高等数学一元函数积分学

2
a2
例 5：求 dx
x2 a2
(a 0)
解：设x a tan t
t
22
原式=
a sec2 t a sect
dt
sec tdt
ln(sec t
tan
t)
C
由 x a tan t,得 tan t x ,sect x2 a2
a
a
所以
原式=ln
x2 a2 a
x a
C
（四） 分部积分法
解：设 x a sin t ( t )
22
原式= a cos t a costdt a2 cos2 tdt = a2 t a2 sin t cost C
22 由 x a sin t ，得 t arcsin x
a
cos t 1 sin2 t a2 x2 a
原式= a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
分析：(uv) uv uv
uv uv uv
uvdx (uv)dx uvdx
udv uv vdu 分部积分公式： udv uv vdu
例 7：求 x cos xdx
解：设u x,dv cos xdx d(sin x),v sin x
原式= xd(sin x) x sin x sin xdx
(x5 3)5x4 (x5c)5x4
所以显然 x 5，x5 1，x5 3 ，x5 c
都是 5 x 4 的一个原函数。
★ 由此不难得出：
（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。 （2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。
（3）若 F ( x)为 f (x) 的一个原函数，则 F ( x) C
x
上任取一 i，点
以 [xi1,xi]为底 f(i， )为高的小矩形面
Ai f(i )xi
3. 求和
曲边梯形面积的近似值为
n
Af(i )xi
i1
4. 取极限
当分割无限加细 , 即小区间的最大长度
max{x1,x2,Lxn}
趋近于零( 0)时，
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
1dx
1
1
d x
(1
x)
x ln 1 x C
（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）
１.第一换元法（凑微分法）
第一换元法是求复合函数的不定积分的基本方法．
分析：把复合函数的微分法反过来，用与求不定积分，利用中
间变量的替换，得到复合函数的积分法。
设 f (u)的原函数是F (u) ，即
F(u) f (u)
( 2 ) F ( x ) d F x ( x ) c 或 d ( x ) F F ( x ) c
定理2 k(fx)dx k f(x)dx （k 是常数，k 0)
定理3 [f(x ) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
n
n
推论 fi(x)d x fi(x)dx
f (u)du F (u) C
又u (x),且(x) 可微，有 F(x) f百度文库(x)(x)
f (x)(x)dx F (x) C f (u)du u(x)
定理 1：设 f (u) 有原函数F (u), u (x) 可导，则
f (x)(x)dx F (x) C f (u)du u(x)
1 x31 3 1
C
1 2
x 2
C
1 2x2
C
故选B
例：求
1 1 x2
dx
提示公式： 11x2dxarctanxC
解：原式=
1 1 x2
dx
arctan
x
C
例：计算
1
x
x
dx
提示公式： 1dxln| x|C
x
解：原式=
1
x x
dx
x 11dx 1 x
1
1
1
x
dx
1dx
1
1
dx x
第三章 一元函数积分学(20%）
一、 不定积分 二、定积分 三、定积分的应用
考试点津：
• 本讲出题在10分—18分之间，考点不多， 一般在选择题、填空题、计算题中出现， 不定积分是定积分的基础，定积分又是二 重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大， 希望同学们多练习。
• 本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念 和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。 （3）凑微分技巧。
1、定积分的定义
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
y f (x)
yf(x)(f(x)0)、
x轴 与 两 条 直 线 xa、
A?
xb所 围 成 .
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形面积和越接近 曲边梯形面积．
例
2：求
3
1 dx 2x
解：原式=
1 2
3
1 d(3 2x
2
x)
1 2
ln(3
2
x)
C
一般地：对于积分 f (ax b)dx,总可作变换u ax b
f (ax b)dx 1 a
f
(ax
b)(ax
b)dx
1 a
f (u)du uaxb
例 3：求 2xex2dx
解：原式= ex2 d(x2 )u x2 eudu eu C ex2 C
n
并作和 S f (i )xi ，
记 m i 1 x 1 , a x 2 , L , x x n } ， 如 { 果 不 论 对 [a,b]
1. 分割
曲边梯形如图所示， 在区间 [a, b] 内插入若干 个分点，a x0 x1 x2 L xn1 xn b, 把区间[a,b]分成n y
个小区间[xi1, xi ]，
长度为xi xi xi1;
2. 近似
在每个小[区 xi1,间 xi] o a x 1
b xi1i x i xn1
例：计算 ex dx
ex 1
2008年解答、8分
解：原式=
e
1 x 1
(ex
)dx
e
1 x
1
d(e
x
)
1 ex 1
d(ex
1)
u e x 11 d u ln u C ln e x 1 C u
例 1：求 2cos 2xdx
解：原式= cos 2x (2x)dx cos 2xd(2x) sin 2x C
2．第二换元法
第一类换元法是将积分 f (x)(x)dx 代为积分 f (u)du, 我
们常常遇到相反的情形，适当地选择变量代换 x (t)，从而将
积分 f (x)dx 化为积分 f (t)(t)dt 公式： f (x)dx f (t)(t)dt 叫做第二换元积分法．
例 4：求 a2 x2 dx a 0
d f x d sin x cos xdx sin x C
所以应选 A。
35． (ln x 1)dx ________．
(ln x 1)dx ln x 1 x xd ln x 1
解析：
x
ln
x
1
x
1 x
d
x
x
ln
x
c
2010年解答、8分
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表
(1)3
axdx lna
x
a
C
;
注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础， 必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分．
例：求
1 x3
dx
A.
2 x2
C
B
1 2x2
C
C.
1 2x2
C
D.
2 x2 C
提示公式： xdx1 1x 1C(1)
解：原式=
1 x3
dx
x3dx
• 本讲难点：综合利用积分方法求不定积分 。
本章重点考核的知识点
• 1．原函数的概念； • 2．不定积分的两个性质及一个推论； • 3．分项积分法； • 4．换元积分法；又可细分为凑微分法（重
点）与变量代换法（主要是去根号）； • 5．分部积分法。 • 有理函数积分、三角函数积分基本不考。即
便考，用前面的方法也可解决。
i1
i1
（二） 不定积分的基本积分公式
(1 ) k dkx x C(k 是常数);
基 (2)
x
dx
x 1
1
C
( 1);
本 积 分
(3)
(4)
dx x
ln| x|C;
11x2dxarcx ta C narccox tC;
表
(5)
1 dxarcxsiC narcx coCs; 1x2
(6) coxsdxsix nC;
若干个分点a x0 x1 x2 L xn1 xn b
把 区 间 [a ,b ]分 成 n 个 小 区 间 ， 各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , L ) ， 在 各 小 区 间 上 任 取
一 点 i （ i x i） ， 作乘积 f (i )xi (i 1,2,L),
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
常用恒等变形方法
分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,
第三章 一元函数积分学
第二节 定积分
（一）基本概念与基本性质 （二）牛顿-莱布尼兹公式 （三）定积分的换元积分法和分部积
分法 （四）无穷区间上的反常积分
（一）基本概念与基本性质
如下图所示：
y
斜 率f (x)
0
x
yF(x)c yF(x)
x
（一） 不定积分的概念与性质
4. 原函数存在定理
在 定义区间上的连续函数一定有原函数（即： 一定有不定积分）。
（一） 不定积分的概念与性质 5. 不定积分的性质
定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即
( 1 ) [ f ( x ) d ] x f ( x ) 或 d [ f ( x ) d ] x f ( x ) dx
都有关系式：
F(x)f(x) 或 dF (x)f(x)dx
成立，则称函数 F ( x) 为函数 f ( x) 在该区间上
的一个原函数。
例 sx in cx o , s x ( , ) ,
sixn 是 co x在 sI (, )上 的 原一 。 函个 数
又因为： (x5) 5x4 (x51)5x4
积 分 符 号
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
（一） 不定积分的概念与性质 3. 不定积分的几何意义 设函数 f (x) 在某区间上的一个原函数为 F(x) ，则
yF(x) 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而
yF(x)c 的图象显然可由这条曲线沿 o y 轴向上
或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是 f (x) 的全部积分曲线 所组成的积分曲线族。其方程为 yF(x)c.
例 8：求 xexdx
解：设u x, dv exdx dex ,v ex
原式= xd(ex ) xex exdx xex ex C
例 9：求 x ln xdx
解：设u ln x, dv xdx
原式= ln xd(1 x2 ) 1 x2 ln x 1 x2 1dx
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分 2011年考了16分
（一）、不定积分的概念与性质 （二）、不定积分的基本公式 （三）、换元积分法 （四）、分部积分法
（一） 不定积分的概念与性质
1. 原函数
设 f ( x)是定义在某区间上的已知函数，如果
x 存在一个函数 F ( x) ，使对于该区间任意 ，
22
2x
= 1 x2 ln x 1 xdx 1 x2 ln x 1 x2 C
2
2
2
4
15．若 cos x 是 f (x) 的一个原函数，则 df (x)
A． sin x C B． sin x C C． cos x C D． cos x C
解：因 cos x f x ，故 f x cos x sin x ，
(7) six ndxco x sC ;
（二） 不定积分的基本积分公式
(8) se2cxdxtaxn C;
(9) cs2cxdxco x tC ;
基 本
(1)0se xtca xn d sx excC;
积 (1)1cs xcco xtd x csx cC ;
分 表
(1)2exdx ex C;
= x sin x cos x C
但若令 u cos x,dv x dx d(1 x2 ) 2
原式= cos xd(1 x2 ) cos x 1 x2 1 x2d(cosx)
2
2
2
由此可见，如果u 和 dv 选取不当，就求不出结果. 考虑： ① v 容易求
② udv要比 vdu 容易积
表示 f ( x)的所有原函数。
（一） 不定积分的概念与性质 2. 不定积分
设 F ( x)是 f (x)在区间I上的一个原函数，则函
数 f (x) 的全体原函数 F ( x) C（c为任意常数）
称为 f ( x)在该区间I上的不定积分。
记为 f ( x)dx . 即：
f(x)d xF (x)C