所以2224c b a −==，所以2,a b c === 所以12PF F ∆的面积为122c b bc ⨯⨯==故得解.例5、（2022春·全国·高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>上一点P 坐标为)(0),m m F >为双曲线C 的右焦点，且PF 垂直于x 轴.过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是________.【解析】由题意知，2225a b c +==， 双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，设过点P 且与渐近线b y x a =平行的直线与渐近线by x a=−相交于点A ，如图所示，∴直线AP的方程为(by m x a−=，将其与b y x a=−联立，解得xyA，||cOA ab∴=，点P )m 到直线by x a=−的距离为||m d =所围图形面积等于1，||1OA d ∴⋅=1c ab ，化简得222|5|2b a m ab −=，点P )m 在双曲线上，∴22251m a b−=，即222225b a m a b −=，2ab ∴=，又225a b +=，1a ∴=，2b =或2a =，1b =，∴离心率ce a==．． 例6、（2022·浙江·校联考模拟预测）过双曲线2221(0)x y a a −=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.【解析】由题意知，双曲线2221(0)x y a a−=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫−⎪⎝⎭， 根据点M 在双曲线2221x y a −=上，得()()22121222144x x x x a a +−−=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠=222sincos 22sin =2sin cos 22sin cos 22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以c =e =例7、（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点,M N ，若214OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】 【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，即b y x a =±，设点00(,)P x y ，可得：00()by y x x a−=±−， 联立方程组00()b y y x x ab y x a ⎧−=−−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：0000(,)22bx ay bx ay M b a ++， 同理可得：0000(,)22bx ay bx ay N b a−−−， 所以2222222200002244b x a y b x a y OM ON b a −−=−，因为2200221x y a b −=，所以22222200b x a y a b −=，所以224a b OM ON −=，由题意可得：22244a b b −≥， 所以2212b a ≤，故离心率c e a ==，又因为双曲线的离心率1e >，所以双曲线离心率的取值范围为， 故答案为：.。
七年级下册相交线与平行线练习题及答案
七年级下册相交线与平行线练习题及答案第五章相交线与平行线一、典型例题例1.如图1，直线a与b平行，∠1=(3x+70)°，∠2=(5x+22)°，求∠3的度数。
图1例2.已知：如图2，AB∥EF∥CD，EG平分∠XXX，∠B+∠BED+∠D=192°，求∠EGD的度数。
图2例3.如图3，已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。
图3例4.平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？例5.6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？例6.10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例7.两条直线相交于一点，所形成的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？二、巩固练1.平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条。
A。
6B。
7C。
8D。
92.平面上三条直线相互间的交点个数是（）。
A。
3B。
1或3C。
1或2或3D。
不一定是1，2，33.平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）。
A。
36条B。
33条C。
24条D。
21条4.已知平面中有n个点，A、B、C三个点在一条直线上，A、D、F、E四个点也在一条直线上，除这些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（）。
A。
9B。
10C。
11D。
125.若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图所示的图形，则共得同旁内角（）。
A。
4对B。
8对C。
12对D。
16对6.如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=()。
图4A。
90°B。
135°C。
人教版高中数学选修4-1：1.2《平行线分线段成比例定理》典型例题
典型例题：平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。
而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。
下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。
例1（1）已知2922=-+b a b a ，则 =（2）如果0432≠==z y x ，那么zy x z y x -+++的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10分析 本考题主要考查比与代数式比的互换.第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化成比的形式，便有对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出432432-+-+=++++z y x z y x ，即19=-+++z y x z y x ，其比的比值为9，故选C ，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.例2、已知：1、 2、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .分析 这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、 2、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从可求出 ，便有比例式 或 ，从 ，又能求出 ，也得到比例式 等等. 例3 如下图，BD=5：3，E 为AD 的中点，求BE ：EF 的值.分析 应设法在已知比例式BD ：DC 与未知比例式BE ：EF 之间架设桥梁，即添平行线辅助线. 解 过D 作DG∥CA 交BF 于G ，则 中点，DG∥AF，例 4 如下图，AC∥BD ，AD 、BC 相交 于E ，EF∥BD，求证：EFBD AC 111=+分析 待证式可变形为1=+BD EF AC EF .依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式AC EF 与 BDEF 化归为同一直线AB 上的线段比而证得.证明 AC∥EF∥BD，.说明 证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.例5 、已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+求 abc a c c b b a ))()((+++的值.解 设 ac b a b c b a c c b a ++-=+-=-+=k则三式相加，得当时，有时，则 ，这时原式=⎩⎨⎧≠++=++-)0(,8)0(,1c b a c b a例6 如下图，中，D 是AB 上一点，E 是 内一点，DE∥BC，过D 作AC 的平行线交CE 的处长线于F ，CF 与AB 交于P ，求证BF∥AE.证明DE∥AC， PC PE PB PD =∥ ， PAPD PC PF =∴ ..PB PA PF PF =∴ BF∥AE.。
相交线和平行线典型例题及拔高训练(附答案)
A.160°B.150°C.70°D.50°
6（2003南通市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（）
（A）∠1＝∠3（B）∠2＝∠3
（C）∠4＝∠5（D）∠2＋∠4＝180°
7.（北京市海淀区2003年）.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1) ；(2) ；(3) 中正确的个数为（）
又∵∠ABF=∠DCE（已知），
∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE（等式的性质）。
即∠FBC=∠BCE。
∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。
强化训练
一.填空
1.完成下列推理过程
①∵∠3=∠4（已知），
__∥___（）
②∵∠5=∠DAB（已知），
证明：过点E作EF∥则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），
又∵EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。
即∠BED=∠B-∠D。
例3已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
证法一：过F点作FG∥AB，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。
过E点作EH∥CD，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。
∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），
平行线的性质与判定典型例题
1．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．证明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD＝∠DCF，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠ECD＝∠ACB，又∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ECD，∴AB∥CE．2．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°，AE与BF平行吗为什么解：AE∥BF．理由如下：因为AC⊥AE，BD⊥BF（已知），所以∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定义）．因为∠1＝∠2（已知），所以∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质），即∠EAB＝∠FBG，所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．3．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF．证明：∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB．∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF．4．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．证明：∵DE、BF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DC∥AB．5．如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．解：AB∥ED，理由：如图，过C作CF∥AB，∵∠B＝25°，∴∠BCF＝∠B＝25°，∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°，又∵∠D＝42°，∴∠DCF＝∠D，∴CF∥ED，∴AB∥ED．6．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．解：BC∥AD．理由如下：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，∴AD∥BC．7．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCA，∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．（1）①若∠DCB＝45°，则∠ACB的度数为135°．②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为40°．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．解：（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案为：135°；②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°故答案为：40°；（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°；（3）30°、45°．理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°；当EB∥AC时，∠ACE＝45°．9．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO．证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，∴∠AED＝∠AOB＝90°，∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等），∵∠EDO＝∠CFB，∴∠BOD＝∠CFB，∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．10．如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：AD∥BC．证明：∵∠E＝∠F，∴AE∥CF，∴∠A＝∠ADF，∵∠A＝∠C，∴∠ADF＝∠C，∴AD∥BC．11．已知：如图，EG∥FH，∠1＝∠2．求证：∠BEF+∠DFE＝180°．解：∵EG∥HF∴∠OEG＝∠OFH，∵∠1＝∠2∴∠AEF＝∠DFE∴AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°．12．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．解：AB∥EF，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）∵∠B＝70°，∴∠BCD＝70°，（等量代换）∵∠BCE＝20°，∴∠ECD＝50°，∵CEF＝130°，∴∠E+∠DCE＝180°，∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）∴AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线互相平行）13．如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．证明：∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，又∵∠EFC＝140°，∴∠BCF+∠EFC＝180°，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD．14．完成下列推理过程：已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B求证：∠EDG+∠DGC＝180°证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义）∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（等量代换）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠EDG+∠DGC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）15．已知：如图，BE∥GF，∠1＝∠3，∠DBC＝70°，求∠EDB的大小．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）解：∵BE∥GF（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行同位角相等）∵∠1＝∠3（已知）∴∠1＝（∠2 ）（等量代换）∴DE∥（BC）（内错角相等两直线平行）∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行同旁内角互补）∴∠EDB＝180°﹣∠DBC（等式性质）∵∠DBC＝（70°）（已知）∴∠EDB＝180°﹣70°＝110°16．如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，AB∥CD，∠A＝∠D，试说明：（1）AF∥ED；（2）∠BED＝∠A；（3）∠1＝∠2（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠AFC，∵∠A＝∠D，∴∠AFC＝∠D，∴AF∥ED；（2）证明：∵AF∥ED，∴∠BED＝∠A；（3）证明：∵AF∥ED，∴∠1＝∠CGD，又∵∠2＝∠CGD，∴∠1＝∠2．17．阅读理解，补全证明过程及推理依据．已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证∠A＝∠F证明：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DGF（对顶角相等）∴∠1＝∠DGF（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠C＝180°（等量代换）∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）18．如图，∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．（1）求∠α和∠β的度数．（2）求∠C的度数．解：（1）解方程组，得．（2）∵∠α+∠β＝55°+125°＝180°，∴AB∥CD，∴∠C+∠CAB＝180°，∵AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，∴∠C＝180°﹣90°﹣55°＝35°．19．如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，求∠P的度数．解：过P作PM∥直线a，∵直线a∥b，∴直线a∥b∥PM，∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPM＝∠2＝30°，∠FPM＝∠1＝45°，∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝30°+45°＝75°，20．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝∠E，求∠E．解：∵AB∥CD，∠A＝60°，∴∠DOE＝∠A＝60°，又∵∠C＝∠E，∠DOE＝∠C+∠E，∴∠E＝∠DOE＝30°．21．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗为什么解：∠BAC＝∠DCA，理由：∵∠CFE＝∠2，∠2+∠1＝180°，∴∠CFE+∠1＝180°，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠B，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠AEF，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA．22．如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明直线AD与BC垂直．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．理由：∵∠1＝∠C，（已知）∴GD∥AC，（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠DAC．（两直线平行，内错角相等）又∵∠2+∠3＝180°，（已知）∴∠3+ ∠DAC＝180°．（等量代换）∴AD∥EF，（同旁内角互补，两直线平行）∴∠ADC＝∠EFC．（两直线平行，同位角相等）∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC．23．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）并说明理由．解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．24．已知：如图，FE∥OC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．（1）求证：AB∥DC；（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE的度数．（1）证明：∵FE∥OC，∴∠1＝∠C，∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠C，∴AB∥DC；（2）解：∵AB∥DC，∴∠D＝∠B，∵∠B＝30°∴∠D＝30°，∵∠OFE是△DEF的外角，∴∠OFE＝∠D+∠1，∵∠1＝65°，∴∠OFE＝30°+65°＝95°．25．（2018秋?牡丹区期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．证明：（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，∴∠1＝30°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠GDC＝∠1＝30°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝30°．26．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．请问：AD平分∠BAC吗若平分，请说明理由．平分．证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠3，（两直线平行，内错角相等）∠E＝∠1，（两直线平行，同位角相等）又∵∠E＝∠3（已知）∴∠1＝∠2（等量代换）∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．27．如图，EF∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）问直线CD与AB有怎样的位置关系并说明理由；（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．解：（1）CD和AB的关系为平行关系．理由如下：∵EF∥AB，∠EFB＝130°，∴∠ABF＝180°﹣130°＝50°，又∵∠CBF＝20°，∴∠ABC＝70°，∵∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC，∴CD∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF＝70°，∴∠ECD＝110°，∵∠DCB＝70°，∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB＝40°．28．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知）∴∠1＝∠2（角平分线定义）∵ED∥BC（已知）∴∠5＝∠2（两直线平行，内错角相等）∴∠1＝∠5（等量代换）∵∠4＝∠5（已知）∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）∴∠3＝∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠3＝∠4（等量代换）∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）。
2022年人教版平行线的判定性质练习知识点考点典型例题
5．2平行线及其鉴定【知识要点】平行线旳鉴定（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行（4）在同一平面内，垂直于同一条直线旳两条直线互相平行（5）平行公理旳推论：假如两条直线都与第三条直线互相平行，那么这两条直线也互相平行。
【配套练习】一．判断题：1．两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行。
（）2．如图②，∵∠GMB=∠HND（已知）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）（）二．填空题：1．∵a∥b，b∥c（已知）∴______ ∥______（）2．如图：1234ab c（1）∵______=∠3，∴a∥b （）。
（2）∵∠2=∠4，∴______∥________（）（3）∵∠2+∠3=180°，∴______∥________（）3．如图③∵∠1=∠2，∴______∥________（）∵∠2=∠3，∴______∥_______（）4．如图④∵∠1=∠2，∴______∥________（）∵∠3=∠4，∴______∥________（）5．如图⑤∠B=∠D=∠E，那么图形中旳平行线有________________________________。
6．如图⑥∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）∴∠B=∠D=90°（）∴∠B+∠D=180°∴AB∥CD ( )又∵∠1+∠2 =180°（已知）∴AB∥EF ( )∴CD∥EF ( )三．选择题：1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（）A．AD∥BC B．AB∥CDC．EF∥BC D．AD∥EF2．如图⑧，鉴定AB∥CE旳理由是（）A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE3．如图⑨，下列推理错误旳是（）A．∵∠1=∠3，∴a∥b B．∵∠1=∠2，∴a∥bC．∵∠1=∠2，∴c∥d D．∵∠1=∠2，∴c∥d4.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b旳是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④四．完毕推理，填写推理根据：1．如图⑩∵∠B=∠______，∴AB∥CD（）∵∠BGC=∠____，∴CD∥EF（）∵AB∥CD ，CD∥EF，∴AB∥_______（）2．如图⑾填空：（1）∵∠2=∠3（已知）∴AB__________（）（2）∵∠1=∠A（已知）∴__________（）（3）∵∠1=∠D（已知）∴__________（）（4）∵_______=∠F（已知）∴AC∥DF（）3.填空。
平行线证明题典型例题
平行线证明题典型例题下列哪个条件能证明两条直线平行？（单选）A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等B. 两条直线被第三条直线所截，同位角互补C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等D. 两条直线被第三条直线所截，内错角互补若两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，则这两条直线（）。
（单选）A. 一定相交B. 一定平行C. 可能相交，也可能平行D. 无法确定位置关系下列哪个命题是假命题？（单选）A. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离C. 若a⊥b，b⊥c，则a∥cD. 不相等的角不是对顶角下列哪个条件不能判定两条直线平行？（单选）A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等若两条直线被第三条直线所截，且满足某个条件使得这两条直线平行，那么这个条件可以是（）。
（单选）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 以上都可以下列说法中正确的是（）。
（单选）A. 直角没有邻补角B. 一个角的邻补角一定是钝角、钝角的邻补角一定是锐角C. 一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角D. 一个角的邻补角一定是锐角下列命题中，真命题是（）。
（单选）A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C. 若a⊥b，b⊥c，则a∥cD. 若a∥b，b∥c，则a∥c下列关于平行线的判定方法中，不正确的是（）。
（单选）A. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行D. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
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例、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．例、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数．例、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上的一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。
(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。
本题可分为AB ，CD 之间或之外。
结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A ④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A 、80B 、50C 、30D 、20例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）A 、43°B 、47°C 、30°D 、60°例、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（2）如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证：BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=360°；（3）如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2．试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BD P5∠+的度数（不必写出过程）．A M C P 1 A M C P 1 A MC例、如图，已知直线l 1∥l 2，且l 3和l 1、l 2分别交于A 、B 两点，点P 在AB 上．（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；（2）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（3）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B 不重合）例、如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连接PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD ；（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．例、如图，AB ∥CD ，则∠2+∠4﹣（∠1+∠3+∠5）= _________．例、如图，直线a ∥b ，那么∠x 的度数是 _________ ．例、如图，AB ∥CD ，∠ABF=∠DCE 。
试说明：∠BFE=∠FEC 。
AB C D FE例、如图，直线AB 、CD 与EF 相交于点G 、H ，且∠EGB=∠EHD.（1）说明： AB ∥CD（2）若GM 是∠EGB 的平分线，FN 是∠EHD 的平分线，则GM 与HN 平行吗？说明理由例、如图，已知AB//CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD=70O，(1)求∠EDC 的度数；(2)若∠BCD=40O ，试求∠BED 的度数．例、如图，DB ∥FG ∥EC ，∠ACE=36°，AP 平分∠BAC ，∠PAG=12°，则∠ABD= _________ 度． 例、如图，已知,DA AB DE ⊥平分,ADC CE ∠平分,1290,BCD ∠∠+∠=求证：BC AB ⊥.例、如图，AB ∥EF ，AB ∥CD ，∠1=∠B ，∠2=∠D ，那么BE ⊥DE ，为什么？例、两个角有一边在同一条直线上，而另一条边互相平行，则这两个角 （ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．都是直角变式：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30，那么这两个角是 A. 42138 、 B. 都是10 C. 42138 、或1010、D. 以上都不对例、如图，若∠1=∠2，AB ∥CD ，试说明∠E=∠F 的理由。
例、已知：如图，BE∥DF，∠B=∠D。
求证：AD∥BC。
例、如图，已知DF ∥AC ，∠C=∠D ，你能否判断CE ∥BD ？试说明你的理由．例、已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB ．例、如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并说明理由．E D CB A 21D C BA F E 1 2例、探索与发现：（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是_________，请说明理由．（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是_________（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．例、如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，试说明AD平分∠BAC．例、已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？例、已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．例、如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．例、如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．例、如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．例、如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；（2）试求∠AFE的度数．例、如图，点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠CEB 与∠NFB是否相等？请说明理由．例、如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？例、已知：如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE=90°．（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由．（2）AC和BD的位置关系怎样？请说明判断的理由．例、如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并对结论进行说明．例、如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．试判断CH和DF的位置关系并说明理由．例、如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．例、如图，已知：点A在射线BG上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠EAB=∠BCD．求证：EF∥CD．例、如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM平分∠BCD交AF于M，FN平分∠AFE 交CD于N．试判断CM与FN的位置关系，并说明理由．例、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1=∠BAC．（1）求证：EF∥CD；（2）若∠CAF=15°，∠2=45°，∠3=20°，求∠B和∠ACD的度数．例、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB；（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=225S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．2013年2月蓬蒿人的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共21小题）1．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC．理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义），∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等）又∵∠E=∠1（已知），∴∠2=∠3（等量代换）∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）考点：平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂线．专题：推理填空题．解答：解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义）∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等）又∵∠E=∠1（已知）∴∠2=∠3（等量代换）∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．点评：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．2．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？考点：平行线的判定与性质；垂线．专题：探究型．分析：由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．解答：解：CD⊥AB；理由如下：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∠2=∠DCB，又∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCB，故CD∥FH，∵FH⊥AB∴CD⊥AB．点评：本题是考查平行线的判定和性质的基础题，比较容易，稍作转化即可．3．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：首先由AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．解答：证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴∠AMB=∠GNM=90°，又∵∠2=∠1，∴∠A=∠2，∴AB∥CD．点评：本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键．4．如图，已知BE∥DF，∠B=∠D，则AD与BC平行吗？试说明理由．考点：平行线的判定与性质．专题：探究型．分析：利用两直线平行，同旁内角互补可得∠B+∠C=180°，即∠C+∠D=180°；根据同旁内角互补，两直线平行可证得AD∥BC．解答：解：AD与BC平行；理由如下：∵BE∥DF，∴∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B=∠D，∴∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．点评：此题主要考查了平行线的判定和性质：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行．5．如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．考点：平行线的判定与性质．专题：计算题．分析：已知∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF，从而可得到∠HFD=∠AEF，根据同位角相等两直线平行可得到DC∥AB，根据平行线的性质可得到∠HDC=∠DAB，已知∠HDC与∠ABC 互补，则∠DAB也与∠ABC互补，根据同旁内角互补即可得到AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠G的度数．解答：解：∵∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF，∴∠HFD=∠AEF，∵∠HDC+∠ABC=180°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴∠H=∠G=20°．点评：此题主要考查学生对平行线的判定及性质的综合运用能力．6．推理填空：如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．解：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠1+∠CAF（两直线平行，同位角相等）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠1+∠CAF（等量代换）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等量代换）即∠4=∠DAC∴∠3=∠∠DAC（等量代换）∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．考点：平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：首先由平行线的性质可得∠4=∠BAE，然后结合已知，通过等量代换推出∠3=∠DAC，最后由内错角相等，两直线平行可得AD∥BE．解答：解：∵AB∥CD（已知），∴∠4=∠1+∠CAF（两直线平行，同位角相等）；∵∠3=∠4（已知），∴∠3=∠1+∠CAF（等量代换）；∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等量代换），即∠4=∠DAC，∴∠3=∠DAC（等量代换），∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．点评：本题难度一般，考查的是平行线的性质及判定定理．7．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；（2）试求∠AFE的度数．考点：平行线的判定与性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：（1）先延长AF、DE相交于点G，根据两直线平行同旁内角互补可得∠CDE+∠G=180°．又已知∠CDE=∠BAF，等量代换可得∠BAF+∠G=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AB∥DE；（2）先延长BC、ED相交于点H，由垂直的定义得∠B=90°，再由两直线平行，同旁内角互补可得∠H+∠B=180°，所以∠H=90°，最后可结合图形，根据邻补角的定义求得∠AFE 的度数．解答：解：（1）AB∥DE．理由如下：延长AF、DE相交于点G，∵CD∥AF，∴∠CDE+∠G=180°．∵∠CDE=∠BAF，∴∠BAF+∠G=180°，∴AB∥DE；（2）延长BC、ED相交于点H．∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AB∥DE，∴∠H+∠B=180°，∴∠H=90°．∵∠BCD=124°，∴∠DCH=56°，∴∠CDH=34°，∴∠G=∠CDH=34°．∵∠DEF=80°，∴∠EFG=80°﹣34°=46°，∴∠AFE=180°﹣∠EFG=180°﹣46°=134°．点评：两直线的位置关系是平行和相交．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．8．如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．考点：平行线的判定与性质．专题：探究型．分析：此题由∠1=∠2可得DG∥AE，由此平行关系又可得到角的等量关系，易证得∠2=∠3．解答：解：∠2=∠3，理由如下：∵∠1=∠2（已知）∴DG∥AE（同位角相等，两直线平行）∴∠3=∠G（两直线平行，同位角相等）∵∠2=∠G（已知）∴∠2=∠3（等量代换）．点评：主要考查了平行线的判定、性质及等量代换的知识，较容易．9．如图，点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠CEB 与∠NFB是否相等？请说明理由．考点：平行线的判定与性质．专题：探究型．分析：要判断两角相等，通过两直线平行，同位角或内错角相等证明．解答：解：答：∠CEB=∠NFB．（2分）理由：∵∠3=∠B，∴ME∥BC，∴∠1=∠ECB，∵∠1+∠2=180°，∴∠ECB+∠2=180°∴EC∥FN，∴∠CEB=∠NFB．（8分）点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．10．如图所示，已知AB∥CD，BD平分∠ABC交AC于O，CE平分∠DCG．若∠ACE=90°，请判断BD与AC的位置关系，并说明理由．考点：平行线的判定与性质；角平分线的定义．专题：探究型．分析：根据图示，不难发现BD与AC垂直．根据平行线的性质，等式的性质，角平分线的概念，平行线的判定作答．解答：解：BD⊥AC．理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCG，∵BD平分∠ABC交AC于O，CE平分∠DCG，∴∠ABD=∠ABC，∠DCE=∠BCG，∴∠ABD=∠DCE；∵AB∥CD，∴∠ABD=∠D，∴∠D=∠DCE，∴BD∥CE，又∠ACE=90°，∴BD⊥AC．点评：注意平行线的性质和判定、角平分线的概念的综合运用，仔细观察图象找出各角各线间的关系是正确解题的关键．11．如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？考点：平行线的判定与性质；垂线．专题：探究型．分析：猜想到DE⊥CD，只须证明∠6=90°即可．利用平行线的性质、角平分线的性质以及等量代换可以证得∠2=∠5；然后根据外角定理可以求得∠6=∠2+∠3=90°，即DE⊥CD．解答：解：DE⊥CD，理由如下：∵OA∥BE（已知），∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）；又∵OB平分∠AOE，∴∠1=∠2；又∵∠4=∠5，∴∠2=∠5（等量代换）；∴DE∥OB（已知），∴∠6=∠2+∠3（外角定理）；又∵∠2+∠3=90°，∴∠6=90°，∴DE⊥CD．点评：本题考查了垂线、平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．12．已知：如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE=90°．（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由．（2）AC和BD的位置关系怎样？请说明判断的理由．考点：平行线的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）根据平行线性质得出∠ABC=∠DCF，根据角平分线定义求出∠2=∠4，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线性质得出∠DGC+∠ACE=180°，根据∠ACE=90°，求出∠DGC=90°，根据垂直定义推出即可．解答：解：（1）BD∥CE．理由：∵AD∥CD，∴∠ABC=∠DCF，∴BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠2=∠ABC，∠4=∠DCF，∴∠2=∠4，∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）；（2）AC⊥BD，理由：∵BD∥CE，∴∠DGC+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，∴∠DGC=180°﹣90°=90°，即AC⊥BD．点评：本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定，垂直定义等知识点，注意：①同位角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．13．如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并对结论进行说明．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：∠ACB与∠DEB的大小关系是相等，理由为：根据邻补角定义得到∠1与∠DFE互补，又∠1与∠2互补，根据同角的补角相等可得出∠2与∠DFE相等，根据内错角相等两直线平行，得到AB与EF平行，再根据两直线平行内错角相等可得出∠BDE与∠DEF相等，等量代换可得出∠A与∠DEF相等，根据同位角相等两直线平行，得到DE与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得证．解答：解：∠ACB与∠DEB相等，理由如下：证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠1+∠DFE=180°（邻补角定义），∴∠2=∠DFE（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等两直线平行），∴∠BDE=∠DEF（两直线平行，内错角相等），∵∠DEF=∠A（已知），∴∠BDE=∠A（等量代换），∴DE∥AC（同位角相等两直线平行），∴∠ACB=∠DEB（两直线平行，同位角相等）．点评：此题考查了平行线的判定与性质，以及邻补角定义，利用了转化及等量代换的思想，灵活运用平行线的判定与性质是解本题的关键．14．如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．试判断CH和DF的位置关系并说明理由．考点：平行线的判定与性质．分析：根据平行线的判定推出BF∥CD，根据平行线性质推出∠5+∠BED=180°，求出∠B+∠BED=180°，推出BC∥HD，推出∠2=∠H，求出∠1=∠H，根据平行线的判定推出CH∥DF即可．解答：解：CH∥DF，理由是：∵∠3=∠4，∴CD∥BF，∴∠5+∠BED=180°，∵∠B=∠5，∴∠B+∠BED=180°，∴BC∥HD，∴∠2=∠H，∵∠1=∠2，∴∠1=∠H，∴CH∥DF．点评：本题考查了平行线的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力．15．如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．考点：平行线的判定与性质；三角形的外角性质．专题：证明题．分析：过G作GH∥EB，根据已知条件即可得出BE∥CF，再由两直线平行，同旁内角互补即可证明．解答：证明：过G作GH∥EB，∵∠3=∠1+∠2=∠EGK+∠FGK，∴∠1=∠EGK，∴∠2=∠FGK，∴GH∥CF，∴BE∥CF，∵∠A+∠B=∠BMD，∠C+∠D=∠ANC，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC，∵BE∥CF，∴∠BMD+∠ANC=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC=180°．点评：本题考查了平行线的性质与判定及三角形的外角性质，难度一般，关键是巧妙作出辅助线．16．如图，已知：点A在射线BG上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠EAB=∠BCD．求证：EF∥CD．考点：平行线的判定与性质；平行公理及推论．专题：证明题．分析：根据平行线的性质推出BG∥EF，AE∥BC，推出∠BAC=∠ACD，根据平行线的判定推出BG∥CD即可．解答：证明：∵∠1+∠3=180°，∴BG∥EF，∵∠1=∠2，∴AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵∠EAB=∠BCD，∴∠BAC=∠ACD，∴BG∥CD，∴EF∥CD．点评：本题综合考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理等知识点，解此题关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，是一道很好的题目，难度也适中．17．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM平分∠BCD交AF于M，FN平分∠AFE 交CD于N．试判断CM与FN的位置关系，并说明理由．考点：平行线的判定与性质．分析：设∠A=∠D=α，∠B=∠E=β，∠BCM为∠1，∠AMC为∠3，∠AFN为∠2，由六边形的内角和为720°得，2∠1+2∠2+2α+2β=720°由此得到∠1+∠2=360°﹣α﹣β，又在四边形ABCM中，∠1+∠3=360°﹣α﹣β故得：∠2=∠3，然后利用平行线的判定即可证明题目结论．解答：解：CM∥FN．设∠A=∠D=α，∠B=∠E=β，∠BCM为∠1，∠AMC为∠3，∠AFN为∠2，∵六边形的内角和为720°，∴2∠1+2∠2+2α+2β=720°，∴∠1+∠2=360°﹣α﹣β，又在四边形ABCM中，∠1+∠3=360°﹣α﹣β，∴∠2=∠3，∴CM∥FN．点评：此题主要考查了平行线的性质与判定，也考查了多边形的内角和定理，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．18．结合图形填空：如图：（1）因为EF∥AB，（已知）所以∠1=∠E（两直线平行，内错角相等）（2）因为∠3=∠F（已知）所以AB∥EF内错角相等，两直线平行（3）因为∠A=∠3（已知）所以AC∥DF（4）因为∠2+∠CQD=180°（已知）所以DE∥BC同旁内角互补，两直线平行（5）因为AC∥DF（已知）所以∠2=∠APD（两直线平行，内错角相等）（6）因为EF∥AB（已知）所以∠FCA+∠A=180°两直线平行，同旁内角互补（两直线平行，同旁内角互补）考点：平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：根据平行线的判定与性质，即可求得答案．解答：解：（1）因为EF∥AB，（已知）所以∠1=∠E（两直线平行，内错角相等）（2）因为∠3=∠F（已知）所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）（3）因为∠A=∠3（已知）所以AC∥DF（4）因为∠2+∠CQD=180°（已知）所以DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）（5）因为AC∥DF（已知）所以∠2=∠APD（两直线平行，内错角相等）（6）因为EF∥AB（已知）所以∠FCA+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：（1）∠E，两直线平行，内错角相等；（2）∠F，内错角相等，两直线平行；（3）∠3；（4）∠CQD，同旁内角互补，两直线平行；（5）∠APD，两直线平行，内错角相等；（6）∠A，两直线平行，同旁内角互补．点评：此题考查了平行线的判定与性质．解题的关键是熟记平行线的判定与性质定理与数形结合思想的应用．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1=∠BAC．（1）求证：EF∥CD；（2）若∠CAF=15°，∠2=45°，∠3=20°，求∠B和∠ACD的度数．考点：平行线的判定与性质；三角形的外角性质．专题：证明题．分析：（1）根据∠1=∠BAC，易得AB∥EF，而AB∥CD，根据平行公理的推论可得EF∥CD；（2）由（1）知EF∥CD，那么∠B+∠BFE=180°，据图易求∠BFE，进而可求∠B，又由于∠1是△AGF的外角，可求∠1，而EF∥CD，那么有∠ACD=∠1=35°．解答：证明：（1）如右图，∵∠1=∠BAC，∴AB∥EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD；（2）∵EF∥CD，∴∠B+∠BFE=180°，∵∠BFE=∠2+∠3=65°，∴∠B=115°，∵∠1是△AGF的外角，∴∠1=∠3+∠GAF=35°，∵EF∥CD，∴∠ACD=∠1=35°．点评：本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、三角形外角性质，解题的关键是证明EF∥CD．20．如图，AB∥EF，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D，那么BE⊥DE，为什么？考点：平行线的判定与性质．分析：首先根据平行线的传递性得到EF∥CD，再根据平行线的性质可得∠D=∠3，∠B=∠4，再根据∠1=∠B，∠2=∠D可得到∠1=∠4，∠3=∠2，然后即可算出∠4+∠3=90°，进而得到BE⊥DE．解答：解：BE⊥DE，理由如下：∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠3，∵∠2=∠D，∴∠3=∠2，∵AB∥EF，∴∠B=∠4，∵∠1=∠B，∴∠1=∠4，∵∠1+∠4+∠3+∠2=180°，∴∠4+∠3=90°，∴BE⊥DE．点评：此题主要考查了平行线的性质，以及垂直定义，关键是证明∠1=∠4，∠3=∠2．21．已知，如图，BE∥FG，∠1=∠2．求证：DE∥BC．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：由BE∥FG，推出∠2=∠EBC，然后根据∠1=∠2，通过等量代换即可推出∠1=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行这一判定定理，即可推出结论．解答：证明：∵BE∥FG，∴∠2=∠EBC，∵∠1=∠2，∴∠1=∠EBC，∴DE∥BC．点评：本题主要考查平行线的性质和平行线的判定定理，等量代换等知识点，关键在于推出∠1=∠EBC．。