§3.3磁多极矩Magneticmultipolemoment

点，则
A(x)
0
j(
x)
dV
'
4 V r
0
4
V
A(0) (
j( x)
x)A(1R1) (x)x
1 R
A(2) (
1 2!
x)
xx
:
1 R
dV
'
展开式的第一项：
A(
0)
(
x
)
0
j (x)
1
dV
'
4 V
R
0 j (x) 1 dsdl
4 V
R
0
Idl
0I
dl
)xi ji (x)x
j (x) xxi
1 2
j(
j( x)
x)xi ji
xxi
( x ) x
xj(x)
xi
j (x)xi ji (x)x
这里用到了稳恒电流条件
j(x) 0
所以
A(1)
(
x
)
0 4
i
1 R
V
j (x)xidV '
0 4
i
x
m R3 ]
m
1 2
L
x J (x)dV
IS
3、小区域内电流分布在外磁场中的能量
▪ 电流分布与外场中的相互作用能量：
W J AedV V
▪ 电流环与外场中的相互作用能量：
W I Ae dl I Be dS Ie
L
S
▪ 小区域电流分布与外场中的相互作用能量：
W Ii Ae dl Ii Be dS Ii Be 0 dS
V W m Be 0
外场中磁偶极子受力
▪ 外场中磁偶极子受力：
F V m Be m Be m Be m Be
▪ 外场中磁偶极子受力矩：
L
V
mBe cos mBe sin
L m Be
磁偶极子在外磁场中的行为与电偶极子在电场中行为一致
dV
1 2
I
e
Ie
W
1 2
I
e
Ie
Ie
I e
1 2
Ie
I e
▪ 磁通变化会产生感生电动势，做功：
Wi
I
de dt
t
Ie
d dt
t
Ie
Ie
2W
▪ 要维持电流不变，外电源必须提供能量，抵消感生电动势做功：
外界能量输入
Ws Wi 2W
磁能增加
电流环运动动能
Ws W A
等效势能 V A W Ws W
由此可见
B(0) B (1)
A(0) 0
A(1)
0
4
mR
R3
0 4
(m
R R3
)
0 4
(
R R3
)m
(m
)
R R3
因为讨论的是区域V外的场，在R 0处，有
R R3
1 R
2
1 R
0
故得到
B (1)
0 4
(m )
R R3
0 4
(m
R R3
)
(m 为常矢)
4R L
4R L
0
即
A(0)
Fra Baidu bibliotek
(
x)
0
表示没有与自由电荷对应的自由磁荷存在。
展开式的第二项：
A(1)
(
x
)
0
j(
x ) x
1
dV
'
4 V
R
0 4
V
j (x)xii
1 R
dV '
因为
0 4
i
1 R
V
j (x)xidV '
j(
x ) xi
1 2
j(x
j(x)xxi
例２: 边长为a的矩型载流线圈产生的磁场
解: 在 R a 的区域
B
0 4
(m )
x R3
0 4
3m x [ R5
x
m R3 ]
m 1 x J (x)dV Ia2 2L
例3: 任意一个平面载流线圈产生的磁场
解: 在 R a 的区域
B
0 4
(m )
x R3
0 4
3m x [ R5
11 RV 2
j (x)xi
ji (x)x dV '
0 4
i
11 RV 2
j (x)xi
ji (x)x dV '
0 8
i
1 RV
j (x)xxi
dV '
0 8
i
1 R
V
j (x)xi ji (x)x d
0 8
i
1 R
S
j (x)xxi ds
0
:
1
dV
'
4 V
2!
R
将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较复杂，
一般不去讨论。
综上所述：小区域电流分布所激发的磁场，其矢 势可看作一系列在原点的磁多极子对场点激发的矢势 的迭加。
2、磁偶极矩的场和磁标势
根据 B A， 即有 B A A(0) A(1) A(2)
B(0) B(1)
i
Li
i
S
i
S
Be 0 Ii dS Be 0 IiSi m Be 0
i
S
i
磁偶极子与外场之相互作用能： W (1) m Be 0 电偶极子与外场之相互作用能： W (1) p Ee 0
外场中磁偶极子之等效势能
▪ 两电流环相互作用能：
W
1 2
V
J Ae Je A
故得到
A(1)
(x)
0 4
1 2
V
x
j(
x)d
1 R
0 m R
4 R3
式中：
m
1 2
V
x
j ( x)dV
'
称此为磁矩。
A(1)
(
x)表示把整个电流系的磁矩集中在原点时，
一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。
展开式的第三项：
A(2)
(x)
0
j ( x)
1
xx
1、矢势 A的多极展开
给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为
A( x )
0
j (x) dV '
4 V r
如果电流分布集中在一个小区域V中，而场点
x
又距
离开的该的某区方一域法点， 展比把 开较矢 成远势，x这的A(时幂x)可级作仿数多照。极静若展电展开情开，况点即的取把电在1r 多坐在标极区的矩域原展内
§3.3 磁 多 极 矩 Magnetic multipole moment
矢势的多极展开 磁偶极矩的场和磁标势 小区域内电流分布在外磁场中的能量
本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁 场在远处的展开式。与电多极矩（electric multipole moment) 对应。引入磁多极矩概念，并讨论这种电流 分布在外磁场中的能量问题。
0 8
i
1 R
V
j (x)xi ji (x)x dV '
0 8
i
1 R
V
j (x)xi ji (x)x dV '
0 8
V
j
(
x)
xi
i
1 R
xji (x)i
1 R
dV
'
0 8
V
j
(
x)
xi
1 R
xji (x)
1 R
dV
'
其中
j(x)x xj(x) R x j(x) R
由此可见在电流分布以外的空间中
H (1)
1
0
B (1)
(1) m
故得
(1) m
1
4
m
R R3
mR
4R3
例1: 半经为a的载流线圈产生的磁场
解: 在 R a 的区域
B
0 4
(m )
x R3
0 4
3m x [ R5
x
m R3 ]
m 1 2
L x J (x)dV a2Ieˆz