三垂直模型与全等综合剖析

K模型图与全等

知识点

基本图形

本题8分）如图，在等腰R t△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，求证：AF＝CF．

F

E

D

C

B

A

22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.

【例8】

【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF

于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；

H A

B

D

C

E

F

D P F

E

B

C

A

F

E D

C

B

A

H

F

E

D C B

A

【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、

F 为垂足,

求证:△DEF 是等腰直角三角形.

【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在

AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。AF是△ABC的中线，

FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF

【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。连接AN，MN⊥AN交∠DCB 的外角平分线于点M。

求证：AN＝MN

9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点

B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB

于E ，求证∠BDO =∠EDA ；

（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △

PBM ，其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x

轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.

A B

O D E

F

y x

10

A

B O

M P

Q x

y

E

D

C

B A

O

x

y

D

C

B A

O

x

y P

24．（12分）如图，COD V 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。 ⑴若点C 的坐标是（—2，—4），求D 点的坐标。（4分） ⑵连结CD ，点E 为CD 的中点，求证：AE ⊥BE ；（4分）

⑶如图，点P 是y 轴正半轴是一点，OP =AB ，当点A 、B 在x 轴上运动时，∠APB +∠CPD 的值是否发生变化？若变化，请你指出其变化范围，若不变化，请你求出其值，并说明理由.（4分）

y

x

A

D

C

O

“K ”字型：等腰直角三角形的顶点处发出一条直线，辅助线为过两顶点作该直线垂线。 例：已知等腰RT △ABC 中，过点A 作直线。结论：△ABE ≌△CAF F E

C A B F E

C

A

B 衍生：平面直角坐标系中A （1,3），以OA 为边作正方形OAB

C ，求B 、C 坐标。

C B

O

x

y

A

变式：平面直角坐标系中，点A （4,1），过点O 作一条直线与OA 夹角为45°，求该直线解析式。 O x

y

A

衍伸：平面直角坐标系中直线3:2

OA l y x =与双曲线k y x =交于点A ，以OA 为边作等腰RT △OAB ，点B 刚好落在双曲线上。求k 。

x y

B

o A

本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，

过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．

（1）求证：AD ⊥CF ；

（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．

5.已知等腰Rt ABC V 的直角顶点C 在x 轴上，点B 在y

轴上。

（1）如图1，若点C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），求点B 的坐标。

（2）如图2，直角边BC 在坐标轴上运动，使点A 在第四象限内，过点A 作AD ⊥y 轴于D ，求

CO AD BO

的值。

八年级数学每日一题（041-045）

P —041如图，如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，D y x A

O C B O C B A

0），且a 、b 满足330a b -++=.

（1）求点A 、点B 的坐标；

（2）点C 是第三象限内一点，以BC 为直角边作等腰直角△BCD ，∠BCD=90º，过点A 和点D 分别作直线CO 的垂线，垂足分别是点E 、F.试问线段AE 、DF 、CO 之间是否存在某种确定的数量关系？为什么？

x

y O E D

C B

A

F

P —042 如图，在平面直角坐标系中，点A 、点C 分别在y 轴的正半轴和负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，∠ABC=90º.点E 在BC 延长线上，过点E 作ED ∥AB ，交y 轴于点D ，交x 轴于点F ，DO –AO=2CO.

（1）求证：AB=DE ；

（2）若AB=2BC ，求证：EF=EC ；

（3）在（2）的条件下，若点B 的坐标是（2，0），求点E 的坐标.