平行线典型例题

例、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．

例、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数．

例、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮

筋上的一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：

这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。本题可分为AB ，CD 之间或之外。

结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A ④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．

例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）

A 、80

B 、50

C 、30

D 、20

例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）

A 、43°

B 、47°

C 、30°

D 、60°

例、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．

（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；

（

2）如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证：BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=360°；

（3）如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2．

试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数；

（4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BD P

5∠+的度数（不必写出过程）．

A M C P 1 A M C P 1 A M

C

例、如图，已知直线l 1∥l 2，且l 3和l 1、l 2分别交于A 、B 两点，点P 在AB 上．

（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；

（2）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？

（3）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B 不重合）

例、如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连接PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD ；

（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答成立或不成立）

（3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

例、如图，AB ∥CD ，则∠2+∠4﹣（∠1+∠3+∠5）

= _________

．

例、如图，直线a ∥b ，那么∠x 的度数是 _________ ．

例、如图，AB ∥CD ，∠ABF=∠DCE 。试说明：∠BFE=∠FEC 。

A

B C D F

E

例、如图，直线AB 、CD 与EF 相交于点G 、H ，且∠EGB=∠EHD.

（1）说明： AB ∥CD

（2）若GM 是∠EGB 的平分线，FN 是∠EHD 的平分线，则GM 与HN 平行吗？说明理由

例、如图，已知AB//CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD=70O

，

(1)求∠EDC 的度数；(2)若∠BCD=40O ，试求∠BED 的度数．

例、如图，DB ∥FG ∥EC ，∠ACE=36°，AP 平分∠BAC ，∠PAG=12°，则∠ABD= _________ 度． 例、如图，已知,DA AB DE ⊥平分,ADC CE ∠平分,1290,BCD ∠∠+∠=求证：BC AB ⊥.

例、如图，AB ∥EF ，AB ∥CD ，∠1=∠B ，∠2=∠D ，那么BE ⊥DE ，为什么？

例、两个角有一边在同一条直线上，而另一条边互相平行，则这两个角 （ ）

A ．相等

B ．互补

C ．相等或互补

D ．都是直角

变式：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30

，那么这两个角是 A. 42138 、 B. 都是10 C. 42138 、或1010、

D. 以上都不对

例、如图，若∠1=∠2，AB ∥CD ，试说明∠E=∠F 的理由。

例、已知：如图，BE∥DF，∠B=∠D。求证：AD∥BC。

例、如图，已知DF ∥AC ，∠C=∠D ，你能否判断CE ∥BD ？试说明你的理由．

例、已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB ．

例、如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并说明理由．

E D C

B A 2

1D C B

A F E 1 2

例、探索与发现：

（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是_________，请说明理由．

（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是_________（直接填结论，不需要证明）

（3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．

例、如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，试说明AD平分∠BAC．

例、已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？

例、已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．

例、如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．

例、如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．

例、如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．